Calculo Variacional - 1

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uba – facultad de ingeniería 
MÉTODO DE LOS 
ELEMENTOS FINITOS 
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO 
DE VARIACIONES 
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4
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[1] 
MÁXIMOS Y MÍNIMOS (I) 
 Para la una función f(x) dada se puede hallar 
un extremo mediante: 
 
 
 
 Por ejemplo, para f(x)=seno(x) en [p;2p], 
tendremos: 
      
2
3
0
p

extrextr
xxcos
dx
xsenod
dx
xdf
   .b;ax
dx
xdf
 un para 0
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[2] 
    0 cuando 
2
2

dx
xfd
Maxxf extr
extr
MÁXIMOS Y MÍNIMOS (II) 
 Tendremos que: 
 
    0 cuando 
2
2

dx
xfd
Minxf extr
extr
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[3] 
MÁXIMOS Y MÍNIMOS (III) 
 En nuestro ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 En consecuencia, tenemos un mínimo para 
xextr. 
     
extr
extrextr xseno
dx
xsenod
dx
xfd

2
2
2
2
  011
2
3
2
3







pp
senoxextr
6
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[4] 
MÁXIMOS Y MÍNIMOS (IV) 
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
3.142 3.456 3.770 4.084 4.398 4.712 5.027 5.341 5.655 5.969 6.283
x
Se
no
 (x
)
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
DEFINICIÓN DE FUNCIONAL (I) 
 Supongamos que 
queremos hallar la curva 
que hace mínima la 
distancia entre dos 
puntos. ¿Cómo 
deberíamos proceder? 
 ¿Existe alguna manera 
de obtener 
matemáticamente esta 
curva? 
A 
B Curva 1 
Curva 2 
Curva 3 
Curva 4 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[6] 
DEFINICIÓN DE FUNCIONAL (II) 
 El caso anterior es 
para un plano, pero 
¿qué pasa si la 
superficie no es plana, 
como por ejemplo una 
esfera? Este es un 
problema muy común 
en los navegantes, 
pues la Tierra puede 
aproximarse con una 
esfera (elipsoide de 
revolución). 
Curva de mínima distancia 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[7] 
DEFINICIÓN DE FUNCIONAL (III) 
 Ambos casos se parecen al cálculo de 
máximos y mínimos. Pero tienen una 
diferencia fundamental: en lugar de un valor 
que haga mínima (o máxima) a una función, lo 
que se busca es una función que haga 
mínima (o máxima) un valor. 
 En ambos casos se debe que cumplir: 
Mín
B
A
LdsI  
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[8] 
DEFINICIÓN DE FUNCIONAL (IV) 
 Veamos como resolver este problema en el 
plano: 
Primero expresemos ds en función de dx y dy: 
 
 
 
 
 
Por lo tanto nos queda: 







2
2
22222 1
dx
dy
dxdsdydxds
dx
dx
dy
ds 






2
2
1
 






B
A
dx
dx
dy
I
2
2
1
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[9] 
DEFINICIÓN DE FUNCIONAL (V) 
 ¿Cómo seguimos ahora? Para ello debemos 
partir de un concepto nuevo. 
 Vamos a definir como funcional a la 
expresión: 
 
 
 con 
 
b
a
dx)y,y,x(FI
  B)b(y,A)a(yb,ax  y 
6
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[10] 
ECUACIÓN DE EULER (I) 
 Vamos a suponer que existe una función y(x) 
que haga mínima (o máxima) la expresión 
anterior. 
 Entonces, definamos una función arbitraria 
de la siguiente manera: 
 
 tal que 
 
 que no modifican las condiciones anteriores, 
como se ve en la figura. 
)x()x(y)x(y 
1
0 )b()a( 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[11] 
ECUACIÓN DE EULER (II) 
0
y
y(x)
y1(x)=y(x)+(x)
(x)
xa
A
b
B
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[12] 
ECUACIÓN DE EULER (III) 
 Para esta nueva función tendremos que: 
 
 
 
 Podemos decir que 



b
a )x(y)x(y
dx)y,y,x(F)(I 
11

0 cuando 0 si  

d
)(dI
Mín)(I
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[13] 
ECUACIÓN DE EULER (IV) 
 Definamos que: 
 
 y por lo tanto obtenemos que: 
 
111
y,y,xFF 























y
F
y
F
y
F
y
F
d
dF
d
yd
y
F
d
dy
y
F
d
dF
11
1
1
1
11
1
1
11
1
11
6
4
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[14] 
ECUACIÓN DE EULER (V) 
 En consecuencia tenemos que: 
 
 
 
 Como , entonces , por lo tanto: 
0 11 











 
b
a
dx
y
F
y
F
d
)(dI 

0
FF 
1
0 











 
b
a
dx
y
F
y
F
d
)(dI 

6
4
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[15] 
ECUACIÓN DE EULER (VI) 
 Si integramos por partes el segundo término, 
nos queda: 
 
 
 
 perocomo , entonces 
0

























b
a
b
a
y
F
dx
y
F
x
d
y
F 
0 )b()a( 
0

















b
a
dx)x(
y
F
x
d
y
F 
6
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[16] 
ECUACIÓN DE EULER (VII) 
 Como es arbitraria se debe cumplir que: 
 
 
 
 ecuación que se conoce como ecuación de 
Euler o de Euler-Lagrange también 
expresada como: 
 x
0










y
F
dx
d
y
F
0










y
F
y
F
dx
d
6
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[17] 
ECUACIÓN DE EULER (VIII) 
 Otras formas de expresarla son: 
 
 
 
 
 
 Si 
0


































y
F
dx
yd
y
F
ydx
dy
y
F
yy
F
x
  0
2
2
  yx,yy,yy,y FF
dx
dy
F
dx
yd
F
C
dx
dy
y
F
F
x
F






0
Identidad de 
Beltrami 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[18] 
EJEMPLO 1 (I) 
 Resolvamos el caso de la distancia mínima 
entre dos puntos en el plano 
2
1
1 yFC
dx
dy
y
F
F 



1
2
2
22 1
1
112
2
Cy
y
y
y
y
y
y
y
y
F













C
C
y
C
yC
yy
yy
1
11
1
1
1
1
1
2
11
2
1
22
22













DCxyC
dx
dy
y 
6
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[19] 
EJEMPLO 1 (II) 
B)b(y;A)a(y
DCxy




















a
ab
AB
AD
ab
AB
C
DCbB
DCaA
  Aax
ab
AB
)x(y 



La curva que hace mínima la distancia entre dos 
puntos en el plano es una recta. 
6
4
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1
4
 
 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[20] 
CONDICIONES DE CONTORNO (I) 
 Condiciones esenciales de contorno 
Cuando se fijan las condiciones para y(a) y para 
y(b). 
 Condiciones naturales de contorno 
Cuando no se fijan las condiciones para y(a) y 
para y(b). 
En este caso se cumple que: 
0















 axbx
)x(
y
F
)x(
y
F 
6
4
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[21] 
CONDICIONES DE CONTORNO (II) 
0
















)a(
y
F
)b(
y
F
axbx

Como 
    00  ba 
00 















 axbx
y
F
y
F
se debe cumplir que: 
6
4
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1
4
 
 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[22] 
NOTACIÓN VARIACIONAL (I) 
 Habíamos visto que para hallar el mínimo (o 
máximo) de una funcional proponíamos la 
siguiente función: 
 
 Cuando entonces . 
 Vamos a definir que 
 
 que llamaremos variación de y. 
)x()x(y)x(y 
1
0
)x(y)x(y 
1
)x(y  
6
4
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[23] 
NOTACIÓN VARIACIONAL (II) 
 Ahora podemos escribir que: 
 
 Desarrollando el miembro de la derecha en 
potencia de : 
 
 
 Por analogía con el cálculo diferencial: 
   y,y,xFy,y,xFF  






 
y
F
y
F
F
 






y
F
y
F
F
6
4
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[24] 
NOTACIÓN VARIACIONAL (III) 
 Además: 
 
 Entonces nos queda: 
 
 
 Como 
 
 por lo tanto 
y
y
F
y
y
F
F 





 
 y
0x
y
y
F
y
y
F
x
x
F
F 








 
6
4
.
1
4
 
 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[25] 
NOTACIÓN VARIACIONAL (IV) 
 Con esto podemos decir que: 
Mientras la diferencial de una función es una 
aproximación de primer orden al incremento de la 
función según una curva específica, 
La variación de una funcional es una 
aproximación de primer orden al incremento de 
curva a curva. 
 Como consecuencia de esto, se cumplen las 
mismas reglas que para la diferenciación. 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[26] 
NOTACIÓN VARIACIONAL (V) 
 Así: 
 
212121
F·FF·FF·F  
    ynyy,y,xFyy,y,xF nn  1
    y·yy·yy,y,xFy·yy,y,xF  
2
2
2121
2
1
F
F·FF·F
F
F  






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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[27] 
EJEMPLO 2 (I) 
 Este ejemplo es el considerado como 
iniciador del cálculo variacional: 
¿Cuál es la curva que describe un cuerpo que cae 
por efecto de la gravedad (sin fricción) que hace 
mínimo el tiempo que tarda en ir de un punto al 
otro? 
 Se conoce como “El problema de la 
Braquistócrona”. 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[28] 
EJEMPLO 2 (II) 
A
B
y1(x)
y2(x)
y3(x)
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[29] 
EJEMPLO 2 (III) 
 Para resolverlo, planteamos la siguiente 
expresión: 
 
 
 Sabemos que: 
 
 
 donde ds es la distancia recorrida 

b
a v
ds
I
dx'yds 21
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[30] 
EJEMPLO 2 (IV) 
 En consecuencia, tenemos: 
 
 
 
 Por el principio de la conservación de la 
energía se cumple que: 
dx
v
y
I
b
a



21
   )a(y)x(ygv)a(y)x(ymgmv  2
2
1 2
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[31] 
EJEMPLO 2 (V) 
 Así, nuestra funcional queda: 
 
 
 
 Si hacemos y(a)=0, entonces: 
 
 
 )a(y)x(yg
'y
y,y,xFdx
)a(y)x(yg
'y
I
b
a 




  2
1
con 
2
1 22
 
)x(yg
'y
y,y,xFdx
)x(yg
'y
I
b
a 2
1
con 
2
1 22 


 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[32] 
EJEMPLO 2 (VI) 
 Aplicando la identidad de Beltrami, 
tendremos que: 
 
 
 
 Desarrollando nos queda: 
 
C
gy
'y
'y
gy
'y
gy
'y
C
'y
F
'yF 







2
2
1
2
2
1
2
1
  22
2
1
1 k
gC
)x(y)x('y 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[33] 
EJEMPLO 2 (VII) 
 La solución de la ecuación anterior, 
expresada en forma paramétrica, es : 
  
  

cosk)(y
senok)(x


1
2
1
2
1
2
2
La curva que hace mínimo el tiempo para ir 
desde A hasta B bajo acción gravitatoria es un 
arco de cicloide. 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[34] 
CONCLUSIONES (I) 
 El cálculo variacional resuelve algunos 
problemas que con el cálculo diferencial sería 
muy engorroso. 
 Se puede aplicar para resolver ecuaciones 
diferencial de manera alternativa, con 
aplicación de principios ya establecidos o 
demostrarlos por un método diferente. 
 La solución es obtenida mediante un 
procedimiento analítico, por lo que se puede 
considerar “exacta”. 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[35] 
CONCLUSIONES (II) 
 En clases posteriores se verá que además se 
aplica para resolver ecuaciones diferenciales 
mediante técnicas de aproximación. 
 La existencia de principios variacionales en la 
mecánica (en nuestro caso particular, la 
estática) facilita la resolución de problemas 
complejos obteniendo resultados numéricos. 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[36] 
BIBLIOGRAFÍA 
1. F.B. Hildebrand, Métodos de la Matemática 
Aplicada. Eudeba. 1973. 
2. M.L. Krasnov, G.I. Makarenko y A.I. Kiseliov, 
Cálculo variacional (ejemplos y problemas). 
Editorial Mir. 1976. 
3. K.J. Bathe, Finite Element Procedures. 
Prentice Hall. 1996. 
4. Y.C. Fung, Foundations of Solid Mechanics. 
Prentice Hall. 1965. 
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL uba – facultad de ingeniería 
[37] 
BIBLIOGRAFÍA 
5. El Kacimi Alaoui, A., Introducción al Análisis 
Funcional. Editorial Reverté. 1994. 
6. J. Fischer, Introduction to the Calculus of 
Variations. 1999. 
7. J.J. O’Connor y E.F. Robertson, The 
Brachistochrone problem. The MacTutor 
History of Mathematics History. University of St 
Andrews. 2002. 
8. J. Ferguson, A Brief Survey of the History of 
the Calculus of Variations. University of 
Victory, Canada. 2004.