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Ing. MSc. Fernando Javier Salas Barrera Modelos matemáticos 
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 CAPÍTULO I 
 
MODELOS MATEMÁTICOS 
 
 
 
1.1. INTRODUCCIÓN 
 
En la actualidad, es importante tener un conocimiento amplio de ciencias e ingeniería para poder 
resolver de forma eficaz cualquier problema real. Si no sabemos cómo funcionan los sistemas del cuerpo 
humano, es muy probable que no hallemos la cura a muchas enfermedades. De igual manera, si un ingeniero 
no tiene la debida formación en ciencias, seguro que tendrá serios problemas para reparar una máquina, 
aunque tenga las mejores herramientas. En particular, se ha observado que muchos estudiantes de ingeniería 
quieren resolver problemas de los diferentes cursos que llevan dentro de su formación profesional, haciendo 
uso de computadoras, pero son prácticamente inútiles si los estudiantes no comprenden el funcionamiento 
de los sistemas de ingeniería. 
 
La problemática de la enseñanza de la matemática en las facultades de ingeniería, se debe a que el 
estudiante de los primeros ciclos, no comprende la relación de los cursos básicos con los cursos de su 
especialidad, lo cual hace que se desmotive a estudiar una carrera de ingeniería y hasta muchas veces decida 
no estudiar ninguna carrera universitaria. 
 
Es por eso, que en toda carrera de ingeniería, se requiere la enseñanza de las ciencias básicas con 
aplicaciones reales y que esto sea un requisito para llevar los cursos que son propios del componente 
profesional de los planes de estudio. 
 
 
1.2. MODELO MATEMÁTICO SIMPLE 
 
Según Chapra y Canale [1], un modelo matemático se define, de manera general, como una 
formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso 
en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una relación funcional de la forma: 
 
 
Variable
dependiente
= 𝑓 (
Variables
dependientes
, parámetros, funciones de fuerza) . (1.1) 
 
La variable dependiente es una característica que generalmente refleja el comportamiento o estado 
de un sistema; las variables independientes son, por lo común, dimensiones tales como tiempo y espacio, a 
través de las cuales se determina el comportamiento del sistema; los parámetros son el reflejo de las 
propiedades o la composición del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que actúan 
sobre el sistema [1]. 
 
La segunda ley de Newton, establece que la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo, es igual a 
la multiplicación de su masa por su aceleración [2]: 
 
 
 F = 𝑚𝑎. (1.2) 
 
Donde F es la fuerza en (N o kg.m/s2), 𝑚 la masa en (kg) y 𝑎 la aceleración en (m/s2). 
 
Si se despeja la aceleración, la ecuación (1.2), queda: 
 
 𝑎 =
𝐹
𝑚
. (1.3) 
 
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Si se compara la ecuación (1.1) con la ecuación (1.3), se tiene que 𝑎 es la variable dependiente que 
refleja el comportamiento del cuerpo o sistema, 𝐹 es la función de fuerza y 𝑚 es un parámetro que 
representa una propiedad del cuerpo o sistema. Cabe mencionar que en este caso, no existe variable 
independiente, porque aún no se predice cómo varía la aceleración con respecto al tiempo o al espacio. 
 
Una ecuación muy conocida en cinemática, es la ecuación diferencial de la caída de un paracaidista: 
 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣. (1.4) 
 
Como se puede observar en la ecuación (1.4), se trata de una ecuación diferencial que relaciona la 
aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él. Esta ecuación está escrita en términos 
de la primera derivada de la variable que se desea predecir, es decir 𝑑𝑣/𝑑𝑡. 
 
La solución de la ecuación (1.4) no se puede obtener mediante simples manipulaciones algebraicas, 
pues es necesario técnicas de cálculo integral. Para esto también se debe considerar las condiciones iniciales 
o cuando el paracaidista está en reposo (𝑣 = 0 en 𝑡 = 0). De esta forma se obtiene la solución de la 
ecuación (1.4): 
 
 𝑣(𝑡) =
𝑔𝑚
𝑐
[1 − 𝑒−(𝑐/𝑚)𝑡]. (1.5) 
 
La ecuación (1.5) es un ejemplo de la forma general de la ecuación (1.1), pues 𝑣(𝑡) es la variable 
dependiente, 𝑡 la variable independiente, 𝑐 y 𝑚 son los parámetros y 𝑔 es la función de fuerza. 
 
A la ecuación (1.5) se le conoce como solución analítica o exacta, porque satisface con exactitud la 
ecuación diferencial original. Hay muchos modelos matemáticos que no pueden resolverse con exactitud, 
pues la única alternativa consiste en desarrollar una solución numérica que se aproxime a la solución exacta. 
 
Los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático para lograr 
resolverlo mediante operaciones aritméticas [1]. Para el caso de la derivada 𝑑𝑣/𝑑𝑡, esta se puede aproximar 
de la forma siguiente: 
 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
≅
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣(𝑡𝑖+1) − 𝑣(𝑡𝑖)
𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖
. (1.6) 
 
Donde ∆𝑣 y ∆𝑡 son diferencias de la velocidad y del tiempo, respectivamente, calculadas sobre 
intervalos finitos. Las cantidades 𝑣(𝑡𝑖) y 𝑣(𝑡𝑖+1) representan las velocidades en el tiempo inicial 𝑡𝑖 y algún 
tiempo más tarde 𝑡𝑖+1, respectivamente. A la ecuación (1.6) se le denomina una aproximación en diferencia 
finita dividida en el tiempo 𝑡𝑖. Ahora si se sustituye la ecuación (1.6) en la ecuación (1.4), se obtiene: 
 
 
𝑣(𝑡𝑖+1) − 𝑣(𝑡𝑖)
𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖
= 𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣(𝑡𝑖). (1.7) 
 
Despejando 𝑣(𝑡𝑖+1), 
 
 𝑣(𝑡𝑖+1) = 𝑣(𝑡𝑖) + [𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣(𝑡𝑖)] (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖). (1.8) 
 
 
Es notorio en la ecuación (1.8) que el término entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuación 
diferencial [ecuación (1.4)]. Es decir, este término nos da una forma para calcular la razón de cambio, 
derivada o la pendiente de 𝑣. Entonces, se puede decir que la ecuación (1.8), se puede utilizar para 
determinar algebraicamente la velocidad en 𝑡𝑖+1, usando la derivada de 𝑣 y los valores anteriores de 𝑣 y 𝑡. 
 
Por lo tanto, si se da el valor de la velocidad en 𝑡𝑖, se puede calcular con facilidad el nuevo valor de 
la velocidad en 𝑡𝑖+1, lo cual sirve para calcular la velocidad en 𝑡𝑖+2 y así sucesivamente para cualquier 
tiempo posterior. Esta aproximación se conoce como el método de Euler. 
 
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Ejemplo 1.1. Un paracaidista con una masa de 70 kg salta de un globo aerostático fijo. Aplique la ecuación 
(1.5) antes que se abra el paracaídas. Considere que el coeficiente de resistencia 𝑐 = 14 kg/s y la 
aceleración de la gravedad 𝑔 = 10 m/s2. 
 
Solución. 
 
Sustituyendo los valores en la ecuación (1.5), se obtiene: 
 
𝑣(𝑡) =
(10)(70)
14
[1 − 𝑒−(14/70)𝑡] = 50(1 − 𝑒−0.2𝑡). 
 
Mediante esta última ecuación sepuede calcular la velocidad a diferentes tiempos y así construir la 
siguiente gráfica. 
 
Figura 1.1. Representación gráfica de la ecuación 𝑣(𝑡) = 50(1 − 𝑒−0.2𝑡), en el ejemplo 1.1. 
 
 
 
Ejemplo 1.2. Solucione el problema del ejemplo 1.1, haciendo uso de la ecuación (1.8), considere un 
tamaño de paso igual a 2 s. 
 
Solución. 
 
Como el tamaño de paso es igual a 2 s, entonces 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 = 2. 
 
Haciendo uso de la ecuación (1.8): 
 
𝑣(𝑡𝑖+1) = 𝑣(𝑡𝑖) + (2) [10 −
14
70
𝑣(𝑡𝑖)] = 𝑣(𝑡𝑖) + (2)[10 − 0.2𝑣(𝑡𝑖)] = 20 + 0.6𝑣(𝑡𝑖). 
 
𝑡 𝑣(𝑡) 
s m/s 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 
𝑣(𝑡)(m/s) 
𝑡(s) 
Solución analítica 
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Figura 1.2. Representación gráfica de la ecuación 𝑣(𝑡𝑖+1) = 20 + 0.6𝑣(𝑡𝑖), en el ejemplo 1.2. 
 
 
Figura 1.3. Comparación de soluciones. 
 
Como se puede ver en la figura 1.3, el método numérico se aproxima bastante a la solución analítica. 
Pero, hay algunas diferencias entre los dos resultados, debido a que en el método numérico, se emplean 
segmentos de rectas para aproximar una función que es una curva continua. Para reducir estas diferencias, 
es recomendable usar un tamaño de paso menor. 
𝑡 𝑣(𝑡) 
s m/s 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 
𝑣(𝑡)(m/s) 
𝑡(s) 
Solución numérica aproximada 
 
 
𝑣(𝑡) (𝑚/𝑠) 
𝑡 (𝑠) 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
Grupo 1 
 
1. La ley de Newton del enfriamiento establece que la temperatura de un cuerpo cambia con una tasa que 
es proporcional a la diferencia de su temperatura y la del medio que lo rodea (temperatura ambiente) 
 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎). 
 
Donde 𝑇 es la temperatura del cuerpo en °C, 𝑡 el tiempo en min, 𝑘 la constante de proporcionalidad en 
min−1 y 𝑇𝑎 la temperatura ambiente en °C. Suponga que una tasa de café tiene originalmente una 
temperatura de 68 °C. Emplee el método de Euler para calcular la temperatura desde 𝑡 = 0 hasta 10 min, 
usando un tamaño de paso de 1 min, si 𝑇𝑎 = 21 °C y 𝑘 = 0.017min
−1. 
 
 
2. Calcule y grafique la velocidad de un paracaidista en caída libre con el empleo del método de Euler para 
el caso en que 𝑚 = 80 kg y 𝑐 = 10 kg/s. Lleve a cabo el cálculo desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 20 s con un 
tamaño de paso de 1 s. Use una condición inicial en que el paracaidista tiene una velocidad hacia arriba 
de 20 m/s en 𝑡 = 0 y la aceleración de la gravedad 𝑔 = 10 m/s2. 
 
3. La cantidad de un contaminante radiactivo distribuido uniformemente que se encuentra contenido en un 
reactor cerrado, se mide por su concentración 𝐶 (becquerel/litro o Bq/L). El contaminante disminuye 
con una tasa de decaimiento proporcional a su concentración, es decir: 
 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= −𝑘𝐶. 
 
Donde 𝑘 es una constante con unidades de día−1. 
 
Use el método de Euler para resolver esta ecuación desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = día , con 𝑘 = 0.2 día−1. 
Emplee un tamaño de paso de ∆𝑡 = 0.1. La concentración en 𝑡 = 0 es de 10 Bq/L. 
 
 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] S. C. Chapra y R. P Canale, “Métodos numéricos para ingenieros”, 5th ed., México: McGraw-Hill 
Interamericana Editores, S.A. de C.V., 2007, pp. 11-18, 23-25. 
 
[2] H. D. Young y R. A. Freedman, “Física universitaria (volumen 1)”, 12th ed., México: Pearson 
Educación, 2009, pp. 115-117.