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Apuntes de Algebra III
Eugenio Miranda Palacios
Curso 2012-2013
2
Índice general
I Prerrequisitos 7
1. Polinomios simétricos, resultante y discriminante 9
1.1. Polinomios simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Polinomios alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. La resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. El discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Métodos de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1. Cálculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2. Método modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.3. Por el algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . 22
1.5.4. Determinante de Euler-Sylvester-Cayley . . . . 22
1.5.5. Determinante de Bezout . . . . . . . . . . . . . 24
2. Series de grupos y grupos solubles 29
2.1. Series de composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. El programa de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Grupos solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II Extensiones de cuerpos 39
3. Extensiones de cuerpos 41
3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2. Elementos algebraicos y extensiones algebraicas . . . 43
3
4 ÍNDICE GENERAL
4. Cuerpos de descomposición 47
4.1. Cuerpo de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Clausura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Extensiones normales y separables 57
5.1. Elementos conjugados y extensiones conjugadas. . . 58
5.2. Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3. Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4. Derivada y raíces múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III Teoría de Galois finita 63
6. Teoría de Galois finita 65
6.1. Grupos de automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2. Correspondencia de Galois, caso finito . . . . . . . . . 69
6.3. Ejemplos e ilustraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4. Propiedades de las extensiones de Galois . . . . . . . 73
IV Aplicaciones 75
7. Cuerpos finitos 77
7.1. Estructura de los cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . 78
7.2. Factorización de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3. Ilustraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8. Extensiones ciclotómicas 85
8.1. Raíces de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.2. Polinomios ciclotómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.3. Extensiones ciclotómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.4. Grupos de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9. Construcciones con regla y compás 99
9.1. Los Elementos de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.2. Puntos construibles y números construibles . . . . . . 102
9.3. Caracterización de los números construibles . . . . . 103
9.4. Aplicación a los problemas clásicos . . . . . . . . . . . 105
9.5. Polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.6. Construcciones explícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.7. Construcciones con cónicas . . . . . . . . . . . . . . . 109
ÍNDICE GENERAL 5
V Teoría de ecuaciones 111
10.Extensiones cíclicas y radicales 113
10.1.Extensiones cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.2.Extensiones solubles y radicales . . . . . . . . . . . . . 115
11.Polinomios de grado 3 y 4 119
11.1.El grupo de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.2.Los teoremas clasificatorios . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.3.Polinomios de grado pequeño . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3.1.Polinomios de grado 2 . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3.2.Polinomios de grado 3 . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3.3.Polinomios de grado 4 . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.4.Cómo resolver una ecuación soluble . . . . . . . . . . 128
11.4.1.Polinomios cúbicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.4.2.Polinomios cuárticos . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.4.3.Polinomios ciclotómicos . . . . . . . . . . . . . . 134
12.Polinomios de grado 5 143
12.1.Cálculo del grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . . 144
12.2.Resolviendo quínticas solubles . . . . . . . . . . . . . . 145
6 ÍNDICE GENERAL
Parte I
Prerrequisitos
7
Capítulo 1
Polinomios simétricos,
resultante y discriminante
9
10CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE
1.1. Polinomios simétricos
Sea A un anillo conmutativo y sean X1, . . . , Xn indeterminadas.
Sea Sn el grupo simétrico sobre {1, . . . , n}. Para toda permutación
σ ∈ Sn definimos
σ · f(X1, . . . , Xn) = f(Xσ(1), . . . , Xσ(n))
Por ejemplo, sea f = X21X2−X3 y sean ρ = (1 3), σ = (1 2 3). Entonces
ρ · f = X23X2 −X1 y σ · f = X22X3 −X1.
Definición 1.1.1. Un polinomio f ∈ A[X1, . . . , Xn] se llama simétrico
si para toda permutación σ ∈ Sn se verifica σ · f = f .
Lema 1.1.2. El conjunto de polinomios simétricos es un subanillo de
A[X1, . . . , Xn] que contiene al anillo A.
Sea Y otra indeterminada. Formamos el polinomio
F (Y,X1, . . . , Xn) = (Y −X1) . . . (Y −Xn)
= Y n − s1Y n−1 + · · ·+ (−1)nsn
con coeficientes en A[X1, . . . , Xn]. Los polinomios coeficientes s1 =
X1+· · ·+Xn, . . . , sn = X1 . . . Xn son polinomios simétricos, y se llaman
polinomios simétricos elementales. Obsérvese que el polinomio si es
homogéneo de grado i.
Definición 1.1.3. Sea aeXe11 . . . Xenn un monomio no nulo. Se llama
peso del monomio al entero e1 + 2e2 + · · ·+ nen.
Sea g ∈ A[X1, . . . , Xn]. El peso de g es el mayor de los pesos de
los monomios no nulos de g.
Teorema 1.1.4 (Teorema fundamental de los polinomios simétri-
cos). Sea A un dominio de integridad y sea f ∈ A[X1, . . . , Xn] un
polinomio simétrico de grado d. Entonces existe un único polinomio
g ∈ A[X1, . . . , Xn] de peso menor o igual a d tal que
f(X1, . . . , Xn) = g(s1, . . . , sn)
Demostración. Inducción sobre n y d.
Si n = 1, sólo hay una indeterminada, así que s1 = X1 y g = f
verifica las condiciones (en este caso el peso y el grado de f son
iguales).
1.1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS 11
Sea ahora n > 1 y supongamos el teorema cierto para n − 1
indeterminadas. Si d = 0, el polinomio f es constante. Tomando
g = f se verifica el teorema (en este caso, el grado y el peso de f
son ambos iguales a cero).
Finalmente sean n > 1, d > 0 y suponemos el teorema cierto para
todo polinomio simétrico en n indeterminadas de grado menor que
d. En el anterior polinomio F sustituimos Xn = 0. Obtenemos
F (Y,X1, . . . , Xn−1, 0) = (Y −X1) . . . (Y −Xn−1)Y
= Y n − (s1)0Y n−1 + · · ·+ (−1)n−1(sn−1)0Y
donde (si)0 se obtiene sustituyendo Xn = 0 en si.
Es inmediato que (s1)0, . . . , (sn−1)0 son precisamente los polino-
mios simétricos elementales en X1, . . . , Xn−1.
El polinomio f(X1, . . . , Xn−1, 0) ∈ A[X1, . . . , Xn−1] es simétrico. Por
la hipótesis de inducción sobre n, existe un polinomio g1 ∈ A[X1, . . . , Xn−1]
de peso menor o igual a d tal que f(X1, . . . , Xn−1, 0) = g1((s1)0, . . . , (sn−1)0).
El polinomio
f1(X1, . . . , Xn) = f(X1, . . . , Xn)− g1(s1, . . . , sn−1)
es simétrico y tiene grado menor o igual a d. Además f1(X1, . . . , Xn−1, 0) =
0, luego f1 es divisible por Xn. Como es simétrico, también es divi-
sible por X1, . . . , Xn−1. Como estos factores son primos relativos, su
producto divide a f1. Luego f1 = snf2(X1, . . . , Xn) con un polinomio
f2 ∈ A[X1, . . . , Xn] que es simétrico y de grado estrictamente menor
que d. Por la inducción sobre d, existe un g2 ∈ A[X1, . . . , Xn] de peso
menor o igual a d− n tal que
f2(X1, . . . , Xn) = g2(s1, . . . , sn)
Sustituyendo obtenemos
f(X1, . . . , Xn) = g1(s1, . . . , sn−1) + sng2(s1, . . . , sn)
y cada término del miembro de la derecha tiene un peso menor o
igual a d.
La unicidad sededuce del próximo teorema.
Teorema 1.1.5. Sea g ∈ A[X1, . . . , Xn]. Entonces g(s1, . . . , sn) = 0 si y
sólo si g(X1, . . . , Xn) = 0.
12CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE
Demostración. Inducción sobre n. Si n = 1 el resultado es trivial.
Sea ahora n > 1 y suponemos el resultado cierto para n − 1
indeterminadas. Sea g ∈ A[X1, . . . , Xn] no nulo de grado mínimo tal
que g(s1, . . . , sn) = 0. Escribimos g como un polinomio en Xn con
coeficientes en X1, . . . , Xn−1:
g = g0 + · · ·+ gd ·Xdn
Sustituyendo Xi por si en el polinomio g tenemos
0 = g0(s1, . . . , sn−1) + . . . gd(s1 . . . , sn−1)s
d
n
Sustituyendo ahora Xn = 0 obtenemos
0 = g0((s1)0, . . . , (sn−1)0)
Pero los (si)0 son los polinomios simétricos elementales en X1, . . . , Xn−1.
Por inducción g0(X1, . . . , Xn−1) = 0.
Ya que g0 = 0 podemos escribir g = f · Xn con f ∈ A[X1, . . . , Xn]
y por tanto f(s1, . . . , sn)sn = 0, luego f(s1, . . . , sn) = 0 y f es de grado
estrictamente menor que g, lo cual es imposible.
Ejemplo 1.1.6. Sea f = (X1 + X2)(X1 + X3)(X2 + X3) ∈ Z[X1, , X2, X3].
Es fácil comprobar que f es un polinomio simétrico homogéneo
de grado 3. Queremos encontrar un polinomio g ∈ Z[X1, X2, X3] de
peso menor o igual a 3 tal que f = g(s1, s2, s3). Para ello aplicamos
la construcción de la demostración:
1. f(X1, 0, 0) = 0, luego g1 = 0.
2. f(X1, X2, 0) = (X1 +X2)X1X2. El resto del proceso de la demos-
tración es trivial: f(X1, X2, 0) = g((s1)0, (s2)0) = (s1)0(s2)0.
3. La demostración construye ahora el polinomio
f1(X1, X2, X3) = f(X1, X2, X3)− g(s1, s2)
= (X1 +X2)(X1 +X3)(X2 +X3)
− (X1 +X2 +X3)(X1X2 +X1X3 +X2X3)
= (X21X2 +X
2
1X3 +X1X
2
2 +X1X
3
3 +X
2
2X3 +X2X
2
3 + 2X1X2X3)
− (X21X2 +X21X3 +X1X22 +X1X23 +X22X3 +X2X23 + 3X1X2X3)
= −X1X2X3
luego f(X1, X2, X3) = f1(X1, X2, X3) +X1X2X3 = s1s2 − s3.
1.1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS 13
Para escribir los polinomios simétricos se ha desarrollado una
notación especial: Llamamos
∑
X i11 . . . X
in
n a la suma de todos los
monomios distintos que se obtienen al aplicar todas las permuta-
ciones de Sn al monomio X i11 . . . X
in
n . Por ejemplo si n = 3,∑
X31 = X
3
1 +X
3
2 +X
3
3∑
X21X2 = X
2
1X2 +X
2
1X3 +X
2
2X1 +X
2
2X3 +X
2
3X2 +X
2
3X1
. Un polinomio simétrico general es una combinación lineal de tér-
minos de la forma
∑
X i11 . . . X
in
n con coeficientes en A.
Ejemplo 1.1.7. Sea f =
∑
X21X2 con n = 3. Calculamos f(X1, X2, 0) =
X21X2 +X
2
2X1 = X1X2(X1 +X2) = (s2)0(s1)0.
Ahora f1 = f − s2s1 =
∑
X21X2 − (
∑
X1X2)(
∑
X1) = −3X1X2X3.
Luego
∑
X21X3 = s1s2 − 3s3.
Ejemplo 1.1.8. Seguimos tomando n = 3. Sea f =
∑
X31 .
Entonces f(X1, 0, 0) = X31 = (s1)
3
00.
El siguiente paso calcula f(X1, X2, 0)− (s1)30 = −3(s1)0(s2)0.
Luego f(X1, X2, 0) = (s1)30 − 3(s1)0(s2)0.
Finalmente calculamos f1(X1, X2, X3) = f−(s31−3s1s2) = 3X1X2X3,
así que f = s31 − 3s1s2 + 3s3.
Ejemplo 1.1.9. Sea ∆ =
∏
i<j(Xi −Xj). El polinomio d = ∆2 es simé-
trico. Vamos a expresarlo en función de los polinomios simétricos
elementales para n = 3.
1. En primer lugar d(X1, 0, 0) = ((X1 − 0)((X1 − 0)(0− 0))2 = 0.
2. Ahora d(X1, X2, 0) = ((X1 − X2)X1X2)2. Luego d(X1, X2) = s22 · f1
con f1(X1, X2) = (X1 −X2)2.
f1(X1, 0) = X
2
1 . Entonces
f1(X1, X2)− (s1)20 = (X1 −X2)2 − (X1 +X2)2 = −4X1X2
y por tanto f1 = (s1)20 − 4(s2)0.
3. Finalmente tenemos
g1(X1, X2, X3) = d(X1, X2, X3)− s22(s21 − 4s2)
= s3 · f2
con f2 = 6
∑
X21X2 − 4
∑
X31 + 3X1X2X3. Por los dos ejemplos
anteriores,
d = s21s
2
2 − 4s32 + s3(6(s1s2 − 3s3)− 4(s31 − 3s1s2 + 3s3) + 3s3)
= s21s
2
2 − 4s32 − 4s31s3 + 18s1s2s3 − 27s23
14CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE
Existen otros tres métodos para expresar un polinomio simé-
trico en función de los simétricos elementales. Quizá el mas útil
sea el método de coeficientes indeterminados: Descomponemos el
polinomio simétrico dado en suma de polinomios simétricos homo-
géneos y expresamos cada uno de estos en función de los polino-
mios simétricos elementales. Para ello, expresamos cada uno de los
polinomios homogéneos de grado d como suma con coeficientes in-
determinados de todos los k monomios posibles en los si de peso d.
Sustituimos las indeterminadas Xi por k conjuntos de valores con-
cretos, lo que nos establece un sistema lineal de k ecuaciones en
los coeficientes, sistema que resolvemos por los métodos de álgebra
lineal.
Ejemplo 1.1.10. Sea f = (X1 +X2−X3−X4)(X1−X2 +X3−X4)(X1−
X2−X3 +X4). Es fácil comprobar que f es simétrico homogéneo de
grado 3. La lista de todos los monomios posibles de peso 3 es la
siguiente: s31, s1s2, s3. Así que expresamos
f = as31 + bs1s2 + cs3
Ahora consideramos tres conjuntos de valores para los Xi de ma-
nera que nos quede un sistema determinado de tres ecuaciones
lineales en a, b, c. Por ejemplo los valores
X1 X2 X3 X4 s1 s2 s3
1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 0 2 1 0
1 1 1 0 3 3 1
nos dan el sistema
f(1, 0, 0, 0) = 1 = a
f(1, 1, 0, 0) = 0 = 8a+ 2b
f(1, 1, 1, 0) = −1 = 27a+ 9b+ c
que tiene la solución a = 1, b = −4, c = 8. Luego
f = s31 − 4s1s2 + 8s3
Ejercicio 1.1.1. Sea n ≥ 5. Expresar el polinomio f =
∑
x21x
2
2x3
como un polinomio en los simétricos elementales.
1.2. POLINOMIOS ALTERNADOS 15
1.2. Polinomios alternados
Otro tipo de polinomios interesantes son los definidos a conti-
nuación:
Definición 1.2.1. Un polinomio f ∈ A[X1, . . . , Xn] se llama alterna-
do si para toda permutación σ ∈ sn se verifica σ · f = sgn(σ)f .
El polinomio alternado no nulo mas sencillo es el producto de
todas las diferencias
∆ =
∏
i<j
(Xi −Xj)
Cada par ordenado de índices i < j aparece exactamente una vez,
así que en total hay n(n− 1)/2 factores lineales y ∆ es un polinomio
homogéneo de grado n(n−1)/2. Cuando aplicamos una trasposición
(i j) a ∆, los factores se permutan entre sí, excepto el factor Xi−Xj
que se transforma en Xj −Xi, luego ∆ cambia de signo.
Teorema 1.2.2. Sea A un dominio de integridad de característica
distinta de 2. Todo polinomio f alternado de A[X1, . . . , Xn] es de la
forma f = ∆g, donde g es simétrico.
Demostración. Sustituyendo X2 = X1 obtenemos
f(X1, X1, . . . , Xn) = −f(X1, X1, . . . , Xn)
y como car(A) 6= 2, necesariamente f(X1, X1, . . . , Xn) = 0, luego (X1−
X2) divide a f . De la misma forma Xi − Xj divide a f para todo
par i < j. Como estos polinomios son primos relativos, su producto
divide a f así que existe un g ∈ A[X1, . . . , Xn] con f = ∆g. Claramente
g = f/∆ es un polinomio simétrico.
Corolario 1.2.3. Sea f ∈ A[X1, . . . , Xn] un polinomio alternado. En-
tonces gr(f) ≥ n(n− 1)/2.
1.3. La resultante
1.3.1. Introducción
El problema fundamental de la teoría de eliminación es el si-
guiente: Dados dos polinomios con coeficientes en un cuerpo F :
16CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE
f = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a0, an 6= 0
g = bmx
m + bm−1x
m−1 + . . .+ b0, bm 6= 0
(1.3.1)
determinar si tienen una raíz común en una extensión de F
y en caso afirmativo hallarla. Para responder a esta cuestión, se
busca una expresión que se anule sólo cuando f y g tienen una
raíz común y que además sea calculable como función racional de
los coeficientes de f y g. La más sencilla de tales expresiones es la
resultante que vamos a definir y estudiar.
1.3.2. Definición
Sea K un cuerpo de descomposición para fg, así que en K[X]
tenemos:
f = an(X − α1) . . . (X − αn) = an
∏n
i=1(X − αi)
g = bm(X − β1) . . . (X − βm) = bm
∏m
j=1(X − βj)
(1.3.2)
La resultante de f y g viene definida por
R(f, g) = amn b
n
m
n∏
i=1
m∏
j=1
(αi − βj) (1.3.3)
1.3.3. Propiedades
1. R(f, g) = 0 ⇔ ∃i, j tales que αi = βj (i.e., sii f y g tienen una
raíz en común)
2. R(g, f) = (−1)nmR(f, g)
3. R(f, g) = amn
∏n
i=1 g(αi) = (−1)nmbnm
∏m
j=1 f(βj)
4. R(fg, h) = R(f, h)R(g, h), R(f, gh) = R(f, g)R(f, h)
5. Si m = 0 (i.e. si g = b es un escalar), R(f, b) = bn
6. R(Xk, f) = ak0; R(f,X
k) = (−1)nkak0
7. Si g = fq + r, R(f, g) = agr(g)−gr(r)n R(f, r)
Demostración: R(f, g) = amn
∏n
i=1 g(αi) = a
m
n
∏n
i=1(f(αi)q(αi)+r(αi)) =
ann
∏n
i=1 r(αi) =a
m−gr(r)
n R(f, r)
8. R(Xkf, g) = bk0R(f, g); R(f,X
kg) = (−1)nkak0R(f, g)
1.4. EL DISCRIMINANTE 17
9. R(f, g) es un polinomio simétrico de grado m en las αi
10. R(f, g) es un polinomio simétrico de grado n en las βj
11. R(f, g) es un polinomio homogéneo de grado m en las ai
Demostración: Por la propiedad 9, R(f, g) es expresable co-
mo un polinomio en los polinomios simétricos elementales
σi = (−1)i aia0 . Por el factor a
m
0 todos los denominadores se sim-
plifican.
12. R(f, g) es un polinomio homogéneo de grado n en las bj
13. El término amn b
n
0 tiene coeficiente +1 en R(f, g)
Demostración: Dicho término sólo aparece al desarrollar amn b
n
m
∏n
i=1(−βn) =
amn b
n
0 .
1.4. El discriminante
El caso particular más importante de la resultante es cuando
g = f ′ (la derivada formal). En ese caso, R(f, f ′) = 0⇔ f tiene raíces
múltiples. Explícitamente, sean
f = anX
n + an−1X
n−1 + . . .+ a1X + a0 = an
n∏
i=1
(X − αi)
f ′ = nanX
n−1 + (n− 1)an−1Xn−2 + . . .+ a1 = an
n∑
j=1
∏
i 6=j
(X − αi)
f ′(αj) = an
∏
i 6=j
(αj − αi)
R(f, f ′) = an−1n
n∏
j=1
f ′(αj) = a
2n−1
n
n∏
j=1
∏
i 6=j
(αj − αi) (1.4.1)
1.4.1. Definición
Llamamos discriminante de f a D(f) = a2n−2n
∏
i<j(αi − αj)2. Com-
parando con (1.4.1) obtenemos:
R(f, f ′) = (−1)
n(n−1)
2 anD(f) (1.4.2)
18CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE
1.4.2. Propiedades
1. f1, f2 ∈ F [X]⇒ D(f1f2) = D(f1)D(f2)R(f1, f2)2
2. f1, . . . , fr ∈ F [X]⇒ D(f1 . . . fr) = D(f1) . . . D(fr)R2 con R ∈ F
1.5. Métodos de cálculo
En esta sección nos planteamos encontrar una expresión ex-
plícita (o un método de cálculo) para R(f, g) y D(f) en función de
los coeficientes de f y g. Para ello existen diversos métodos que
pasamos a describir.
1.5.1. Cálculo directo
Las propiedades halladas para la resultante permiten calcular
directamente el discriminante de polinomios particulares. Veamos
algunos ejemplos:
1. Ejemplo: f = Xn − 1 =
∏n
i=1(X − αi), f ′ = nXn−1
D(f) = (−1)
n(n−1)
2 R(f, f ′) = (−1)
n(n−1)
2
n∏
i=1
f ′(αi) = (−1)
n(n−1)
2
n∏
i=1
nαn−1i =
(−1)
n(n−1)
2 nn(
n∏
i=1
(αi))
n−1 = (−1)
n(n−1)
2
+n(n−1)nn = (−1)
n(n−1)
2 nn
En particular si q es impar, f = Xq − 1, D(f) = (−1) q−12 qq
2. Ejemplo: f = Xp−1 + Xp−2 + . . . + X + 1 p primo impar. Sea
g = X − 1. Entonces fg = Xp − 1⇒ D(fg) = (−1) p−12 pp
g′ = 1⇒ D(g) = R(g, g′) = 1 R(f, g) = f(1) = p.
Luego D(fg) = D(f)D(g)R(f, g)2 ⇒ D(f) = (−1) p−12 pp−2
3. Ejemplo:
f = X3 + aX + b = (X − α1)(X − α2)(X − α3)
f ′ = 3X2 + a D(f) = −R(f, f ′)
R(f, f ′) =
3∏
i=1
(3α2i + a) =
3∏
i=1
f ′(αi)
1.5. MÉTODOS DE CÁLCULO 19
Pero f ′(αi) = 3α2i + a =
3α3i+aαi
αi
= −2aαi−3b
αi
Llamamos βi = 2aαi + 3b ⇒ αi = βi−3b2a así que βi es raíz de
(X−3b
2a
)3 + aX−3b
2a
+ b ⇒ β1β2β3 = 8a3(27b
3
8a3
+ 3b
2
− b) = 27b3 + 4a3b
R(f, f ′) =
3∏
i=1
f ′(αi) = −
∏3
i=1(2aαi + 3b)∏3
i=1 αi
= −27b
3 + 4a3b
−b
= 27b2+4a3
y por tanto D(f) = −(4a3 + 27b2)
4. Ejemplo:
f = X3 + aX2 + b = (X − α1)(X − α2)(X − α3)
f ′ = 3X2 + 2aX = X(3X + 2a) f ′(αi) = αi(3αi + 2a)
Sea βi = 3αi + 2a ⇒ αi = βi−2a3 y los βi son raíces de (
X−2a
3
)3 +
a(X−2a
3
)2 + b ⇒ β1β2β3 = 33((2a3 )
3 − a(2a
3
)2 − b) = −(4a3 + 27b)
Luego R(f, f ′) =
∏3
i=1 f
′(αi) =
∏3
i=1 αi
∏3
i=1 βi = (−b)(−(4a3 + 27b))
y D(f) = −R(f, f ′) = −b(4a3 + 27b)
5. Ejemplo:
f = X5 + aX + b =
5∏
i=1
(X − αi) f ′ = 5X4 + a
f ′(αi) = 5α
4
i + a =
5α5i + aαi
αi
=
−4aαi − 5b
αi
Llamamos βi = 4aαi + 5b ⇒ αi = βi−5b4a así que βi es raíz de
(X−5b
4a
)5 + aX−5b
4a
+ b ⇒
∏5
i=1 βi = (4a)
5(( 5b
4a
)5 + 5b
4
− b) = (5b)5 + 44a5b
D(f) = R(f, f ′) =
5∏
i=1
f ′(αi) = −
∏5
i=1 βi∏5
i=1 αi
= 55b4 + 44a5
6. Ejemplo:
f = X5 + aX4 + b =
5∏
i=1
(X − αi)
f ′ = 5X4 + 4aX3 = X3(5X + 4a) f ′(αi) = α
3
i (5αi + 4a)
20CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE
Sea βi = 5αi + 4a ⇒ αi = βi−4a5 y los βi son raíces de (
X−4a
5
)5 +
a(X−4a
5
)4 + b ⇒
∏5
i=1 βi = 5
5((4a
5
)5 − a(4a
5
)4 − b) = −(44a5 + 55b)
Luego D(f) = R(f, f ′) =
∏5
i=1 f
′(αi) =
∏5
i=1 α
3
i
∏5
i=1 βi = b
3(44a5 +
55b)
7. Ejemplo:
f = Xn + aX + b =
n∏
i=1
(X − αi) f ′ = nXn−1 + a
f ′(αi) = nα
n−1
i + a =
nαni + aαi
αi
=
−(n− 1)aαi − nb
αi
Llamamos βi = (n− 1)aαi + nb⇒ αi = βi−nb(n−1)a así que βi es raíz de
( X−nb
(n−1)a)
n + a X−nb
(n−1)a + b ⇒
∏n
i=1 βi = (−1)n((n− 1)a)n(((−1)n
nb
(n−1)a)
n−
nb
n−1 + b) = (nb)
n + (−1)n(n− 1)n−1an(−b)
R(f, f ′) =
n∏
i=1
f ′(αi) = (−1)n
∏n
i=1 βi∏n
i=1 αi
= nnbn−1 + (−1)n−1(n− 1)n−1an
D(f) = (−1)
n(n−1)
2 R(f, f ′) = (−1)
n(n−1)
2 (nnbn−1 +(−1)n−1(n−1)n−1an)
8. Ejemplo:
f = Xn + aXn−1 + b =
n∏
i=1
(X − αi) f ′ = nXn−1 + (n− 1)aXn−2 =
Xn−2(nX + (n− 1)a) f ′(αi) = αn−2i (nαi + (n− 1)a)
Sea βi = nαi + (n − 1)a ⇒ αi = βi−(n−1)an y los βi son raíces de
(X−(n−1)a
n
)n + a(X−(n−1)a
n
)n−1 + b ⇒
∏n
i=1 βi = (−1)n(nn((−
(n−1)a
n
)n +
a(− (n−1)a
n
)n−1 − b)) = −(n− 1)n−1an + (−1)nnnb
Luego R(f, f ′) =
∏n
i=1 f
′(αi) =
∏n
i=1 α
n−2
i
∏n
i=1 βi = (−b)n−2(−(n −
1)n−1an + (−n)nb)
y D(f) = (−1)
n(n−1)
2 R(f, f ′) = (−1)
(n−1)(n+2)
2 bn−2((n−1)n−1an+(−1)n−1nnb)
1.5.2. Método modular
A partir de la propiedad 7 de la resultante puede desarrollar-
se un método muy económico para el cálculo de la resultante de
algunos pares especiales de polinomios: En primer lugar, sean
f = anX
n + . . .+ a0 g = X − b
1.5. MÉTODOS DE CÁLCULO 21
Diviendo f entre g obtenemos:
f = gf1 + f(b)
Por las propiedades de la resultante obtenemos:
R(f, g) = (−1)nR(g, f) = (−1)nR(g, f(b)) = (−1)nf(b) (1.5.1)
Sean ahora
f = anX
n + . . .+ a0 g = bmX
m + . . .+ b0
y sean p, qi, r, sj tales que
pg
k∏
i=1
(X − qi) ≡ r
l∏
j=1
(X − sj) (mód f) (1.5.2)
Entonces
R(f, p)R(f, g)R(f,
k∏
i=1
(X − qi)) = am+k−ln R(f, r)R(f,
l∏
j=1
(X − sj)) (1.5.3)
Pero por (1.5.1)
R(f, p) = pn R(f, r) = rn
R(f,
k∏
i=1
(X − qi)) =
k∏
i=1
R(f,X − qi)) =
k∏
i=1
(−1)nf(qi)
R(f,
l∏
j=1
(X − si)) =
l∏
j=1
R(f,X − si)) =
l∏
j=1
(−1)nf(si)
Despejando en (1.5.3),
R(f, g) = (−1)n(k+l)am+k−ln
rn
pn
∏l
j=1 f(si)∏k
i=1 f(qi)
Ejemplo: Sean
f = X5 −X2 + 15 g = f ′ = 5X4 − 2X
Tomamos k = 1, l = 2, p1 = 1, p0 = 0 y calculamos:
Xg = 5X5 − 2X2 = 5f + 3X2 − 75 ≡ 3(X − 5)(X + 5) (mód f)
D(f) = R(f, f ′) = (−1)5(1+2)3
5f(5)f(−5)
f(0)
=
− 35 (5
5 − 52 + 15)((−5)5 − (−5)2 + 15)
15
= −3510
2 − 510
15
= 345(58 − 4)
22CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE
1.5.3. Por el algoritmo de Euclides
Dividiendo g por f obtenemos g = fq+ r con gr(r) < gr(f ). Por las
propiedades 7 y 2,
R(f, g) = am−gr(r)n R(f, r) = (−1)mgr(r)am−gr(r)n R(r, f)
Por inducción sobre el grado llegamos a gr(r) = 0 y aplicamos la
propiedad 5.
1. Ejemplo:
f = aX + b
f ′ = a
R(f, f ′) = a
D(f) = 1
2. Ejemplo:
f = aX2 + bX + c
f ′ = 2aX + b
f = (1
2
X + b
4a
)f ′ + (c− b2
4a
)
R(f, f ′) = R(f ′, f) = (2a)2R(f ′, c− b2
4a
) = (2a)2(c− b2
4a
) = a(4ac− b2)
D(f) = (−1) 2−12 1
a
R(f, f ′) = b2 − 4ac
3. Ejemplo:
f = X3 + aX + b
f ′ = 3X2 + a
f = 1
2
Xf ′ + r r = 2a
3
X + b
f ′ = ( 9
2a
X − 27b
4a2
)r + r1 r1 =
27b2+4a3
4a2
R(f, f ′) = R(f ′, f) = 32R(f ′, r) = 32R(r, f ′) = 32(2a
3
)2R(r, r1) = 4a
2 27b2+4a3
4a2
D(f) = −R(f, f ′) = −(4a3 + 27b2)
1.5.4. Determinante de Euler-Sylvester-Cayley
Multiplicando f sucesivamente por 1, X, . . . , Xm−1 y g por 1, X,Xn−1
e igualando a cero nos queda el siguiente sistema de (n+m) ecua-
1.5. MÉTODOS DE CÁLCULO 23
ciones en las (n+m) incógnitas 1, X,X2, . . . , Xn+m−1:
Xm−1f = anX
n+m−1 + an−1X
n+m−2 + . . . + a0X
m−1 = 0
Xm−2f = anX
n+m−2 + . . . + a1X
m−1 + a0X
m−2 = 0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1f = anX
n + . . . + a0 = 0
Xn−1g = bmX
n+m−1 + bm−1X
n+m−2 + . . . + b0X
n−1 = 0
Xn−2g = bmX
n+m−2 + . . . + b1X
n−1 + b0X
n−2 = 0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1g = bmX
m + . . . + b0 = 0
Por el teorema de Rouché, este sistema tendrá solución si y sólo
si el determinante de los coeficientes es cero. Este determinante se
llama resultante de Euler-Sylvester-Cayley:C(f, g) =
an an−1 . . . a0 0 . . . 0
0 an an−1 . . . a0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 . . . an an−1 . . . a0
bm bm−1 . . . b0 0 . . . 0
0 bm bm−1 . . . b0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 . . . bm bm−1 . . . b0
Vamos a ver que C(f, g) = R(f, g): Como C(f, g) = C(an, . . . , a0, bm, . . . , b0)
y los ai y bj son polinomios simétricos en αi y βj respectivamente,
obtenemos que C(f, g) es un polinomio simétrico en αi y βj. Por otra
parte, si f y g tienen una raíz común, el anterior sistema lineal tie-
ne solución, luego ∀i, j (αi−βj) | C(f, g)⇒ R(f, g) | C(f, g). Contando
grados vemos que el cociente tiene grado cero (i.e. es una cons-
tante). Luego C(f, g) = λR(f, g). Pero el término amn b
n
m aparece con
coeficiente +1 en C(f, g) y en R(f, g)⇒ λ = 1.
1. Ejemplo: Tomando f = aX2 + bX + c, g = f ′ = 2aX + b tenemos:
R(f, g) =
a b c
2a b 0
0 2a b
= ab2 + 4a2c− 2ab2 = a(4ac− b2)
24CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE
2. Ejemplo: f = X3 + aX + b, g = 3X2 + a
R(f, g) =
1 0 a b 0
0 1 0 a b
3 0 a 0 0
0 3 0 a 0
0 0 3 0 a
= 4a3 + 27b2
1.5.5. Determinante de Bezout
La resultante de Cayley proporciona una expresión sencilla y
elegante para R(f, g). Sin embargo, el orden del determinante es
(m + n), muy alto para los cálculos prácticos. Vamos a desarrollar
otro método basado en la misma idea pero donde el determinante
que va a aparecer es de orden max(m,n). En primer lugar conside-
ramos m = n, o sea que f y g son del mismo grado. Definimos los
elementos:
cij ={
ajbi − aibj si 0 ≤ i, j ≤ n
0 en otro caso
Observese que cij = −cij y que cii = 0.
Si todos los cij son cero, existe un λ tal que g = λf . En lo que
sigue excluimos este caso. Consideremos ahora los polinomios:
hi = bif − aig i = 0, 1, . . . , n (1.5.4)
Si cij 6= 0, del sistema:
hi = bif − aig
hj = bjf − ajg
obtenemos:
f =
aj
cij
hi −
ai
cij
hj
g =
bj
cij
hi −
bi
cij
hj
luego hi, hj tienen un cero en común si y sólo si f y g tienen un
cero en común, y las raíces comunes de f y g son precisamente las
raíces comunes a todos los hi.
1.5. MÉTODOS DE CÁLCULO 25
Formemos ahora los polinomios:
g0 = hn = bnf − ang =
∑n−1
i d0iX
i
g1 = xg0 + hn−1 = (bnX + bn−1)f − (anX + an−1)g =
∑n−1
i d1iX
i
g2 = xg1 + hn−2 = (bnX
2 + bn−1X + bn−2)f − (anX2 + an−1X + an−2)g =
∑n−1
i d2iX
i
...
...
...
...
gn−1 = xgn−2 + h1 = (bnX
n−1 + . . .+ b1)f − (anXn−1 + . . .+ a1)g =
∑n−1
i dn−1iX
i
(1.5.5)
Los gi tienen un cero en común⇔ los hi tienen un cero en común
⇔ f y g tienen un cero en común. Veamos la forma general de los
coeficientes dki. Por construcción,
d0i = cni, dki = dk−1,i−1 + cn−k,i. Demostraremos por inducción
sobre k que
dki =
k∑
j=0
cn−j,i−k+j (1.5.6)
Para k = 0 es trivial. Supongamoslo cierto para k − 1. Entonces
dki = dk−1,i−1 + cn−k,i =
k−1∑
j=0
cn−j,i+j−k + cn−k,i
Las raíces comunes de f y g dan lugar a soluciones no triviales
del sistema:
d0n−1X
n−1 + . . .+ d01X + d001 = 0
d1n−1X
n−1 + . . .+ d11X + d101 = 0
...
dn−1,n−1X
n−1 + . . .+ dn−1,1X + dn−1,01 = 0
Llamamos resultante de Bezout de f y g al determinante de este
sistema:
B(f, g) =
d0n−1 . . . d00
...
...
...
dn−1,n−1 . . . dn−1,0
Como cada cij es homogéneo de grado 1 en ai y en bj, dki también es
homogéneo de grado 1 en ambos, y B(f, g) es un polinomio homo-
géneo en las ai y en las bj de grado 2n. Igual que para la resultante
de Cayley, B(f, g) es cero cuando f y g tienen una raíz en común,
luego B(f, g) = λR(f, g) y contando grados, λ ∈ F .
26CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE
Para determinar λ observamos el término annb
n
0 . En la resultante
de Cayley este término sólo aparece en el desarrollo de la diagonal
principal y por tanto tiene coeficiente +1. En B(f, g) aparece en el
producto de todos los c0n = anb0 − a0bn de la diagonal secundaria,
luego tiene coeficiente sgn(σ) siendo σ = (1 n)(2 n−1) . . . luego sgn(σ)
= (−1)
n(n−1)
2 y por tanto λ = (−1)
n(n−1)
2 , B(f, g) = (−1)
n(n−1)
2 R(f, g).
En caso de que gr(g) = m ≤ gr(f) = n, tomamos g1 = Xn−mg, for-
mamos la resultante de Bezout de f y g1 y utilizamos la propiedad
8 de R(f, g):
B(f,Xn−mg) = (−1)
n(n−1)
2 R(f,Xn−mg) = (−1)
n(n−1)
2
+n(n−m)an−m0 R(f, g)
Para calcular el discriminante de un polinomio, g = f ′, m = n− 1
y nos queda:
B(f,Xf ′) = (−1)
n(n−1)
2
+na0R(f, f
′) = (−1)na0anD(f)
así que
D(f) =
(−1)n
ana0
B(f,Xf ′)
además, en este caso los cij tienen una forma sencilla: Sean
f = anX
n + an−1X
n−1 + . . .+ a0
g = Xf ′ = nanX
n + . . .+ a1X = bnX
n + . . .+ b1
luego bi = iai, cij = (j − i)aiaj, y
dki =
k∑
j=0
cn−j,i+j−k =
k∑
j=0
(i+2j−k−n)an−jai+j−k = −
k∑
j=0
(n−i+k−2j)an−jai+j−k
y nos queda la expresión:
D(f) =
1
ana0
−d0,n−1 . . . −d0,0
... . . .
...
−dn−1,n−1 . . . −dn−1,0
1. Ejemplo: f = aX2 + bX + c
D(f) =
1
ac
ab 2ac
2ac bc
= b2 − 4ac
1.5. MÉTODOS DE CÁLCULO 27
2. Ejemplo: f = X3 + aX + b
D(f) =
1
b
0 2a 3b
2a 3b 0
3b 0 ab
= −(4a3 + 27b2)
3. Ejemplo: f = a3X3 + a2X2 + a1X + a0
D(f) =
1
a3a0
a3a2 2a3a1 3a3a0
2a3a1 3a3a0 + a2a1 2a2a0
3a3a0 2a2a0 a1a0
4. Ejemplo: f = a4X4 + a3X3 + a2X2 + a1X + a0
D(f) =
1
a4a0
a4a3 2a4a2 3a4a1 4a4a0
2a4a2 3a4a2 + a3a2 4a4a0 + 2a3a1 3a3a0
3a4a1 4a4a0 + 2a3a1 3a3a0 + a2a1 2a2a0
4a4a0 3a3a0 2a2a0 a1a0
5. Ejemplo: f = a5X5 + a4X4 + a3X3 + a2X2 + a1X + a0
D(f) =
1
a5a0
a5a4 2a5a3 3a5a2 4a5a1 5a5a0
2a5a3 3a5a2 + a4a3 4a5a1 + 2a4a2 5a5a0 + 3a4a1 4a4a0
3a5a2 4a5a1 + 2a4a2 5a5a0 + 3a4a2 + a3a2 4a4a0 + 2a3a1 3a3a0
4a5a1 5a5a0 + 3a4a1 4a4a0 + 2a3a1 3a3a0 + a2a1 2a2a0
5a5a0 4a4a0 3a3a0 2a2a0 a1a0
28CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE
Capítulo 2
Series de grupos y grupos
solubles
29
30 CAPÍTULO 2. SERIES DE GRUPOS Y GRUPOS SOLUBLES
2.1. Series de composición
Definición 2.1.1. Sea G un grupo. Llamamos factor de G a cual-
quier grupo cociente H/H ′ donde G > H B H ′.
Nótese que ni H ni H ′ tienen que ser normales en G.
Definición 2.1.2. Dados dos factores H/H ′, K/K ′ de un grupo G,
el cociente
K ′(H ∩K)
K ′(H ′ ∩K)
se llama proyección de H/H ′ sobre K/K ′
Definición 2.1.3. Llamamos serie del grupo G a una cadena finita
de subgrupos
G = G0 > G1 > · · · > Gr = 1 (2.1.1)
Al número natural r le llamamos longitud de la serie 2.1.1
Definición 2.1.4. Dadas dos series para el mismo grupo G:
G = G0 > G1 > · · · > Gr = 1
G = G′0 > G
′
1 > · · · > G′s = 1
decimos que la primera es un refinamiento de la segunda si todo
grupo de la segunda aparece en la primera. Si además en la prime-
ra hay grupos que no aparecen en la segunda diremos que es un
refinamiento propio.
Definición 2.1.5. Una serie 2.1.1 se llama normal si para todo
i = 1, 1, . . . , r se verifica que Gi es un subgrupo normal de Gi−1.
Una serie 2.1.1 se llama propia si todas las inclusiones son pro-
pias.
Para cada serie 2.1.1 normal los grupos cocientes Gi−1/Gi se
llaman factores de la serie
Dadas dos series normales
G = G0 > G1 > · · · > Gr = 1
G = H0 > H1 > · · · > Hs = 1
del mismo grupo G diremos que son isomorfas si r = s y existe
una permutación σ ∈ Sr tal que Gi−1/Gi ∼= Hσ(i)−1/Hσ(i) para todo
i = 1, 2, . . . r.
2.1. SERIES DE COMPOSICIÓN 31
Una serie normal propia sin refinamientos normales propios se
llama serie de composición del grupo G.
Para cada serie de composición de G los factores de la serie
se llaman factores de composición del grupo G. Los órdenes de los
factores de composición se llaman índices de composición del grupo
G.
Definición 2.1.6. Un grupo G se llama simple si no es trivial y no
admite subgrupos normales propios.
Lema 2.1.7. Un grupo abeliano finito simple es cíclico de orden pri-
mo
Demostración. En un grupo abeliano G todos los subgrupos son
normales. Así que G será simple si y sólo si no tiene subgrupos
propios. Sea 1 6= x ∈ G. El grupo cíclico < x > es un subgrupo no
trivial de G, luego < x >= G es cíclico. Si |G| = mn no es primo,
< xm > sería un subgrupo propio de G, contradicción.
Lema 2.1.8. Los factores de composición de un grupo G son simples.
Demostración. Sea 2.1.1 unaserie de composición del grupo G. y
sea H un subgrupo normal propio de Gi−1/Gi. Sea p : Gi−1 → Gi−1/Gi
la proyección y sea H ′ = p−1(H). Entonces Gi−1 B H ′ B Gi y las
inclusiones son propias. La serie G = G0 > · · · > Gi−1 > H ′ > Gi >
· · · > 1 es un refinamiento propio de la dada, contradicción.
No es cierto que todo grupo posea una serie de composición. De
hecho Z no la tiene. Sin embargo tenemos:
Lema 2.1.9. Todo grupo finito G posee una serie de composición.
Demostración. Inducción sobre el orden de G. Para grupos de or-
den primo, G > 1 es una serie de composición. Supongámoslo de-
mostrado para todos los grupos de orden menor que G. Sea G1 un
subgrupo normal propio maximal de G (existe porque el conjunto
de subgrupos de G es finito). Sea G1 > · · · > Gr = 1 una serie de
composición de G (existe porque el orden de G1 es estrictamente
menor que el orden de G). Entonces G > G1 > · · · > Gr = 1 es una
serie de composición de G.
Teorema 2.1.10 (Teorema de refinamiento de Schreier). Dos series
normales arbitrarias de un grupo G tienen refinamientos isomorfos.
32 CAPÍTULO 2. SERIES DE GRUPOS Y GRUPOS SOLUBLES
Demostración. Sean las series normales
G = G0 > G1 > . . . > Gr = 1 (2.1.2)
G = H0 > H1 > . . . > Hs = 1 (2.1.3)
Llamamos Gij = Gi(Hj ∩ Gi−1), i = 1, . . . , r, j = 1, . . . s. Entonces
Gi−1 = Gi0 > Gi1 > · · ·Gis = Gi es una cadena normal de Gi−1 a Gi.
Uniendo estas cadenas obtenemos un refinamiento de 2.1.2:
G = G10 > G11 > · · · > G1s(= G20) > G21 > · · · > Gr−1,s
(= Gr0) > · · · > Grs = 1 (2.1.4)
Similarmente los grupos Hij = Hj(Gi ∩ Hj−1), i = 1, . . . , r, j = 1, . . . s
forman un refinamiento de 2.1.3:
G = H01 > H11 > · · · > Hr1(= H02) > H12 > · · · > Hs−1,r
(= Hs0) > · · · > Hsr = 1 (2.1.5)
Por el lema de Zassenhaus, Gi,j−1/Gij ∼= Hj.i−1/Hji, lo que demuestra
que los refinamientos anteriores son isomorfos. Si omitimos todas
las repeticiones en 2.1.4 y 2.1.5 (correspondientes a factores trivia-
les), las series que quedan siguen siendo isomorfas.
Teorema 2.1.11 (Teorema de Jordan-Holder). Si un grupo admite
una serie de composición, cualquier serie normal propia puede refi-
narse a una serie de composición.
Dos series de composición de un grupo G son isomorfos.
Demostración. Sea G un grupo que admite una serie de composi-
ción. Cualquier refinamiento de tal serie coincide con ella misma.
Tomemos cualquier serie normal de G y construimos los refina-
mientos isomorfos de esta serie y la serie de composición dada que
existen por el teorema de refinamiento de Schreier. Deben ser se-
ries de composición isomorfas a la dada.
2.2. El programa de Holder
Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G. El primer teo-
rema de isomorfismo nos dice que el grupo cociente G/N describe
la estructura de G “sobre” N (es decir, los retículos de subgrupo
2.2. EL PROGRAMA DE HOLDER 33
son isomorfos). Esto plantea el problema de hasta que punto el
conocimiento de N y G/N fuerza cómo tiene que ser G.
El teorema de Jordan-Holder nos dice que todo grupo finito tie-
ne una serie de composición y aunque la serie en sí no tiene que
ser única, su longitud y los tipos de isomorfismo de los factores
sí son únicos. Además está claro que grupos isomorfos tienen los
mismos factores de composición, aunque grupos no isomorfos tam-
bién pueden tener los mismos factores (por ejemplo, Z6 y S3).
Esta situación motiva un programa de dos partes para clasificar
todos los grupos finitos salvo isomorfismo, expuesto por Holder en
un artículo de 1893:
1. Clasificar todos los grupos finitos simples.
2. Hallar las técnicas para construir grupos a partir de otros mas
sencillos.
Estos dos problemas son una motivación importante para gran
parte del desarrollo de la teoría de grupos. Problemas análogos se
encuentran recurrentemente a través de toda la matemática. Va-
mos a comentar un poco los dos problemas del programa de Hol-
der:
La clasificación de los grupos simples finitos se completó en
1980. Los esfuerzos de unos 100 matemáticos repartidos entre 300
y 500 artículos que cubren entre 5,000 y 10,000 páginas de revis-
tas demostraron el siguiente teorema:
Teorema 2.2.1. Existe una lista consistente en 18 familias infinitas
de grupos simples y 26 grupos simples no pertenecientes a estas
familias (los grupos simples esporádicos) tal que todo grupo simple
finito es isomorfo a uno de los grupos de esta lista.
Tres ejemplos de familias infinitas: Zp para p primo, An para
n ≥ 5 y PSLn(F ) para n ≥ 2 excepto PSL2(Z2) y PSL2(Z3).
Vamos a demostrar el siguiente resultado:
Teorema 2.2.2 (Abel). El grupo alternado An es simple para n ≥ 5
Demostración. Sea K 6= 1 un subgrupo normal de An. Queremos
ver que necesariamente K = An. Lo demostramos en tres pasos:
1. K contiene un ciclo de longitud 3
34 CAPÍTULO 2. SERIES DE GRUPOS Y GRUPOS SOLUBLES
Sea σ ∈ K una permutación distinta de la identidad que mue-
ve el mínimo número de símbolos. Sea k = |{i = 1 . . . n | σ(i) 6=
i}|. Como σ no es la identidad, k > 0. Si σ(i) = j 6= i, como
σ es inyectivo tenemos que σ(j) 6= j. Así que k ≥ 2. Si k = 2,
necesariamente σ = (i j) que no pertenece a An. Luego k ≥ 3.
Supongamos que k ≥ 4. σ no es un ciclo de longitud 4, porque
entonces sería impar. Descomponemos σ en producto de ciclos
disjuntos. Dos posibilidades:
σ1 = (1 2)(3 4)(producto de transposiciones disjuntas)
σ2 = (1 2 3 . . . ) . . . (Si k > 3 necesariamente k ≥ 5)
Sea τ = (3 4 5) ∈ An y definimos αi = (τσiτ−1)σ−1i ∈ K por ser K
normal en An. Calculamos
a) Si σi(t) = t e i > 5, entonces αi(t) = t.
b)
α1(1) = τσ1τ
−1(2) = τσ1(2) = τ(1) = 1
α1(2) = τσ1τ
−1(1) = τσ1(1) = τ(2) = 2
α1(3) = τσ1τ
−1(4) = τσ1(3) = τ(4) = 5 6= 3
α2(2) = τσ2τ
−1(1) = τσ2(1) = τ(2) = 2
α2(3) = τσ2τ
−1(2) = τσ2(2) = τ(3) = 4 6= 3
luego en ambos casos αi es una permutación no trivial que
deja fijos mas símbolos que σi, contradicción. Así que k = 3 y
el grupo K contiene un ciclo de longitud 3, sea (1 2 3) ∈ K.
2. K contiene todos los ciclos de longitud 3
Sea (1 2 4) un ciclo que se diferencia de (1 2 3) en un único
símbolo. Entonces
(3 4 5)(1 2 3)(3 4 5)−1 = (1 2 4) ∈ K
Sea ahora (1 4 5) un ciclo que se diferencia de (1 2 3) en dos
símbolos. Entonces
(2 4)(3 5)(1 2 3)((2 4)(3 5))−1 = (1 4 5) ∈ K
Sea (4 5 6) un ciclo con todos los símbolos distintos de (1 2 3).
Por los resultados anteriores, (1 2 6) ∈ K y de aquí (4 5 6) ∈ K.
2.2. EL PROGRAMA DE HOLDER 35
3. El grupo An está generado por todos los ciclos de longitud 3
Sea σ ∈ An arbitraria. La permutación σ es producto de un nú-
mero par de transposiciones, sea σ = (τ1τ2) . . . (τ2m−1τ2m). Cada
producto τsτs+1 es de uno de los siguientes tipos:
a) τsτs+1 = (i j)(i j) = (1)
b) τsτs+1 = (i j)(j k) = (i j k)
c) τsτs+1 = (i j)(k l) = (i j)(j k)(j k)(k l) = (i j k)(j k l)
En cualquier caso es un producto de ciclos de longitud 3.
Una idea de la complejidad de la clasificación de los grupos fi-
nitos simples la proporciona uno de los teoremas claves de la cla-
sificación:
Teorema 2.2.3 (Feit-Thompson). Si G es un grupo simple de orden
impar, entonces G ∼= Zp para algún primo impar p.
La demostración de este teorema (publicado en 1963) ocupa 255
páginas de matemática dura.
La segunda parte del programa de Holder se llama problema de
la extensión. Vamos a describirla con mas precisión: Dados dos
grupos H y K, determinar (salvo isomorfismo) todos los grupos G
que contienen un subgrupo normal N tal que N ∼= H y G/N ∼= K
(se suele decir que G es una extensión de K por H). Por ejemplo si
H = K = Z2 existen exactamente dos posibilidades: Z4 y Z2 × Z2. El
programa de Holder busca cómo pueden construirse los dos gru-
pos de orden 4 a partir de los de orden 2 sin tener un conocimiento
previo de la existencia de aquellos. Esta parte del programa de Hol-
der es extremadamente difícil aún cuando los subgrupos envueltos
son de orden pequeño. Por ejemplos, si |G| = 2n todos los factores
de composición tienen orden 2. Sin embargo el número de grupos
no isomorfos de orden 2n crece exponencialmente como función de
n:
36 CAPÍTULO 2. SERIESDE GRUPOS Y GRUPOS SOLUBLES
Orden: Número de Grupos:
2 1
4 2
8 5
16 14
32 51
64 267
128 2328
256 56092
512 10494213
1024 49487365422
Así que el número de extensiones de un 2-grupo por otro 2-grupo
puede ser muy grande. Aún así existen unas cuantas técnicas in-
teresantes y poderosas para revelar la estructura de amplias clases
de grupos.
No sería justo decir que la teoría de grupos finitos trata solamen-
te del programa de Holder, pero sí es justo decir que el programa de
Holder sugiere un gran número de problemas y motiva bastantes
técnicas algebraicas. Por ejemplo, el estudio de las extensiones de
K por H cuando H es abeliano nos lleva a clasificar las acciones
(por automorfismos) de K sobre H.
2.3. Grupos solubles
El teorema de Jordan-Holder nos dice que cada grupo determi-
na unívocamente a su serie de composición (salvo isomorfismo).
Nos permite por tanto definir clases especiales de grupos mediante
propiedades que satisfacen sus factores de composición. La mas
evidente de tales clases es la de los grupos solubles, que además
tiene un papel clave en la teoría de Galois.
Definición 2.3.1. Dado un grupo G, definimos la serie derivada de
G como
G = G0 > G′ > G′′ > · · · > G(i > · · ·
donde G(i+1 = [G(i, G(i] (el grupo derivado).
En general esta serie no tiene porqué alcanzar el 1. De hecho
tenemos:
Teorema 2.3.2. Sea G un grupo finito. Las siguientes propiedades
son equivalentes:
2.3. GRUPOS SOLUBLES 37
1. Los factores de composición de G son cíclicos de orden primo.
2. G tiene una serie normal con factores cíclicos.
3. G tiene una serie normal con factores abelianos.
4. Existe un i ≥ 1 tal que G(i = 1.
Demostración. Es inmediato que 1⇒ 2⇒ 3. Veamos que 3⇒ 1: Sea
G = H0 > · · ·Hs = 1 una serie normal con factores abelianos. Por el
teorema de Jordan-Holder, esta serie se puede refinar a una serie
de composición, cuyos factores serán cocientes de subgrupos de
la serie dada y por tanto abelianos. Todo grupo simple abeliano es
cíclico de orden primo.
Supongamos que la serie derivada alcanza el uno. Entonces es
una serie con factores abelianos y ese es el enunciado 3. A la inver-
sa, supongamos que G tiene la siguiente serie normal con factores
abelianos:
G = G0 > G1 > · · · > Gr = 1
Como G0/G1 es abeliano, el grupo G1 contiene al derivado de G0
que es G′. Por inducción supongamos que Gi ⊇ G(i. Como Gi/Gi+1
es abeliano se verifica que Gi+1 ⊇ G′i ⊇ (G(i)′ = G(i+1. Al final 1 =
Gr ⊇ G(r y la serie derivada alcanza el 1.
Definición 2.3.3. Un grupo finito G se llama soluble si verifica las
propiedades del teorema 2.3.2
El nombre de grupo soluble proviene de una importante aplica-
ción a la resolución de ecuaciones por radicales que veremos mas
adelante. La clase de los grupos solubles se comporta bien respecto
a subgrupos y cocientes:
Proposición 2.3.4. 1. Todo subgrupo de un grupo soluble es so-
luble.
2. Todo grupo cociente de un grupo soluble es soluble.
3. Sea N un subgrupo normal de G. Si N y G/N son solubles,
también G es soluble.
Demostración. Sea H < G. Por inducción se ve que para todo i ≥ 0
se verifica H(i < G(i. Si G es soluble existe un r tal que H(r < G(r = 1,
luego H es soluble. Un argumento similar se aplica a los cocientes.
38 CAPÍTULO 2. SERIES DE GRUPOS Y GRUPOS SOLUBLES
Supongamos que N es un subgrupo normal de G y que N y G/N
son grupos solubles. Existe un s tal que (G/N)(s = 1, luego G(s < N .
Existe ahora un r tal que N (r = 1. Luego G(r+s < N (r = 1 y G es
soluble.
Corolario 2.3.5. Todo producto finito de grupos solubles es soluble.
Para la clase de los grupos solubles es posible generalizar los
teoremas de Sylow. Nos limitamos a dar el siguiente enunciado
cuya demostración puede verse en Hall, Teoría de grupos, páginas
152-154:
Teorema 2.3.6 (Hall). Sea G un grupo soluble de orden mk con m, k
naturales tales que m. c. d.(m, k) = 1. Entonces:
1. G posee al menos un subgrupo de orden m.
2. Dos subgrupos cualesquiera de orden m son conjugados.
3. Cualquier subgrupo cuyo orden m′ divida a m está contenido en
un subgrupo de orden m.
4. El número nm de subgrupos de orden m puede expresarse como
un producto de factores cada uno de los cuales es congruente
con 1 módulo algún factor primo de m y es una potencia de un
primo y divide a alguno de los factores principales de G.
La primera propiedad anterior caracteriza a los grupos solubles:
Teorema 2.3.7. Un grupo finito G es soluble si y sólo si para toda
descomposición |G| = mk con m. c. d.(m, k) = 1 existe un subgrupo
H < G de orden m.
Parte II
Extensiones de cuerpos
39
Capítulo 3
Extensiones de cuerpos
41
42 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS
3.1. Generalidades
Definición 3.1.1. Una extensión de cuerpos F/K es un par de cuer-
pos F , K tales que K es un subcuerpo de F .
El cuerpo K se llama cuerpo base y el cuerpo F se llama cuerpo
extensión.
En toda extensión F/K el cuerpo F es un espacio vectorial sobre
K de forma natural
Definición 3.1.2. Llamamos grado de la extensión F/K y repre-
sentamos por [F : K] a la dimensión de F como espacio vectorial
sobre K.
Definición 3.1.3. Dada una extensión F/K cualquier subcuerpo
F1 de F que contenga a K se llama cuerpo intermedio
Definición 3.1.4. Una torre de cuerpos es una sucesión de sub-
cuerpos:
Fn ⊃ Fn−1 ⊃ · · · ⊃ F0
La longitud de la torre es n (el número de inclusiones)
Definición 3.1.5. Una extensión F/K se llama finita si y sólo si
[F : K] es finito. En otro caso se llama infinita
Proposición 3.1.6. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de inclusiones.
1. Sean {ui ∈ E | i ∈ I} un sistema de generadores de E co-
mo espacio vectorial sobre F y {vj ∈ F | j ∈ J} un sistema
de generadores de F como espacio vectorial sobre K. Entonces
{uivj | (i, j) ∈ I × J} es un sistema de generadores de E como
espacio vectorial sobre K.
2. Sean {ui ∈ E | i ∈ I} linealmente independientes sobre F y
{vj ∈ F | j ∈ J} linealmente independientes sobre K. Entonces
{uivj | (i, j) ∈ I × J} son linealmente independientes sobre K.
3. Sean {ui ∈ E | i ∈ I} una base de E sobre F y {vj ∈ F | j ∈
J}una base de F sobre K. Entonces {uivj | (i, j) ∈ I × J} es una
base de E sobre K.
Teorema 3.1.7 (Teorema del grado). Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de
cuerpos. Entonces
[E : F ][F : K] = [E : K]
3.2. ELEMENTOS ALGEBRAICOS Y EXTENSIONES ALGEBRAICAS43
Corolario 3.1.8. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos. La extensión
E/K es finita si y sólo si las extensiones E/F y F/K son ambas
finitas.
Corolario 3.1.9. Sea Fn ⊃ Fn−1 ⊃ · · · ⊃ F0 una torre de longitud n.
Entonces
[Fn : Fn−1] · · · [F1 : F0] = [Fn : F0]
Corolario 3.1.10. Sea F/K una extensión tal que [F : K] = p es
primo. Entonces no existe ningún cuerpo intermedio distinto de F o
K.
3.2. Elementos algebraicos y extensiones
algebraicas
Lema 3.2.1. Para todo anillo A existe un único homomorfismo Z→ A
que se llama homomorfismo unital
Definición 3.2.2. La característica del anillo A es car(A) = n > 0 si
el núcleo del homomorfismo unital es nZ 6= 0.
La característica del anillo A es car(A) = 0 si el núcleo del ho-
momorfismo unital es 0 (es decir, si el homomorfismo unital es
inyectivo).
Lema 3.2.3. Si A es un dominio de integridad, entonces o bien
car(A) = 0 o bien car(A) = p es un primo.
Lema 3.2.4. car(A) = n si y sólo si n es el menor entero positivo tal
que para todo a ∈ A se verifica na = 0.
Lema 3.2.5. Sea A un anillo y sea {Bi | i ∈ I} una familia de subani-
llos de A. Entonces B = ∩iBi es un subanillo de A.
Sea A un anillo y sea {Ki | i ∈ I} una familia de subcuerpos de
A. Entonces K = ∩iKi es un subcuerpo de A.
Definición 3.2.6. Sea A un anillo. Llamamos anillo primo de A a la
intersección de todos los subanillos de A.
Lema 3.2.7. El subanillo primo de un anillo A es isomorfo a Z si
car(A) = 0 y a Z/nZ si car(A) = n 6= 0.
Si A es un dominio de integridad y car(A) 6= 0, entonces p = car(A)
es un primo.
44 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS
Definición 3.2.8. Sea K un cuerpo. Llamamos subcuerpo primo de
K a la intersección de todos los subcuerpos de K.
Lema 3.2.9. El subcuerpo primo de un cuerpo K es isomorfoa Q
cuando car(K) = 0 y a Z/pZ cuando car(K) = p 6= 0
Definición 3.2.10. Sea F/K una extensión y sea S un subconjunto
de F . Llamamos subanillo generado por S sobre K y representamos
por K[S] a la intersección de todos los subanillos de F que contie-
nen a K y a S.
Llamamos subcuerpo generado por S sobre K a la intersección
de todos los subcuerpos de F que contengan a K y a S.
Lema 3.2.11. Sea F/K una extensión y sean S, T subconjuntos de
F . Entonces K[S ∪ T ] = K[S][T ] = K[T ][S] y K(S ∪ T ) = K(S)(T ) =
K(T )(S)
Cuando S = {u} consta de un único elemento, denotamos K[u]
y K(u) en lugar de K[S] y K(S) respectivamente.
Cuando S = {u1, . . . , un} es un conjunto finito, el anillo K[S]
lo denotamos como K[u1, . . . , un] y el cuerpo K(S) lo denotamos
K(u1, . . . , un).
Definición 3.2.12. Dados los cuerpos L ⊃ E,F ⊃ K llamamos
compuesto de E y F al cuerpo EF = E(F ) = F (E).
Si E y F no son subcuerpos de algún otro cuerpo L, no definimos
el compuesto.
Definición 3.2.13. Sea F/K una extensión y S un subconjunto de
F . Diremos que S es un conjunto de generadores para F sobre K si
F = K(S).
Definición 3.2.14. Una extensión F/K se llama finitamente gene-
rada si existe un conjunto finito de generadores de F sobre K, es
decir, si F = K(u1, . . . , un) con u1, . . . , un ∈ F .
Definición 3.2.15. Una extensión F/K se llama simple si existe un
elemento u ∈ F tal que F = K(u). El elemento u se llama elemento
primitivo para la extensión.
Sea F/K una extensión y u ∈ F un elemento arbitrario. Consi-
deramos el anillo K[u]. Por la propiedad universal del anillo de po-
linomios existe un único homomorfismo de anillos λ : K[X] → K[u]
tal que ∀a ∈ K se verifica λ(a) = a y que λ(X) = u. Por el primer teo-
rema de isomorfismo para anillos, K[u] ∼= K[X]/ ker(λ). Distingamos
dos casos:
3.2. ELEMENTOS ALGEBRAICOS Y EXTENSIONES ALGEBRAICAS45
1. ker(λ) = 0 y λ es inyectivo. Entonces existe un isomorfismo
K[X] ∼= K[u]. En este caso decimos que u es trascendente so-
bre K. El cuerpo K(u) es el cuerpo de fracciones de K[u] y es
isomorfo a K(X) (cuerpo de fracciones de K[X].
2. ker(λ) 6= 0. En este caso decimos que u es algebraico sobre
K. Como K[X] es un dominio de ideales principales, el ideal
ker(λ) es principal. Como el grupo de las unidades de K[X]
es K× (grupo multiplicativo de K), existe un único polinomio
mónico p(X) tal que ker(λ) = (p(X)). Este p(X) se llama poli-
nomio mínimo de u sobre K y se representa por Irr(u,K). El
anillo K[u] ∼= K[X]/(p(X)) es un dominio de integridad (por ser
subanillo del cuerpo F ), y por tanto el ideal (p(X)) es primo.
Pero esto ocurre si y sólo si el polinomio p(X) es irreducible
sobre K. Naturalmente sobre un cuerpo mayor p(X) puede ser
reducible.
Proposición 3.2.16. Sea F/K una extensión de cuerpos y sea u ∈
F un elemento algebraico sobre K con polinomio mínimo p(X) =
Irr(u,K). Entonces
1. K(u) = K[u]
2. K[u] ∼= K[X]/(p(X))
3. [K(u) : K] es igual al grado de p(X)
4. {1, u, u2, . . . , un−1} es una base de K[u] sobre K.
5. Para un f ∈ K[X] se verifica que f(u) = 0 si y sólo si p | f .
El grado de Irr(u,K) (que es igual a [K[u] : K]) se llama grado de
u sobre K.
Lema 3.2.17. Sea F ⊃ E ⊃ K y sea u ∈ F algebraico sobre K.
Entonces u es algebraico sobre E y Irr(u,E) divide a Irr(u,K).
Definición 3.2.18. Una extensión F/K se llama algebraica si todos
los elementos de F son algebraicos sobre K.
Una extensión F/K se llama trascendente si existe algún ele-
mento u ∈ F que es trascendente sobre K.
Sea ahora F/K una extensión arbitraria y sea {ui | i ∈ I} ⊂
F un subconjunto no vacío arbitrario. Consideramos el anillo de
polinomios A = K[Xi | i ∈ I] y el único homomorfismo σ : A → F
dado por σ(Xi) = ui para todo i ∈ I.
46 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS
Definición 3.2.19. Los elementos {ui | i ∈ I} se llaman algebrai-
camente independientes sobre K si el anterior homomorfismo σ es
inyectivo. En caso contrario se llaman algebraicamente dependien-
tes.
Definición 3.2.20. Una extensión F/K se llama puramente tras-
cendente si F = K(S) donde S es un conjunto de elementos alge-
braicamente independientes sobre K.
Lema 3.2.21. Sea F/K una extensión arbitraria y sea S un subcon-
junto de F .
1. Para todo u ∈ K[S] existe un subconjunto finito {u1, . . . , un} ⊂ S
tal que u ∈ K[u1, . . . , un].
2. Para todo u ∈ K(S) existe un subconjunto finito {u1, . . . , un} ⊂ S
tal que u ∈ K(u1, . . . , un).
Lema 3.2.22. Sean L ⊃ E,F ⊃ K cuerpos tales que F = K(S).
Entonces EF = E(S).
Corolario 3.2.23. Sean L ⊃ E,F ⊃ K. Entonces
[EF : K] ≤ [E : K][F : K]
Corolario 3.2.24. Sean L ⊃ E,F ⊃ K con n = [E : K] y m = [F : K]
primos relativos. Entonces [EF : K] = [E : K][F : K]
Proposición 3.2.25. Sea F = K(u1, . . . , un) una extensión finitamen-
te generada por elementos ui algebraicos. Entonces la extensión F/K
es finita.
Corolario 3.2.26. Sea F = K(S) con S ⊂ F arbitrario. Entonces F/K
es algebraica si y sólo si todo u ∈ S es algebraico sobre K.
Corolario 3.2.27. Una extensión F/K es finita si y sólo si es alge-
braica y finitamente generada.
Corolario 3.2.28. Un elemento u ∈ F es algebraico sobre K si y sólo
si existe un cuerpo intermedio E tal que E/K es finita y u ∈ E.
Corolario 3.2.29. Dada una torre de cuerpos E ⊃ F ⊃ K, la exten-
sión E/K es algebraica si y sólo si las extensiones E/F y F/K son
ambas algebraicas.
Corolario 3.2.30. Para una extensión arbitraria F/K el conjunto E
de elementos de F que son algebraicos sobreK forman un subcuerpo
de F .
El cuerpo E del corolario 3.2.30 se llama clausura algebraica
(relativa) de K en F .
Capítulo 4
Cuerpos de descomposición
47
48 CAPÍTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN
El estudio de las extensiones de cuerpos se origina en la ne-
cesidad de construir cuerpos que contengan al cuerpo base K en
donde existan raíces de polinomios dados de K[X]. El ejemplo clá-
sico es la construcción C = R(i) = R[X]/(X2 + 1). Vamos a ver que el
mismo método es válido para cualquier polinomio.
4.1. Cuerpo de descomposición
Teorema 4.1.1 (Kronecker). Sea f un polinomio de grado positivo
sobre un cuerpo K. Entonces existe una extensión F/K y un u ∈ F
tal que f(u) = 0.
Demostración. Descomponemos f en factores ireducibles sobre K:
f = f1 . . . fm. El cuerpo buscado es F = K[X]/(f1) y una raíz de f es
u = X + (f1) ∈ F .
Sean Fi/Ki (i = 1, 2) dos extensiones de cuerpos y sean τ : F1 →
F2 y σ : K1 → K2 dos homomorfismos tales que para todo a ∈ K1 se
verifica τ(a) = σ(a).
Definición 4.1.2. En las condiciones anteriores decimos que τ es
una extensión de σ.
Cuando σ = 1K : K → K decimos que τ es un homomorfismo
sobre K
Proposición 4.1.3. Sea σ : K1 → K2 un isomorfismo de cuerpos.
Existe una única extensión a un isomorfismo σ : K1[X]→ K2[X] defi-
nido por σ(X) = X
Demostración. Es una aplicación directa de la propiedad universal
del anillo de polinomios K1[X]. Obsérvese que gr(f) = gr(σ(f)) para
todo polinomio f ∈ K1[X].
Lema 4.1.4. En las condiciones de la proposición 4.1.3 sea f1 ∈
K1[X] irreducible sobre K1. El polinomio f2 = σ(f1) es irreducible so-
bre K2.
Demostración. Sea f1 = gh una descomposición del polinomio f1.
Entonces f2 = σ(g)σ(h) es una descomposición de f2 y los grados de
los factores correspondientes son iguales. Como σ es un isomorfis-
mo, aplicando el mismo argumento para σ−1 obtenemos que f1 es
compuesto si y sólo si f2 es compuesto.
4.1. CUERPO DE DESCOMPOSICIÓN 49
Proposición 4.1.5. En las condiciones de la proposición 4.1.3 sean
Fi/Ki con i = 1, 2 dos extensiones algebraicas, τ : F1 → F2 un homo-
morfismo sobre σ y u ∈ F1 una raíz de f1. Entonces τ(u) es una raíz
de f2 = σ(f1).
Demostración. Un cálculo sencillo: Sea f1 = anXn + · · · + a1X + a0.
Entonces
f2(τ(u)) = σ(an)τ(u)
n + · · ·+ σ(a1)τ(u) + σ(a0)
= τ(an)τ(u)
n + · · ·+ τ(a1)τ(u)
= τ(anu
n + · · ·+ a1u+ a0)
= τ(0) = 0
Corolario 4.1.6. Sea F/K una extensión algebraica y σ : F → F un
homomorfismo sobre K. Entonces σ es un automorfismo.
Demostración. Sea u ∈ F arbitrario. Sea f = Irr(u,K) y sean u =
u1, . . . , uk todas las raíces de f que hay en F (k≤ gr(f)). Sea F1 =
K(u1, . . . , uk) el subcuerpo de F generado por todas ellas. La exten-
sión F1/K es finita, y para cualquier homomorfismo σ : F → F el
elemento σ(ui) es una raíz de f , por tanto σ(ui) = uj. Luego σ se
restringe a un homomorfismo σ1 : F1 → F1. Pero este es una aplica-
ción K-lineal inyectiva. Como F1 es de dimensión finita sobre K, la
aplicación σ1 es sobre y existe un v ∈ F1 ⊂ F tal que u = σ1(v) = σ(v).
Luego σ es sobre.
Proposición 4.1.7. Con la notación de la proposición 4.1.5 sea f1
irreducible y sea ui una raíz de fi en alguna extensión Fi de Ki
(i=1,2). Entonces existe un único isomorfismo τ : K1(u1) → K2(u2)
sobre σ tal que τ(u1) = u2.
Demostración. El isomorfismo τ = ρ2σ̄ρ−11 buscado es el compuesto
de los tres isomorfismos siguientes:
K1(u)
τ
- K2(u)
K1[X]
(f1)
ρ1
6
σ̄
-
K2[X]
(f2)
ρ2
6
50 CAPÍTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN
Los isomorfismos ρi : Ki[X]/(fi) ∼= Ki(ui) (i = 1, 2) son los esta-
blecidos en la definición de elemento algebraico y vienen dados por
X + (fi) 7→ ui. El isomorfismo σ̄ es el inducido entre los cocientes
por el σ dado en la proposición 4.1.3.
Proposición 4.1.8. Con la notación de la proposición 4.1.7 el núme-
ro de extensiones τ : K1[u1]→ F2 sobre σ es igual al número de raíces
distintas de f2 en F2.
Demostración. Cualquiera de tales τ está totalmente determinada
por la imagen de u. Como f2(τ(u)) = τ(f1(u)) = 0, necesariamente
τ(u) es una raíz de f2. Por la proposición 4.1.7, para cada v raíz de
f2 en F2 existe un homomorfismo τ tal que τ(u) = v. En total existen
tantos homomorfismos como raíces de f2 hay en F2.
Definición 4.1.9. Un cuerpo extensión F ⊃ K se llama cuerpo de
descomposición de f sobre K si y sólo si existen u1, . . . , un ∈ F tales
que f = (X − u1) · · · (X − un) y F = K(u1, . . . , un).
Proposición 4.1.10. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos tal que E
es un cuerpo de descomposición de un polinomio f sobre K. Entonces
E es también un cuerpo de descomposición de f sobre F .
Demostración. Los elementos u1, . . . , un raíces de f verifican
E = K(u1, . . . , un) ⊂ F (u1, . . . , un) ⊂ E
luego E = F (u1, . . . , un).
Teorema 4.1.11. Para todo polinomio f ∈ K[X] de grado n > 0
existe un cuerpo de descomposición F de f sobre K y se verifica que
[F : K] ≤ n!.
Demostración. Inducción sobre el grado de f . Si gr(f) = 1, el po-
linomio es f = a1X + a0 y su única raíz es u1 = −a0/a1 ∈ K. Lue-
go F = K es el cuerpo de descomposición de f sobre K. Además
[F : K] = 1 = n! donde 1 = n = gr(f).
Sea ahora gr(f) > 1. Por el teorema de Kronecker existe un cuer-
po K1 = K(u1) ⊃ K con f(u) = 0. Descomponemos f = (X − u1)f1
y gr(f1) = gr(f) − 1 < gr(f). Por la hipótesis de inducción exis-
te F = K1(u2, . . . , un) cuerpo de descomposición de f1 sobre K1.
Luego f = (X − u1)(X − u2) . . . (X − un) y F = K(u1, u2, . . . , un) es
un cuerpo de descomposición de f sobre K. Calculemos el grado:
[F : K] = [F : K1][K1 : K] ≤ (n− 1)! · n = n!.
4.1. CUERPO DE DESCOMPOSICIÓN 51
Sea σ : K1 ∼= K2 un isomorfismo de cuerpos, sea f1 ∈ K1[X]
arbitrario y sea f2 = σ(f1).
Teorema 4.1.12. Sea Fi un cuerpo de descomposición de fi sobre
Ki. Entonces existe un isomorfismo τ : F1 → F2 que es una extensión
de σ.
Demostración. Por inducción sobre el grado de f1. Si gr(f1) = gr(f2) =
1 se verifica que Fi = Ki (i = 1, 2) y τ = σ.
Sea ahora gr(fi) > 1 y supongamos el teorema cierto para poli-
nomios de grado menor. Sean ui ∈ Fi raíces respectivas de fi tales
que Irr(u2, K2) = σ(Irr(u1, K1)). Por la proposición 4.1.7 existe un
isomorfismo σ1 : K1(u1) ∼= K2(u2) extensión de σ tal que σ1(u1) = u2.
Descomponemos fi = (X − ui)gi (i = 1, 2). Cada Fi es el cuerpo de
descomposición de gi sobre Ki(ui). Por la hipótesis de inducción
existe una extensión τ : F1 ∼= F2 del isomorfismo σ1, que es también
una extensión de σ.
Corolario 4.1.13. Dos cuerpos de descomposición de f ∈ K[X] so-
bre K son isomorfos.
Demostración. Aplicar la proposición anterior al isomorfismo iden-
tidad σ = 1K.
Ejemplo 4.1.14. Sea f = X2 +aX+ b ∈ K[X] con K arbitrario. Si f es
reducible sobre K el cuerpo de descomposición de f es el mismo K.
Si f es irreducible llamamos F = K[X]/(f) = K(u) donde u = X+(f).
Entonces f = (X − u)(X + (u + a)), el cuerpo de descomposición de
f sobre K es F y [F : K] = 2.
Ejemplo 4.1.15. Sea f = (X2 − 2)(X2 − 3) ∈ Q[X]. El cuerpo de des-
composición será F = Q(
√
2,
√
3) y su grado sobre Q es 4.
Ejemplo 4.1.16. Sea f = X3 + X + 1 ∈ Z2[X]. Como f(0) 6= 0 6= f(1),
el polinomio f no tiene raíces en Z2 y por tanto es irreducible en
Z2[X]. Sea u = X + (f) ∈ Z2[X]/(f) = F . Un poco de cálculo muestra
que u2 y u4 = u2 + u también son raíces de f y que f = (X − u)(X −
u2)(X − (u + u2)). Luego f descompone en factores lineales en F y
por tanto F = Z2(u) es el cuerpo de descomposición de f sobre Z2.
Ejemplo 4.1.17. Sea f = X4 + 1 ∈ Q[X]. Sea u una raíz de f . Las
otras raíces son −u, u−1 y −u−1 que son todas distintas. Así que
Q(u,−u, u−1,−u−1) = Q(u) es el cuerpo de descomposición de f sobre
Q. Igual sucede sobre Zp cuando p 6= 2. Sobre Z2 tenemos f = (X +
1)4.
52 CAPÍTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN
Ejemplo 4.1.18. Sea f = X4 + 4 ∈ Q[X]. En este caso el polinomio
f es reducible: f = (X2 + 2X + 2)(X2 − 2X + 2). Las raíces de f son
±1±
√
−1, así que el cuerpo de descomposición es Q(i).
Ejemplo 4.1.19. Sea f = X3 − 2 ∈ Q[X]. Sea u = 3
√
3 ∈ R y sea
ω = (−1 +
√
−3)/2 ∈ C la raíz cúbica de la unidad. Entonces las
raíces de f son u, ωu y ω2u, y el cuerpo de descomposición de f
sobre Q es Q(u, ω).
Ejemplo 4.1.20. Sea f = Xp−1 ∈ Q[X] con p primo. Sabemos que f =
(X−1)Φp y que Φp = Xp−1+ · · ·+X+1 es irreducible sobre Q. Sea u =
X + (Φp) ∈ Q[X]/(Φp) = F . Sabemos que los p elementos 1, u, . . . , up−1
forman una base de F sobre Q y por tanto son distintos. Por otra
parte f(uk) = (uk)p − 1 = (up)k − 1 = 0 para k = 0, . . . p − 1 y tenemos
p raíces de f en F . Luego f = (X − 1)(X − u) . . . (X − up−1) y F es
el cuerpo de descomposición de f sobre Q (luego también F es el
cuerpo de descomposición de Φp sobre Q).
Ejemplo 4.1.21. Sea f = Xp − 2 con p primo. Sea u = p
√
2 y sea
ζ = e2πi/p. Las raíces de f en C son u, ζu, . . . , ζp−1u y el cuerpo de
descomposición de f sobre Q es E = Q(u, ζu, . . . , ζup−1) = Q(u, ζ).
Como [Q(u) : Q] = p y [Q(ζ) : Q] = p− 1 son primos relativos, obtene-
mos que [E : Q] = p(p− 1).
Ejemplo 4.1.22. Sea ahora f = Xp − t ∈ K = Zp(t) donde t es una
indeterminada. Por el criterio de Eisenstein f es irreducible sobre
K. Sea F = K(u) el cuerpo obtenido adjuntando a K una raíz de
f . Como car(F ) = p el polinomio f descompone como f = (X − u)p
y por tanto F es el cuerpo de descomposición de f sobre K. Igual
ocurre para el polinomio Xpk − t ∈ Zp(t).
Definición 4.1.23. Sea F ⊂ K[X] cualquier conjunto de polinomios
no constantes. Una extensión E/K se llama cuerpo de descomposi-
ción de F sobre K si para todo polinomio f ∈ F existen u1, . . . , un ∈ E
tales que f = (X − u1) · · · (X − un) y además E = K(S) donde
S = {u ∈ F | ∃f ∈ F f(u) = 0}
Teorema 4.1.24. Para todo conjunto de polinomios no constantes
F ⊂ K[X] existe un cuerpo de descomposición sobre K.
Demostración. Sea F = {fλ | λ ∈ Λ} el conjunto de polinomios
dados. Si Λ es finito, sea f =
∏
λ fλ. Por el teorema 4.1.11 existe
un cuerpo de descomposición F de f sobre K, que es también el
cuerpo de descomposición de F sobre K.
4.2. CLAUSURA ALGEBRAICA 53
Sea ahora Λ infinito. Para cada subconjunto finito J ⊂ Λ sea FJ
un cuerpo de descomposición de J = {fλ | λ ∈ J} sobre K. Usando
un argumento de sustitución de conjuntos podemos tomarlos de
manera que si I ⊂ J se verifique FI ⊂ FJ . El conjunto S = {EJ |
J ⊂ Λ, J finito} está ordenado por inclusión y es dirigido (es decir,
para cualquier par FI , FJ ∈ S existe una extensión común FI∪J ∈ S).
Sea F = ∪J∈SFJ . Definimos una suma y un producto en F de la
siguiente manera: Para cualesquiera u, v ∈ F existe un J ∈ S tal
que u, v ∈ FJ . Entonces la suma u + v y el producto uv en F son la
suma y el producto en FJ . Es rutina comprobar queF es un cuerpo
de descomposición de F sobre K.
Proposición 4.1.25. Sean F1, F2 dos cuerpos de descomposición so-
bre K de la misma familia de polinomios F. Entonces existe un iso-
morfismo σ : F1 ∼= F2 sobre K.
Demostración. Si F es finito esta proposición es un caso particular
del corolario 4.1.13.
Sea ahora F arbitrario. Formamos el conjunto
E = {(E, τ) | F1 ⊃ E ⊃ K, τ es una extensión de σ }
Por el corolario 4.1.13 los E ⊃ K tales que E/K es finita pertene-
cen todos a E. Ordenamos el conjunto E de la siguiente manera:
(E1, τ1) � (E2, τ2) si y sólo si E1 ⊂ E2 y τ1 = τ2|E1. Es rutina com-
probar que esta es una ordenación inductiva sobre E. Sea (F, σ)
un elemento maximal. Si F $ F1, por la proposición 4.1.7 existe
un σ′ : F ′ → F2 extensión de σ con F $ F ′, en contra del carácter
maximal de (F, σ).
Finalmente, todo f ∈ F descompone en factores lineales en F1
y las raíces de todos estos polinomios se aplican mediante σ sobre
las raíces de todos los f ∈ F en F2. Pero estas últimas generan F2
sobre K, luego σ es sobre.
4.2. Clausura algebraica
Proposición 4.2.1. SeaK un cuerpo. Los siguientes enunciados son
equivalentes:
1. Todo polinomio no constante f ∈ K[X] tiene una raíz en K.
2. Para todo f ∈ K[X] de grado n > 1 existen u1, . . . , un ∈ K tales
que f = an(X − u1) · · · (X − un).
54 CAPÍTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN
3. Un polinomio f ∈ K[X] es irreducible si y sólo si gr(f) = 1.
4. Toda extensión algebraica de K es trivial.
Demostración. 1⇒ 2 Por inducción sobre el grado de f . Si gr(f) = 1
tenemos que f = a1X + a0 = a1(X − u1) con u1 = −a0/a1 ∈ K.
Sea ahora n = gr(f) > 1. Por la hipótesis existe un ∈ K tal que
f(un) = 0. Dividimos f por X − un y obtenemos f = f1 · (X − un)
donde f1 = anXn−1 + . . . Por la hipótesis de inducción existen
u1, . . . , un−1 ∈ K tales que f1 = an(X − u1) . . . (X − un−1). Luego
f = an(X − u1) . . . (X − un).
2⇒ 3 Sea f ∈ K[X] irreducible. No es constante, luego f = an(X −
u1) . . . (X−un) con ui ∈ K. Como K[X] es un dominio factorial, f
divide a uno de los factores de la derecha. Comparando grados
obtenemos que gr(f) = 1.
3⇒ 4 Sea E/K algebraica y u ∈ E arbitrario. Sea f = Irr(u,K). El
polinomio f es irreducible, luego gr(f) = 1 y f = X − u ∈ K[X].
Por tanto u ∈ K y E = K.
4⇒ 1 Sea f ∈ K[X] no constante. Por el teorema de Kronecker exis-
te una extensión algebraica E/K y un elemento u ∈ E tal que
f(u) = 0. Pero la hipótesis dice que E = K y por tanto u ∈ E.
Definición 4.2.2. Un cuerpo verificando las propiedades de la pro-
posición 4.2.1 se llama algebraicamente cerrado
Proposición 4.2.3. Todo cuerpo algebraicamente cerrado es infini-
to.
Demostración. Sea K = {a1, . . . , am} un cuerpo finito. Formamos el
polinomio f = (X − a1) . . . (X − am) + 1. Para todo a ∈ K se verifica
que f(a) = 1 6= 0, luego f no tiene raíces en K, de donde K no es
algebraicamente cerrado.
Proposición 4.2.4. Sea E/K una extensión arbitraria con E alge-
braicamente cerrado. Entonces el conjunto de elementos de E que
son algebraicos sobre K forman un cuerpo algebraicamente cerrado.
Demostración. Sea F el conjunto de elementos de E que son alge-
braicos sobre K. Ya hemos visto que F es un cuerpo (que se llama
clausura algebraica (relativa) de K en E). Veamos que es algebrai-
camente cerrado: Sea f ∈ F [X] ⊂ E[X] no constante arbitrario. Por
4.2. CLAUSURA ALGEBRAICA 55
ser E algebraicamente cerrado, existe un u ∈ E tal que f(u) = 0. En-
tonces u es algebraico sobre F y por tanto también sobre K. Luego
u ∈ F .
Definición 4.2.5. Decimos que un cuerpo E es una clausura alge-
braica (absoluta) de K si E/K es una extensión algebraica y E es
algebraicamente cerrado.
Proposición 4.2.6. Para una extensión E/K las siguientes propie-
dades son equivalentes:
1. E es una clausura algebraica de K.
2. La extensión E/K es algebraica y todo polinomio no constante
f ∈ K[X] descompone en factores lineales en E[X].
3. E es el cuerpo de descomposición sobre K del conjunto de poli-
nomios F = {f ∈ K[X] | gr(f) > 0}.
4. La extensión E/K es algebraica y todo polinomio no constante
f ∈ K[X] tiene una raíz en E.
Demostración. 1⇒ 2 Por la proposición 4.2.1 para todo polinomio
f ∈ F ⊂ E[X] existen u1, . . . , un ∈ E tales que f = an(X −
u1) . . . (X − un).
2⇒ 3 Sea S = {u ∈ E | ∃f ∈ F f(u) = 0}. Como E/K es algebraica, S
es el conjunto de elementos no nulos de E, y K(S) = E. Luego
E es el cuerpo de descomposición de F sobre K.
3⇒ 1 Sea g ∈ E[X] no constante y sea F = E(u) un cuerpo exten-
sión de F tal que g(u) = 0. El elemento u es algebraico sobre
E y E/K es una extensión algebraica, luego u es algebraico
sobre K. Sea f = Irr(u,K). Por la hipótesis existen elementos
u1, . . . , un ∈ E tales que f = (X − u1) . . . (X − un). Como f(u) = 0
existe un i tal que u = ui y por tanto u ∈ E.
La equivalencia con la condición 4 se verá mas adelante.
Proposición 4.2.7. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos con F/K
algebraica. Entonces E es una clausura algebraica de F si y sólo si
E es una clausura algebraica de K.
Demostración. El cuerpo E es una clausura algebraica de F si y
sólo si es algebraicamente cerrada y la extensión E/F es algebrai-
ca. Esto último ocurre si y sólo si E/K es algebraica, de donde el
resultado.
56 CAPÍTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN
Teorema 4.2.8 (Steinitz). Para todo cuerpo K existe una clausura
algebraica K̄.
Demostración. Por el teorema 4.1.24 existe un cuerpo de descom-
posición para F = {f ∈ K[X] | gr(f) > 0}. Por 4.2.6 es una clausura
algebraica de K.
Teorema 4.2.9. Dos clausuras algebraicas E1, E2 del mismo cuerpo
K son isomorfas sobre K.
Demostración. Por 4.2.6 E1 y E2 son cuerpos de descomposición de
la familia F = {f ∈ K[X] | gr(f) > 0}. Por 4.1.25 son isomorfos
sobre K.
Teorema 4.2.10. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos con E/K
algebraica y sea K̄ una clausura algebraica de K. Entonces todo
homomorfismo σ : F → K̄ sobre K tiene una extensión τ : E → K̄.
Demostración. Por inducción transfinita. Sea
S = {(Ei, σi) | F ⊂ Ei ⊂ E, σi : Ei → K̄ y σi|F = σ}
El conjunto S no es vacío y está inductivamente ordenado por in-
clusión. Por el lema de Zorn existe un maximal (E1, σ1). Si E1 ( E,
existe u ∈ E, u /∈ E1. Sea f = Irr(u,K) y sea v ∈ K̄ una raíz de f . Por
4.1.7 existe un σ2 : E1(u)→ K̄ extensión de σ1 tal que σ1(u) = v, y el
par (E1(u), σ2) contiene propiamente a (E1, σ1) en contra del carác-
ter maximal de éste último. Luego E1 = E y τ = σ1 es la extensión
buscada.
Proposición 4.2.11. Sea K un cuerpo y sea K̄ su clausura alge-
braica.
1. Si K es finito , entonces la clausura K̄ es infinito numerable.
2. Si K es infinito, entonces la clausura algebraica K̄ tiene el mis-
mo cardinal que K.
Demostración. Para cualquier cuerpo K sea Mn = {f ∈ K[X] |
gr(f) = n f mónico }. El conjunto Mn está en biyección con Kn.
El anillo K[X] es la unión disjunta de la familia numerable de to-
dos los Mn, luego el cardinal de K[X] es la suma de los cardinales
|Mn| = |K|n. Si K es infinito, |K|n = |K| y |K[X]| = |K|. Si |K| es finito
también lo es |K|n y |K[X]| es numerable.
El conjunto K̄ es la unión del cero y de las raíces de todos los
polinomios de la familia F = {f ∈ K[X] | gr(f) > 0}. El número de
ceros de cada polinomio f es finito, luego |K̄| = |K[X]|.
Capítulo 5
Extensiones normales y
separables
57
58 CAPÍTULO 5. EXTENSIONES NORMALES Y SEPARABLES
5.1. Elementos conjugados y extensiones
conjugadas.
Sea K un cuerpo base fijo y sea K̄ una clausura algebraica de
K también fija. Todos los elementos y todas los cuerpos extensión
que vamos a considerar están en K̄.
Proposición 5.1.1. Sean u, v ∈ K̄. Los siguientes enunciados son
equivalentes:
1. Irr(u,K) = Irr(v,K)
2. Existe un isomorfismo τ : K(u)→ K(v) tal que τ(u) = v
3. Existe un homomorfismo σ1 : K(u)→ K̄ tal que σ(u) = v
4. Existe un automorfismo σ : K̄ → K̄ tal que σ(u) = v.
Definición 5.1.2. Dos elementos u, v ∈ K̄ se llaman conjugados
sobre K si verifican las propiedades enunciadas en 5.1.1.
Proposición 5.1.3. Sean F1/K y F2/K dos extensiones algebraicas.
Los siguientes enunciados sonequivalentes:
1. Existe un isomorfismo σ : F1 → F2 sobre K.
2. Existe un homoomorfismo σ1 : F1 → K̄ sobre K tal que σ1(F1) =
F2.
3. Existe un isomorfismo σ2 : K̄ → K̄ sobre K tal que σ2(F1) = F2).
Definición 5.1.4. Dos extensiones F1/K, F2/K se llaman conjuga-
das si verifican las propiedades enunciadas en 5.1.3
5.2. Extensiones normales
Teorema 5.2.1. Sea F/K una extensión algebraica, con F subcuer-
po de K̄. Los siguientes enunciados son equivalentes:
1. Para todo σ : F → K̄ sobre K, σ(F ) = F
2. Todo polinomio irreducible de K[X] que tiene una raíz en F des-
compone en factores lineales en F [X].
5.2. EXTENSIONES NORMALES 59
3. F es el cuerpo de descomposición sobre K de una familia de
polinomios de K[X].
Definición 5.2.2. Una extensión F/K se llama normal si verifica
las propiedades del teorema 5.2.1
Proposición 5.2.3. Propiedades de las extensiones normales:
1. Sea E/K una extensión normal y sea F/K una extensión alge-
braica arbitraria. Entonces la extensión EF/F es normal
2. Sea K ⊂ F ⊂ E una torre de de cuerpos con E/K normal. En-
tonces E/F es una extensión normal.
3. Sean F1/K y F2/K dos extensiones normales. Entonces F1F2/K
es una extensión normal.
4. Sea Fλ/K, λ ∈ Λ una familia arbitraria de extensiones normales
y sea E = ∩λFλ. Entonces la extensión E/K es normal.
Definición 5.2.4. Sea F/k una extensión algebraica arbitraria. Lla-
mamos clausura normal de F/K a la extensión E/K donde
E = ∩{F1 | F1 ⊃ F y F1/K es normal}
Teorema 5.2.5. Para toda extensión algebraica F/K existe una clau-
sura normal E/K.
Teorema 5.2.6. Sean E1/K y E2/K dos clausuras normales de la
extensión F/K. Entonces existe un isomorfismo E1 ∼= E2 sobre F .
Proposición 5.2.7. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos tal que la
extensión E/K es normal. Entonces todo homomorfismo τ : F → E
se extiende a un automorfismo σ : E → E
Proposición 5.2.8. Sea F = K(u1, . . . , un) una extensión finita y sea
fi = Irr(ui, K) para i = 1, . . . , n. Entonces la clausura normal es E/K
donde E es el cuerpo de descomposición de f = f1 · · · f2 sobre K.
Corolario 5.2.9. Sea F/K una extensión finita de grado n = [F : K]
y sea E/K su clausura normal. Entonces E/K es finita.
Definición 5.2.10. Sea f ∈ K[X] un polinomio irreducible. Deci-
mos que f es un polinomio normal sobre K si para toda extensión
algebraica F/K tal que en F exista una raíz de f , el polinomio f
descompone como un producto de factores lineales.
60 CAPÍTULO 5. EXTENSIONES NORMALES Y SEPARABLES
Proposición 5.2.11. Sea f un polinomio irreducible en K[X]. Los
siguientes enunciados son equivalentes:
1. El polinomio f es normal sobre K.
2. El cuerpo de descomposición de f sobre K es K(u), donde u es
una raíz de f .
3. Todas las raíces de f se expresan como polinomios en una cual-
quiera de ellas.
5.3. Extensiones separables
Definición 5.3.1. Un elemento algebraico u sobre un cuerpo K se
llama separable si Irr(u,K) no tiene raíces múltiples
Definición 5.3.2. Una extensión algebraica F/K se llama separa-
ble si todo elemento de F es separable sobre K.
Proposición 5.3.3. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos tal que
E/K es una extensión separable. Entonces E/F y F/K son extensio-
nes separables.
Sea una torre de cuerpos
K̄ ⊃ F ⊃ K
donde K̄ es una clausura algebraica de K.
Definición 5.3.4. Llamamos grado separable de F sobre K al car-
dinal del conjunto de homomorfismos de F en K̄ sobre K:
[F : K]s = |{σ : F → K̄ sobre K }|
Proposición 5.3.5. Sea una torre de cuerpos
K̄ ⊃ E ⊃ F ⊃ K
donde K̄ es una clausura algebraica de K. Entonces
[E : K]s = [E : F ]s[F : K]s
Proposición 5.3.6. Sea F/K una extensión finita. Entonces [F : K]s
divide a [F : K] y por tanto [F : K]s ≤ [F : K]
5.3. EXTENSIONES SEPARABLES 61
Proposición 5.3.7. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos con E/K
finita. Entonces [E : K]s = [E : K] si y sólo si [E : F ]s = [E : F ] y
[F : K]s = [F : K].
Proposición 5.3.8. Sea E/K una extensión finita. La extensión E/K
es separable si y sólo si [E : K]s = [E : K].
Proposición 5.3.9. Sea F/K una extensión algebraica y S ⊂ F tal
que F = K(S). Entonces la extensión F/K es separable si y sólo si
todo elemento de S es separable sobre K.
Proposición 5.3.10. 1. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos con
E/K algebraica. La extensión E/K es separable si y sólo si las
extensiones E/F y F/K son separables.
2. Sean E/K una extensión algebraica separable y F/K una ex-
tensión arbitraria. Entonces EF/F es separable.
3. Sean E/K y F/K dos extensiones algebraicas separables. En-
tonces EF/K es separable.
Corolario 5.3.11. Sea F/K una extensión separable y E/K su clau-
sura normal. Entonces E/K es separable.
Definición 5.3.12. El conjunto de todos los elementos de K̄ sepa-
rables sobre K forman un subcuerpo de K̄ que se llama clausura
separable de K y se denota por Ksep.
Teorema 5.3.13 (Teorema del elemento primitivo). Sea F/K una
extensión finita. La extensión es simple si y sólo si el conjunto de
cuerpos intermedios {E | F ⊃ E ⊃ K} es finito.
Si la extensión F/K es finita y separable, entonces es simple.
Definición 5.3.14. Sea K un cuerpo de característica p. El homo-
morfismo φ : K → K definido por φ(u) = up se llama endomorfismo
de Frobenius del cuerpo K.
Teorema 5.3.15. Para un cuerpo K las siguientes propiedades son
equivalentes:
1. Todo polinomio f ∈ K[X] irreducible tiene sólo raíces simples.
2. Toda extensión E/K algebraica es separable.
3. Toda extensión E/K finita es separable.
62 CAPÍTULO 5. EXTENSIONES NORMALES Y SEPARABLES
4. car(K) = 0 ó car(K) = p y el endomorfismo de Frobenius es
sobre.
Definición 5.3.16. Un cuerpo K se llama perfecto si tiene las pro-
piedades del teorema 5.3.15.
Proposición 5.3.17. 1. Todo cuerpo de característica cero es per-
fecto.
2. Todo cuerpo finito es perfecto.
3. Todo cuerpo algebraicamente cerrado es perfecto.
5.4. Derivada y raíces múltiples
Definición 5.4.1. Sea f ∈ F [X] un polinomio y u ∈ F . Decimos que
u es una raíz de f de multiplicidad k si f = (X − u)kf1 con f1(u) 6= 0.
El elemento u es una raíz simple si k = 1 y es una raíz múltiple
si k > 1.
Definición 5.4.2. Para todo polinomio f =
∑n
i=0 aiX
i = anX
n + · · ·+
a1X + a0 definimos la derivada de f como
f ′ =
n∑
i=1
ianX
i−1 = nanX
n−1 + · · ·+ a1
Proposición 5.4.3. La derivada verifica las siguientes propiedades:
1. Para todo par de polinomios f, g se verifica (f + g)′ = f ′ + g′
2. Para todo par de polinomios f, g se verifica (f · g)′ = f ′ · g + f · g′
3. (fm)′ = mfm−1 · f ′
Proposición 5.4.4. Las raíces de f son simples si y sólo si m. c. d.(f, f ′) =
1
Corolario 5.4.5. Sea f irreducible y f ′ 6= 0. Entonces las raíces de f
son simples
Corolario 5.4.6. 1. Sea car(K) = 0 y f irreducible sobre K. En-
tonces las raíces de f son simples.
2. Sea car(K) = p > 0. El polinomio f irreducible tiene raíces mul-
tiples si y sólo si f(X) = g(Xp)
Definición 5.4.7. Un polinomio f ∈ K[X] se llama separable sobre
K si sus factores irreducibles tienen sólo raíces simples.
Parte III
Teoría de Galois finita
63
Capítulo 6
Teoría de Galois finita
65
66 CAPÍTULO 6. TEORÍA DE GALOIS FINITA
6.1. Grupos de automorfismos
Sea S un conjunto y F un cuerpo. Sea Fun(S, F ) = {f : S →
F} el conjunto de todas las aplicaciones de S en F . Definimos en
Fun(S, F ) una suma y un producto escalar por componentes: (f1 +
f2)(s) = f1(s) + f2(s) y (af)(s) = a · f(s) para todo s ∈ S y todo a ∈ F .
Lema 6.1.1. El conjunto Fun(S, F ) con la suma y productos recién
definidos es un espacio vectorial sobre F de dimensión |S|.
Demostración. Ocho comprobaciones rutinarias.
Sea ahora G un grupo sean y sean σ1, . . . , σn : G → F× n homo-
morfismos distintos de G en el grupo multiplicativo de F .
Proposición 6.1.2. Los homomorfismos σ1, . . . , σn son linealmente
independientes sobre F .
Demostración. Un único homomorfismo es linealmente indepen-
diente sobre F .
Supongamos que los homomorfismos dados son linealmente de-
pendientes sobre F . Sea σ1, . . . , σs un subconjunto linealmente de-
pendiente de longitud mínima, de manera que existen