Mate2_Lic_4aEd_06

Vista previa del material en texto

Unidad 6 
Cálculo de máximos 
y mínimos
Objetivos
Al terminar la unidad, el alumno:
Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente 
o decreciente.
Usará la derivada para calcular los extremos locales de una función.
Empleará la primera y segunda derivada para estudiar la concavidad 
locales de una función.
Usará los conceptos de extremos locales, así como de concavidad para 
resolver problemas en economía y en administración.
2
233
Matemáticas 
Introducción
El problema fundamental asociado al uso de funciones para modelar problemas económicos consiste en calcular los valores de la variable independiente para los cuales la función toma un valor que se puede 
considerar máximo o mínimo de la función en cierto contexto. Se resuelve este 
problema de optimización con el uso de la derivada de la función.
En esta unidad se desarrollan criterios basados en la primera y segunda 
se estudian otros criterios que permiten determinar los intervalos donde la 
función crece, o decrece, su tipo de concavidad y los puntos donde la concavidad 
cambia, aspectos que son importantes para conocer el comportamiento de la 
función en su dominio.
6.1. Funciones crecientes y decrecientes
algunos valores de las variables x y y, que después se representan en un sistema 
la función. Este método puede llevar a cometer algunos errores.
Por ejemplo, los puntos (–1,0), (0,–1) y (1,0) son puntos de la función 
y = (x+1)3(x–1). Con base en estos puntos se podría tentativamente 
conclui r que la gráf ica tiene la forma mostrada en la f igura 1b, pero de 
hecho, la forma verdadera es la mostrada en la f igura 1a. 
 1a. 1b.
Figura 6.1. Ambas curvas pasan por los puntos (–1,0), (0,–1) y (1,0).
234
Unidad 6
cuando se mira de izquierda a derecha, es decir, hasta qué punto la función 
decrece para comenzar a crecer, o sea, “ ir hacia arriba” . La derivada de la función 
suministra información en este sentido.
y = f (x
Obsérvese que conforme x aumenta (de izquierda a derecha) en el intervalo I1 
entre a y b, los valores de y = f (x) también aumentan y la curva se levanta. 
 x1 y x2 son dos puntos 
cualquiera en I1, tales que x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2) y se dice que f es 
creciente en el intervalo I1.
Al contrario, en el intervalo I2, comprendido entre c y d, los valores de y 
decrecen a medida que x crece. Es decir, si x3 < x4, entonces f (x3) > f (x4) y se 
dice que f es decreciente en I2. 
 I
1
 I
2
 f creciente f decreciente
Figura 6.2. Naturaleza creciente o decreciente de una función.
En general se tiene que:
x crece, y 
x aumenta.
Una función es creciente en el intervalo I si para dos números x1, x2 
cualesquiera en I, tales que x
1
< x
2
, se tiene que f (x
1
) < f (x
2
). 
Una función es decreciente en el intervalo I si para dos números x1, x2 
cualesquiera en I, tales que x1< x2, se tiene que f (x1) > f (x2). 
y
x
a x x b c x x d
y = f (x)
2
235
Matemáticas 
y x x18
2
3
3
Figura 6.3. Naturaleza creciente y decreciente de y = 18x –
2
3
x3.
crece y en dónde decrece, pero si sólo se tiene su expresión algebraica y lo 
que se quiere es precisamente saber en qué intervalos crece y en qué intervalos 
el de la primera derivada .
del intervalo donde la función está creciendo y en otro donde la función está 
decreciendo, se puede ver que en el punto donde la curva está creciendo el 
ángulo que forma la recta tangente con el eje x es un ángulo agudo, lo que hace 
que la tangente de este ángulo sea positiva y por lo tanto la pendiente de la 
recta tangente también sea positiva. 
Al contrario, en el punto donde la curva decrece, la recta tangente forma 
un ángulo obtuso con el eje positivo de las x y por lo tanto la pendiente de 
esta recta es negativa. 
Figura 6.4a. f crece en x = c Figura 6.4b. f decrece en x = c
Decreciente Creciente Decreciente
236
Unidad 6
Como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es precisamente 
la derivada de la función en ese punto, se tiene el siguiente criterio:
Ejemplo 1
Aplicando el criterio de la primera derivada (1) ¿cuáles son los intervalos 
donde la función f(x) = x2 crece, y cuáles donde decrece?
Solución: como la derivada de la función es f (x) = 2x se resuelven las 
desigualdades:
 ( )
( )
i
ii
2 0 0
2 0 0
x x
x x
x mayores 
que 0. 
Por (i i) afirmamos que la función decrece para todos los valores de x 
menores que 0. 
que es precisamente una parábola. 
 
 
 Figura 6.5. y = x2
Criterio de la primera derivada para localizar intervalos donde la 
función crece o decrece.
Si f x a x b f a x b para entonces es creciente en ( ) ,0 
Si f x a x b f a x b para entonces es decreciente en ( ) ,0 (1)
Si f (x) = 0 para a < x < b, entonces f es constante en a < x < b
2
237
Matemáticas 
Observemos que cuando x = 0 la parábola ni crece ni decrece. A la izquierda 
de 0 la función viene decreciendo y a la derecha la función crece. 
Ejemplo 2
¿Dónde crece y dónde decrece la función y x x18
2
3
3 ?
Solución: siguiendo el criterio (1) derivamos la función y = 18 –2x2 e 
igualamos a cero.
 18 – 2x2 = 0
 x2 = 9 donde las soluciones son:
 x = 3 y x = –3
Marcamos estos valores sobre un segmento de recta
Tomamos un valor antes de –3, entre –3 y 3 y después de 3 evaluando 
la primera derivada.
f (–4) = 18 – 2(–4)2 = –14 como f < 0 la función es decreciente en (– , –3)
f (0) = 18 – 2(0)2 = 18 como f > 0 la función es creciente en (–3, 3)
f (4) = 18 – 2(4)2 = –14 como f < 0 la función es decreciente en (3, ). La 
Ejercicio 1
decreciente o constante) en cada uno de los intervalos señalados.
1.
 
y
x
x x x x x x x
–3 3
238
Unidad 6
2. 
En los ejercicios 3 a 7 halla los intervalos donde la función dada es creciente 
o decreciente.
3. ( ) f x x x3 2
3
2
4. ( ) f x x x2 33 2
5. ( ) f x x2 5
6. f x x x( )
1
2
4 2
7. f (x) = x4 – 8x2
8. Una empresa ha identificado que su ingreso mensual en pesos está 
dado por:
 I(x) = 100x – x2 pesos. 
Determina los intervalos donde la función ingreso es creciente o 
decreciente.
9. La utilidad de una fábrica por la producción y venta de x unidades de 
cierto artículo ha sido determinada por: 
 U(x) = 80x – x2 – 500 pesos.
Encuentra los intervalos donde la función de util idad es creciente y los 
intervalos donde es decreciente.
10. Una compañía de discos estima que el costo total semanal de producción 
de x discos es:
 C(x) = 350 + 20x pesos. 
Señala los intervalos donde la función de costo total es creciente y el 
intervalo donde es decreciente.
x
3
1
y
2
239
Matemáticas 
6.2. Criterio de la primera derivada para 
obtener extremos locales
compleja que muestra algunas de las cosas que se deben conocer para poder 
 
 
Figura 6.6. 
Los máximos y mínimos locales o relativos se denominan extremos locales 
o extremos relativos de la función. Un máximo local o relativo en una función 
se presenta en un punto que es más alto que cualquier otro que esté cerca. Un 
mínimo local o relativo en una función se presenta en un punto que es más bajo 
que cualquier otro punto cercano.
x1, f (x1)) y (x3, f (x3)) 
un mínimo relativo en el punto (x4, f (x4)).
máximo absoluto o el mínimo absoluto de una función en un 
intervalo como el valor más grande o más pequeño de la función en ese intervalo, 
resulta que los extremos locales no siempre coinciden con estos valores. Por 
de la función se da en el punto (x5, f (x5)), en tanto que su mínimo absoluto 
se da en (x2, f (x2)).
Los extremos locales de una funciónse conocen cuando sabemos los 
intervalos donde la función crece o decrece, porque los máximos relativos, tal 
f(x)
xx x x x x
(x2, f(x2))
(x1, f(x1))
(x3, f(x3))
(x4, f(x4))
(x5, f(x5))
240
Unidad 6
crecer y empieza a decrecer, y los mínimos relativos se dan en los puntos donde 
la función deja de decrecer y empieza a crecer.
Se sabe que una función es creciente cuando su primera derivada es positiva 
y es decreciente cuando la primera derivada es negativa, por lo tanto los únicos 
puntos donde la función puede tener extremos locales son aquellos donde la 
derivada es cero (si existe).
Por lo tanto, si la función tiene extremos locales, éstos se dan en los valores 
críticos. Por consiguiente, para determinar los extremos locales de una función 
basta conocer los valores críticos e interpretar el signo de la derivada antes y 
después del valor crítico. Concretamente, se tiene el siguiente algoritmo para 
localizar los extremos relativos de una función:
 
Obsérvese que el algoritmo anterior, además de hallar los extremos relativos, 
determina los intervalos donde la función crece o decrece.
 Un valor c, en el dominio de f, se l lama valor crítico si f (c) = 0 
o f (c) no existe.
El punto (c, f (c)), que corresponde a un valor crítico, se denomina 
punto crítico .
Algoritmo para hallar los extremos locales (criteri o de la 1a derivada):
1. Se calcula la derivada de la función.
2. Se encuentran los valores críticos resolviendo la ecuación f (x) = 0 
o bien donde la derivada no existe.
3. Se marcan los valores críticos en la recta numérica. En cada uno de los 
intervalos creados por esos puntos, se toma un valor cualquiera y se halla 
el signo de la derivada en esos puntos. 
4. Se observa el signo obtenido en el inciso anterior, antes y después del 
valor crítico, y se aplica el siguiente criterio: 
(i) Si los signos son (+) (–) se tiene un máximo local. 
(ii) Si los signos son (–) (+) se tiene un mínimo local. 
(iii) En los otros casos (+) (+) y (–) (–) no existe extremo local. 
2
241
Matemáticas 
Ejemplo 3
Determina los extremos locales de la función y = (x + 1)3(x –1) y esboza 
Solución: seguimos los pasos dados por el criterio de la primera derivada 
para hallar extremos locales:
1. Como la función es un producto:
 f (x) = (x + 1)3(1) + (x – 1)3(x + 1)2(1)
 
 factorizamos ( ) ( )x x1 3 12 ( )
(
x
x
1
 simplificamos 11 4 2
2
2) ( )x
 factorizamos (( ) ( )x x1 2 12
2. Igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación:
 f x
x x
x x
x x
 ( )
( ) ( )
,
0
2 1 2 1 0
1 0 2 1 0
1 1 2
2
3. Marcamos los puntos críticos sobre una recta:
 
Tomamos un valor en cada uno de los tres intervalos que quedaron 
determinados y hallamos el signo de la derivada: 
A la izquierda de –1 tomamos, por ejemplo, el valor –2 que al evaluarla 
en la derivada de f es:
 f (–2) = 2(–2 + 1)2(2(–2) –1) = –10
Es decir, su signo es –.
Entre –1 y 
1
2
 tomamos, por ejemplo, el 0 y calculamos la derivada en 
este punto: 
 f (0) = 2(0 + 1)2(0 –1) = –2
Es decir, el signo es –.
1/2–1
242
Unidad 6
En el intervalo después de 1/2 escogemos, por ejemplo, el 1, cuya derivada es:
 f (1) = 2(1 + 1)2(2 – 1) = 8
Es decir, el signo es +. 
Colocamos toda esta información sobre la recta numérica:
4. En el valor crítico x
ningún extremo local. En el valor crítico x
que existe un mínimo local en el punto (1/2, –27/16).
 Figura 6.7. y = (x + 1)3(x – 1).
Ejemplo 4
Si y x
x
4
1
, usemos el criterio de la primera derivada para encontrar 
dónde se presentan los extremos relativos, dónde la función crece y dónde 
decrece. 
Solución: realizamos los cuatro pasos que indica el algoritmo:
1. Escribimos la función en la forma y = x + 4(x + 1)–1 para obtener 
la derivada:
2
243
Matemáticas 
 
y x
x
 1 4 1 1
4
1
2
2
( )
( )
 
y
x
x
x x
x
x x
x
 
(
( (
( (
(
)
) )
) )
)
1 4
1
2 3
1
3 1
1
2
2
2
2
2
2. Resolver y = 0 es equivalente a resolver (x + 3)(x – 1) = 0. Al 
resolver la ecuación anterior obtenemos que x = –3 y x = 1 son valores críticos. 
Los valores para los cuales la derivada no existe son los valores donde el 
denominador se anula, esto es, cuando (x + 1)2 = 0. Es decir, cuando x = –1. Como 
el valor –1 no pertenece al dominio de la función no puede ser un valor crítico con 
lo que los valores críticos de esta función son sólo los valores –3 y 1.
3. Marcamos los valores críticos en una recta y calculamos el signo de la 
derivada en cada uno de los intervalos que quedan determinados.
Como el denominador de la derivada es un cuadrado, su signo es siempre 
positivo, por lo tanto el signo de la derivada depende exclusivamente del signo 
del numerador (x + 3)(x – 1). 
En el intervalo antes de –3 escogemos, por ejemplo, el valor – 4 y se tiene 
(– 4 + 3)(– 4 –1) = 5, por lo tanto tiene signo +. 
Entre –3 y 1 seleccionamos 0 cuyo numerador es (0 + 3)(0 –1) = –3, es 
decir, tiene el signo –.
Para el intervalo después de 1, seleccionamos, por ejemplo, el 2 y se tiene 
(2 + 3)(2 –1) = 5, es decir, tiene signo +. 
4. 
De esta forma tenemos que los puntos críticos de esta función son los puntos 
(–3, –5) donde hay un máximo local y (1, 3) donde hay un mínimo local. Además 
la función decrece entre –3 y 1, y crece en los demás intervalos. 
Plasmamos esta información sobre la recta numérica:
 Creciente Decreciente Creciente
244
Unidad 6
Figura 6.8. y x
x
4
1
Ejemplo 5
¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos 
locales de la función f x x( )
2
3 ? 
Solución: tenemos que la derivada de la función es:
 f '(x)=
2
3
x–1/3
 
2
33 x
Cuando x = 0, f (x f(x) sí lo está. Así, 0 es un 
valor crítico y no hay ningún otro. Si x < 0, entonces f (x) < 0. Si x > 0, 
entonces f (x) > 0. Por lo tanto, se tiene un mínimo relativo, que también 
es absoluto en (0, 0).
Figura 6.9. y = x2/3
(–3, –5)
(1, 3)
(0, 0)
2
245
Matemáticas 
Ejemplo 6
Encuentra los extremos relativos de la función y = f (x) = x2ex.
Solución: la derivada es f (x) = x2ex + ex(2x) = xex (x+2)
Como ex es distinto de cero, los únicos valores que anulan la derivada 
son 0 y –2. 
tenemos:
Diagrama de signos para f (x) = xex(x + 2)
De este diagrama concluimos que en x = –2 existe un máximo relativo y 
en x = 0 un mínimo relativo.
Figura 6.10. y = x2ex
Ejercicio 2
En los ejercicios 1 a 7 encuentra los intervalos donde la función dada crece y 
donde decrece. Además encuentra los extremos locales de la función. 
1. f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7
2. f (x) = x4 + 8x3 + 18x2
3. f (x) = (x – 1) 
(0, 0)
(–2, 0.54)
246
Unidad 6
6.3. Criterio de la segunda derivada
Así como el signo de la primera derivada tiene una relación directa con el 
comportamiento de la función en el sentido de que si la derivada es positiva 
la función crece y si es negativa la función decrece, la segunda derivada 
proporciona también información, donde a través de su signo se puede describir 
la forma de la curva, esto es, su concavidad. Si una función tiene una segunda 
derivada f , ésta se puede util izar para determinar los intervalos de concavidad 
hacia arriba si está sobre sus rectas tangentes, de igual forma, es cóncava hacia 
Figura 6.11.
4. f (x) = 
x
x
2
2
 
5. f (x) = x3 – 3x2 – 24x + 32 
6. f (x) = (x2 – 4)2/3 
7. f (x) = x
x
32
2 
8. Una organización no gubernamental de protección del ambiente ha 
estimado que la concentración de oxígeno en un estanque contaminado con un 
residuo orgánico está dada por:
 f t
t t
t
( )
2
2
1
1
 entre 0 t donde t es tiempo
Determina en qué tiempo se alcanza la concentración más baja de oxígeno.
P Q
a b ca
2
247
Matemáticas 
Si una función es creciente en un intervalo, ésta puedetener cualquier 
tipo de concavidad, igualmente sucede con una función decreciente. En 
consecuencia, tenemos:
función creciente, como la derivada nos proporciona la pendiente de la recta 
creciendo al pasar de izquierda a derecha a lo largo de la curva.
función decreciente; aquí las pendientes de las rectas tangentes están decreciendo 
al pasar de izquierda a derecha a lo largo de la curva. 
Sea una función f derivable en un intervalo I f es:
 Cóncava hacia arriba si f es creciente en I.
 Cóncava hacia abajo si f es decreciente en I.
 Como la f mide la razón de cambio de la pendientede la recta tangente 
a la curva de la función f ; entonces, si f > 0 en el intervalo I, las pendientes 
de las rectas tangentes de f crecen, por lo tanto, la función es cóncava hacia 
arriba en I. Si f < 0, las rectas tangentes decrecen y la función es cóncava 
hacia abajo en I. Se establece entonces el siguiente criterio para la prueba 
de concavidad:
 Si f > 0 en el intervalo I, entonces f es cóncava hacia arriba en I.
 Si f < 0 en el intervalo I, entonces f es cóncava hacia abajo en I.
Ejemplo 7
Analicemos la concavidad de la parábola y = x2
Solución: calculamos la segunda derivada: como y = 2x, entonces 
y = 2 que es siempre posi tiva, l o que signi f i ca que la parábola es 
cóncava hacia arriba.
 
248
Unidad 6
Figura 6.12. y = x2
puntos P y Q
6.11 cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo en P, y de cóncava 
hacia abajo a cóncava hacia arriba en Q. 
Los puntos P y Q
Ejemplo 8
Dada la función f x x x( )
1
3
9 33 :
a) Analicemos su concavidad.
c) ¿Cuáles son los extremos locales?
Solución: la primera derivada de la función es: f (x) = x2 –9
La segunda derivada es f (x) = 2x
a) La concavidad es hacia arriba cuando la segunda derivada es positiva, 
es decir, cuando: 
 f (x) = 2x > 0, x > 0
La concavidad es hacia abajo cuando la segunda derivada es negativa, 
es decir, cuando: 
 f (x) = 2x < 0, x < 0
2
249
Matemáticas 
 f (x) = 2x = 0, x = 0
Luego en x 
c) En los extremos locales la primera derivada se anula. Esto es:
 f (x) = x2 – 9 
 x2 – 9 = 0
 (x + 3) (x – 3) = 0
 x = – 3, x = 3
Como la primera derivada en – 4 es positiva, en 0 es negativa y en 4 es 
caracterizar los valores críticos: 
En –3 se tiene (+) (–), luego en x = –3 hay un máximo; en 3 se pasa de (–) (+), 
luego en x = 3 hay un mínimo.
 
Figura 6.13. f x x x( )
1
3
9 33
Intervalos de concavidad:
Para determinar los intervalos de concavidad uti l izamos el siguiente 
procedimiento:
1. Calcular f 
2. Determinar los valores de x para los cuales f 
 Creciente Decreciente Creciente
+ +
250
Unidad 6
El criterio de la segunda derivada. 
Sea c un valor crítico de f, es decir, f (c) = 0 y f existe, entonces:
 Si f (c) > 0, entonces f tiene un mínimo local en x = c.
 Si f (c) < 0, entonces f tiene un máximo local en x = c.
 Si f (c
y se utiliza el criterio de la primera derivada.
El algoritmo para hallar extremos locales aplicando el criterio de segunda. 
derivada es:
1. Calcular f .
2. Igualar f a cero y determinar los valores para la variable en cuestión. 
 Éstos son los valores críticos.
3. Calcular f . Evaluar en f los valores críticos.
4. De acuerdo con el signo de la f , se aplica el criterio.
Ejemplo 9
Empleamos el criterio de la segunda derivada para localizar los máximos y 
mínimos locales de la función f(x) = x4 – 2x2 + 3.
Solución: localicemos los valores críticos igualando la primera derivada 
de la función a 0:
 
f x x x
x x
x x x
'( )
( )
( ) ( )
4 4
4 1
4 1 1 0
3
2
Los puntos críticos son x = 0, x = 1, x = –1
3. Calcular el signo de f en cada uno de los intervalos hallados en el paso 
anterior. Es decir, se calcula f (c), donde c es cualquier punto de prueba conveniente 
en el intervalo.
4. Aplicar entonces el criterio:
 Si f (c) > 0, f es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
 Si f (c) < 0, f es cóncava hacia abajo en ese intervalo.
local la concavidad de la curva es hacia abajo. En el punto donde existe un 
mínimo local la concavidad es hacia arriba.
La relación entre máximos locales y concavidad hacia abajo y mínimos locales 
y concavidad hacia arriba no es casualidad de la función del ejemplo 8, sino que es 
una situación general que se conoce como el criterio de la segunda derivada.
2
251
Matemáticas 
Calculamos la segunda derivada f (x) = 12x2 – 4 = 4(3x2 – 1)
Se sustituyen los puntos críticos para ver los signos y aplicar el criterio 
de la segunda derivada. 
 f (0) = – 4 < 0
Se deduce que el punto crítico en x = 0 es un máximo local. Como 
f ''(1) = 8 > 0 se concluye que el punto crítico x = 1 es un mínimo local. 
Finalmente, como f '' x = –1 es 
un mínimo local. 
f
Figura 6.14. x4 – 2x2 + 3
Ejemplo 10
¿Dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia 
abajo la función f (x) = x4 + 8x3 + 18x2 – 8? ¿Cuáles son los extremos relativos 
y los puntos de 
Solución: la primera derivada es:
 
f x x x x
x x x
x x
'( )
( )
( )
4 24 36
4 6 9
4 3
3 2
2
2
 
 
El valor de f (x) = 0, cuando x = 0, x = –3. Como f (0) = –8 y f (–3) = 19, 
los puntos críticos son (0,–8) y (–3,19).
(–1, 2)
(0, 3)
(1, 2)
252
Unidad 6
La segunda derivada (que se calcula a partir de la forma no factorizada 
de la primera derivada) es:
 f (x)=12x2+ 48x + 36
 =12(x2+ 4x +3) = 12(x + 3) (x+1)
Al calcular la segunda derivada en los valores críticos 0 y –3 se obtiene:
 f
f
''
''
( )
( )
0 36 0
3 0
minimo en (0, 8)
punto de inflexion en (( 3,19)
Para determinar los intervalos de concavidad utilizamos el procedimiento e 
igualamos la segunda derivada a cero:
 f (x) = 0
 12x2 + 48x + 36 = 0
 12(x + 3)(x + 1) = 0
resolviendo, tenemos que en x = –3 (obtenido anteriormente) y x = –1 
f 
son (–3, 19) y (–1, 3).
Por lo tanto los intervalos a analizar son:
i) (– , –3), si tomamos x = – 4, 
f (– 4) = 12(– 4 + 3)(– 4 + 1) = 36, como f (– 4) > 0, 
entonces la función es concava hacia arriba en el intervalo indicado.
ii) (–3, –1), si tomamos x = –2,
 f (–2) = 12(–2 +3 )(–2 + 1) = – 12 como f (–2) < 0, 
entonces la función es cóncava hacia abajo en el intervalo.
iii) (–1, ), si tomamos x = 0, 
f (0) = 12(0 + 3)(0 + 1) = 36, como f (0) > 0, 
entonces la función es cóncava hacia arriba en el intervalo.
El análisis de crecimiento y decrecimiento (utilizamos criterio de primera 
derivada), así como de concavidad se resume en la tabla 1, en la cual observamos 
que se indica también el intervalo (0, ) pues en x = 0 existe un punto mínimo.
mínimo
2
253
Matemáticas 
Tabla 6.1. Análisis del crecimiento y de la concavidad de la función
 f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 –8
Intervalo f '(x) f ''(x) Crecimiento o Concavidad de f
 decrecimiento de f
(– , –3) – + Decreciente Cóncava hacia arriba
(–3, –1) – – Decreciente Cóncava hacia abajo
(–1, 0) – + Decreciente Cóncava hacia arriba
(0, ) + + Creciente Cóncava hacia arriba
Figura 6.15. x4 + 8x3 +18x2 –8
Ejemplo 11
¿Dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia 
abajo la función f (x) = x5 + 6? ¿Cuáles son los extremos relativos y los 
Solución:
 
f x x
x
x
'( ) 5
5 0
0
4
4
 
Cuando x = 0, f (0) = 6, por lo que el punto crítico es (0,6). Calculamos ahora 
la segunda derivada y evaluamos el valor crítico:
 f (x) = 20x3,
254
Unidad 6
cuando x = 0, f (0) = 20(0)3 = 0, sabemos que si f = 0 existe un punto de 
i) (– , 0), si tomamos x = –2, f (–2) = 20(–2)3 = –160, como f (–2) < 0, 
entonces la función es cóncava hacia abajo.
ii) (0, ), si tomamos x = 2, f (2) = 20(2)3 = 160, entonces la función 
es cóncava hacia arriba.
Se resume en la siguiente tabla: los intervalos de crecimiento y decrecimiento, 
así como el análisis de concavidad, siguiendo el procedimiento para determinarconcavidad:
Intervalos f (x) f (x) Crecimiento o Concavidad 
 decrecimiento de f
 de f
 ( – , 0) + – creciente cóncava
 hacia abajo
(0, ) + + creciente cóncava hacia 
 arriba
Se concluye también que la función no tiene extremos relativos, siempre 
crece.
Figura 6.16. f (x) = x5 + 6
(0, 6)
2
255
Matemáticas 
6.4. Máximos y mínimos absolutos
En la mayoría de los problemas de optimización que aparecen en la práctica, 
el objetivo que se pretende es calcular el máximo absoluto o el mínimo absoluto 
de una función en cierto intervalo de valores. 
El máximo absoluto de una función en un intervalo es el mayor valor 
de la función en ese intervalo. El mínimo absoluto es el menor valor de la 
función en ese intervalo.
El máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función, cuando existen, 
se presentan en los extremos locales o en los extremos del intervalo, razón por 
la cual sólo se requiere calcular los valores críticos de la función y calcular 
Ejercicio 3
1. f x
x
( )
)(
6
32
 es 
cóncava hacia arriba o hacia abajo.
2. Calcula los puntos de inf lexión y determina la concavidad de 
f (x) = x4 + x3 –3x2 + 1
En los ejercicios 3 a 8 emplea el criterio de la segunda derivada para calcular 
los máximos y los mínimos relativos de la función dada.
3. f (x) = 2x3 + 3x2 –12x
4. f (x) = –3x5 + 5x3 
5. f (x) = x(2x – 3)2 
6. f (x) = 10 – 4x3 + 3x4 
7. f (x) = x2 – 4x + 3 
8. f x
x
x
( )
2 9
2
En los ejercicios 9 y 10 determina dónde es creciente, decreciente, cóncava 
hacia arriba y cóncava hacia abajo la función dada. Determina los extremos 
9. f (x) = x2 – 6x + 1
10. f (x) = x3 – 3x2 + 2
256
Unidad 6
las imágenes de estos valores y las de los extremos de los intervalos donde 
se está trabajando, compararlos y tomar el mayor y el menor valor que 
corresponden al máximo y al mínimo absoluto. El siguiente ejemplo aclara 
el procedimiento.
Ejemplo 12
¿Cuál es el máximo y el mínimo absolutos de la función f (x) = x5 – 5x4 + 1 
en el intervalo 0 x 5?
Solución: calculamos los valores críticos igualando la derivada de la 
función a 0:
 
f x x x
x x
'( )
( )
5 20
5 4 0
4 3
3
Los puntos críticos son x = 0, x = 4.
Calculamos las imágenes en los valores críticos y en los extremos del 
intervalo:
 f(0) = 1; f(4) = –255; f(5) = 1 
Luego el máximo absoluto de la función en el intervalo dado, se da en x = 0 y 
x = 5 y es igual a 1. El mínimo absoluto se da en x = 4 y vale –255. 
 
 Figura 6.17. f (x) = x5 – 5x4 + 1.
(0, 1)
(4, –255)
(5, 1)
2
257
Matemáticas 
Ejemplo 13
Localiza el máximo y el mínimo absolutos de la función f x
x
( )
( )
1
1 2
 
en el intervalo x 0
Solución: calculemos los valores críticos de la función. Reescribimos la 
función de la forma f (x) = (x + 1)–2 y calculamos su derivada:
 
f x
x
'( )
( )
2
1 3
La derivada nunca se anula, pero no existe en x = –1, dado que el denominador 
se hace cero y además no es un punto del dominio de la función. 
Como la derivada de la función para los valores considerados, x 0, es 
siempre negativa, se deduce que la función está siempre decreciendo, razón 
por la cual el máximo absoluto se presenta en x = 0 y vale f (0) = 1, y no 
existe mínimo absoluto.
Ejemplo 14
En cierta empresa el costo de la fabricación en pesos de x artículos está 
dado por la función C(x) = 7x2 – 42x + 63. ¿En qué nivel de producción será 
mínimo el costo medio por unidad?
Solución: el costo medio de producción está dado por la función 
C x
x x
x
x
xm
( )
7 42 63
7 42
632
. Como la variable que determina el 
número de artículos toma valores mayores que cero, para calcular el mínimo 
absoluto de la función costo medio, calculamos su derivada C x
xm
' ( ) 7
63
2 y 
la igualamos a cero para obtener 7x2 = 63, por lo tanto x = 3. Como el signo de 
la derivada es negativo antes de 3 y positivo después de 3 la función costo medio 
tiene un mínimo en 3, que es a su vez el mínimo absoluto de esta función. Por lo 
tanto, el costo medio mínimo se da cuando se han fabricado tres unidades y vale 
C
m
(3) = 21 + 42 + 21 = 84 pesos por unidad.
Ejercicio 4
Determina el máximo y el mínimo absoluto de la función dada en el intervalo 
indicado en los siguientes cinco ejercicios:
258
Unidad 6
1. f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7 en el intervalo –3 x 0.
2. f x x x x( ) 3 2
21
2
30 20 en el intervalo 1 x 6.
3. f x x
x
( ) 2
16
 en el intervalo x > 0.
4. f (x) = –2x3 –6x2 + 5 en el intervalo –3 x 
5. f (x) = –x2/3 + 1 en el intervalo –1 x 
6. En una fábrica se producen x unidades de lámparas, el costo total de 
fabricación es C(x) = 3x2 + 5x + 75 pesos. ¿En qué nivel de producción será 
mínimo el costo medio por unidad?
7. La compañía Electrón ha encontrado que su ingreso total anual I(x) 
(expresado en miles de pesos) es una función del precio x (en pesos), dada por:
 I(x) = –50x2 + 500x
a) Determina el precio que debe cobrarse para maximizar el ingreso total 
(lo que se busca es el máximo absoluto).
b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total anual?
Ejercicios resueltos
1. Determina los intervalos donde la función dada es creciente y donde 
es decreciente:
 
f x
x x
x
( )
2 3
1
Solución: calculamos la derivada de la función:
 
f x
x x x x
x
'( )
( )( ) ( )( )
( )
1 2 3 3 1
1
2
2
 
x x
x
2
2
2 3
1( ) 
 
( )( )
( )
x x
x
3 1
1 2 
 
Como el denominador es siempre positivo, el signo de la derivada es el 
mismo signo del numerador: (x + 3) (x – 1)
2
259
Matemáticas 
Sobre un segmento de recta marcamos los valores en los cuales se anula 
el numerador: x = – 3, x = 1
Y calculamos el signo de la derivada para un valor antes de – 3, para un valor 
entre – 3 y 1, y para un valor después de 1. Concretamente tenemos que:
i) Signo f (– 4) = signo (– 4 + 3)(– 4 –1) = (–)(–) = +
 Como f (x) > 0 para x < –3, entonces la función es creciente en (– , – 3).
ii) Signo f (0) = signo (0 + 3)(0 –1) = (+)(–) = –
 Como f (x) < 0 para los valores x tales que –3 < x < 1, entonces la 
función es decreciente en (– 3, 1).
iii) Signo f (2) = signo (2 + 3)(2 –1) = (+)(+) = +
 Como f (x) > 0 para x > 1 entonces f es creciente en el intervalo 
(1, ).
2. En la siguiente función halla los extremos locales de g(x) = (x2 –9)2
con el criterio de la segunda derivada.
Solución : calculamos la derivada de la función:
 g (x) = 2(x2 – 9)(2x) 
y la igualamos a 0 para hallar los puntos críticos:
 
2 9 2 0
9 0 2 0
3 3 0 0
3 3 0
2
2
1 2
( )( )
( )( )
, ,
x x
x x
x x x
x x x
la función:
 g x x x x''( ) ( ) ( )4 9 4 2
2
 12 3
2( )x 
y calculamos su signo en cada uno de los valores críticos:
(i) g (x1) = g (–3) = 72 > 0
(ii) g (x2) = g (3) = 72 > 0
(iii) g (x3) = g (0) = –36 < 0
–4
3
0
1
2 valores para analizar
puntos criticos
260
Unidad 6
Aplicando el criterio de la segunda derivada, decimos que la función tiene 
valores mínimos relativos en x = – 3 y x = 3 con un valor g (–3) = g (3) = 0
A su vez tiene el máximo relativo en x = 0 con valor g (0) = 81
3. Encuentra el máximo y el mínimo absoluto (si existen) de la función 
 
f x x x x x( ) ,10 24 15 3 1 16 5 4 
Solución: como los valores absolutos de una función se dan en los extremos 
locales o en los extremos del intervalo, calculamos la derivada: 
 f (x) = 60x5 + 120x4 + 60x3
y la igualamos a cero para hallar los valores críticos:
 
60 2 1 0
0 2 1 1 0
0
1
3 2
3 2 2
1
2
x x x
x x x x
x
x
( )
( )
 
 
2
261
Matemáticas 
Ahora calculamos las imágenes de los valores críticos y de los extremos del 
intervalo para obtener los valores absolutos:
 
 
 
f
f
f
( )
( )
( )
0 3
1 4
1 52
 
Por lo tanto el máximo absoluto de la función en el intervalo [–1, 1] es 52y 
se da cuando x = 1; el mínimo absoluto es 3 y se da cuando x = 0.
4. El comité de campaña de cierto político que aspira a la gobernatura de una 
entidad del país realizó un estudio que indica que su candidatura después de t meses 
de iniciada su campaña tendrá el apoyo de:
 V t t t t( ) ( )%
1
29
6 63 1 0803 2 de los votantes para 0 t 12
Si la elección es el 2 de julio, ¿cuándo debería anunciar el político su 
candidatura si necesita más de 50% de los votos para ser electo?
Solución: se trata de hallar el máximo absoluto de la función V(t) en el 
intervalo 0 t 12, razón por la cual calculamos la derivada de la función:
 
V t t t'( ) ( )
1
29
3 12 632
y resolvemos la ecuación V (t) = 0:
 
1
29
3 12 63 0
4 21 0
7 3 0
7 3
2
2
( )
( )( )
t t
t t
t t
t t
Como t debe ser positivo, el único punto crítico que nos interesa analizar 
es t = 7.
Calculamos las imágenes de la función en los extremos del intervalo t = 0, 
t =12 y en el valor crítico t = 7:
 
V V V( ) % . %; ( ) . %; ( ) . %0
1 080
29
37 24 12 33 52 7 50 76
 
262
Unidad 6
El porcentaje mayor lo alcanza en el 7º mes y es de 50.76% por lo que puede 
ganar la elección si lanza su candidatura el 2 de diciembre del año anterior.
Ejercicios propuestos
Para las funciones siguientes encuentra los intervalos de crecimiento y 
1. f (x) = 4 – 5x3 + 3x5
2. f (x) = x2(2x
3. f (x) = x2(2x2 – 3x – 12)
de la segunda derivada.
4. f (x) = (x – 5)2
5. f (x) = 2 – 4x3 + x4 
6. f (x) = 3 – 3x2 + x3 
7. En una fábrica se ha hecho un estimativo donde el costo total de utilización 
de sus instalaciones está dado por C x x x( ) 5 000 15
1
2
2 , donde x es el 
número de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción será mínimo el 
costo medio por unidad?
En los ejercicios 8 y 9 encuentra el máximo y el mínimo absolutos (si 
existen) de la función dada en el intervalo indicado.
8. f x x x( )
1
3
9 23 en el intervalo – 4 x 4
9. f x x
x
( )
1
 en el intervalo x > 0
2
263
Matemáticas 
Autoevaluación
1. 
a) Positiva en (– , 1) y en (3, ) y negativa en (1, 3).
b) Positiva en (– , 2) y negativa en (2, ).
c) Negativa en (– , 2) y positiva en (2, ).
d) Ninguna de las anteriores.
2. 
a) Positiva en (– , 0) y en (2, ) y negativa en (0, 2).
b) Negativa en (– , 0) y en (2, ) y positiva en (0, 2).
c) Positiva en (– , –1), en (–2, 0) y en (2, ) y negativa en (–1, –2) y 
en (0, 2).
d) Ninguna de las anteriores.
y
x1 2 3
y
4 2 20 x
264
Unidad 6
3. Son puntos críticos de la función f(x)=x4 – 4x3+10:
a) x =10
b) x = 0 y x=3
c) x = –3
d) Ninguno de los anteriores.
4. La segunda derivada de la función f (x) es positiva en (– , 0) y negativa 
en (0,
a) Creciente en (– , 0) y decreciente en (0, ).
b) Cóncava hacia abajo en (– , 0) y hacia arriba en (0, ).
c) Cóncava hacia arriba en (– , 0) y hacia abajo en (0, ).
d) Ninguna de las anteriores.
5. Si f (x) no existe en x = 0, entonces:
a) En x = 
b) En x = 0 existe un punto máximo.
c) En x = 0 existe un punto mínimo.
d) No se puede concluir.
2
265
Matemáticas 
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. En el intervalo (x1, x2) decreciente, (x2, x3) decreciente, (x3, x4) creciente, 
(x4, x5) constante, (x5, x6) creciente, (x6, x7), decreciente.
2. En (– , ) es creciente.
3. (
(
(
, )
, )
, )
0
0 1
1
f
f
f
es creciente.
esdecreciente.
escreciente.
4. ( , )
( , )
( , )
0
0 1
1
f
f
f
esdecreciente.
escreciente.
esdecreciente..
5. (
(
, )
, )
0
0
decreciente.
creciente.
6. (– , –1) f es decreciente.
 (–1, 0) f es creciente.
 (0, 1) f es decreciente.
 (1, ) f es creciente.
7. (– , –2) f es decreciente.
 (–2, 0) f es creciente.
 (0, 2) f es decreciente.
 (2, ) f es creciente.
8. I(x) es creciente si x < 50 y decreciente si x > 50.
9. U(x) creciente si x < 40 y decreciente si x > 40.
10. C(x) es creciente en (– , ).
266
Unidad 6
Ejercicio 2
1. (– , –2) f es creciente x = –2 máximo local.
 (–2, 1) f es decreciente
 (1, ) f es creciente x = 1 mínimo local.
2. (– , 0) f es decreciente x = 0 mínimo local.
 (0, ) f es creciente
3. (– , ) creciente No hay máximo
 ni mínimo local.
4. (– , 0) creciente 
 (0, 4) decreciente x = 0 máximo local.
 (4, ) creciente x = 4 mínimo local.
(0, –8)
2
267
Matemáticas 
5. (– , –2) creciente x = – 2 máximo local.
 (–2, 4) decreciente x = 4 mínimo local.
 (4, ) creciente 
6. (– , –2) f es decreciente x = – 2 mínimo local.
 (–2, 0) f es creciente x = 2 mínimo local.
 (0, 2) f es decreciente x = 0 máximo local.
 (2, ) f es creciente 
7. (– , 0) f es creciente x = 4 mínimo local.
 (0, 4) f es decreciente 
 (4, ) f es creciente. 
8. En t = 1 se hace mínima.
(–2, 0) (2, 0)
(0, 2.27)
(4, 2)
268
Unidad 6
Ejercicio 3
1. (
(
, )
, )
0
0
concava hacia arriba.
concava hacia abajo.
2. (
( )
( )
, )
,
,
1
1 1 2
1 2
concava hacia arriba.
concava haciaabajo.
cooncava hacia arriba.
x = –1 x = 
1
2
3. Es mínimo relativo en x = 1
 Es máximo relativo en x = –2
4. Es mínimo relativo en x = –1
 Es máximo relativo en x = 1
5. Es mínimo relativo en x = 
3
2 
 Es máximo relativo en x = 
1
2
(–2, 13)
(1, –14)
2
269
Matemáticas 
6. Máximo relativo en x = 1
7. Mínimo relativo en x = 2
8. Mínimo relativo en x = 3
 Máximo relativo en x = –3
9. (
(
, )
, ) .
3
3
f
f f
esdecreciente.
es creciente es concavahaciaarrriba
Hay un minimo relativo en 
.
x 3
(3, –8)
(–3, –3)
(3, 3)
270
Unidad 6
 
10. , )
, )
(
(
 es creciente y concava hacia abajo.
 es dec
0
0 1
f
f rreciente y concava hacia abajo.
 es decreciente yconc( , )1 2 f aava hacia arriba.
 (2, escreciente y concava h) f aacia arriba.
 hay punto de inflexion.
 
x
x
1
0 mmaximo relativo.
 minimo relativo.x 2
Ejercicio 4
1. x = –2 máximo absoluto.
 x = 1 mínimo absoluto.
2. x = 2 máximo absoluto.
 x = 5 mínimo absoluto.
3. x = 2 mínimo absoluto.
4. x = –2 mínimo absoluto.
 x = 0 máximo absoluto.
(0, 2)
(1, 0)
(2, –2)
2
271
Matemáticas 
5. x = 8 mínimo absoluto
6. Al producir 5 lámparas.
7. a) El precio máximo es de $5.00.
 b) El ingreso máximo total anual es de $1 250.00.
(0, 5)
(–2, –3)
(8, –3)
272
Unidad 6
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. (– , –1) creciente x
 (–1, 1) decreciente x = 1 mínimo.
 (1, ) creciente x = –1 máximo.
2. (– , 0) creciente x = 0 máximo.
 (0, 3) decreciente x = 
3
2
 (3, ) creciente x = 3 mínimo.
3. (– , –1.26) decreciente. 
 (–1.26, 0) creciente. 
 (0, ) decreciente.
 (2.38, ) creciente.
 x = –1.26 mínimo.
 x = 0 máximo.
 x = 2.38 mínimo.
 x
 x
3
2
27
2
,
(0, 0)
(3, –27)
2
273
Matemáticas 
4. x = 5 mínimo.
5. x = 3 mínimo.
6. x = 0 máximo.
 x = 2 mínimo.
7. Cuando se producen 100 unidades.
8. x = 3 mínimo absoluto.
 x = –3 máximo absoluto.
9. x = 1 mínimo absoluto.
Respuestas a la autoevaluación
1. c)
2. a)
3. b)
4. c)
5. d)
(3, –27)