Calculo-de-parametros-de-funciones-1

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CÁLCULO DE PARÁMETROS DE FUNCIONES 2º Bachillerato 
 
 
Cálculo de Parámetros 
Ejemplo 1: Determinar a,b y c para que la función f(x)= x
3
+ax
2
+bx+c tenga un máximo para x=-4, un mínimo 
para x=0 y tome el valor 1 para x=1 
 valor 1 para x=1  (1,1)  f(1)=11=1
3
+a·1
2
+b·1+c  a+b+c=0 
 f´(x)=3x
2
+2ax+b  Nos dice que existe un mínimo en x=0. Como es un mínimo la pendiente ( o sea la 
derivada) en ese punto es cero. 
f´(0)=0  3· +2a·0+b=0  b=0 
 f´(x)=3x
2
+2ax+b  Nos dice que existe un máximo en x=-4. Como es un máximo la pendiente ( o sea la 
derivada) en ese punto es cero. 
F´(-4)=3·(-4)
2
+2a·(-4)+b=0  48-8a+b=0 8a-b=48 
 Resolvemos el sistema {
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo 2: Sea f(x)= x
3
+ax
2
+bx+5. Halla a y b para que la curva y=f(x) tenga en x=1 un punto de inflexión 
con tangente horizontal. 
 Si tenemos una tangente horizontal en x=1, es que la pendiente en x=1 es 0 o que la f’(1)=0 
 Si tenemos un punto de Inflexión en x=1  f´´(1)=0 
 Por lo tanto lo primero que vamos a hacer es derivar nuestra función. 
 f´(x)= 3x
2
+2ax+b  f´(1)=0  3·1
2
+2a·1+b=0  3+2a+b=0  2a+b=-3 
 f´´(x)=6x+2a  f´´(1)=0  6·1+2a=0  a=-3 
 Sustituyendo en 2a+b=-3  2·(-3)+b=-3  b=3 
 
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 Ejemplo 3: hallar el valor de b y m para que la curva y= tenga un punto de inflexión en 
el punto (0,1) y la pendiente de la recta tangente en ese punto valga 1. 
 Si tiene un punto de inflexión en x=0  f´´(0)=0 
 Si la pendiente en x=0 vale 1  f´(0)=1 
 Y por último pasa por el punto (0,1)  f(0)=1  1= 0
3
+b·0
2
+m·0+1  1=1 Se cumple 
f´(x)= 3x
2
+2bx+m  f´(0)=1  3·0
2
+2b·0+m=1  m= 1 
f´´(x)=6x+2b  f´´(0)=0  6·0+2b=0  b=0 
 
 
 Ejemplo 4: La función f(x)= ax
3
+bx
2
+cx+d, tiene como tangente en el punto de inflexión (1,0), la recta y=-
3x+3 , y presenta un extremo en el punto de abcisa x=0 
 Pasa por el punto (1,0)  f(1)=0  a·1
3
+b·1
2
+c·1+d= 0  a+b+c+d=0 
 Punto de Inflexión en x=1  f´´(1)=0  f´(x)= 3ax
2
+2bx+c  f´´(x)=6ax+2b 
f´´(1)=0  f´´(1)=6a+2b=0 
 Recta tangente a la recta y=-3x+3 en el punto x=1 
f´(1)=-3  f´(1)=3a·1
2
+2b·1+c=-3  3a+2b+c=-3 
 Presenta un extremo en x=0, es decir la derivada en ese punto es 0  f´(0)=0 
f´(0)=3a·0
2
+2b·0+c=0  c=0 
 
 
 
 
}  
 
 
 
 
}  
 
 
 
 
} 
 
 
 
 
CÁLCULO DE PARÁMETROS DE FUNCIONES 2º Bachillerato 
 
 Ejemplo 5: Calcula los valores a, b y c para que la función f(x)= 
 
 
 tenga una asíntota oblicua 
y= -2x-4 y sabiendo que tiene una tangente horizontal en x=0. 
y= -2x -4  {
 
 
 
 m= 
 
 
 
 
 
 
 = -a  m = -a = -2  a=2 
 n= 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 = -2c  -2c = -4  c=2 
 Como tiene una tangente horizontal en x=0 
f´(0) = 0 
Derivamos : f´(x) = 
( )( ) 
 
 
f´(0) = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 b -4 
f´(0)=0  b – 4 = 0  b= 4 
 
Solución: {
 
 
 
 
 
La función resultante será: f(x)= 
 
 
 
 
 
 Ejemplo 6 (EBAU 2017 Septiembre): La gráfica de la función f(x) = 
 
 
 tiene como asíntota la recta 
y=2x-3 . Determina los valores de los parámetros a y b. 
y= 2x -3  {
 
 
 
 m= 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
  m = 
 
 
= 2  a=4 
CÁLCULO DE PARÁMETROS DE FUNCIONES 2º Bachillerato 
 
 n= 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
  
 
 
= -3  b + 14 = -6  b= -20 
La función resultante será: f(x) = 
 
 
 
 
 Ejemplo 7 (EBAU septiembre -2017: Dada la función f(x) = 
 
 
 determinar los valores de a y b sabiendo 
que su gráfica posee un extremo relativo en el punto (-3,
 
 
 
 Condiciones : {
 
 
 
 
 
 f(-3) = 
 
 
 
 
 
 
Como f(-3) = 
 
 
  
 
 
 = 
 
 
  108 = 81 -27ª + 9b  3a – b = -3 
 Derivamos la función : f´(x) = 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Como f´(-3) = 0  f´(-3) = 
 
 
  27a -18b = 0  3a -2b =0 
 Realizamos el sistema de ecuaciones : { – 
 
  {
 
 
 
 
La función resultante será: f(x) = 
 
 
 
 Ejemplo 8: (PAU septiembre-2016: Dada la función f(x) = 
 
 
 , determinar el valor de a para que tenga 
una discontinuidad evitable en x= -3. Para el valor de a obtenido, definir de nuevo la función para que sea 
continua en x=-3 
Para que la función tenga una discontinuidad evitable en x= -3 se debe cumplir que exista el límite en ese 
punto ( es decir que los límites laterales sean iguales) y que el valor de la función en ese punto sea distinto al 
de los límites o que la función no exista. 
 o 
 Calculamos el límite de la función en el punto x= -3 
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 = 
 
 
 para que existe el límite debemos alcanzar una indeterminación del tipo [
 
 
] 
por ello el valor de a tiene que ser 6 (a=6) 
 
 
 
 = 
 
 
= [
 
 
] 
Factorizamos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Redefinimos la función para que la función sea continua: 
f(x) = {
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo 9: (PAU Junio 2015): Dada la función f(x)= 
 
 
 , determinar los valores de los parámetros a y 
b sabiendo que su gráfica tiene un extremo relativo en el punto (-2, 
 
 
 
 Condiciones : {
 
 
 
 
 
 Calculamos la derivada de la función: 
 
       
 
        
 
 
2 2
22
2 2 8 2 2 2
( )
2 8
ax b x x ax bx x
f x
x x
 
Como en (–2,
 
 
) tiene un extremo relativo  f´(-2) = 0 
Por tanto: 
 


4 2 2 1
8 2
a b
 y 
       
 
        


2
4 8 4 2 2 2
0
8
a b a b
  
   

  
4 2 2 4
40 12 4 0
a b
a b  
 
  

 
2 1
10 3 1
a b
a b  a = 1 y b = 3 
 
La función resultante será: f(x)= 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DE PARÁMETROS DE FUNCIONES 2º Bachillerato 
 
 Ejemplo 10: La función f(x)=
 
 
 presenta una discontinuidad evitable en x=-2, ¿para qué valor de 
a? 
 
 Si presenta una discontinuidad evitable tendremos que: 
 o 
 
Si la función no existe en x=-2 quiere decir que el denominador de la función será igual a cero. 
 
 
 
 
 
= [
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto hemos demostrado que la función presenta una discontinuidad evitable, ya que para a = 4 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo 11: (PAU Septiembre 2014) Dada la función f(x)= 
 
 
, determinar los valores de a y b sabiendo 
que su gráfica tiene un extremo relativo en el punto (-2,-5) 
 Condiciones : {
 
 
 
 f(-2) = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
Como f(-2) =  
 
 
=  5 = 10a -5b  2a –b =1 
 Derivamos la función : f´(x) = 
 
 
 = 
 
 
 
Como f´(-2) = 0  f´(-2) = 
 
 
  4a -4b – b +a = 0  5a -5b = 0  a =b 
 Realizamos el sistema de ecuaciones : { – 
 
  {
 
 
 
 
La función resultante será: f(x)= 
 
 
 
 
CÁLCULO DE PARÁMETROS DE FUNCIONES 2º Bachillerato Ejemplo 12: ( PAU Septiembre-2013). Dada la función f(x) = 
 
 
, determinar los valores de a y b 
sabiendo que su grafica tiene como asíntota oblicua la recta y = x + 3 
y= x +3  {
 
 
 
 m= 
 
 
 
 
 
 
 =  m = a= 1  a=1 
 n= 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
  
 
 
= 3  b + 2= 3  b= 1 
La función resultante será: f(x) = 
 
 
 
 
 Ejemplo 13: (PAU Junio -2013). La función f(x) = 
 
 
 posee un extremo relativo en x  1 y tiene como 
asíntota oblicua la recta y  2x  1. Determinar los valores de los parámetros a y b. 
 Condiciones : {
 
 
 
 
 f´(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f´(1) = 0 f´(1) = 
 
 
 a+b+2ab+2 = 0 
 m= 
 
 
 
 
 
 
 =  m = a= -2  a=-2 
 n= 
 
 
 
 
 
 = 
 = 
 
 
  
 
 
= 1  2b + 1= 1  b= 0 
 
La función resultante será: f(x) = 
 
 
 
 
CÁLCULO DE PARÁMETROS DE FUNCIONES 2º Bachillerato 
 
 
 Ejemplo 14: (PAU Junio 2012) La gráfica de la función f(x) = 
 
 
 tiene como asíntota oblicua a la recta 
y=x. Por tanto, ¿cuáles son los valores de a y b? 
y= x  {
 
 
 
 m= 
 
 
 
 
 
 
 =  m = a= 1  a=1 
 n= 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
  
 
 
= 3  b + 3= 0  b= -3 
La función resultante será: f(x) = 
 
 
 
 
 
 Ejemplo 15 (PAU septiembre 2012). Hallar el valor de a de modo que la siguiente igualdad sea cierta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como