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10 Cuerpos de revolución
294
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
 Esta unidad despertará el interés y la curiosidad por el conocimiento de los elementos de las superficies esféricas, la interpretación de mapas, los cambios horarios y la localización de ciudades en la esfera terrestre. Lo fundamental es que los alumnos reconozcan y sepan desarrollar cuerpos de revolución. Será muy importante que recuerden cómo se calcula el área de un círculo y de un sector circular y 
cómo se ha de hallar la longitud de una circunferencia y de un arco.
Los contenidos de cada una se las secciones se presentan como una necesidad de conocerlos para poder resolver un problema de la vida 
cotidiana. Es preferible que aprendan a deducir las expresiones que permiten calcular áreas y volúmenes.
La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán al alumnado adquirir eficazmente varias competencias al 
mismo tiempo.
Comunicación lingüística (CL) 
Es la protagonista de toda la unidad teniendo especial importancia en las secciones: Matemáticas vivas, Geometría en el arte y en la sección 
Lee y comprende las matemáticas de final del bloque.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
Se desarrollan a lo largo de toda la unidad, integrarán el conocimiento matemático con otras áreas para obtener conclusiones y enfrentarse 
a situaciones cotidianas.
Competencia digital (CD)
Se integra en los epígrafes Área y volumen de conos y Composición de cuerpos de revolución, así como en la sección Matemáticas en el día a 
día del inicio de unidad, haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
Estará presente en todas aquellas actividades que propongamos para que los alumnos las realicen en grupo, procurando la participación de 
todos los integrantes. Pondremos especial interés para que aprendan a gestionar un comportamiento de respeto a las diferencias de criterio.
Competencia aprender a aprender (CAA)
A lo largo de la unidad se considera la necesidad de que adquieran la capacidad de concentración y que desarrollen el razonamiento ma-
temático para describir la realidad. Con el trabajo en equipo aprenderán a comunicar de manera eficaz los resultados de su propio trabajo 
potenciando así las metas de su aprendizaje.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
La capacidad de elegir con criterio propio y llevar adelante acciones necesarias se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada 
sección (Investiga o Desafío) y en la sección de Matemáticas vivas.
Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)
Toda la unidad trata del estudio y comprensión de distintos diseños geométricos. El aprendizaje de las técnicas para hallar los elementos carac-
terísticos permitirá que los alumnos adquieran la capacidad de percibir y comprender las producciones del mundo del arte.
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 3 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Reconocer cuerpos de revolución y determinar el área y el volumen de cilindros, conos y esferas.
❚❚ Identificar cortes de planos y esferas.
❚❚ Conocer la esfera terrestre, utilizar husos horarios y manejar coordenadas geográficas. 
❚❚ Clasificar y calcular áreas y volúmenes de cuerpos de revolución.
❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando los cuerpos de revolución.
CUERPOS 
DE REVOLUCIÓN10
295
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Atención a la diversidad
Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación 
que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución 
de problemas relacionados con la geometría del espacio. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los 
contenidos y procedimientos estudiados sobre los cuerpos de revolución, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos 
contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar los problemas de cuerpos de revolución pueden acceder a las lecciones 1107, 
1122, 1136 y 1138 de la web www.mismates.es.
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de 
actividades del 
libro del alumno
Competencias 
clave
Cilindros y conos
Troncos de conos
1. Reconocer cilindros y conos como cuerpos 
de revolución. 
2. Identificar troncos de cono como cuerpos 
de revolución.
3. Reconocer cuerpos de revolución en 
diferentes contextos.
1.1. Describe los elementos y propiedades 
métricas de cilindros y conos.
2.1. Conoce los elementos y propiedades 
métricas de troncos de cono.
3.1. Identifica y crea cuerpos de revolución.
2, 3, 5 
G1
4, 6 
1, 7, 8
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
Área y volumen de 
cilindros
4. Comprender y aplicar las fórmulas para el 
cálculo de áreas y volúmenes de cilindros.
4.1. Calcula áreas y volúmenes de cilindros. 
4.2. Relaciona elementos, áreas y volúmenes de 
cilindros para resolver problemas.
9-11
63-65
12-21
66-70 
CL
CMCT
CSC 
CAA
CSIEE
Área y volumen de 
conos
Área y volumen de los 
troncos de conos
5. Comprender y aplicar las fórmulas para el 
cálculo de áreas y volúmenes de conos. 
6. Deducir la forma adecuada para calcular 
áreas y volúmenes de troncos de conos.
5.1. Obtiene áreas y volúmenes de conos.
5.2. Relaciona elementos, áreas y volúmenes de 
conos para resolver problemas. 
6.1. Calcula áreas y volúmenes de troncos de 
cono.
22, 71, 72
24, 73, 74 
23, 75, 78 
CL
CMCT
CD
CSC 
CAA
CSIEE
CCEC
Esferas
Intersecciones de 
planos y esferas
7. Reconocer la esfera como cuerpo de 
revolución.
8. Identificar las intersecciones que se 
obtienen al cortar una esfera por uno o más 
planos.
7.1. Describe la esfera y sus elementos. 
8.1. Reconoce, dibuja y aplica propiedades 
métricas en semiesferas, casquetes, zonas, cuñas 
y husos esféricos.
26, 27, 29 
25, 28
79, 81, 82 
Matemáticas
vivas 1
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
Área y volumen de 
esferas
9. Deducir la forma adecuada para hallar el 
área y el volumen de esferas.
9.1. Calcula área y volumen de esferas, área de 
husos y volumen de cuñas esféricas.
9.2. Relaciona elementos, área y volumen de 
esferas para resolver problemas.
30, 35, 83, 86
Matemáticas vivas 3
31-34, 36-38
80, 84, 85, 87-89
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
Composición 
de cuerpos de 
revolución
10. Reconocer cuerpos compuestos por 
cuerpos de revolución y determinar su área y 
su volumen.
10.1. Obtiene el área y el volumen de cuerpos 
compuestos por cuerpos de revolución.
39-44
90, 91
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
La esfera terrestre
Elementos de la esfera 
terrestre
11. Conocer los elementos de la superficie 
terrestre. 
 
12. Identificar el sistema de coordenadas 
geográficas.
11.1. Reconoce los elementos de la superficie 
terrestre.
11.2. Identifica husos horarios y determina 
diferencias horarias.
12.1. Reconoce coordenadas geográficas 
y calcula distancias entre dos puntos de la 
superficie terrestre.
50-52
92, 96
45-49 
100-103
53-62
93-95, 97-99
104-106
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
Coordenadas 
geográficas
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
2. Área y volumen de cilindros
4. Esferas
 • Intersecciones de planos y esferas
7. La esfera terrestre
 • Elementos de la esfera terrestre
8. Coordenadas geográficas
¿Qué tienes que saber?
 • Cilindros
 • Conos y troncos de cono
 • Esferas
Avanza
Razones trigonométricas de un 
ángulo agudo
Geometría en el arte
Cuerpos geométricos en la 
arquitectura
PARA EL PROFESORMATERIAL COMPLEMENTARIO
PARA EL ALUMNO
Actividades de Refuerzo
Actividades de Ampliación
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
Presentación de la unidad
Ideas previas
Repasa lo que sabes
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Formas naturales
1. Cilindros y conos
 • Troncos de cono
Vídeo. Área y volumen de un cono
3. Área y volumen de conos
 • Área y volumen de los troncos de 
cono
5. Área y volumen de esferas
Vídeo. Área y volumen de un cuerpo de 
revolución compuesto
6. Composición de cuerpos de 
revolución
Actividades finales Actividades interactivas
MisMates.es
Lecciones 1107, 1122, 1136 y 
1138 de la web 
www.mismates.es
Practica+
Comprende y resuelve 
problemas
10 Cuerpos de revolución
Matemáticas vivas
Astronomía
 • Estudio de cuerpos celestes
Trabajo cooperativo
Tarea cuya estrategia es Cabezas juntas 
numeradas de Spencer Kagan
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
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297
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sugerencias didácticas
En esta esta unidad los alumnos aprenderán a generar 
cuerpos de revolución y a calcular sus áreas y volúmenes. 
Resultará muy atractivo el epígrafe sobre la esfera terrestre. 
Empezaremos la unidad proponiendo ejercicios en los que 
tengan que recordar cómo se halla la longitud de una cir-
cunferencia y de un arco, así como el cálculo del área de un 
círculo y de un sector circular. Al terminar la unidad debe-
mos asegurarnos de que los alumnos son capaces de calcu-
lar áreas y volúmenes de cuerpos de revolución e interpretar 
las coordenadas de un punto en la esfera terrestre. Será 
importante que realicen dibujos representativos de activida-
des propuestas, y no debería presentar problema el correc-
to manejo de la calculadora. Haremos hincapié en que su 
forma de argumentar y comunicar sea, en todo momento, 
mediante la utilización del lenguaje matemático adecuado.
Contenido WEB. FORMAS NATURALES
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso 
TIC para complementar la página de inicio con información rela-
tiva a la unidad. En este caso se explica cómo se utilizan cuerpos 
de revolución en la naturaleza y en la ingeniería para obtener las 
figuras más adecuadas a la función que se realiza. Puede utilizarse 
para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la uni-
dad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un 
interés especial.
El estudio de la naturaleza ha permitido crear estructuras 
que imitan sus formas y obtienen los mejores resultados para 
situaciones cotidianas. El uso de conos, cilindros y esferas 
mejora las condiciones energéticas, acústicas o económicas 
de un objeto o de una construcción.
Matemáticas en el día a día ][
REPASA LO QUE SABES
1. Calcula la longitud de una circunferencia si su radio mide 6 m.
2. ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de 15 cm de 
longitud?
3. Halla la longitud del arco de una circunferencia cuyo radio mide 
10 cm si tiene una amplitud de 30º.
4. Averigua el área de un círculo cuyo diámetro mide 6 m.
5. ¿Cuál es la longitud del radio de un círculo de 1 256 cm2 de área?
6. Calcula el área de un sector circular de 45º de amplitud si su 
radio mide 8 cm.
183
10 CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Los cuerpos de revolución se obtienen al girar una figura 
plana alrededor de una recta que se denomina eje de giro. Por 
ejemplo, si impulsas una moneda para hacerla girar, podrás 
observar que aparentemente se crea una esfera.
La forma esférica aparece con frecuencia en la naturaleza. 
Dado un cierto volumen, esta forma lo contiene con la mínima 
superficie y, por tanto, con el menor gasto energético. Las 
pompas de jabón generadas por la tensión superficial del agua 
con jabón constituyen un buen ejemplo de esto.
Los cucuruchos de galleta en los que se colocan las bolas 
de helado, así como muchos de los envases que utilizamos a 
diario, son también cuerpos de revolución.
IDEAS PREVIAS
 ❚ Longitud de un
a 
circunferencia y d
e un arco.
 ❚ Área de un círcu
lo y de 
un sector circular
.
mac3e36
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1. Calcula la longitud de una circunferencia si su radio mide 6 m.
 L = 2 ∙ π ⋅ 6 = 37,68 m
2. ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de 15 cm de longitud?
 2πr = 15 → r = 2,39 cm 
3. Halla la longitud del arco de una circunferencia cuyo radio mide 10 cm si tiene una amplitud de 30º.
 L = 2 ⋅ π ⋅10 ⋅
30º
360º
= 5,23 cm
4. Averigua el área de un círculo cuyo diámetro mide 6 m.
 r = 3 → A = π ⋅ 32 = 28,26 m2 
5. ¿Cuál es la longitud del radio de un círculo de 1 256 cm2 de área?
 πr2 = 1 256 → r = 20 cm 
6. Calcula el área de un sector circular de 45º de amplitud si su radio mide 8 cm.
 A = π ⋅82 ⋅
45º
360º
= 25,12 cm2
10 Cuerpos de revolución
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Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1. Cilindros y conos
185
10Actividades10 Cuerpos de revolución
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Observa los objetos de tu entorno cotidiano y cita tres que sean:
a) Cilindros.
b) Conos.
c) Troncos de cono.
Un cilindro de 20 cm de altura tiene como bases dos círculos de 4 cm de diámetro. 
Si este cilindro ha sido generado haciendo girar un rectángulo sobre su lado mayor, 
¿cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?
Calcula la longitud de la generatriz de un cono de 12 cm de altura cuyo radio 
mide 3 cm.
¿Qué cuerpo geométrico se obtiene al hacer 
girar este trapecio sobre el eje vertical? 
Halla la longitud del lado desconocido del 
trapecio e indica a qué elemento del cuerpo 
corresponde.
Fíjate en el triángulo.
a) ¿Cuál es el nombre del cuerpo geométrico 
que se obtiene cuando el triángulo gira 
sobre el eje horizontal?
b) Halla la longitud del radio de la base del 
cuerpo obtenido con el giro del apartado 
anterior.
c) ¿Cómo se llama el cuerpo geométrico que 
se obtiene al girar el triángulo sobre el eje 
vertical?
d) Calcula el área de la base del cuerpo 
obtenido con el giro del apartado anterior.
Determina las áreas de las bases del tronco de cono que genera un trapecio 
rectángulo cuyos lados paralelos miden 8 cm y 10 cm, respectivamente.
Dibuja el cuerpo geométrico que se obtiene al girar el polígono del dibujo sobre 
el lado AE.
1
2
3
4
5
6
7
1. CILINDROS Y CONOS
Juanjo ha pasado la tarde 
fabricando banderines para 
animar la próxima carrera 
solidaria de su barrio.
Al hacer girar la varilla en la 
que ha sujetado una pieza 
rectangular, ha obtenido lo que 
parece un cilindro.
Un cilindro recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace 
girar un rectángulo sobre un eje paralelo a uno de sus lados.
Un cilindro recto tiene una superficie lateral que es un rectángulo y dos bases 
que son círculos.
Cuando Juanjo elige otro 
banderín en el que ha colocado 
una pieza con la forma de un 
triángulo rectángulo y lo hace 
girar, obtiene lo que podría ser 
un cono.
Un cono recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar 
un triángulo rectángulo sobre un eje que contiene uno de sus catetos. Uno de 
sus extremos es el vértice del cono.
Un cono recto tiene una superficie lateral que es un sector circular y una base 
que es un círculo.
Troncos de cono
María, la hermana de Juanjo, 
ha tenido la idea de cortar los 
triángulos rectángulos antes 
de pegarlos a la varilla. De este 
modo, ha obtenido trapecios 
rectángulos y, al hacer girar un 
banderín así construido, ha visto 
como aparecía un tronco de 
cono.
Un tronco de cono recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se 
hace girar un trapecio rectángulo sobre un eje que contiene el lado perpendicular 
a sus bases.
Un tronco de cono recto tiene una superficie lateral que es un trapecio circular y 
dos bases que son círculos.
Aprenderás a…
 ● Reconocer cilindros, conos 
y troncos de cono como 
cuerpos de revolución.
 ❚ El segmento que genera 
el cilindro como cuerpo 
de revolución se llama 
generatriz, g.
 ❚ La altura, h, de un cilindroes 
la distancia entre sus bases.
Recuerda
 ❚ El segmento que genera 
el cono como cuerpo 
de revolución se llama 
generatriz, g.
 ❚ La altura, h, de un cono es la 
distancia entre su vértice y el 
centro de su base.
Recuerda
 ❚ El segmento que genera el 
tronco de cono como cuerpo 
de revolución se llama 
generatriz, g.
 ❚ La altura, h, de un tronco de 
cono es la distancia entre sus 
bases.
Recuerda
X
Y
8 cm
12 cm
18 cm
X
Y
6 cm
2 cm
A E
B
C
D
Presta atención
Al cortar un cono recto por 
un plano paralelo a su base, 
obtenemos un tronco de cono y 
un cono más pequeño.
Cono
Tronco
de cono
Utiliza papel, tijeras y pegamento para construir un cilindro recto y un cono recto.
a) Si cortas el cilindro por dos planos paralelos entre sí, pero no paralelos a las bases, ¿qué cuerpo geométrico 
obtienes? ¿Es un cuerpo de revolución?
b) Si cortas el cono por un plano que no sea paralelo a la base, ¿qué cuerpo geométrico obtienes? ¿Es un 
cuerpo de revolución?
8
Investiga
Soluciones de las actividades
1 Observa los objetos de tu entorno cotidiano y cita tres que sean:
a) Cilindros.
b) Conos.
c) Troncos de cono.
Respuesta abierta, por ejemplo:
a) La base de una lámpara de mesa, una cacerola y un jarrón.
b) Un embudo, la punta de un bolígrafo y una copa. 
c) La pantalla de una lámpara, un recipiente para bolígrafos y un vaso. 
2 Un cilindro de 20 cm de altura tiene como bases dos círculos de 4 cm de diámetro. Si este cilindro ha sido generado ha-
ciendo girar un rectángulo sobre su lado mayor, ¿cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?
El rectángulo ha de tener 20 cm de altura y 2 cm de base.
3 Calcula la longitud de la generatriz de un cono de 12 cm de altura cuyo radio mide 3 cm.
g = 122 + 32 = 12,37 cm
Sugerencias didácticas
La comprensión de las figuras de cilindro y cono como cuer-
pos de revolución no presentará problemas, pero estaremos 
atentos a la comprensión y dibujo de los elementos básicos.
Será importante el reconocimiento de un tronco de cono 
como el cuerpo generado por un trapecio rectángulo
y como la sección de un cono por un plano paralelo a la 
base.
El teorema de Pitágoras será clave para la resolución de al-
guna de las actividades propuestas.
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10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4 ¿Qué cuerpo geométrico se obtiene al hacer girar este trapecio sobre el eje vertical? 
Halla la longitud del lado desconocido del trapecio e indica a qué elemento del cuerpo 
corresponde.
Se obtiene un tronco de cono.
El lado desconocido mide: a = 122 + 102 = 15,62 cm
Este segmento corresponde a la generatriz del tronco de cono.
5 Fíjate en el triángulo.
a) ¿Cuál es el nombre del cuerpo geométrico que se obtiene cuando el triángulo gira 
sobre el eje horizontal?
b) Halla la longitud del radio de la base del cuerpo obtenido con el giro del apartado 
anterior.
c) ¿Cómo se llama el cuerpo geométrico que se obtiene al girar el triángulo sobre el 
eje vertical?
d) Calcula el área de la base del cuerpo obtenido con el giro del apartado anterior.
a) Se obtiene un cono.
b) El radio del cono mide: r = 62 − 22 = 5,66 cm
c) También se obtiene un cono.
d) Ab = π ⋅ 2
2 = 12,56 cm2
6 Determina las áreas de las bases del tronco de cono que genera un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos miden 8 cm 
y 10 cm, respectivamente.
Ab1 = π ⋅ 8
2 = 200,96 cm2 
Ab2 = π ⋅ 10
2 = 314 cm2 
7 Dibuja el cuerpo geométrico que se obtiene al girar el polígono del dibujo sobre el lado AE.
 
Investiga
8 Utiliza papel, tijeras y pegamento para construir un cilindro recto y un cono recto.
a) Si cortas el cilindro por dos planos paralelos entre sí, pero no paralelos a las bases, ¿qué cuerpo geométrico obtienes? 
¿Es un cuerpo de revolución?
b) Si cortas el cono por un plano que no sea paralelo a la base, ¿qué cuerpo geométrico obtienes? ¿Es un cuerpo de 
revolución?
a) Se obtiene un cilindro oblicuo. No es un cuerpo de revolución ya que la altura no coincide con la generatriz.
b) Se obtiene un cono oblicuo. No es un cuerpo de revolución porque la altura no coincide con la generatriz.
X
Y
8 cm
12 cm
18 cm
X
Y
6 cm
2 cm
10 Cuerpos de revolución
300
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
2. Área y volumen de cilindros
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10Actividades10 Cuerpos de revolución
186
La altura de un cilindro mide 6 m, y su radio, 3 m. Calcula su área lateral, su área 
total y su volumen.
Un rectángulo tiene unas dimensiones de 2 cm × 5 cm. Halla el área del cilindro 
que se obtiene haciendo girar el rectángulo sobre el lado de 2 cm. 
Comprueba si el área anterior coincide con la del cilindro generado al girar el 
rectángulo sobre el lado de 5 cm.
Calcula el volumen de estos cilindros.
a) b) 
 
15 cm
12 cm
 
10 cm
8 cm
Averigua los litros de agua que caben en un depósito cilíndrico de 15 m de altura 
cuyo diámetro es de 10 m.
Halla el volumen del depósito de tinta de un bolígrafo que mide 11 cm de altura 
y 1 cm de diámetro.
Arturo va a pintar una pared con un rodillo. ¿Cuál es la superficie de pared que 
abarcará con cada vuelta completa del rodillo?
Un bote de refresco tiene una capacidad de 330 cm3. Si su diámetro mide 6,5 cm, 
¿cuál es su altura?
Calcula el área lateral de un cilindro si el diámetro de la base mide 14 cm y su 
altura es el triple que su radio.
Determina el radio de un cilindro si la longitud de la circunferencia de la base es 
de 62,8 dm.
Un cilindro tiene un área total de 3 500 dm2. Si el radio de la base mide 17,5 dm, 
halla la altura del cilindro.
La capacidad de un depósito cilíndrico es de 3 140 m3. ¿Cuánto mide su radio si 
tiene una altura de 10 m?
Halla el diámetro de un cilindro de 10 m de altura si su volumen es de 1 000 m3.
9
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2. ÁREA Y VOLUMEN DE CILINDROS
Ángela tiene una moto de dos cilindros. Los cilindros de un motor son unas piezas 
metálicas capaces de resistir las altas temperaturas que se producen por las constantes 
explosiones del combustible. Estas explosiones originan la fuerza mecánica del 
motor, que es la que después se transforma en el movimiento de la moto.
¿Cómo puede Ángela hallar el área y el volumen de uno de los cilindros de su moto?
Para determinar el área, primero dibujamos el desarrollo plano de uno de los cilindros.
4 cm
3 cm
3 cm
 ❚ El área lateral es el área del rectángulo cuya base mide la longitud de las 
circunferencias de las bases del cilindro.
AL = L ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 4 = 75,36 cm
2
 ❚ El área total es la suma del área lateral y las áreas de los dos círculos.
AT = AL + 2Ab = 75,36 + 2 ⋅ π ⋅ 3
2 = 75,36 + 56,52 = 131,88 cm2
 ❚ Calculamos la capacidad del cilindro aplicando el principio de Cavalieri, que nos 
permite hallar el volumen del cilindro:
V = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 28,26 ⋅ 4 = 113,04 cm3
 ❚ El área lateral de un cilindro recto, AL, es el área del rectángulo que forma su 
cara lateral.
AL = L ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h
 ❚ El área total de un cilindro recto, AT, es la suma del área lateral y las áreas de 
las dos bases.
AT = AL + 2Ab = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ r
2
 ❚ El volumen de un cilindro recto, V, es el producto del área de la base por la altura.
V = Ab ⋅ h = π ⋅ r
2 ⋅ h
En tu vida 
diaria
 • Hay motores de un cilindro, como los de las motosierras o algunas motocicletas pequeñas, y los hay de hasta 16 cilindros, como los que equipan algunos coches, autobuses, camiones o aviones.
 • La cilindrada de un vehículo es la forma de medir el tamaño de su motor. Se obtiene sumando los volúmenes de unas piezas llamadas pistones que se sitúan en el interior de cada cilindro. Es frecuente hablar, por ejemplo, de un motor de 2 000 cm3 o de su equivalente, un motor de 2 L.
Aprenderás a…
 ● Deducir la forma más 
adecuada para obtener 
el área y el volumen de 
cilindros.
DESAFÍO
Una vela cilíndrica de 15 cm de altura y 6 cm de diámetro se consume a razón de 1 cm cada 40 min. ¿Cuál 
será el volumen de la parte de la vela que quedadespués de 4 h encendida?
21
Soluciones de las actividades
9 La altura de un cilindro mide 6 m, y su radio, 3 m. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.
AL = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 6 = 113,04 m
2
AT = 113,04 + 2 ⋅ π ⋅ 3
2 = 113,04 + 56,52 = 169,56 m2
V = π ⋅ 32 ⋅ 6 = 169,56 m3
10 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 2 cm x 5 cm. Halla el área del cilindro que se obtiene haciendo girar el rectán-
gulo sobre el lado de 2 cm.
 Comprueba si el área anterior coincide con la del cilindro generado al girar el rectángulo sobre el lado de 5 cm.
Girando sobre el lado de 2 cm: AT = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ π ⋅ 5
2 = 219,8 cm2
Al girar sobre el lado de 5 cm: AT = 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ π ⋅ 2
2 = 87,92 cm2
Por tanto, las áreas laterales coinciden pero las totales no.
Sugerencias didácticas
En este epígrafe los alumnos aprenderán a calcular el área 
lateral, el área total y el volumen de un cilindro recto.
Es recomendable que los alumnos no aprendan las fórmu-
las de memoria, el cálculo de las áreas lo plantearemos a 
partir del desarrollo plano del cilindro.
El cálculo del volumen no presentará problemas, pero de-
bemos insistir en la utilización correcta de las medidas de 
capacidad.
También es recomendable que los alumnos realicen las 
actividades propuestas para superar los posibles inconve-
nientes que pueden encontrarse, tanto gráficos como de 
cálculo numérico.
301
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
11 Calcula el volumen de estos cilindros.
a) b) 
 
15 cm
12 cm
 
10 cm
8 cm
a) r = 7,5 cm → V = π ⋅ 7,52 ⋅ 12 = 2 119,5 cm3 
b) h = 102 − 82 = 6 cm y r = 4 cm → V = π ⋅ 42 ⋅ 6 = 301,44 cm3
12 Averigua los litros de agua que caben en un depósito cilíndrico de 15 m de altura cuyo diámetro es de 10 m.
r = 5 m → V = π ⋅ 52 ⋅ 15 = 1 177,5 m3 = 1 177 500 L
13 Halla el volumen del depósito de tinta de un bolígrafo que mide 11 cm de altura y 1 cm de diámetro.
r = 0,5 cm → V = π ⋅ 0,52 ⋅ 11 = 8,64 cm3 
14 Arturo va a pintar una pared con un rodillo. ¿Cuál es la superficie de pared que abarca-
rá con cada vuelta completa del rodillo?
La superficie de la pared que abarcará con cada vuelta del rodillo coincide con el área 
lateral del cilindro.
r = 5 cm → AL = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 25 = 785 cm
2
15 Un bote de refresco tiene una capacidad de 330 cm3. Si su diámetro mide 6,5 cm, ¿cuál es su altura?
r = 3,25 cm → 330 = π ⋅ 3,252 ⋅ h → h = 9,95 cm
16 Calcula el área lateral de un cilindro si el diámetro de la base mide 14 cm y su altura es el triple que su radio.
r = 7 cm → h = 21 cm → AL = 2 ⋅ π ⋅ 7 ⋅ 21 = 923,16 cm
2
17 Determina el radio de un cilindro si la longitud de la circunferencia de la base es de 62,8 dm.
62,8 = 2 ⋅ π ⋅ r → r = 10 dm 
18 Un cilindro tiene un área total de 3 500 dm2. Si el radio de la base mide 17,5 dm, halla la altura del cilindro.
3 500 = 2 ⋅ π ⋅ 17,5 ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ 17,52 → h = 14,35 dm 
19 La capacidad de un depósito cilíndrico es de 3 140 m3. ¿Cuánto mide su radio si tiene una altura de 10 m?
3 140 = π ⋅ r2 ⋅ h → r = 10 m 
20 Calcula el diámetro de un cilindro de 10 m de altura si su volumen es de 1 000 m3.
1 000 = π ⋅ r2 ⋅ 10 → r = 5,64 m → d = 11,28 m 
Desafío
21 Una vela cilíndrica de 15 cm de altura y 6 cm de diámetro se consume a razón de 1 cm cada 40 min. ¿Cuál será el volumen 
de la parte de la vela que queda después de 4 h encendida?
El volumen de la vela es: V = π ⋅ 32 ⋅ 15 = 423,9 cm3
Después de 4 h = 240 min, la altura del cilindro se habrá reducido: 240 : 40 = 6 cm
Entonces la altura de la vela será: 15 − 6 = 9 cm
Luego, su volumen será: V = π ⋅ 32 ⋅ 9 = 254,34 cm3 
10 Cuerpos de revolución
302
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
3. Área y volumen de conos
189
10Actividades10 Cuerpos de revolución
188
Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto de 18 cm de 
altura cuya base tiene 12 cm de diámetro.
22
Los radios de las bases de un tronco de cono recto de 5 dm de altura miden 1 dm 
y 2 dm, respectivamente. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.
23
3. ÁREA Y VOLUMEN DE CONOS
Sofía y su hermana se han comprado 
unos helados con forma de cono.
¿Cuál es la superficie que cubre el 
envoltorio de papel?
¿Qué volumen ocupa el helado en 
su interior?
Al desenvolver el helado, podemos observar que la superficie lateral corresponde a 
un sector circular.
❚ El radio del sector tiene la longitud de 
la generatriz, g.
❚ La amplitud del ángulo que abarca el 
sector mide: 2πr
❚ Como el círculo completo abarca un 
ángulo de 2πg, el área lateral es:
AL = πg
2 ⋅
2πr
2πg
= πrg
 ❚ La medida del envoltorio completo corresponde al área total formada por la del 
sector circular y la del círculo de la base: AT = πrg + πr
2
 ❚ El volumen que puede contener el envoltorio del helado corresponde al volumen 
del cono recto, que, como ocurre con la pirámide, coincide con la tercera parte del 
volumen de un cilindro que tenga la misma base y la misma altura.
 ❚ El área lateral de un cono recto, AL, es el área del sector circular que forma su 
cara lateral.
AL = πrg
 ❚ El área total de un cono recto, AT, es la suma del área lateral y el área de la base.
AT = AL + Ab = πrg + πr
2
 ❚ El volumen de un cono recto, V, es un tercio del producto del área de la base 
por la altura. 
V =
Ab ⋅h
3
=
πr 2 ⋅h
3
Área y volumen de los troncos de cono
 ❚ El área lateral de un tronco de cono recto, AL, se puede hallar calculando 
la diferencia entre las áreas laterales de los conos cuyas bases corresponden a 
las bases del tronco.
 ❚ El área total de un tronco de cono recto, AT, es la suma del área lateral y 
las áreas de las bases.
 ❚ El volumen de un tronco de cono recto, V, se puede calcular hallando la diferencia 
entre los volúmenes de los conos cuyas bases corresponden a las bases del tronco.
r
r
g
g
h
Aprenderás a…
 ● Deducir la forma más 
adecuada para obtener el 
área y el volumen de conos y 
troncos de cono.
Podemos calcular el área de un 
sector circular con la fórmula:
A = πr2 ⋅
α
360°
donde r es la longitud del radio 
del círculo y α es la amplitud 
del ángulo que abarca el sector 
circular.
Recuerda
Presta atención
Necesitamos el contenido de tres 
conos para completar la capacidad 
de un cilindro con la misma base 
y altura.
Presta atención
También podemos calcular el área 
lateral y el volumen del tronco de 
cono recto mediante las siguientes 
fórmulas:
AL = π ⋅ (R + r) ⋅ g
V =
π ⋅ R2 + r2 + R ⋅ r( ) ⋅h
3
En el ejercicio resuelto:
AL = π ⋅ (9 + 4) ⋅ 13 = 530,66 m
2
V =
π ⋅ 92 + 42 + 9 ⋅ 4( ) ⋅12
3
=
V = 1 670,48 m3
 } Determina el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto cuyo 
radio mide 4 cm si su altura es de 3 cm.
Solución
EJERCICIO RESUELTO
 } Calcula las áreas lateral y total, y el volumen de un tronco de cono recto de 
12 m de altura si los radios de las bases miden 4 m y 9 m, respectivamente.
Solución
Para calcular el área lateral, hallamos la generatriz 
aplicando el teorema de Pitágoras: 
g = 52 + 122 = 13 m
Observamos los triángulos determinados por 
las generatrices y los radios de las bases y 
comprobamos que están en posición de Tales.
c
4
=
c + 13
9
→ 9c = 4c + 52
 5c = 52 → c = 10,4 m
Por tanto, la generatriz del cono mide: 
G = 13 + 10,4 = 23,4 m
El área lateral es: AL = πRG − πrc = π ⋅ 9 ⋅ 23,4 − π ⋅ 4 ⋅ 10,4 = 530,66 m
2
El área total es: AT = AL + πR
2 + πr2 = 530,66 + π ⋅ 92 + π ⋅ 42 = 835,24 m2
Para hallar el volumen del tronco, consideramos los conos que tienen como bases 
las del tronco. Aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras, obtenemos la altura de 
uno de los conos: h = 10,42 − 42 = 9,6 m
Así, la altura del otro cono es: H = 12 + 9,6 = 21,6 m
El volumen es: V =
πR2 ⋅H
3
−
πr2 ⋅h
3
=
π ⋅92 ⋅21,6
3
−
π ⋅ 42 ⋅9,6
3
= 1670,48 m3
EJERCICIO RESUELTO
4 m
12 m
9 m
c
g
h
G
DESAFÍO
Halla la medida de la altura de una tienda india, en forma de cono, sabiendo que el diámetro de la basemide 
6 m y que se han utilizado 47,1 m2 de piel de venado para formar la cara lateral.
24
mac3e37
Sugerencias didácticas
En este epígrafe los alumnos aprenderán a determinar el 
área lateral, el área total y el volumen de conos y troncos 
de cono rectos.
Es imprescindible que el alumnado sea capaz de identificar 
y reconocer los elementos principales de los conos.
El desarrollo plano, en los ejercicios que realicen, les será 
de gran utilidad para comprender cómo ha de calcularse el 
área lateral y el área total.
Es importante que relacionen el volumen de un cono con 
un tercio del volumen de un cilindro que tenga la misma 
base y altura.
Puede resultar complicado el aprendizaje del cálculo de 
áreas y volumen de un tronco de cono, para empezar de-
bemos realizar alguna actividad en la que traten el tronco 
como diferencia de dos conos.
El teorema de Tales nos permitirá relacionar la altura de un 
tronco con la altura del cono.
Vídeo. ÁREA Y VOLUMEN DE UN CONO
En el vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio resuelto, indican-
do cómo calcular el área lateral, el área total y el volumen de un 
cono recto.
Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del pro-
cedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como 
recurso para que los alumnos lo repasen.
303
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Soluciones de las actividades
22 Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto de 18 cm de altura cuya base tiene 12 cm de diámetro.
g = 182 + 62 = 18,97 cm
AL = π ⋅ 6 ⋅ 18,97 = 357,39 cm
2
AT = 357,39 + π ⋅ 6
2 = 470,43 cm2
V =
π ⋅62 ⋅18
3
= 678,24 cm3
23 Los radios de las bases de un tronco de cono recto de 5 dm de altura miden 1 dm y 2 dm, respectivamente. Calcula su 
área lateral, su área total y su volumen.
g = 52 + 12 = 5,1 dm
AL = π ⋅ (2 + 1) ⋅ 5,1 = 48,04 dm
2
AT = 48,04 + π ⋅ 2
2 + π ⋅ 12 = 63,74 dm2
V =
π ⋅ 22 + 12 + 2 ⋅1( ) ⋅5
3
= 36,63 dm3
Desafío
24 Halla la medida de la altura de una tienda india, en forma de cono, sabiendo que el diámetro de la base mide 6 m y que 
se han utilizado 47,1 m2 de piel de venado para formar la cara lateral.
π ⋅ 3 ⋅ g = 47,1 → g = 5 m
Como la altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo: h = 52 − 32 = 4 m
10 Cuerpos de revolución
304
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4. Esferas
191
10Actividades10 Cuerpos de revolución
190
Realiza un dibujo que represente cada afirmación referida a una esfera cuyo radio 
mide 5 cm.
a) Un plano corta la esfera y determina dos semiesferas.
b) La esfera tiene una zona esférica de 4 cm de altura.
c) Un casquete esférico mide 4 cm de altura.
d) La esfera tiene un huso esférico de 30º de amplitud.
e) Una cuña esférica está determinada por un ángulo de 90º.
Explica por qué son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a) Dos puntos cualesquiera de una superficie esférica pertenecen siempre a una 
circunferencia máxima.
b) Existe una circunferencia máxima que contiene tres puntos cualesquiera de una 
superficie esférica.
25
26
Halla la distancia entre dos puntos de una superficie esférica:
a) Si el radio de la esfera mide 20 cm y las rectas que pasan por los puntos y por 
el centro de la esfera forman un ángulo de 10º.
b) Si el diámetro de la esfera mide 10 cm y las rectas que pasan por los puntos y 
por el centro de la esfera forman un ángulo de 60º.
c) Si el radio de la esfera mide 16 dm y las rectas que pasan por el centro de la 
esfera y por los puntos forman un ángulo de 25º.
Un plano que corta a una esfera de 14 cm de 
radio dista 9 cm de su centro.
a) ¿Cuál es la longitud del radio del círculo 
determinado por el corte del plano a la 
esfera?
b) Calcula la altura del casquete esférico 
determinado por el corte del plano.
27
28
4. ESFERAS
Elisa ha comprado un móvil para 
colocarlo en su terraza con la idea 
de que se mueva propulsado por 
el viento.
Cuando giran las piezas con 
forma de semicírculo, parece 
que el móvil está formado por 
esferas de colores.
Una esfera es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar un 
semicírculo alrededor de un eje que contiene su diámetro.
 ❚ Una esfera tiene una sola cara, llamada superficie esférica.
 ❚ Todos los puntos de la superficie esférica equidistan de un punto fijo, denominado 
centro de la esfera.
 ❚ La distancia que separa los puntos de la superficie del centro recibe el nombre de 
radio de la esfera.
Intersecciones de planos y esferas
 ❚ Corte de una esfera por un plano que 
pasa por su centro.
 Se obtiene un círculo máximo 
delimitado por una circunferencia 
máxima. Cada parte en las que queda 
dividida la esfera es una semiesfera.
 ❚ Corte de una esfera por un plano que 
no pasa por su centro.
 Se obtienen dos partes. Cada una de 
ellas es un casquete esférico. 
 ❚ Corte de una esfera por dos planos 
paralelos.
Se obtiene una zona esférica 
formada por la parte de la superficie 
esférica comprendida entre ambos 
planos.
 ❚ Corte de una esfera por dos planos 
secantes que pasan por su centro.
Se obtiene dos partes. Cada una de 
ellas es una cuña esférica.
El huso esférico es la parte de la 
superfie esférica que corresponde a 
una cuña esférica.
Aprenderás a…
 ● Reconocer la esfera como 
cuerpo de revolución.
 ● Identificar las intersecciones 
que se obtienen al cortar una 
esfera por uno o más planos.
Presta atención
La esfera no tiene desarrollo 
plano.
h
r•
 } Calcula la distancia entre los puntos A y B de 
la superficie esférica si el radio de la esfera 
mide 4 m.
Solución
La distancia entre A y B es igual a la longitud del 
arco de la circunferencia máxima que los contiene, 
correspondiente al ángulo de 45º de amplitud:
d (A, B ) = 2π ⋅ 4 ⋅
45°
360°
= 3,14 m
EJERCICIO RESUELTO
•
•
•
A
B
O
45º
Podemos calcular la longitud 
del arco de una circunferencia 
aplicando la fórmula:
L = 2πr ⋅
α
360°
donde r es la longitud del 
radio de la circunferencia, y α 
corresponde a la amplitud del 
ángulo que determina el arco.
Recuerda
El Atomium, símbolo de la Exposición Universal de Bruselas de 
1958, es una estructura formada por esferas. Busca en Internet 
sus dimensiones y determina la longitud de las circunferencias 
máximas de cada esfera. 
29
Investiga
Soluciones de las actividades
25 Realiza un dibujo que represente cada afirmación referida a una esfera cuyo radio mide 5 cm.
a) Un plano corta la esfera y determina dos semiesferas.
b) La esfera tiene una zona esférica de 4 cm de altura.
c) Un casquete esférico mide 4 cm de altura.
d) La esfera tiene un huso esférico de 30º de amplitud.
e) Una cuña esférica está determinada por un ángulo de 90º.
Sugerencias didácticas
Es importante que los alumnos reconozcan que la esfera no 
admite desarrollo plano. 
Deberán aprender a calcular la distancia entre dos puntos 
de la superficie esférica, no resultará difícil que entiendan 
que se trata de calcular la longitud de un arco de circunfe-
rencia. 
También deben reconocer qué es una semiesfera, un cas-
quete esférico, una zona esférica, una cuña y un huso es-
férico. Debemos conseguir que sean capaces de expresar 
verbalmente cómo se obtienen. Será necesario utilizar el 
teorema de Pitágoras en el cálculo de secciones planas de 
una esfera. 
305
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
a) c) e) 
 
5 cm
 
4 cm
 
5 cm
90º
b) d) 
 
5 cm
4 cm
 
5 cm
30º
26 Explica por qué son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a) Dos puntos cualesquiera de una superficie esférica pertenecen siempre a una circunferencia máxima.
b) Existe una circunferencia máxima que contiene tres puntos cualesquiera de una superficie esférica.
a) Verdadera, ya que la distancia más corta entre dos puntos es el arco de circunferencia máxima que pasa por ellos. 
b) Falsa, porque por tres puntos no alineados siemprees posible construir una circunferencia que pase por todos ellos 
pero no ha de ser siempre una circunferencia máxima de la esfera que los contiene.
27 Halla la distancia entre dos puntos de una superficie esférica:
a) Si el radio de la esfera mide 20 cm y las rectas que pasan por los puntos y por el centro de la esfera forman un ángulo 
de 10º.
b) Si el diámetro de la esfera mide 10 cm y las rectas que pasan por los puntos y por el centro de la esfera forman un 
ángulo de 60º.
c) Si el radio de la esfera mide 16 dm y las rectas que pasan por el centro de la esfera y por los puntos forman un ángulo 
de 25º.
a) d (A,B ) = 2π ⋅20 ⋅
10º
360º
= 3,49 cm
b) d (A,B ) = 2π ⋅5 ⋅
60º
360º
= 5,23 cm
c) d (A,B ) = 2π ⋅16 ⋅
25º
360º
= 6,98 dm
28 Un plano que corta a una esfera de 14 cm de radio dista 9 cm de su centro.
a) ¿Cuál es la longitud del radio del círculo determinado por el corte del plano a la esfera?
b) Calcula la altura del casquete esférico determinado por el corte del plano.
a) El radio de la esfera, la distancia del centro de la esfera al plano y la longitud del radio del círculo generado por el corte 
forman un triángulo rectángulo. Así, aplicando el teorema de Pitágoras: r = 142 − 92 = 10,72 cm
b) h = 14 − 9 = 5 cm
Investiga
29 El Atomium, símbolo de la Exposición Universal de Bruselas de 1958, es una estructura formada por esferas. Busca en 
Internet sus dimensiones y determina la longitud de las circunferencias máximas de cada esfera.
El diámetro de las esferas mide 18 m.
Entonces la longitud de las circunferencias máximas mide: L = 2 ⋅ π ⋅ 9 = 56,52 m
10 Cuerpos de revolución
306
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5. Área y volumen de esferas
193
10Actividades10 Cuerpos de revolución
192
El radio de una esfera mide 2 cm. Calcula su área y su volumen.
Se sumerge una pelota de 22 cm de diámetro en un estanque y flota con la mitad 
de la superficie dentro del agua.
a) Halla el volumen de la parte de la pelota que se encuentra sumergida.
b) Calcula el área de la parte de la pelota que está fuera del agua.
El área de un balón esférico mide 314 cm2. Averigua la longitud de su radio.
El volumen de una esfera es de 113,04 m3. Determina la longitud de su diámetro.
Calcula la cantidad de material plástico de 
cada color que se necesita para construir un 
balón como el de Manuel si cada franja tiene 
4 cm de altura.
30
31
32
33
34
Dos planos pasan por el centro de una esfera y forman un ángulo de 90º. Si el 
radio de la esfera mide 8 cm, halla:
a) El área del huso esférico determinado por los planos.
b) El volumen de la cuña esférica correspondiente a este huso.
¿Qué relación existe entre el volumen de una esfera de radio a y el de otra esfera 
de radio 3a?
El radio de la base de un cilindro recto mide 6 m, y su altura, 8 m. Calcula la 
longitud del radio de la esfera que tiene el mismo volumen que este cilindro.
35
36
37
5. ÁREA Y VOLUMEN DE ESFERAS
Arquímedes de Siracusa (ca. 287-212 a. C.), 
físico, ingeniero y matemático griego, inventor 
de la polea, la rueda dentada o la palanca, 
dedicó dos de sus libros a la relación que existe 
entre los cuerpos de revolución: el cilindro, 
el cono y la esfera.
Arquímedes demostró que el área de una 
esfera es igual al cuádruple del área de su 
círculo máximo. Para ello, imaginó la esfera 
dentro de un cilindro cuya altura y cuyo 
diámetro coincidiesen con el de la esfera.
Entonces: 
Aesfera = AL = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ 2r = 4πr
2
De igual forma, el área de un casquete esférico y de una zona esférica coinciden 
con el área lateral de un cilindro con la misma altura y el mismo diámetro.
•h r
hr•
Acasquete esférico = 2πrh Azona esférica = 2πrh
El área de una esfera de radio r es: A = 4πr2
Para determinar el volumen de la esfera, Arquímedes demostró que el volumen 
de una semiesfera coincide con el de un cilindro con la misma altura y el mismo 
diámetro al que se le resta el volumen de un cono con las mismas dimensiones.
• •
• •
r
r
r
r
r
Vsemiesfera = Vcilindro = Vcono = πr
2 ⋅ r −
πr2 ⋅ r
3
=
2
3
πr3
Así pues, el volumen de la esfera es el doble: Vesfera = 2 ⋅
2
3
πr3 =
4
3
πr3
El volumen de una esfera de radio r es: V =
4
3
πr 3
• r2r
Aprenderás a…
 ● Deducir la forma más 
adecuada para hallar el área 
y el volumen de esferas y 
cuerpos esféricos.
 } Dos planos secantes que forman un ángulo de 30º cortan una esfera cuyo 
radio mide 5 cm y pasan por su centro. Calcula:
a) El volumen de la cuña esférica determinada por estos planos.
b) El área del huso esférico correspondiente a esta cuña.
Solución
a) El volumen de la cuña esférica es proporcional al volumen 
de la esfera.
V = Vesfera ⋅
30º
360º
=
4
3
π ⋅53 ⋅
30º
360º
= 43,61cm3
b) Del mismo modo, el área del huso esférico es proporcional 
al área de la esfera.
A = Aesfera ⋅
30º
360º
= 4π ⋅52 ⋅
30º
360º
= 26,17 cm3
EJERCICIO RESUELTO
Responde razonadamente:
a) Si un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, ¿cuál de ellos tiene menor área?
b) Si un cubo y una esfera tienen la misma área, ¿cuál de ellos tiene menor volumen?
38
Investiga
Soluciones de las actividades
30 El radio de una esfera mide 2 cm. Calcula su área y su volumen.
A = 4 ⋅ π ⋅ 22 = 50,24 cm2
V =
4
3
⋅ π ⋅23 = 33,49 cm3
31 Se sumerge una pelota de 22 cm de diámetro en un estanque y flota con la mitad de la superficie dentro del agua.
a) Halla el volumen de la parte de la pelota que se encuentra sumergida.
b) Calcula el área de la parte de la pelota que está fuera del agua.
a) Vsemiesfera = 
1
2
⋅
4
3
⋅ π ⋅113 = 2786,22 cm3
b) Asemiesfera = 2 ⋅ π ⋅ 11
2 = 759,88 cm2
Sugerencias didácticas
Presentaremos a los alumnos la demostración del área de 
una esfera razonando que coincide con el área lateral del 
cilindro circunscrito a ella y con altura de igual longitud que 
el diámetro.
Es importante que entiendan de la misma forma cómo ha 
de calcularse el área de un casquete y de una zona esférica, 
coincidiendo de la misma forma con el cilindro con la altura 
correspondiente.
La obtención del volumen de la esfera podemos ilustrarla 
con el dibujo de la semiesfera, el cilindro y el cono con las 
mismas dimensiones de radio y altura.
Para que resulte sencilla la comprensión de cómo ha de 
calcularse el volumen de una cuña esférica y la obtención 
del área de un huso esférico se propone realizar el ejercicio 
resuelto.
307
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
32 El área de un balón esférico mide 314 cm2. Averigua la longitud de su radio.
314 = 4 ⋅ π ⋅ r2 → r = 5 cm
33 El volumen de una esfera es de 113,04 m3. Determina la longitud de su diámetro.
113,4 = 
4
3
⋅ π ⋅ r3 → r = 3 m
El diámetro mide 6 m.
34 Calcula la cantidad de material plástico de cada color que se necesita para construir 
un balón como el de Manuel si cada franja tiene 4 cm de altura.
Como las franjas tienen la misma altura, el área de los casquetes esféricos y de las 
zonas esféricas coincide:
A = 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 4 = 602,88 cm2 
Se necesitan 602,88 cm2 de material 
de cada color.
35 Dos planos pasan por el centro de una esfera y forman un ángulo de 90º. Si el radio de la esfera mide 8 cm, halla:
a) El área del huso esférico determinado por los planos.
b) El volumen de la cuña esférica correspondiente a este huso.
a) A = 4 ⋅ π ⋅82 ⋅
90º
360º
= 200,96 cm2
b) V =
4
3
⋅ π ⋅83 ⋅
90º
360º
= 535,89 cm3
36 ¿Qué relación existe entre el volumen de una esfera de radio a y el de otra esfera de radio 3a?
V1 =
4
3
⋅ π ⋅ a3
V2 =
4
3
⋅ π ⋅ (3a )3 =
4
3
⋅ π ⋅27a3 = 27 ⋅
4
3
⋅ π ⋅ a3 = 27V1
El volumen de la esfera de radio 3a es 27 veces el de la de radio a.
37 El radio de la base de un cilindro recto mide 6 m, y su altura, 8 m. Calcula la longitud del radio de la esfera que tiene el 
mismo volumen que este cilindro.
V = π ⋅ 62 ⋅ 8 = 904,32 m3 
904,32 = 
4
3
⋅ π ⋅ r3 → r = 6 m 
Investiga
38 Responde razonadamente:
a) Si un cubo y unaesfera tienen el mismo volumen, ¿cuál de ellos tiene menor área?
b) Si un cubo y una esfera tienen la misma área, ¿cuál de ellos tiene menor volumen?
a) La esfera tiene menor área.
b) El cubo tiene menor volumen.
10 Cuerpos de revolución
308
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6. Composición de cuerpos de revolución
195
10Actividades10 Cuerpos de revolución
194
Halla el área y el volumen de cada figura.
a) 
• •2 cm 2 cm
2 cm
4 cm
b) 
•3 m 2 m
Calcula el área del tapón cuyas medidas aparecen a 
continuación.
39
40
Halla el área del cristal de este tubo de ensayo. 
Calcula el volumen que puede contener.
Una fábrica de perfumes dispone de frascos como el 
de la figura. Halla el volumen de cada envase.
Un juguete está formado por dos conos unidos por la 
base. ¿Cuál es su volumen?
41
42
43
6. COMPOSICIÓN DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Un tentetieso es un juguete infantil. Puede estar formado por una semiesfera o un 
casquete esférico en la parte inferior, que contiene una pieza pesada en su interior 
que actúa como contrapeso. Así, al modificar su posición de equilibrio estable, 
siempre vuelve a su posición inicial.
Simón y Erica quieren construir un 
tentetieso con un material de plástico 
flexible.
¿Qué cantidad de material 
necesitarán? ¿Cuál es el volumen 
que podría contener?
El área y el volumen de un cuerpo compuesto por dos o más cuerpos de revolución 
se hallan sumando las áreas y los volúmenes de los cuerpos que lo forman.
Aprenderás a…
 ● Obtener el área y el volumen 
de cuerpos compuestos por 
cuerpos de revolución.
 } Una arandela de acero forma parte de un mecanismo. Calcula el volumen de la pieza representada.
Solución
La pieza está compuesta por un cilindro de cuyo interior 
se ha eliminado un cilindro con un radio menor; por tanto:
V = Vcilindro exterior − Vcilindro interior = 
V = π ⋅ 52 ⋅ 5 − π ⋅ 3,52 ⋅ 5 =
V = 125 π − 61,25 π =
V = 63,75π = 200,18 cm3
EJERCICIO RESUELTO
5 
cm
10 cm7 cm
•
DESAFÍO
Crea tu propio tentetieso. Para ello, puedes utilizar 
una pelota de tenis, una cartulina, un tornillo con 
dos tuercas y cola blanca. Primero corta la pelota 
por la mitad e introduce el tornillo con las tuercas 
enroscadas en la parte de abajo y centrado. Después 
rellena con la cola blanca hasta cubrir las tuercas (no 
es necesario llenar toda la semiesfera). Espera 24 
horas, tiempo aproximado para que el contrapeso 
quede fijo. Con cartulina, construye un cilindro cuya 
base coincida con el círculo máximo de la semiesfera, 
así como un cono cuyo radio sea 1 cm mayor que el 
del cilindro. Pega los tres cuerpos y adorna el juguete 
a tu gusto.
44
mac3e38
Soluciones de las actividades
39 Halla el área y el volumen de cada figura.
a) b) 
 
• •2 cm 2 cm
2 cm
4 cm
 
•3 m 2 m
a) g = 22 + 22 = 2,83 cm b) A = 2 ⋅ π ⋅52 + 2 ⋅ π ⋅22 + π ⋅ 52 − 22( ) = 248,06 m2
 A = 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 2,83 + 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 4 = 85,78 cm2 V =
1
2
⋅
4
3
⋅ π ⋅53 +
1
2
⋅
4
3
⋅ π ⋅23 = 278,41 m3
 V = 2 ⋅
π ⋅22 ⋅2
3
+ π ⋅22 ⋅ 4 = 66,99 cm3
Sugerencias didácticas
En este epígrafe se pondrán en práctica los conocimientos 
adquiridos en los anteriores. Los alumnos suelen desarrollar 
una actitud muy positiva cuando les proponemos activida-
des en las que deban observar figuras para su descomposi-
ción en otras más pequeñas.
En el ejercicio de la sección Desafío se propone a los alum-
nos la construcción real de un cuerpo compuesto utilizando 
materiales sencillos. La manipulación del tentetieso pro-
puesto puede ayudar a una mejor comprensión de los ejer-
cicios propuestos.
Vídeo. ÁREA Y VOLUMEN DE UN CUERPO 
DE REVOLUCIÓN COMPUESTO
En el vídeo se resuelve, paso a paso, el cálculo del área y del volu-
men del cuerpo compuesto del ejemplo.
Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del pro-
cedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como 
recurso para que los alumnos lo repasen.
309
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
43 Un juguete está formado por dos conos unidos por la base. ¿Cuál 
es su volumen?
Si h1 y h2 son las alturas de los conos:
h1 + h2 = 3
2 + 42 = 5 cm
Por semejanza de triángulos: 
h1
3
=
3
5
→ h1 = 1,8 cm
h2
4
=
4
5
→ h2 = 3,2 cm
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
Entonces: r1 = 3
2 −1,82 = 2,4 cm = r2 = 4
2 − 3,22 = 2,4 cm
V =
π ⋅2,42 ⋅1,8
3
+
π ⋅2,42 ⋅3,2
3
= 30,14 cm3
42 Una fábrica de perfumes dispone de frascos como el de la figura. 
Halla el volumen de cada envase.
V = π ⋅32 ⋅12−
π ⋅32 ⋅ 4
3
= 301,44 cm3
41 Halla el área del cristal de este tubo de ensayo. Calcula el volumen 
que puede contener.
A = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 12 + 2 ⋅ π ⋅ 32 = 282,6 cm2 
V = π ⋅32 ⋅12 +
1
2
⋅
4
3
⋅ π ⋅33 = 395,64 cm3
40 Calcula el área del tapón cuyas medidas aparecen a continuación.
A = π ⋅ 42 + 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅8 + π ⋅ 62 − 42( ) + 2 ⋅ π ⋅6 ⋅6 + π ⋅62 =
= 653,12 cm2
10 Cuerpos de revolución
310
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
7. La esfera terrestre
197
10Actividades10 Cuerpos de revolución
196
Halla el área de cada uno de los husos horarios de la Tierra y expresa el resultado 
en notación científica.
Determina la diferencia horaria existente entre dos ciudades situadas sobre dos 
meridianos que forman un ángulo de 120º.
Fíjate en el mapa de husos horarios e indica qué hora será en estas ciudades 
cuando en Greenwich sean las 8 h.
a) Helsinki c) El Cairo e) Bombay
b) Río de Janeiro d) Londres f) Bangkok
Un avión tarda 17 h y 30 min en realizar un vuelo desde Madrid a Manila, en 
Filipinas. Si sale a las 6 h del aeropuerto de Barajas (Madrid), ¿qué hora será en la 
ciudad de destino cuando aterrice?
Un vuelo de Valencia a Nueva York dura 8 h y 15 min. Si el avión sale a las 14 h, 
¿a qué hora aterrizará en el aeropuerto JFK (Nueva York)?
Considera la Tierra como una esfera perfecta y calcula el área y el volumen del 
planeta sabiendo que el radio mide 6 371 km, aproximadamente. Expresa los 
resultados en notación científica.
Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Todos los paralelos son circunferencias máximas.
b) Todos los meridianos son circunferencias máximas.
c) El ecuador no tiene su centro en el centro de la esfera terrestre.
d) Un huso horario es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos 
paralelos.
e) La zona es una parte de la superficie comprendida entre dos paralelos.
45
46
47
48
49
50
51
7. LA ESFERA TERRESTRE
La Tierra es un planeta cuya forma se 
aproxima a la de una esfera, que realiza 
un doble giro: por un lado, describe 
un movimiento de traslación alrededor 
del Sol y, por otro, un movimiento de 
rotación alrededor de un eje imaginario 
inclinado unos 23,5º respecto a la 
órbita del Sol, donde están definidos los 
puntos llamados polo norte y polo sur.
La esfera terrestre es una maqueta tridimensional en la que aparecen 
representadas las zonas de tierra, los mares y los accidentes geográficos del 
planeta Tierra.
Elementos de la esfera terrestre
 ❚ El eje terrestre es una recta imaginaria sobre la que gira la Tierra. Los extremos de 
este eje se llaman polos: son el polo norte y el polo sur.
 ❚ Los paralelos son circunferencias determinadas por los planos perpendiculares al eje 
terrestre.
 ❚ La zona es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos paralelos.
 ❚ El ecuador es una circunferencia de 6 371 km de radio, la de mayor radio sobre la 
esfera terrestre, que divide a la Tierra en dos hemisferios: el hemisferio norte y el 
hemisferio sur.
 ❚ Los meridianos son semicircunferencias máximas, cuyos extremos están situados 
en los polos.
 ❚ El meridiano de Greenwich es el meridiano que pasa por el antiguo observatorio 
de la localidad inglesa del mismo nombre, también denominado meridiano 0. Divide 
a la Tierra en dos hemisferios: el hemisferio oriental y el hemisferio occidental.
 ❚ Un antimeridiano es un arco opuesto a un meridiano que completacon él una 
circunferencia máxima.
 ❚ Un huso es una parte de la superficie terrestre comprendida entre dos meridianos.
Aprenderás a…
 ● Reconocer los elementos de 
la esfera terrestre.
En tu vida 
diaria
Desde la antigüedad se ha tratado de perfeccionar la disposición de las regiones y accidentes geográficos en la esfera terrestre. Los avances que han tenido lugar en la cartografía han permitido el desarrollo de los transportes, la meteorología o la localización vía satélite.
En tu vida 
diaria
 • Un día es el período de tiempo que transcurre desde que el Sol está sobre el meridiano de un lugar hasta que vuelve a situarse en la misma posición. Por lo tanto, todos los puntos de un meridiano tienen la misma hora solar.
 • Para establecer el sistema horario, se toma como referencia el meridiano 0. Los relojes indican las 12 h cuando el Sol pasa por este meridiano. Los puntos que se encuentran en los husos situados hacia el oeste marcan, sucesivamente, una hora menos, mientras que los que se encuentran en los husos hacia el este marcan una hora más, también sucesivamente.
 } Para unificar los horarios de los distintos territorios de la Tierra, la superficie 
se ha dividido en 24 husos horarios, según el giro que da el planeta en una 
hora alrededor de su eje. Calcula la amplitud de cada huso horario.
Solución
Cada 24 horas, la Tierra gira 360º sobre su eje; por tanto, un huso horario tiene una 
amplitud de: 360º : 24 = 15º
La Tierra gira 15º cada hora alrededor de su eje.
EJERCICIO RESUELTO
Busca en Internet qué es y qué representa una esfera armilar.52
Investiga
Soluciones de las actividades
45 Halla el área de cada uno de los husos horarios de la Tierra y expresa el resultado en notación científica.
Cada huso horario tiene una amplitud de 15º y el radio de la Tierra es de 6 371 km.
La superficie de cada huso mide: A = 4 ⋅ π ⋅63712 ⋅
15º
360º
= 21241912,12 km2 = 2,12 ⋅ 107 km2 
46 Determina la diferencia horaria existente entre dos ciudades situadas sobre dos meridianos que forman un ángulo de 
120º.
Como cada huso horario tiene una amplitud de 15º, el número de husos entre las dos ciudades es: 120º : 15º = 8
Por tanto, tienen su diferencia horaria es de 8 h.
Sugerencias didácticas
Es el momento de poner en práctica los conocimientos ad-
quiridos de la geografía terrestre en otras asignaturas. Los 
alumnos reconocerán la importancia que tienen las mate-
máticas en otras disciplinas.
Las definiciones de los elementos de la esfera terrestre no 
presentarán ninguna dificultad, debemos hacer hincapié en 
el correcto cálculo de la amplitud de un huso horario.
Será del interés del alumnado las actividades propuestas 
que hacen referencia a las diferencias horarias.
311
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
47 Fíjate en el mapa de husos horarios e indica qué hora será en estas ciudades cuando en Greenwich sean las 8 h.
a) Helsinki c) El Cairo e) Bombay
b) Río de Janeiro d) Londres f) Bangkok
a) Las 9 h c) Las 10 h e) Las 13 h 
b) Las 5h d) Las 8 h f) Las 15 h
48 Un avión tarda 17 h y 30 min en realizar un vuelo desde Madrid a Manila, en Filipinas. Si sale a las 6 h del aeropuerto de 
Barajas (Madrid), ¿qué hora será en la ciudad de destino cuando aterrice?
Como hay 7 h de diferencia horaria: 6 h + 17 h 30 min + 7 h = 6 h 30 min del día siguiente
49 Un vuelo de Valencia a Nueva York dura 8 h y 15 min. Si el avión sale a las 14 h, ¿a qué hora aterrizará en el aeropuerto 
JFK (Nueva York)?
Como hay 6 h de diferencia horaria: 14 h + 8 h 15 min − 6 h = 16 h 15 min
50 Considera la Tierra como una esfera perfecta y calcula el área y el volumen del planeta sabiendo que el radio mide 
6 371 km, aproximadamente. Expresa los resultados en notación científica.
A = 4 ⋅ π ⋅ 6 3712 = 5,098 ⋅ 108 km2 
V =
4
3
⋅ π ⋅63713 = 1,083 ⋅ 1012 km3 
51 Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Todos los paralelos son circunferencias máximas.
b) Todos los meridianos son circunferencias máximas.
c) El ecuador no tiene su centro en el centro de la esfera terrestre.
d) Un huso horario es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos paralelos.
e) La zona es una parte de la superficie comprendida entre dos paralelos.
a) Falsa, ya que están determinados por planos que son perpendiculares al eje terrestre.
b) Verdadera, los meridianos son circunferencias máximas que pasan por los polos.
c) Falsa, porque el ecuador es una circunferencia máxima y su centro es el centro de la Tierra.
d) Falsa, puesto que un huso es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos meridianos.
e) Verdadera
Investiga
52 Busca en Internet qué es y qué representa una esfera armilar.
Una esfera armilar es un modelo de la esfera terrestre utilizado para mostrar el movimiento aparente de las estrellas alre-
dedor de la Tierra o el Sol.
La esfera armilar está construida sobre un esqueleto de círculos graduados mostrando el ecuador, la eclíptica, los meridia-
nos y los paralelos terrestres.
10 Cuerpos de revolución
312
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
8. Coordenadas geográficas
Soluciones de las actividades
53 Halla la latitud de todos los puntos de la superficie terrestre situados en el ecuador.
Todos los puntos del ecuador tienen latitud 0º.
54 Indica cuál es la longitud de todos los lugares situados en el antimeridiano de Greenwich.
Todos estos puntos del ecuador son de longitud 180º.
55 ¿Cuál es la latitud del polo norte? ¿Y la del polo sur?
La latitud del polo norte es 90º N. Y la del polo sur es 90º S.
56 Indica la coordenada geográfica que comparten dos puntos situados sobre el mismo paralelo.
Comparten la misma latitud.
57 ¿Qué coordenada geográfica tienen dos lugares situados en el mismo meridiano?
Tienen la misma longitud.
Sugerencias didácticas
Para definir las coordenadas geográficas dibujaremos un 
punto en la esfera terrestre e indicaremos los elementos 
que intervienen: el meridiano 0, el ecuador, y los ángulos.
Será conveniente que expliquemos la similitud que existe 
con la representación de un punto en el plano cartesiano. 
Los cálculos de distancias entre puntos del mismo meridia-
no no presentarán dificultad dado que el problema consiste 
en calcular la medida de arcos en una circunferencia. 
Para calcular distancias entre puntos del mismo paralelo 
tendremos en cuenta que solo podrán hacerlo, por no ha-
ber estudiado aún trigonometría, con puntos que pertenez-
can al paralelo de latitud 45º dado que el triángulo que se 
forma es rectángulo e isósceles. Es muy conveniente realizar 
los dos ejercicios resueltos de la sección.
199
10Actividades10 Cuerpos de revolución
198
 } Halla la distancia entre dos puntos, A(20º O, 45º N) 
y B(20º O, 55º N), situados en el mismo meridiano.
Solución
•
•
•
A
B
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 
55º − 45º = 10º
La distancia sobre la superficie terrestre entre A y B es 
la longitud del arco correspondiente a un sector circular 
de 10º de amplitud y cuyo radio es, aproximadamente, 
el radio de la Tierra:
d (A, B ) = 2π ⋅6371⋅
10°
360°
= 1 111,39 km
EJERCICIO RESUELTO
 } Halla la distancia entre dos puntos, A(10º E, 45º N) 
y B(20º E, 45º N), situados en el mismo paralelo.
Solución
• •
•
A B
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 
20º − 10º = 10º
La distancia sobre la superficie terrestre entre A y B es la 
longitud del arco correspondiente a un sector circular de 
10º de amplitud y cuyo radio, r, es el del paralelo 45º.
Observamos que, al estar los puntos en este 
paralelo, la distancia del centro de la Tierra al centro 
de la circunferencia del casquete también es r; en 
consecuencia:
r2 + r2 = 6 3712 → r = 4 504,98 km
Luego:
d (A, B ) = 2π ⋅ 4504,98 ⋅
10°
360°
= 785,87 km
EJERCICIO RESUELTO
Halla la latitud de todos los puntos de la superficie 
terrestre situados en el ecuador.
Indica cuál es la longitud de todos los lugaressituados 
en el antimeridiano de Greenwich.
¿Cuál es la latitud del polo norte? ¿Y la del polo sur?
Indica la coordenada geográfica que comparten dos 
puntos situados sobre el mismo paralelo.
¿Qué coordenada geográfica tienen dos lugares 
situados en el mismo meridiano?
53
54
55
56
57
Determina la distancia que separa dos pueblos, P y Q, 
cuyas coordenadas geográficas son: 
P(10º E, 40º N) y Q(10º E, 10º S)
58
Calcula la distancia al ecuador desde Badajoz 
sobre el meridiano de la ciudad si sus coordenadas 
geográficas son: (7º O, 39º N)
59
Halla la distancia que separa dos ciudades, P y Q, 
cuyas coordenadas geográficas son: 
P(15º E, 45º S) y Q(30º E, 45º S)
Dos puntos, M y N, situados sobre el ecuador tienen 
por longitud 15º E y 45º O, respectivamente. Averigua 
la distancia que hay entre ellos.
60
61
8. COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Un globo terráqueo es una representación de la 
esfera terrestre que permite, por ejemplo, situar 
lugares geográficos y calcular la distancia entre 
ellos.
Salvo en los polos, por cada punto de la Tierra 
pasan un paralelo y un meridiano.
Así, cualquier punto de la Tierra queda determinado 
por el meridiano y el paralelo que pasan por él.
Para localizar un lugar en la esfera terrestre se usan 
dos coordenadas geográficas: la longitud y la 
latitud.
•
•
A Latitud
Ecuador
Longitud
Meridiano cero
 ❚ La longitud de un punto sobre la superficie terrestre es la amplitud del ángulo 
formado por el plano que contiene el meridiano que pasa por dicho punto y el 
plano que contiene el meridiano 0 o meridiano de Greenwich.
 Su valor varía de 0º a 180º y hay que añadirle O si está al oeste del meridiano 0 y 
E si se encuentra al este.
 ❚ La latitud de un punto sobre la superficie terrestre es la amplitud del arco 
determinado por el plano que contiene el ecuador y el radio que une dicho punto 
con el centro de la esfera terrestre.
 Su valor varía de 0º a 90º y hay que añadirle N si está al norte del ecuador y S si 
se encuentra al sur.
Aprenderás a…
 ● Utilizar las coordenadas 
geográficas para hallar 
distancias entre dos puntos 
de la esfera terrestre.
 ● Describir localizaciones de 
lugares de la Tierra.
En tu vida 
diaria
El antimeridiano del meridiano de Greenwich es el meridiano 180º y coincide con la línea internacional de cambio de fecha. Esta es una línea imaginaria trazada sobre el océano Pacífico que cruza el estrecho de Bering entre Alaska y Siberia.
 } Observa el dibujo e indica las coordenadas geográficas del punto P sobre la superficie terrestre.
Solución
El punto P está situado 50º hacia el este del meridiano 0 y 45º hacia el norte del 
ecuador; por consiguiente, sus coordenadas son: P(50º E, 45º N)
EJERCICIO RESUELTO
Busca en Internet qué lugares son y qué latitud tienen todos los puntos que pertenecen a estos paralelos.
a) Círculo polar ártico
b) Círculo polar antártico
c) Trópico de Cáncer
d) Trópico de Capricornio
62
Investiga
313
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
58 Determina la distancia que separa dos pueblos, P y Q, cuyas coordenadas geográficas son:
 P(10º E, 40º N) y Q(10º E, 10º S)
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 40º + 10º = 50º
La distancia sobre la superficie terrestre entre P y Q es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 50º de 
amplitud y cuyo radio es el radio de la Tierra: d (P ,Q ) = 2 ⋅ π ⋅6371⋅
50º
360º
= 5556,93 km
59 Calcula la distancia al ecuador desde Badajoz sobre el meridiano de la ciudad si sus coordenadas geográficas son: (7º O, 
39º N)
La amplitud del arco entre Badajoz y el ecuador es: 39º
La distancia es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 39º de amplitud y cuyo radio es el radio de la 
Tierra: 2 ⋅ π ⋅6371⋅
39º
360º
= 4 334,404 km
60 Halla la distancia que separa dos ciudades, P y Q, cuyas coordenadas geográficas son:
 P(15º E, 45º S) y Q(30º E, 45º S)
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 30º − 15º = 15º
La distancia sobre la superficie terrestre entre P y Q es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 15º de 
amplitud y cuyo radio, r, es el del paralelo 45º S.
Al estar los puntos en este paralelo, la distancia del centro de la Tierra al centro de la circunferencia del casquete también 
es r; por tanto: r2 + r2 = 6 3712 → r = 4 504,98 km
Entonces: d (P ,Q ) = 2 ⋅ π ⋅ 4504,98 ⋅
15º
360º
= 1178,803 km
61 Dos puntos, M y N, situados sobre el ecuador tienen por longitud 15º E y 45º O, respectivamente. Averigua la distancia 
que hay entre ellos.
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 15º + 45º = 60º
La distancia es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 60º de amplitud y cuyo radio es el radio de la 
Tierra: d (M ,N ) = 2 ⋅ π ⋅6371⋅
60º
360º
= 6668,31 km
Investiga
62 Busca en Internet qué lugares son y qué latitud tienen todos los puntos que pertenecen a estos paralelos.
a) Círculo polar ártico
b) Círculo polar antártico
c) Trópico de Cáncer
d) Trópico de Capricornio
a) Es uno de los cinco paralelos principales terrestres, señala la región ártica del planeta, en la que se encuentra el Polo 
Norte. Todos sus puntos tienen latitud: 66º 33’ 45” N
b) Es uno de los cinco paralelos principales de la Tierra, indica la zona ocupada por la Antártida y en él se halla el Polo Sur. 
Todos su puntos tienen latitud: 66° 33’ 45” S
c) Es uno de los paralelos del planeta, está ubicado en el hemisferio norte y señala el límite septentrional de la zona 
intertropical. Todos sus puntos tienen latitud: 23º 26’ 15” N
d) Es otro de los paralelos principales de la Tierra, se encuentra en el hemisferio sur y señala el límite meridional de la zona 
intertropical. Todos sus puntos están situados actualmente a una latitud de: 23º 26’ 15” S
10 Cuerpos de revolución
314
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los conceptos y procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido al ter-
minar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Calcular áreas y volúmenes de cilindros realizando su desarrollo plano. 
❚❚ Dibujar correctamente los elementos de un cono, su desarrollo plano y determinar su área y volumen.
❚❚ Hallar áreas y volúmenes de troncos de cono y dibujar su desarrollo plano.
❚❚ Calcular áreas y volúmenes de esferas.
Actividades finales
Soluciones de las actividades
63 Los lados de un rectángulo miden 3 cm y 7 cm, respectivamente.
a) Determina las dimensiones del cilindro que genera el rectángulo si se hace que gire sobre un eje que contiene el lado 
más largo.
b) Halla el volumen del cilindro del apartado anterior.
a) La altura del cilindro medirá 7 cm y el radio de la base medirá 3 cm.
b) V = π ⋅ 32 ⋅ 7 = 197,82 cm3
¿Qué tienes que saber?
200 201
¿QUÉ10 tienes que saber? Actividades Finales 10
Conos y troncos de cono. Áreas 
y volúmenes
Un cono es generado al 
hacer girar el triángulo de la 
figura alrededor del cateto 
mayor.
Halla el área lateral, el área 
total y el volumen del cono.
La generatriz y el diámetro de la base de un cono 
recto miden 12 cm. Halla su área lateral, su área total 
y su volumen.
Calcula la altura de un cono cuyo volumen es de 
2 198 cm3 si el radio de la base mide 10 cm.
Para confeccionar un gorro de brujo con forma de 
cono, Arturo ha utilizado 2 106,94 cm2 de cartulina 
negra. Averigua la longitud del diámetro de la base 
del gorro y su altura sabiendo que la generatriz mide 
61 cm.
La altura de un tronco de cono es de 12 cm, y 
los diámetros de sus bases miden 18 cm y 14 cm, 
respectivamente. Halla:
a) Su área lateral.
b) Su área total.
c) Su volumen.
Determina la capacidad de una champanera de acero 
inoxidable que mide 28 cm de altura y cuya base y 
boca tienen un diámetro, respectivamente, de 18 cm 
y 26 cm.
Julián utiliza un cubo para recoger la leche cada 
mañana.
¿Qué cantidad de leche recoge cadavez que llena 
el cubo?
Calcula el volumen de un cono de 10 cm de altura y 
6 cm de radio. Halla el volumen del tronco de cono 
que se obtiene al cortar el cono anterior por un plano 
paralelo a la base a 4 cm de distancia del vértice.
71
72
73
74
75
76
77
78
Cilindros. Áreas y volúmenes
Los lados de un rectángulo miden 3 cm y 7  cm, 
respectivamente.
a) Determina las dimensiones del cilindro que genera 
el rectángulo si se hace que gire sobre un eje que 
contiene el lado más largo.
b) Halla el volumen del cilindro del apartado anterior.
Dibuja un cilindro de 8 cm de altura y 6 cm de 
diámetro. Realiza su desarrollo y calcula:
a) El área lateral.
b) El área total.
c) El volumen.
Halla el área lateral, el área total y el volumen del 
cilindro dibujado.
10 cm
30 cm
El área lateral de un cilindro de 12 cm de altura mide 
301,44 cm2. Halla la longitud de los radios de sus 
bases.
En una bodega hay un depósito cilíndrico de 10 m de 
altura. Calcula la longitud de los radios de sus bases 
sabiendo que tiene una capacidad de 785 m3.
¿Cuántos litros de agua puede contener un bidón de 
1,20 m de altura si los diámetros de sus bases miden 
60 cm?
Calcula el área total y el volumen de un cilindro si 
la suma de su radio y de su altura es de 40 cm, y la 
diferencia, de 12 cm.
Elisa y su madre han comprado la tela para 
confeccionar un cojín.
Determina cuánto han pagado por la tela.
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70
Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro cuyo radio mide 8 cm 
y que tiene una altura de 24 cm.
24 cm
8 cm
8 cm
Área lateral: AL = 2 ⋅ π ⋅ 8 ⋅ 24 = 1 205,76 cm
2
Área total: AT = 1 205,76 + 2 ⋅ π ⋅ 8
2 = 1 205,76 + 401,92 = 1 607,68 cm2 
Volumen: V = π ⋅ 82 ⋅ 24 = 4 823,04 cm3
CilindrosTen en cuenta
Un cilindro recto es un cuerpo de 
revolución que se obtiene cuando se 
hace girar un rectángulo sobre un 
eje paralelo a uno de sus lados.
 ❚ Área lateral:
 AL = L ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h
 ❚ Área total:
 AT = AL + 2Ab =
 = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ r2
 ❚ Volumen:
 V = Ab ⋅ h = π ⋅ r
2 ⋅ h 
Halla el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono recto del dibujo.
1,5 dm
2 dm
6 dm
2,5 dm
7,5 dm4,5 dm
Área lateral: AL = πRG − πrg = π ⋅ 6 ⋅ 7,5 − π ⋅ 2 ⋅ 2,5 = 125,6 dm
2
Área total: AT = AL + πR
2 + πr2 = 125,6 + π ⋅ 62 + π ⋅ 22 = 251,2 dm2
Volumen:V =
πR2 ⋅H
3
−
πr2 ⋅h
3
=
π ⋅62 ⋅ 4,5
3
−
π ⋅22 ⋅1,5
3
= 163,28 dm3
Conos y troncos de conoTen en cuenta
Un cono recto es un cuerpo de 
revolución que se obtiene cuando se 
hace girar un triángulo rectángulo 
sobre un eje que contiene uno de 
sus catetos.
 ❚ Área lateral:
 AL = πrg
 ❚ Área total:
 AT = AL + Ab = πrg + πr
2
 ❚ Volumen:
 
V =
Ab ⋅h
3
=
πr 2 ⋅h
3
Un tronco de cono recto es un 
cuerpo de revolución que se obtiene 
cuando se hace girar un trapecio 
rectángulo sobre un eje que 
contiene el lado perpendicular a sus 
bases.
Calcula el área y el volumen de una esfera cuyo radio mide 8 cm.
Área: A = 4πr2 = 4 ⋅ π ⋅ 82 = 803,84 cm2 
Volumen:V =
4
3
πr3 =
4
3
⋅ π ⋅83 = 2 143,57 cm3
EsferasTen en cuenta
Una esfera es un cuerpo de 
revolución que se obtiene cuando se 
hace girar un semicírculo alrededor 
de un eje que contiene su diámetro.
 ❚ Área:
 A = 4πr2
 ❚ Volumen:
 
V =
4
3
πr 3
8 cm•
28 cm
46 cm
315
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
64 Dibuja un cilindro de 8 cm de altura y 6 cm de diámetro. Realiza su desarrollo y calcula:
a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen.
 
a) AL = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 8 = 150,72 cm
2
b) AT = 150,72 + 2 ⋅ π ⋅ 3
2 = 207,24 cm2
c) V = π ⋅ 32 ⋅ 8 = 226,08 cm3 
65 Halla el área lateral, el área total y el volumen del cilindro dibujado.
10 cm
30 cm 
AL = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 30 = 942 cm
2
AT = 942 + 2 ⋅ π ⋅ 5
2 = 1 099 cm2
V = π ⋅ 52 ⋅ 30 = 2 355 cm3 
66 El área lateral de un cilindro de 12 cm de altura mide 301,44 cm2. Halla la longitud de los radios de sus bases.
301,44 = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ 12 → r = 4 cm
67 En una bodega hay un depósito cilíndrico de 10 m de altura. Calcula la longitud de los radios de sus bases sabiendo que 
tiene una capacidad de 785 m3.
785 = π ⋅ r2 ⋅ 10 → r = 5 m
68 ¿Cuántos litros de agua puede contener un bidón de 1,20 m de altura si los diámetros de sus bases miden 60 cm?
V = π ⋅ 32 ⋅ 12 = 339,12 dm3 = 339,12 L
69 Calcula el área total y el volumen de un cilindro si la suma de su radio y de su altura es de 40 cm, y la diferencia, de 12 cm.
r + h = 40
r − h = 12
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
→ 2r = 52 → r = 26 → h = 14
AT = 2 ⋅ π ⋅ 26 ⋅ 14 + 2 ⋅ π ⋅ 26
2 = 6 531,2 cm2
V = π ⋅ 262 ⋅ 14 = 29 716,96 cm3 
70 Elisa y su madre han comprado la tela para confeccionar un cojín. Determina cuánto han pagado por la tela.
 
La cantidad de tela necesaria es el área total de un cilindro más los 
500 cm2 para las costuras: 
2 ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 50 + 2 ⋅ π ⋅ 122 + 500 = 5 172,32 cm2 
Como cada metro cuadrado cuesta 10 €, Elisa y su madre han 
pagado: 0,517 ⋅ 10 = 5,17 € 
71 Un cono es generado al hacer girar el triángulo de la figura alrededor del cateto mayor.
 Halla el área lateral, el área total y el volumen del cono.
g = 462 + 282 = 53,85 cm
AL = π ⋅ 28 ⋅ 53,85 = 4 734,49 cm
2
AT = 4 734,49 + π ⋅ 28
2 = 7 196,25 cm2
V =
π ⋅282 ⋅ 46
3
= 37746,99 cm3
28 cm
46 cm
10 Cuerpos de revolución
316
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
72 La generatriz y el diámetro de la base de un cono recto miden 12 cm. Halla su área lateral, su área total y su volumen.
AL = π ⋅ 6 ⋅ 12 = 226,08 cm
2
AT = 226,08 + π ⋅ 6
2 = 339,12 cm2
h = 122 − 62 = 10,39 cm
V =
π ⋅62 ⋅10,39
3
= 391,5 cm3
73 Calcula la altura de un cono cuyo volumen es de 2 198 cm3 si el radio de la base mide 10 cm.
2198 =
π ⋅102 ⋅h
3
→ h = 21 cm
74 Para confeccionar un gorro de brujo con forma de cono, Arturo ha utilizado 2 106,94 cm2 de cartulina negra. Averigua 
la longitud del diámetro de la base del gorro y su altura sabiendo que la generatriz mide 61 cm.
2 106,94 = π ⋅ r ⋅ 61 → r = 11 cm → El diámetro mide 22 cm.
h = 612 −112 = 60 cm
75 La altura de un tronco de cono es de 12 cm, y los diámetros de sus bases miden 18 cm y 14 cm, respectivamente. Halla:
a) Su área lateral. b) Su área total. c) Su volumen.
a) g = 122 + 22 = 12,17 cm c) V =
π ⋅ 92 + 72 + 9 ⋅7( ) ⋅12
3
= 2024,08 cm3
 AL = π ⋅ (9 + 7) ⋅ 12,17 = 611,42 cm
2
b) AT = 611,42 + π ⋅ 9
2 + π ⋅ 72 = 1 019,62 cm2
76 Determina la capacidad de una champanera de acero inoxidable que mide 28 cm de altura y cuya base y boca tienen un 
diámetro, respectivamente, de 18 cm y 26 cm.
V =
π ⋅ 132 + 92 + 13 ⋅9( ) ⋅28
3
= 10755,55 cm3
La champanera puede contener 10,75 L.
77 Julián utiliza un cubo para recoger la leche cada mañana. ¿Qué 
cantidad de leche recoge cada vez que llena el cubo?
Para hallar los radios de las bases:
20π = 2 ⋅ π ⋅ r → r = 10 cm
30π = 2 ⋅ π ⋅ R → R = 15 cm
La altura del cubo mide: h = 302 −52 = 29,58 cm
V =
π ⋅ 152 + 102 + 15 ⋅10( ) ⋅29,58
3
= 14706,19 cm3
En cada cubo recoge 14,7 L.
78 Calcula el volumen de un cono de 10 cm de altura y 6 cm de radio. Halla el volumen del tronco de cono que se obtiene 
al cortar el cono anterior por un plano paralelo a la base a 4 cm de distancia del vértice.
V =
π ⋅62 ⋅10
3
= 376,8 cm3
La altura del tronco de cono que se obtiene mide: h = 10 − 4 = 6 cm 
Como los triángulos generados al cortar el cono están en posición de Tales: 
4
r
=
10
6
→ r = 2,4 cm
El volumen del tronco de cono es: V = 376,8−
π ⋅2,42 ⋅ 4
3
= 352,68 cm3
317
10Cuerpos de revolución
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
79 Dibuja una esfera, una semiesfera y una cuña esférica.
a) ¿Cuántos ejes de giro tiene cada uno de los cuerpos dibujados?
b) ¿Cuántos planos de simetría poseen estos cuerpos?
 
a) La esfera tiene infinitos ejes de giro que pasan por su centro. La semiesfera solo tiene un eje de giro que es perpendi-
cular a la base y pasa por su centro. La cuña esférica