Función Cuadrática

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GUÍA Nº18: FUNCIÓN CUADRÁTICA 
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz. 
 
 DEFINICIÓN: 
 
Es aquella cuya ley de asociación o correspondencia es un polinomio de segundo 
grado. 
 
Formalmente, una función cuadrática se define de la siguiente manera: 
 
cbxaxyBAf  2/: 
Donde: 
 
A: Conjunto de partida. 
B: Conjunto de llegada. 
ax2+bx+c: Polinomio de segundo grado (El grado de la variable de máximo 
exponente es 2). 
 
Ejemplos: 
 
a. 172/: 2  xxyRRf 
b. xxyRRf 3/: 2  
c. 46/: 2  xyRRf 
 
La gráfica de la función lineal es una parábola: 
 
 
 
 
 ELEMENTOS NECESARIOS PARA EL TRAZADO DE UNA PARÁBOLA: 
 
a. Abertura: 
 
Dada la función definida por: cbxaxyBAf  2/: se cumple que: 
 
1. Si “a” es positivo, es decir: 
a>o, la parábola es cóncava 
(abre hacia arriba). 
 
2. Si “a” es negativo, es decir: 
a<o, la parábola es convexa 
(abre hacia abajo). 
 
 
 
b. Discriminante (): este valor determina la cantidad de puntos de corte 
de la parábola con el eje “x”. Y se calcula mediante la fórmula: 
 
acb 42  
 
En relación a lo anterior, se establecen las siguientes consideraciones: 
 
1. Si >o la parábola corta dos veces el eje “x”. 
 
2. Si =o la parábola corta una vez el eje “x”. 
 
3. <o la parábola no corta al eje “x”. 
 
 
 
 
 
c. Vértice: Es el punto máximo o mínimo de la parábola. 
 
 
 
 
 
El vértice de la parábola se 
calcula mediante la fórmula: 
 





 

a
bac
a
b
V
4
4
;
2
2
 
 
d. Corte con los ejes: 
 
Con “x”: Se sustituye “cero” en la “y” de la función y se resuelve la ecuación de 
segundo grado resultante. 
 
Con “y”: Se sustituye “cero” en la “x” de la función y se determina el valor de 
“y”. 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
 
1. Dada la función: 45/: 2  xxyRRf , trace su gráfica y realice el 
análisis respectivo. 
 
Solución: 
 
Lo primero que debemos tener en cuenta es que el polinomio de segundo 
grado, asociado a la función cuadrática esté ordenado en forma decreciente 
(las variables de mayor a menor), y para este caso lo está. Entonces 
procedemos a hacer el estudio correspondiente con los elementos ya 
mencionados: 
 
 
 
a. Abertura: Cóncava (x2 es positivo, entonces abre hacia arriba) 
 
b. Discriminante: acb 42  (a=1, b=-5, c=4, ver la función) 
 )4)(1(4)5( 2  
 1625  
 9 (Positivo: La parábola corta dos veces a “x”) 
 
c. Vértice: 




 

a
bac
a
b
V
4
4
;
2
2
 (a=1, b=-5, c=4, ver la función) 
 




 

)1(4
)5()4)(1(4
;
)1(2
)5( 2
V , por lo que: 






4
9
;
2
5
V 
 
d. Corte con los ejes: 
 
Con “x”: 
404
101
0)4)(1(
0452




xx
xx
xx
xx
 Con “y”: 
4
4)0(502


y
y
 
 
Ahora, trazamos la gráfica de la función: 
 
Los puntos clave a trazar son: El vértice 






4
9
;
2
5
V y los cortes con los 
ejes (con “x” e “y”) que acabamos de calcular. 
 
 
 
 
Finalmente realizaremos el análisis de la función: 
 
1. RDf : 
 
2. RCf  
 
3. );4/9[: Rf 
 
4. Clasificación: 
 
4.1 Función Inyectiva: Si observamos la gráfica, para distintos puntos 
pertenecientes al conjunto de partida, existe un mismo valor en el conjunto 
de llegada. Por lo que no se cumple que: 
 
)()( 2121 xfxfxx  
 
 
En otras palabras, si trazamos una recta horizontal sobre la función nos 
damos cuenta que ésta la corta más de una vez, por lo tanto: La función no 
es Inyectiva. 
 
4.2 Función Sobreyectiva: Cuando calculamos el rango este nos resultó: 
);4/9[: Rf y el codominio: R. Por lo que: RfCf  , Lo que permite 
concluir que: La función no es Sobreyectiva. 
 
4.3 Función Biyectiva: La función en estudio no es ni Inyectiva ni 
Sobreyectiva, por lo tanto, La función no es Biyectiva. 
 
4.4 Función Simple: la función en estudio no es ni Inyectiva, ni 
Sobreyectiva, ni Biyectiva. Lo que permite concluir que: La función se 
clasifica como Simple. 
 
5. Crecimiento y Decrecimiento: 
 
Crece: );2/5(  
Decrece: )2/5;( 
 
 
 
 
6. Signo de la función: 
 
Zona Positiva: 
 
),4()1,(0)( xf 
)4[]1,(0)( xf 
 
Zona Negativa: 
 
)4,1(0)( xf 
]4,1[0)( xf 
 
7. Cortes con los ejes: 
 
a. Con “x” (Raíces): {1, 4} 
b. Con “y” (Ordenada en el origen): {4} 
 
8. Imágenes y Pre imágenes: 
 
Acá solo calcularemos imágenes porque no tenemos hasta el momento, con lo 
que se ha tratado en esta asignatura, una herramienta o artificio matemático que 
nos permita calcularla. 
 
Aquí ubicamos algunos puntos como ejemplo: 
 
Imágenes: 
 
f (-1): Acá como no podemos ver la imagen directamente sobre la gráfica, la 
calcularemos sustituyendo el valor en la “x” de la función. 
 
10
451
4)1(5)1(
45
2
2




y
y
y
xxy
 
 
Entonces: f(-1): 10 
 
f(0): 4 (Corte con “y”) 
 
 
 
f(2): Acá como no podemos ver la imagen directamente sobre la gráfica, la 
calcularemos sustituyendo el valor en la “x” de la función. 
 
2
4104
4)2(5)2(
45
2
2




y
y
y
xxy
 
 
Entonces: f(2):-2 
 
 
2. Dada la función: 23/: xxyRRf  , trace su gráfica y realice el 
análisis respectivo. 
 
Solución: 
 
Lo primero que debemos tener en cuenta es que el polinomio de segundo 
grado, asociado a la función cuadrática esté ordenado en forma decreciente 
(las variables de mayor a menor), y para este caso no lo está. Entonces, si lo 
ordenamos nos queda la función: xxyRRf 3/: 2  
 
Ahora, procedemos a hacer el estudio correspondiente con los elementos ya 
mencionados: 
 
a. Abertura: Convexa (x2 es negativo, entonces abre hacia abajo) 
 
b. Discriminante: acb 42  
 )0)(1(4)3( 2  
 09  
 9 (Positivo: La parábola corta dos veces a “x”) 
 
c. Vértice: 




 

a
bac
a
b
V
4
4
;
2
2
 (a=-1, b=3, c=0, ver la función) 
 










)1(4
)3()0)(1(4
;
)1(2
3 2
V , por lo que: 






4
9
;
2
3
V 
 
 
 
d. Corte con los ejes: 
 
Con “x”: 
3)1)(3(
03
0
0)3(
03 2





xx
x
x
xx
xx
 Con “y”: 
0
0)0(3 2


y
y
 
 
 
Ahora, trazamos la gráfica de la función: 
 
Como ya se dijo anteriormente, Los puntos clave a trazar son: El vértice 







4
9
;
2
3
V y los cortes con los ejes (con “x” e “y”) que acabamos de calcular. 
 
 
 
Finalmente realizaremos el análisis de la función: 
 
1. RDf : 
 
2. RCf  
 
3. ]4/9;(: Rf 
 
 
 
4. Clasificación: 
 
4.1 Función Inyectiva: Si observamos la gráfica, para distintos puntos 
pertenecientes al conjunto de partida, existe un mismo valor en el conjunto 
de llegada. Por lo que no se cumple que: 
 
)()( 2121 xfxfxx  
 
En otras palabras, si trazamos una recta horizontal sobre la función nos 
damos cuenta que ésta la corta más de una vez, por lo tanto: La función no 
es Inyectiva. 
 
4.2 Función Sobreyectiva: Cuando calculamos el rango este nos resultó: 
]4/9;(: Rf y el codominio: R. Por lo que: RfCf  , Lo que permite 
concluir que: La función no es Sobreyectiva. 
 
4.3 Función Biyectiva: La función en estudio no es ni Inyectiva ni 
Sobreyectiva, por lo tanto, La función no es Biyectiva. 
 
4.4 Función Simple: la función en estudio no es ni Inyectiva, ni 
Sobreyectiva, ni Biyectiva. Lo que permite concluir que: La función se 
clasifica como Simple. 
 
5. Crecimiento y Decrecimiento: 
 
Crece: )2/3;( 
Decrece: );2/3(  
 
6. Signo de la función: 
 
Zona Positiva: 
 
)3,0(0)( xf 
]3,0[0)( xf 
 
Zona Negativa: 
 
),3()0,(0)( xf 
),3[]0,(0)( xf 
 
 
7. Cortes con los ejes: 
 
c. Con“x” (Raíces): {0,3} 
d. Con “y” (Ordenada en el origen): {0} 
 
 
8. Imágenes y Pre imágenes: 
 
Acá solo calcularemos imágenes porque no tenemos hasta el momento, con lo 
que se ha tratado en esta asignatura, una herramienta o artificio matemático que 
nos permita calcularla. 
 
Aquí ubicamos algunos puntos como ejemplo: 
 
Imágenes: 
 
f (-2): Acá como no podemos ver la imagen directamente sobre la gráfica, la 
calcularemos sustituyendo el valor en la “x” de la función. 
 
10
46
)2()2(3
3
2
2




y
y
y
xxy
 
 
Entonces: f(-2): -10 
 
f(0): 0 (Corte con “y”) 
 
f(4): Acá como no podemos ver la imagen directamente sobre la gráfica, la 
calcularemos sustituyendo el valor en la “x” de la función. 
 
4
1612
4)4(3
3
2
2




y
y
y
xxy
 
 
Entonces: f(4):-4 
 
 
 
Ejercicios Propuestos: 
 
Trace la gráfica y realice el análisis completo de las siguientes funciones 
cuadráticas: 
 
1. 4/: 2  xyRRf 
2. 23/: 2  xxyRRf 
3. 65/: 2  xxyRRf 
4. 96/: 2  xxyRRf 
5. xxyRRf  2/: 
6. 12/: 2  xxyRRf 
7. 152/: 2  xxyRRf 
8. 2073/: 2  xxyRRf 
9. 154/: 2  xxyRRf 
10. 273/: 2  xyRRf 
11. 9/: 2  xyRRf 
12. xxyRRf 123/: 2  
13. xxyRRf 205/: 2  
14. 23/: xyRRf  
15. 29/: xyRRf  
16. 21/: xyRRf  
17. 36/: 2  xyRRf 
18. 226/: xyRRf  
19. 1284/: 2  xxyRRf 
20. 50202/: 2  xxyRRf 
21. 55/: 2  xyRRf 
22. 52
5
/:
2
 x
x
yRRf