Operaciones entre Conjuntos

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GUÍA Nº11: OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz.
Entre dos o más conjuntos están definidas cinco operaciones básicas, las cuales se
explican a continuación:
1. UNIÓN )( BA :
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, la unión de A y B está determinado por la
reunión de TODOS los elementos del conjunto A con TODOS los elementos del
conjunto B. Formalmente se define de la siguiente manera:
}/{ BxAxxBA 
Ejemplo: Dados los conjuntos A y B, determine BA .
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Solución: BA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
2. INTERSECCIÓN )( BA :
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, la unión de A y B está determinado por los
ELEMENTOS EN COMÚN entre el conjunto A y el conjunto B. Formalmente se
define de la siguiente manera:
}/{ BxAxxBA 
Ejemplo: Dados los conjuntos A y B, determine BA .
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Solución: BA = {3, 4}
3. COMPLEMENTO )( cA :
Sean un conjunto universal U y un conjunto A, no vacíos. El complemento del
conjunto A está determinado por LOS ELEMENTOS PERTENECEN AL
CONJUNTO UNIVERSAL, PERO QUE NO PERTENECEN AL CONJUNTO A.
Formalmente se define de la siguiente manera:
}/{ AxUxxAc 
Ejemplo: Dados los con juntos U y A, determine cA .
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {4, 5, 6}
Solución: cA = {1, 2, 3, 7, 8, 9}
4. DIFERENCIA )( BA :
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, la diferencia entre A y B está determinada
por los elementos del conjunto A, que no pertenecen al conjunto B. Formalmente
se define de la siguiente manera:
}/{ BxAxxBA 
Ejemplo: Dados los conjuntos A y B, determine BA .
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Solución:
BA = {1, 2}
AB  = {5, 6, 7, 8}
5. DIFERENCIA SIMÉTRICA )( BA :
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, la diferencia simétrica entre A y B se define
formalmente de la siguiente manera:
)()( ABBABA 
También se puede definir como: )()( BABABA 
Ejemplo: Dados los conjuntos A y B, determine BA .
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Solución:
Primero determinamos BA y AB  , así:
BA = {1, 2}
AB  = {5, 6, 7, 8}
Luego realizamos la unión: )()( ABBA  , por lo que:
BA {1, 2, 5, 6, 7, 8}
 PROPIEDADES PARA LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:
1. Para la Unión:
AAe
UUAd
CBACBAc
ABBAb
AAAa





.
.
)()(.
.
.
2. Para la Intersección:
 




Ae
AUAd
CBACBAc
ABBAb
AAAa
.
.
)()(.
.
.
3. Propiedades Distributivas:
)()¨()(.
)()¨()(.
CABACBAb
CABACBAa


4. Para el Complemento:









c
c
c
c
ccc
ccc
AAf
UAAe
Ud
Uc
BABAb
BABAa
.
.
)(.
)(.
)(.
)(.
5. Para la Diferencia:



AAc
ABBAb
BABAa c
.
.
.
6. Para la Diferencia Simétrica:
CBACBAc
ABBAb
AAa



)()(.
.
. 
EJERCICIOS RESUELTOS:
1. Dados los conjuntos:
A = xx /{ R 583[  x  ]}92)3(5  xx .
B = xx /{ R 0214[ 2  xx  ]}6)6(4 xx  .
Determine las siguientes operaciones:
a. BA
b. BA
c. BA y AB 
d. BA
e. cA y cB
Solución:
Lo primero que tenemos que hacer SIEMPRE en este tipo de ejercicios es
determinar por extensión los conjuntos dados (A y B, en este caso), para poder
realizar las operaciones que se piden.
Entonces, determinemos por extensión los conjunto:
A = xx /{ R 583[  x  ]}92)3(5  xx .
Si recordamos, lo realizado en la guía anterior de (Determinación de conjuntos
por extensión en números reales), debemos saber en qué conjunto numérico está
definido el conjunto dado. En este caso, estamos trabajando con números reales,
indicado acá en color verde: A = xx /{ R 583[  x  ]}92)3(5  xx .LO
QUE INDICA QUE “TODAS” LA SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA
“RECTA REAL”). Ahora, las operaciones que tenemos que realizar para
determinar el conjunto en este caso son: La inecuación lineal: 583 x y la
ecuación de lineal o de primer grado: 92)3(5  xx .
Ahora resolveremos cada operación por separado así:
(EN LA SIGUIENTE PÁGINA)
1. Inecuación Lineal:
),1[:1
1
3/3
33
853
583






Sol
x
x
x
x
x
2. Ecuación lineal:
2
3/6
63
15925
92155
92)3(5






x
x
x
xx
xx
xx
Al realizar las operaciones nos queda entonces, el intervalo ),1[  y el punto
2x (Recordemos que los resultados de las ecuaciones siempre se
representarán como “PUNTOS SOBRE LA RECTA REAL”).
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Como hemos visto, acá se deben “unir” ambas soluciones porque en el conjunto
original aparece, entre las dos operaciones es una disyunción, marcada acá en
color amarillo: A = xx /{ R 583[  x  ]}92)3(5  xx .
Finalmente, la solución del conjunto será:
A= ),1[}2{ 
Ahora, determinemos por extensión el conjunto:
B = xx /{ R 0214[ 2  xx  ]}6)6(4 xx  .
Acá estamos trabajando nuevamente con números reales, indicado acá en color
verde: B = xx /{ R 0214[ 2  xx  ]}6)6(4 xx  . LO QUE INDICA QUE
“TODAS” LA SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA “RECTA REAL”).
Ahora, las operaciones que tenemos que realizar para determinar el conjunto en
este caso son: La inecuación cuadrática o de segundo grado: 02142  xx y la
ecuación de lineal o de primer grado: xx  6)6(4 .
i. Inecuación cuadrática o de segundo grado: 02142  xx
Para resolver este tipo de inecuaciones, en primer lugar vamos a factorizar el
polinomio de segundo grado asociado a la inecuación así:
0)3)(7(  xx
Observemos que la inecuación es “menor o igual que cero”, por lo que el
estudio de signos, partiendo del producto planteado a partir de la factorización
realizada, se hará de la siguiente manera (uno positivo y uno negativo o
viceversa):
Caso 1 (primer factor positivo y segundo negativo): )( 
Nos queda entonces:
Caso 1.1 (primer factor positivo):
),7(:
7
07
1.1 


Sol
x
x
Caso 1.2 (segundo factor negativo):
)3,(:
3
03
2.1 


Sol
x
x
Para obtener la solución del “Caso 1” intersecamos ambas soluciones así:
Solución 1.1: ///// ; Solución 1.2: /////
Entonces si tomamos en cuenta la intersección de las 2 soluciones nos queda que:
)3,7(1 casoSol
Caso 2 (primer factor negativo y segundo positivo): )( 
Nos queda entonces:
Caso 2.1 (primer factor negativo):
)7,(:
7
07
1.2 


Sol
x
x
Caso 2.2 (segundo factor positivo):
),3(:
3
03
2.2 


Sol
x
x
Para obtener la solución del “Caso 2” intersecamos ambas soluciones así:
Solución 2.1: ///// ; Solución 2.2: /////
Entonces si tomamos en cuenta la intersección de las 2 soluciones nos queda que:
2casoSol
Finalmente, para obtener la solución total de la inecuación unimos ambas
soluciones así: 21 casocasototal SolSolSolución  .
Entonces:  )3,7(totalSolución .
Finalmente: )3,7(totalSolución . Esto se justifica por la propiedad: AA 
(CONTINUCIÓN EN LA SIGUIENTA PÁGINA)
ii. Ecuación lineal: xx  6)6(4
6
5/30
305
2464
6244
6)6(4






x
x
x
xx
xx
xx
Esto nos da como resultado el punto 6x
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Como hemos visto, acá se deben “unir” ambas soluciones porque en el conjunto
original aparece, entre las dos operaciones es una disyunción, marcada acá en
color amarillo: B = xx /{ R 0214[ 2  xx  ]}6)6(4 xx  .
Finalmente, la solución del conjunto será:
B= }6{)3,7( 
Ahora vamos a determinar las operaciones que nos piden, pero primero
trazaremos a los conjuntos A y B en sus respectivas rectas reales:
“EL CONJUNTO A ESTÁ EN AZUL Y EL CONJUNTO B ESTÁ EN ROJO”
a. ),7( BA
Acá en la unión se tomó TODO lo que aparezca rayado.
b. }6{)3,1[}2{ BA
Acá en la intersección se tomó lo que aparezca rayado en ambos colores.
c. ),6()6,3[ BA
)1,2()2,7(  AB
Para “A-B” se tomó lo que está solo en color azul y para “B-A” se tomó solo lo
que está en rojo.
d. ),6()6,3[)1,2()2,7( BA
Acá para la diferencia simétrica simplemente se unieron las solucionesde los
conjuntos A-B y B-A, tal como lo establece la definición. Esto, siempre teniendo
en cuenta el orden de la recta real para ubicar los intervalos en la solución
final.
e. cA y cB
 )1,2()2,( cA
 ),6()6,3[]7.( cB
Acá en ambos complementos se toma todo lo que no pertenece ni al conjunto A,
ni al conjunto B.
NOTA: Lo abierto cambia a cerrado y lo cerrado cambia a abierto.
2. Dados los conjuntos:
A = xx /{ R 31(  x  )}1923 x .
B = xx /{ R 07( 2  xx  )}105  x .
Determine las siguientes operaciones:
a. cBA )( 
b. cc BA 
c. BAc 
Solución:
Como ya sabemos, lo primero que tenemos que hacer SIEMPRE en este tipo de
ejercicios es determinar por extensión los conjuntos dados (A y B, en este caso),
para poder realizar las operaciones que se piden.
Entonces, determinemos por extensión los conjuntos, empezando con “A”:
A = xx /{ R 31(  x  )}1923 x .
Si recordamos, lo realizado en la guía anterior de (Determinación de conjuntos
por extensión en números reales), debemos saber en qué conjunto numérico está
definido el conjunto dado. En este caso, estamos trabajando con números reales,
indicado acá en color verde: A = xx /{ R 31(  x  )}1923 x . LO QUE
INDICA QUE “TODAS” LA SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA “RECTA
REAL”). Ahora, las operaciones que tenemos que realizar para determinar el
conjunto en este caso son: La inecuación con valor absoluto: 31 x y la
inecuación de lineal o de primer grado: 1923 x .
i. Inecuación con valor absoluto: 31 x
Solución:
Si observamos esta inecuación, la misma tiene la forma de la propiedad:
axaax 
Debemos pues, ajustar la inecuación a resolver a dicha propiedad así:
axaax 
31331  xx
Ahora, para determinar la solución del ejercicio dado, se debe resolver la
siguiente inecuación: 313  x , así:
Lo primero que debemos tener en cuenta, como podemos observar, es que esta
inecuación tiene a una expresión algebraica entre dos relaciones de orden.
Entonces procederemos de la siguiente manera:
Haremos un despeje de la variable “x”, trasponiendo el valor que la está sumando
(para este caso, el 3), hacia AMBOS LADOS restando, y resolvemos las
operaciones correspondientes, así:
42
1313
313



x
x
x
Esto nos da como resultado el intervalo: ]4,2[
ii. Inecuación lineal: 1923 x
7
3/21
213
2193
1923





x
x
x
x
x
Esto nos da como resultado el intervalo: ),7( 
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Como hemos visto, acá se deben “unir” ambas soluciones porque en el conjunto
original aparece, entre las dos operaciones es una disyunción, marcada acá en
color amarillo: A = xx /{ R 31(  x  )}1923 x .
Finalmente, la solución del conjunto será:
A= ),7(]4,2[ 
Ahora, determinemos por extensión el conjunto:
B = xx /{ R 07( 2  xx  )}105  x .
Acá estamos trabajando nuevamente con números reales, indicado acá en color
verde: B = xx /{ R 07( 2  xx  )}105  x . LO QUE INDICA QUE
“TODAS” LA SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA “RECTA REAL”).
Ahora, las operaciones que tenemos que realizar para determinar el conjunto en
este caso son: La inecuación cuadrática o de segundo grado: 072  xx y el
intervalo: 105  x .
i. Inecuación cuadrática o de segundo grado: 072  xx
Para resolver este tipo de inecuaciones, en primer lugar vamos a factorizar el
polinomio de segundo grado asociado a la inecuación así:
0)7( xx
Observemos que la inecuación es “mayor o igual que cero”, por lo que el
estudio de signos, partiendo del producto planteado a partir de la factorización
realizada, se hará de la siguiente manera (ambos positivos y ambos negativos):
Caso 1 (ambos positivos): )( 
Nos queda entonces:
Caso 1.1 (primer factor positivo):
),0[:
0
1.1 

Sol
x
Caso 1.2 (segundo factor positivo):
),7[:
7
07
2.1 


Sol
x
x
Para obtener la solución del “Caso 1” intersecamos ambas soluciones así:
Solución 1.1: ///// ; Solución 1.2: /////
Entonces si tomamos en cuenta la intersección de las 2 soluciones nos queda que:
),7[1 casoSol
Caso 2 (ambos negativos): )( 
Nos queda entonces:
Caso 2.1 (primer factor negativo):
]0,(:
0
1.2 

Sol
x
Caso 2.2 (segundo factor negativo):
]7,(:
7
07
2.2 


Sol
x
x
Para obtener la solución del “Caso 2” intersecamos ambas soluciones así:
Solución 2.1: ///// ; Solución 2.2: /////
Entonces si tomamos en cuenta la intersección de las 2 soluciones nos queda que:
]0,(2 casoSol
Finalmente, para obtener la solución total de la inecuación unimos ambas
soluciones así: 21 casocasototal SolSolSolución  .
Entonces: ),7[]0,( totalSolución .
ii. Intervalo: 105  x
Este intervalo queda representado así: ]10,5[
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Acá se deben “intersectar” ambas soluciones (esto es, tomar las soluciones
comunes a ambas), porque en el conjunto original aparece, entre las dos
operaciones es una disyunción, marcada acá en color amarillo: B = xx /{ R
07( 2  xx  )}105  x .
Entonces, observando la intersección de ambas soluciones (lo que está en azul y
rojo simultáneamente), el resultado del conjunto será:
B= ]10,7[]50[ 
Ahora vamos a determinar las operaciones que nos piden:
(CONTINUCIÓN EN LA SIGUIENTA PÁGINA)
a.
cBA )( 
Esto se lee: “El complemento de la intersección entre A y B”.
Ahora trazaremos las soluciones de los conjuntos A y B en una recta real así:
Primero determinaremos La intersección entre A y B y luego obtendremos el
complemento de la misma.
Entonces, ),7[]0,2( BA
Como ya tenemos la intersección, determinaremos su complemento:
Finalmente, )7,0(]2,()(  cBA
b.
cc BA 
Esto se lee: “La unión entre el complemento del conjunto A y el
complemento del conjunto B”.
Para resolver esta operación, primero determinaremos los complementos de A y
B y luego obtendremos la unión entre los mismos.
 )7,4(]2,( cA
 )7,0()5.( cB
Como ya tenemos los complementos, determinaremos la unión:
)7,0(]2,(  cc BA
c. BA
c 
Esto se lee: “La diferencia entre el complemento del conjunto A y el conjunto
B”.
Para resolver esta operación, primero se determina el complemento de A y luego
obtendremos se efectúa la diferencia entre este complemento y B.
Como se puede observar, en el apartado anterior ya se obtuvo el complemento de
A que es: )7,4(]2,( cA . Ahora nos queda colocar todo en una recta real
para determinar finalmente la operación solicitada.
“EL COMPLEMENTO DE A ESTÁ EN AZUL Y EL CONJUNTO B ESTÁ EN
ROJO”
Ahora determinaremos la diferencia:
)7,4()5,(  BAc
Para “ BAc  ” se tomó lo que está solo en color azul.
Ejercicios Propuestos:
1. Dados los conjuntos:
A = xx /{ R 42(  x  )}954 2 x .
B = xx /{ R 0525(  x  )}43  x .
Determine las siguientes operaciones:
a. BA
b. BA
c. BA y AB 
d. cA y cB
e. cBA )( 
2. Dados los conjuntos:
A = xx /{ R )62()5[(  xx  ]}0202  xx .
B = xx /{ R 42(  x  )}20  x .
Determine las siguientes operaciones:
a. BA
b. BA
c. cA y cB
d. cAAB  )(
e. )()( BABA 
3. Dados los conjuntos:
A = xx /{ R 28(  x  052  xx )} .
B = xx /{ R 056( 2  xx  21 x )} .
Determine las siguientes operaciones:
a. cB
b. cAB 
c. BAc 
d. BA
e. )( ABB 
4. Dados los conjuntos:
A = xx /{ R 32( x  435  x ]} .
B = xx /{ R 04( 2  xx  0)1(3 xx )} .
Determine las siguientes operaciones:
f. BA
g. cA
h. ABc 
i. BA
j. )()( ABAB 
5. Dados los conjuntos:
A = xx /{ R 0)1)(8[(  xx  x6 ]} .
B = xx /{ R )43[(  xx  628  x )} .
Determine las siguientes operaciones:
a. BA
b. cA y cB
c. AB
d. cBA )( 
e. BA