FUNCIONES revisada

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FUNCIONES 
Una función es una relación binaria entre conjuntos que cumple dos condiciones: 
 
 
 
 Es decir TODA función es una relación binaria, pero no todas las relaciones binarias son 
funciones. Es de hacer notar que para que una relación binaria sea función debe cumplir ambas 
condiciones, en caso de no cumplirlas es una relación binaria que no es función. 
 En el caso de trabajar con gráficas podemos utilizar el criterio de la recta vertical, al aplicarlo 
desplazamos una recta vertical a lo largo de TODO el conjunto de partida, si deja de cortar a la gráfica 
o la corta en más de un punto a la vez dicha gráfica no corresponde a una función, porque si no la corta 
existen elementos del conjunto de partida que no forman parte del dominio(primera condición) y si la 
corta en más de un punto un elemento del dominio tiene más de una imagen (segunda condición). 
 
 
 En esta grafica NO se cumple la primera condición, ya que los números entre -1 y 1 no tienen 
imagen y por tanto elementos del conjunto de partida NO forman parte del dominio. 
1. Todos los elementos del conjunto de partida forman parte del dominio. 
2. Ningún elemento del dominio se relaciona más de una vez. 
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 En esta grafica NO se cumple la segunda condición, porque por ejemplo el 2 se relaciona con 
más de un elemento en el conjunto de llegada y en consecuencia, al menos un elemento del dominio 
tiene más de una imagen. 
 Nos pueden pedir que determinemos para cuál conjunto de partida una gráfica corresponde a 
una función, para esto determinamos el mayor subconjunto que cumpla las dos condiciones. 
Sea f: A⊂R → R, determine el conjunto A para que la gráfica corresponda a una función. 
Para determinar el conjunto A SÓLO trabajamos con el eje de las abscisas (x). 
 
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 En esta gráfica el valor más a la izquierda de la gráfica es -13 y por tanto será el límite inferior, 
recorriendo la gráfica nos encontramos con el – 8 el cual NO tiene imagen y queda excluido y esta 
parte de la gráfica termina en -3. Saltamos hasta el -1 que tampoco tiene imagen y siguiendo la gráfica 
llegamos al 8 (abierto). La última parte de la gráfica comienza en 10 y continua hasta infinito (lo 
indica la punta de la flecha). 
 Por tanto, para que dicha gráfica sea una función el conjunto A debe ser 
A = [-13,-8) ∪ (-8,-3] ∪ (-1,8) ∪ [10,∞) 
 
 
 
 
 Para el estudio encontraremos para que valores la gráfica tiene imágenes positivas, negativas y 
nulas, así como conjunto en los cuales es creciente o decreciente 
 Las imágenes son positivas (f(x)>0) si para el valor correspondiente del dominio la imagen se 
encuentra por encima del eje de las abscisas (x). 
 Las imágenes son negativas (f(x)<0) si para el valor correspondiente del dominio la imagen se 
encuentra por debajo del eje de las abscisas (x). 
 Las imágenes son nulas (f(x)=0) si para el valor correspondiente del dominio la imagen se 
encuentra en el eje de las abscisas (x). También se les denomina raíces o cortes con las abscisas. 
 De manera práctica para determinar las imágenes positivas cubrimos la parte que se encuentra 
por debajo de las abscisas y veríamos esto 
 
NOTA: Debemos recordar que los puntos en blanco indican que no hay imagen, por tanto 
quedan excluidos del dominio y en el intervalo ese extremo lleva un paréntesis y los puntos 
cerrados llevan corchetes. 
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 Para f(x)>0, el subconjunto del dominio es (-8,-3] ∪ (2,8). Por ser mayor y no mayor o igual que 
excluimos los valores que se encuentran en el eje de las abscisas y por esa razón quedan abiertos. 
 De manera práctica para determinar las imágenes negativas cubrimos la parte que se encuentra 
por encima de las abscisas y veríamos esto 
 
 
 
 Para f(x)<0, el subconjunto del dominio es [-13,-8) ∪ (-1,2) ∪ (10,∞), por la misma razón que en 
las imágenes positivas los valores que quedan en el eje de las abscisas están excluidos. 
 De manera práctica para determinar las imágenes nulas vemos que parte o partes de la gráfica se 
encuentran en el eje de las abscisas o lo cortan en nuestro ejemplo 
 
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 Para f(x) = 0 los valores del dominio son {2,10}, los puntos en los cuales la gráfica corta al eje 
de las abscisas. Quedan excluidos el -8 y el -1 porque son abiertos y no forman parte del dominio. 
 Una función es creciente si la misma NUNCA disminuye, es decir, puede permanecer constante 
pero no disminuye. Es estrictamente creciente si la misma SIEMPRE va en aumento. 
 Una función es decreciente si la misma NUNCA aumenta, es decir, puede permanecer 
constante pero no aumenta. Es estrictamente decreciente si la misma SIEMPRE va disminuyendo. 
 
 
 
 
 
 Debemos recorrer la gráfica y si los valores de las imágenes van aumentando, para esos valores 
la grafica es creciente y si van disminuyendo es decreciente. 
 
 
La función crece en el intervalo del dominio (-13,-8) ∪(-8,-5) ∪(0,5) 
Formalmente 
Creciente: 
Estrictamente creciente: 
Decreciente: 
Estrictamente decreciente: 
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 La función decrece en el intervalo (-5,-3) ∪(-1,0) ∪ (5,8) ∪ [10,∞). 
 
 
 
 Con respecto al eje de las ordenadas determinemos el corte con las ordenadas (ordenada al 
origen) y el rango. 
Rango (-∞,7] 
Corte con las ordenadas f(o)= -4 
 
 
 
 
 
NOTA: Todo lo que hemos estudiado hasta el momento (dominio, imágenes positivas, 
negativas, nulas y crecimiento) se hace con respecto al eje de las abscisas 
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Clasificación 
Sea f: A → B 
Inyectiva: Una función es inyectiva si a elementos diferentes del dominio le corresponden elementos 
diferentes en el rango. ( ) ( )212121 :, xx ffxxAxx ≠→≠∈∀ 
Sobreyectiva: Una función es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada forman parte 
del rango, es decir, si todos los elementos del conjunto de llegada tienen al menos una pre-imagen. 
)(,: xfyAxBy =∈∃∈∀ 
Biyectiva: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. 
 Para clasificar una función utilizamos el criterio de la recta horizontal y la desplazamos a todo 
lo largo del conjunto de llegada, si la recta deja de cortar a la gráfica la función NO es sobreyectiva 
(existen elementos del conjunto de llegada que no tienen pre-imagen, es decir el rango es diferente al 
conjunto de llegada) y si la corta en más de un punto la función NO es inyectiva (a elementos 
diferentes del dominio le corresponde la misma imagen). 
 En el caso de nuestra gráfica el conjunto de llegada son los números reales (R), si desplazamos 
la recta horizontal por arriba del valor 7 (recta verde) en las ordenadas la recta no corta a la gráfica por 
lo cual la misma no es sobreyectiva, el rango es el conjunto (-∞,7], la recta horizontal corta a la gráfica 
en al menos dos puntos diferentes )recta amarilla), por lo cual no es inyectiva, ya que a elementos 
diferentes le corresponde la misma imagen. 
 
 
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Resumiendo tenemos que: 
A = [-13,-8) ∪ (-8,-3] ∪ (-1,8) ∪ [10,∞) 
f(x)>0 (-8,-3] ∪ (2,8) 
f(x)<0 [-13,-8) ∪ (-1,2) ∪ (10,∞), 
f(x) = 0 {2,10} 
Crece en los intervalos (-13,-8) ∪(-8,-5) ∪(0,5) 
Decrece en los intervalos (-5,-3) ∪(-1,0) ∪ (5,8) ∪ [10,∞). 
Rango (-∞,7] 
Corte con las ordenadas f(o)= -4 
Función NO inyectiva, No sobreyectiva y No biyectiva.