02-funciones

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Funciones
Veremos:
1 Noción de Función
2 Usando la x , como es costumbre
3 También se puede cambiar la variable
4 ¿Nos animamos con la circunferencia?
5 Definición de Función
6 Ejemplo 1
7 Ejemplo 2
8 Aplicación
9 Determinación del dominio de una Función
10 Determinación del dominio de una Función. Ejemplos
11 Dominio, Codominio e Imagen
12 Dominio, Codominio e Imagen. Ejemplos
13 El Plano Cartesiano
14 El Plano Cartesiano. Gráfica de funciones
15 Ejemplo de gráficos. La función y = x2
16 Comparación de tres gráficas de funciones distintas
17 Repaso
18 Noción de Crecimiento y Decrecimiento
19 Definición de Crecimiento y Decrecimiento
20 Regiones de positividad y negatividad
21 Máximos y Mínimos Locales
22 Ejercitación
23 Soluciones y pistas
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 1 / 38
1 - Noción de Función
Área y perímetro de un cuadrado. Dado un cuadrado de lado `, su perímetro y su área valen
P = 4 · `, A = `2
notemos que conforme va cambiando el lado del cuadrado, cambiará el valor de su perímetro, como así también
el valor de su área.
Con esto, podemos enunciar que
”el perímetro y el área DEPENDEN del valor del lado”
También, podríamos decir
”el perímetro y el área SON FUNCIONES del valor del lado”
Tenemos el perímetro y el área en función del lado.
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2 - Usando la x , como es costumbre
En el mismo ejemplo, si el valor del lado es x , entonces, tendremos
P = 4 · x, A = x2
Obviamente, si cambiamos el valor de x (que en este caso al ser general son todos los valores posibles) tendremos diferentes
valores del perímetro y del área.
Por eso, se denota que P es función de x y se lo pone P(x) y lo mismo para el área. Entonces,
P(x) = 4 · x, A(x) = x2
Si el lado mide 3 (cm, m, lo que sea) tendremos
P(3) = 4 · 3 = 12, A(3) = 32 = 9
si el lado mide 5,
P(5) = 4 · 5 = 20, A(5) = 52 = 25
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3 - También se puede cambiar la variable
Si tenemos un cuadrado de lado `, entonces, su diagonal medirá D =
√
2 · `. Entonces, si conocemos la diagonal, tendremos
que su lado lo podemos calcular como ` = D√
2
.
Entonces, si queremos expresar el perímetro y el área en función de la diagonal del cuadrado y no del lado, reemplazamos y
tenemos
P = 4 ·
D
√
2
, A =
[ D
√
2
]2
=
(D)2
(
√
2)2
=
D2
2
Entonces, si ahora llamamos ”x” a la diagonal del cuadrado, tendremos que el perímetro y el área del cuadrado de diagonal x
será
P(x) = 4 ·
x
√
2
, A(x) =
x2
2
SIEMPRE ES NECESARIO INDICAR QUÉ SIGNIFICA LA x .
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4 - ¿Nos animamos con la circunferencia?
Si llamamos x al radio de la circunferencia, tendremos que el perímetro es
P(x) = 2π x
y su área
A(x) = π x2
Como el diámetro y el radio se relacionan como D = 2 r entonces, r = D2 , por lo que tendremos
P = 2π
D
2
= π D, A = π
[D
2
]2
Entonces, si llamamos x al valor del diámetro, tendremos
P(x) = π x A(x) = π
x2
4
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5 - Definición de Función
Definición de Función
Una función es una regla mediante la cual a un número (de un conjunto denominado
DOMINIO) se le asigna a lo sumo un número (de un conjunto denominado
CODOMINIO).
En el caso del área de un cuadrado. Supongamos que tomamos un número x del dominio
(en este caso, serán los números positivos, ya que no existe ningún valor negativo para
una longitud) le asignamos un número A del codominio (que también será un número
real).
Esquemáticamente
x ∈ DOMINIO→ Operación Matemática → y ∈ CODOMINIO
en otras palabras,
x → y = f (x)
Mirá estos videos:
Definición de función
¿Cömo saber si es una fun-
ción o no?
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 6 / 38
https://drive.google.com/file/d/1eShW0GrmQkO7zwUbcgdlbZIgcMkd4rQZ/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1087t6obog21wpz72o4jYIb6kHrxsoX_p/view?usp=sharing
6 - Ejemplo 1
Consideremos el esquema
x → Operación matemática → y
1→ Operación matemática → 2
2→ Operación matemática → 4
3→ Operación matemática → 6
4→ Operación matemática → 8
5,5→ Operación matemática→ 11
Completar en la caja la operación que hayas descubierto
x → f(x) = → y
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7 - Ejemplo 2
Consideremos el esquema
x → Operación matemática → y
0→ Operación matemática → 1
1→ Operación matemática → 4
2→ Operación matemática → 7
3→ Operación matemática → 10
4→ Operación matemática → 13
Completar en la caja la operación que hayas descubierto
x → f(x) = → y
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8 - Aplicación
Calcula y obtiene el valor de y para los siguientes esquemas
x → Operación matemática → y = f (x)
x = 0→ f (x) = 2 x + 3 → y =
x = 3→ f (x) = x2 − 1 → y =
x =
√
3,1→ f (x) = 2 x2 + 1 → y =
x = 5→ f (x) = −2 x + 10 → y =
x = 3→ f (x) = 3 x + 1 → y =
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9 - Determinación del dominio de una función
Como sabemos, hay operaciones que no se pueden efectuar en los números reales, a
saber
Calcular raíces (en general, de índice par) cuadradas de números negativos
Dividir por cero
Más operaciones que veremos más adelante.
Como las funciones estan definidas por operaciones matemáticas, entonces deberemos
tener en cuenta que los dominios de las funciones no pueden, en términos generales, ser
definidos en toda la recta real.
Lo que llamaremos determinación del dominio de una función será el conjunto más amplio
que puede tomar la variable independiente (la x).
Ejemplo. Si la función es la f (x) =
√
x − 3 entonces, la condición que tendremos será
que x − 3 debe ser mayor o igual que cero (porque son los no negativos). Entonces, el
dominio de la función será
Dom[f ] = {x / x ≥ 3}
Mirá este video:
Dominio de una función
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https://drive.google.com/file/d/1qfvir8o_2zb80gL6sMMk1UhOBmFk4jD5/view?usp=sharing
https://www.geogebra.org/calculator/wcfkqpeu
10 - Determinación del dominio de una función.
Ejemplos
Ejemplo. Si la función es la f (x) = 1x−4 notemos que al no poder dividir por 0, la única
restricción la tendremos en x = 4. En todos los otros valores de x puede ser calculada la
función. Por lo que
Dom[f ] = {x / x 6= 4}
Ejemplo. Consideremos ahora la función f (x) = 1
(x−1)(x+1) En este caso tenemos
prohibidos los valores x = 1 y x = −1, porque harian cero el denominador. Entonces
Dom[f ] = {x / x 6= 1 ∧ x 6= −1} = {x / x 6= ±1}
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 11 / 38
https://www.geogebra.org/calculator/tquut3n4
https://www.geogebra.org/calculator/msbkxvh8
11 - Dominio, Codominio e Imagen
Como vimos, una función toma un número, x , realiza con él una operación, f (x) y el resultado será un número, y , y = f (x).
Dominio. El conjunto de valores posibles que puede tomar la indeterminada x se lo denomina DOMINIO de f .
Codominio. El conjunto de valores posibles que puede tomar y es denominado CODOMINIO de f .
Imagen. El conjunto de valores que EFECTIVAMENTE toma y se lo denomina IMAGEN de f .
Notemos que la IMAGEN de una función está contenida en el codominio, ya que el codominio es el conjunto de todos los valores
posibles, pero la imagen es efectivamente el conjunto de los resultados de f (x).
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12 - Dominio, Codominio e Imagen. Ejemplos
Ejemplo. Consideremos la función
f (x) = x2
Como no tenemos restricciones para el cálculo de la operación x2 el dominio más amplio será Dom[f ] = R es decir, todos los
reales.
Codominio. El codomio, a priori, también serán todos los números reales.
Imagen. Notemos que al calcular un cuadrado, por más que x sea positivo o negativo, el resultado será siempre positivo
(recordar la regla de los signos). Entonces, los valores que efectivamente toma la función serán los reales positivos.
Entonces
Dom[F ] = R, Codom[f ] = R, Im[f ] = R+
donde R+ indican los reales positivos.
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13 - El Plano Cartesiano
Así como graficamos números en la recta real. Ahora, podemos graficar un par de puntos (a, b) en un plano, así como lo
hacemos cotidianamente al especificar una esquina de la ciudad. “Estoy en Origone y Chuquisaca”. Esto podríamos ponerlo en
un par ordenado
(Origone,Chuquisaca)
Hay ciudades más “Cartesianas” que otras, donde se dibuja una cuadrícula lo más perfecta posible. Pero para este caso, no
tiene mucha relevancia, lo importante es que cada esquina de una determinada ciudad puede ser descripta por un par ordenado,
donde consten las calles que se intersectan.
Para ver sobre la historia se puede consultar el siguiente link.
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 14 / 38
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
13 - El Plano Cartesiano
El punto (a, b).
x
y
aO
b
(a, b)
Como convención, utilizamos la primera de las componentes, a, para indicar el número
sobre el eje de las x y la segunda componente, b, para indicar el número sobre el eje de
las y .
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 15 / 38
https://www.geogebra.org/calculator/ghxrawhx
14 - El Plano Cartesiano. Gráfica de funciones
Con el esquema
x → Operación matemática , f(x) → y = f (x)
Podemos coleccionar los puntos de partida x con los de llegada y = f (x) y ponerlos en el plano cartesiano, con esto obtenemos
la gráfica de la función
x
y
1 2 3 x
f (1)
f (2)
f (3)
f (x)
(1, f (1))
(2, f (2))
(3, f (3))
(x, f (x))
Tabla de Valores
x y = f (x)
0 f (0)
1 f (1)
2 f (2)
x f (x)
.
.
.
.
.
.
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15 - Ejemplo de gráficos. La función y = x2
Para esta función que llamaremos función cuadrática y que veremos más adelante, el gráfico será
x
y
1 2 3 4−1−2−3−4
1
4
9
16
Tabla de Valores
x y = x2
0 0
1 1
2 4
3 9
−1 1
−2 4
−3 9
.
.
.
.
.
.
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 17 / 38
15 - Ejemplo de gráficos. La función y = x2
Si la tabla de valores la hacemos con muchísimos puntos y unimos cada punto podremos dibujar una curva
x
y
1 2 3 4−1−2−3−4
1
4
9
16
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16 - Comparación de 3 graficas de funciones distintas
En la siguiente tabla vemos que el comportamiento gráfico puede ser muy distinto (En rojo, función lineal. En azul cuadrática. En
verde la función exponencial). Estas funciones las veremos en detalle más adelante.
x
y
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17 - Repaso
Completa las siguientes frases
Definición de Función
Una función es una regla mediante la cual a un número, elemento de un conjunto llamado ................. le asignamos a lo sumo
otro número de un conjunto llamado ..................
La asignación de números
La regla de asignación de números será a partir de una expresión matemática
x → Operación Matemática → y = ......
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18 - Noción de Crecimiento y Decrecimiento
En los ejercicios anteriores, hemos visto -gráfica e intuitivamente- que el crecimiento y decrecimiento de una función venía
asociado a lo siguiente:
“la función era creciente si al moverme hacia la derecha,la altura del gráfico iba subiendo”
Esto podría hacerse más preciso:
I. “moverse a la derecha” se puede precisar como ir a valores más grande en x . Esto es
x2 está a la derecha de x1 si
x1 ≤ x2
II. “moverse hacia arriba” se puede precisar como ir a valores más grande en y . Esto es
y2 está arriba de y1 si
y1 ≤ y2
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19 - Definición de Crecimiento y Decrecimiento
Definición de Crecimiento
La función f (x) se dice creciente si
x1 ≤ x2 → f (x1) ≤ f (x2)
Definición de Decrecimiento
La función f (x) se dice decreciente si
x1 ≤ x2 → f (x1) ≥ f (x2)
Notemos que estas definiciones se aplican a lo que intuitivamente aplicamos en los
ejercicios.
Mirá este video:
Intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una fun-
ción
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 22 / 38
https://drive.google.com/file/d/138GHFtGgN_Fa928Ezq5SEKKKpz1r-wwI/view?usp=sharing
20 - Regiones de positividad y negatividad
Como los valores de las funciones, esto es, los números f (x) pueden ser positivos,
negativos o nulos, es interesante poder determinar los valores de la función. Esto es,
La función f (x) será positiva en una región (intervalo del eje x) cuando f (x) > 0
La función f (x) será negativa en una región (intervalo del eje x) cuando f (x) < 0
La función f (x) será nula cuando f (x) = 0.
Gráficamente, el signo de la función quedará evidenciado por estar sobre el eje x (será
positiva); bajo el eje x (será negativa) y los puntos sobre el eje x serán los puntos donde
la función vale cero (ya que sobre el eje x la altura es nula)
Pregunta. ¿Qué te parece que debe pasar si una función pasa de negativa a positiva, o
viceversa? ¿Qué valor debería tomar?
Mirá este video:
Intervalos de positividad y ne-
gatividad de una función
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 23 / 38
https://drive.google.com/file/d/17Dhvu7y4Bz16tJz5awgzc9EIyfRWpVVn/view?usp=sharing
21 - Máximos y Mínimos Locales
Ahora pensemos qué ocurre cuando una función pasa de ser creciente a decreciente. ¿Qué ocurrió?
O al revés: piensa qué ocurre cuando una función pasa de ser decreciente a creciente. ¿Qué ocurrió?
crecimiento → MÁXIMO LOCAL → decrecimiento
decrecimiento→ MÍNIMO LOCAL → crecimiento
Más adelante veremos herramientas para la determinación máximos y mínimos.
Por el momento, identificaremos las regiones de crecimiento y decrecimiento a partir del gráfico.
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 24 / 38
22 - Ejercitación
Ejercicios
1. En la serie Viaje al fondo del mar aparece como una estrella el Sea-View, un súper submarino nuclear que en su
interior lleva otro submarino muy pequeño llamado Aerosub. Éste utiliza como base al submarino estrella y además de
transitar bajo el agua, es capaz de volar. Durante una misión de investigación, la tripulación del Sea-View siguió los
desplazamientos del pequeño submarino. El gráfico que aparece a continuación muestra la altura h (en metros sobre
el nivel del mar) a la que se encuentra el Aerosub en función del tiempo t (en horas). Donde t = 0 representa la hora
cero del 3 de mayo de 1963.
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22 - Ejercitación
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 26 / 38
22 - Ejercitación
Ejercicios
a) ¿ Qué día y a qué hora partió el Aerosub del Sea-View?
b) ¿ A qué profundidad se encontraba?
c) ¿ A qué altura se encontraba entre las 19 y 20 horas del 2/5? ¿A qué altura se encontraba a las 23 horas del
2/5? ¿y a las 13 horas del 3/5?
d) ¿Desde qué hora y día hasta qué hora y día duró la misión?
e) ¿Entre qué valores varió la altura del Aerosub?
f) ¿Cuándo estuvo sobre el nivel del mar?
g) ¿En qué momentos estuvo al nivel del mar?
h) ¿En qué intervalos de tiempo estuvo ascendiendo?
i) ¿Cuánto tiempo pasaron los tripulantes estudiando un banco de coral que se encuentra a 50 metros de pro-
fundidad? ¿Entre qué horas sucedió?
j) ¿Explique si el Aerosub, entre las 6 y las 8 horas del 3 de Mayo estuvo en movimiento y/o estuvo quieto?
k) Las respuestas d), e), f) y h) ¿qué utilidad puede tener este dato en cada caso?
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 27 / 38
22 - Ejercitación
Ejercicios
2. ¿Cuántos centímetros mide el perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado mide el doble que el lado de un
cuadrado de perímetro 16cm?.
a) ¿Si el perímetro del cuadrado es 12 cm?
b) ¿ Si el perímetro del cuadrado es “x”? ¿ Qué obtenemos acá?.
c) Si llamamos “Pt .al Perímetro del Triángulo y “x” al Perímetro del cuadrado, ¿ cómo queda expresada la relación
del punto b)?.
d) ¿ si varía ”x” varía Pt ?
e) ¿ Qué significa Pt (x)?
f) ¿ Cuánto vale el Perímetro del triángulo si el perímetro del cuadrado vale 8? ¿ Cuánto vale Pt (9)?
g) ¿ cualquier valor puede tomar “x”? ¿quévalores puede tomar “x”?
h) ¿ Cualquier valor puede tomar Pt ? ¿ qué valores NO puede tomar Pt ?
i) ¿ Qué información se necesita para graficar Pt (x)?
j) Construir la gráfica y explicar si se cumplen los posibles valores de Pt y de “x”.
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 28 / 38
22 - Ejercitación
Ejercicios
3. Un atleta que se está preparando para participar de una maratón (un maratón es una prueba atlética de resistencia
que consiste en correr a pie la distancia de 42, 195 km.) ha registrado en su último entrenamiento las velocidades (en
km/h) en cada una de las tres horas en que realizó su práctica. Los registros se pueden observar en el gráfico donde
en el eje horizontal se detallan los tiempos t y en el eje vertical la velocidad v .
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
t(h)
v(km/h)
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 29 / 38
22 - Ejercitación
Ejercicios
A partir del gráfico:
a) ¿ Cuál es la velocidad del atleta después de correr una hora?
b) ¿ Cuándo alcanza por primera vez la velocidad de 5 km/h?
c) ¿ En qué intervalo de tiempo mantiene el corredor la velocidad de 5 km/h?.
d) Explica ¿ cómo depende una cantidad de otra? Vale decir, ¿ qué se puede decir respecto de cómo varía la
velocidad del atleta a medida que varía el tiempo durante su entrenamiento?
4. Un Viajante de comercio de una multinacional viaja en su auto a Mar del Plata una vez por semana para cumplir su
trabajo. Sale a las 07 hs a.m. y realiza los 400 kms cada vez. Quiere analizar y determinar lo siguiente:
a) ¿A qué velocidad promedio debe ir para llegar a las 12 hs? ¿y a las 13 hs?
b) Necesita también tener construida una expresión que relacione la Hora de llegada H(v) en función de la
velocidad promedio en Km/hs. H(v) = ¿?.
c) Construya ahora la gráfica aproximada de H(v).
d) Calcula primero y luego explica el significado de las siguientes horas:
1) H(0) = ¿ ? 2) H(−90) = ¿ ? 3) H(130) = ¿ ?
e) Entonces, ¿ Cuáles son los posibles valores que puede tomar V? Justifique.
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 30 / 38
22 - Ejercitación
Ejercicios
5. Modelizar un Gráfico, mediante una función que describa el precio P de un kilogramo de manzana en función del
día x del año, el siguiente informe brindado por la provincia de Río Negro.
a) En el primer mes del año el precio se mantuvo estable en $1, 00 por kilogramo
b) En la última quincena del mes de febrero comenzó a bajar hasta que el día 10 de abril, cuando alcanzó un
precio de $0, 50 por kg.
c) El precio de $0, 50 por kg se mantuvo constante hasta finalizar el mes de mayo.
d) A partir de junio se registró un aumento sostenido en el precio que permitió vender la manzana a $2, 00 el kg
el 15 de octubre.
e) A fines de noviembre nuevamente el precio comenzó a decrecer, siendo a fin de diciembre de $1, 20 por kg.
A partir del gráfico realizado, ¿ cuál es la respuesta a cada una de las siguientes preguntas?
a) Si P(x) = precio del kg de manzana el día x ¿ cuál es el dominio de la función P?
b) ¿ y cuál es el conjunto imagen de la función P?
c) ¿ En qué intervalo la función es creciente?
d) ¿ En qué intervalo la función es decreciente?
e) ¿ Se mantuvo la función constante en algún/os intervalos?, ¿ cuáles?, ¿ qué valor alcanzó en dicho intervalo?
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 31 / 38
22 - Ejercitación
Ejercicios
6. Para la función de expresión f (x) = 2x + 1 calcular:
a) f (2)
b) f (−3)
c) f (a)
d) f (h)
e) f (−3 + 2h)
f) f (a + b)
7. Para la función de expresión f (x) = x2 + 1 calcular:
a) f (2)
b) f (−3)
c) f (a)
d) f (h)
e) f (−3 + 2h)
f) f (a + b)
8. Para las siguientes funciones determina el dominio de definición
a) f (x) = x2 + 1
b) f (x) = 1x+7
c) f (x) = 1
(x−1)(x−2)
d) f (x) =
√
2x − 6
e) f (x) = 1√
x
f) f (x) =
√
x+1
x−1
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 32 / 38
22 - Ejercitación ;
Ejercicios
9. En el plano cartesiano, ubica los puntos
a) (1, 1)
b) (−3, 2)
c) (5,
√
2)
d) (3, 4)
e) (3,
√
3− 1)
10. En el plano cartesiano, graficar los siguientes conjuntos
a) A = {(x, y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
b) B = {(x, y), 0 ≤ x, 0 ≤ y}
11. Haciendo una tabla de valores, traza la gráfica de las siguientes funciones. Hazla por separado y luego haz los
gráficos en el mismo plano.
a) f (x) = 2x − 1
b) f (x) = x2 − 1
c) f (x)− 12 x − 1
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 33 / 38
22 - Ejercitación ;
Ejercicios
12. Dado el gráfico de una función
Determinar:
a) Dom f (x)
b) Raíces de la función
c) El punto de intersección con eje de ordenadas.
d) En el intervalo C+ ∩ ID .
e) En el intervalo C− ∩ IC .
f) Máximos / mínimos.
x
y f
A−8
0
4−2
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 34 / 38
22 - Ejercitación ;
Ejercicios
13.Considerando la siguiente gráfica de una función
a) Calcular Domf ; C
0
f ; C
+
f ; C
−2f
b) Decidí cuales de las siguientes 4 fórmulas no
puede corresponder corresponder a la función f .
h(x) =
16− x2
x2 − 4
g(x) =
x2 − 16
x2 − 4
i(x) =
4− x2
x2 − 64
j(x) =
x2 − 4
x2 − 16
−6 −4 −2 2 4 6
−6
−4
−2
2
4
6
x
y
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 35 / 38
22 - Ejercitación ;
Ejercicios
14. Sea f (x) =
2x − 6
x − 1
a) Calcular, si es posible f (2) , f (3) , f (−1) y f (1).
b) En cada caso, encontrar, si existe, x tal que:
I) f (x) = 1 II) f (x) = 0 III) f (x) = 2 IV) f (x) = 3
c) Marcar cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos (V) y cuáles falsos (F):
a) 2 ∈ Domf
b) 0 ∈ Imf
c) 1 ∈ Domf
d) 2 ∈ Imf
e) 1 6∈ Domf
f) 1 6∈ Imf
g) −1 6∈ Domf
h) 3 6∈ Imf
d) ¿ Cuáles son los puntos de corte del gráfico de f con los ejes coordenados ?.
e) Hallar h y k para que los puntos (2, h) y (k, 1) pertenezcan al gráfico de f .
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 36 / 38
22 - Ejercitación ;
Ejercicios
15. En cada caso, está representado el gráfico de una función f : R→ R, determinar:
ceros, C0 = {x ∈ Domf /f (x) = 0}
Conjunto de positividad, C+ = {x ∈ Domf /f (x) > 0}
Conjunto de negatividad, C− = {x ∈ Domf /f (x) < 0}
intervalos de crecimiento,
intervalos de decrecimiento,
Imagen de f .
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 37 / 38
22 - Ejercitación ;
Ejercicios
a)
−10 −5 5
5
10
6−6
3
x
y
b)
−6 −4 −2 2
−2
2
4
3
1
-1
x
y
c)
−8 −6 −4 −2 2 4 6
−2
2
4
6
-7 -5 1-3 -1 3 5
1
3
5
-1
x
y
Observando el gráfico c) calcular f (−4) , f (−3) , f (−2) , f (−2) , f (0) y f (1).
(UNAHUR) IAM - Funciones 11 de agosto de 2022 38 / 38