función por intervalos

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GUÍA Nº20: FUNCIÓN POR INTERVALOS 
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz. 
 DEFINICIÓN: 
 
También llamada función por partes, es aquella que está definida con distintos 
enunciados (funciones) para diferentes intervalos del dominio. 
 
Ejercicios Resueltos: Trace la gráfica y realice el análisis de las siguientes 
funciones: 
 
1. 









846
282
124
)(
2
xsi
xsix
xsix
xf 
 
Como se puede observar, se trata de una función por intervalos, porque para cada 
trozo (intervalos) se tiene una función distinta. 
 
Para trazar la gráfica de este tipo de funciones se debe separar así: 
 
 124)( 2  xsixxf (Esto se lee así: Es una función cuadrática en el 
intervalo definido desde -2 abierto, hasta 1 cerrado) 
 
Como se trata de una FUNCIÓN CUADRÁTICA, procedemos a hacer su estudio 
así, (recordar lo que se vio en clase presencial sobre trazado de parábolas): 
 
a. Abertura: Cóncava (x2 es positivo) 
b. Discriminante: acb 42  (a=1, b=0, c=-4, ver la función) 
 )4)(1(402  
 16 (Positivo: La parábola corta dos veces a “x”) 
 
c. Vértice: 




 

a
bac
a
b
V
4
4
;
2
2
 (a=1, b=0, c=-4, ver la función) 
 




 

)1(4
0)4)(1(4
;
)1(2
0 2
V , por lo que:  4;0 V 
 
 
d. Corte con los ejes: 
Con “x”: 
202
202
0)2)(2(
042




xx
xx
xx
x
 Con “y”: 
4
40 2


y
y
 
 
e. Estudio de extremos: (Esto se hace porque la función está limitada en un 
intervalo, en este caso: 12  x 
 
Pare ello se sustituyen los valores de los extremos del intervalo en la función y=x2 -4, 
así: 
 
Valor Sustitución Resultado 
x=-2 y= (-2)2-4 y=0 
x=1 y= (1)2-4 Y=-3 
 
 
 282)(  xsixxf (Esto se lee así: Es una función Lineal en el 
intervalo definido desde -8 abierto, hasta -2 abierto) 
 
Como se trata de una FUNCIÓN LINEAL, según la teoría vista, debemos elaborar 
como primer paso una tabla de valores con los dos extremos: 
 
 
Valor Sustitución Resultado 
x=-8 y= - (-8)-2 y=6 
x=-2 y= -(-2)-2 Y=0 
 
2do paso: Corte con los ejes. 
 
Con “x”: 
2
2
02



x
x
x
 Con “y”: 
2
20


y
y
 
 
 Función Constante: 846)(  xsixf (Esto se lee así: Es una función 
constante en el intervalo definido desde 4 cerrado, hasta 8 abierto) 
 
Como se trata de una FUNCIÓN CONSTANTE, procedemos a trazar una “recta 
horizontal en el intervalo definido. 
 
 
 
La gráfica quedaría trazada de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Te invito a hacer el análisis completo de la gráfica, con la teoría vista 
anteriormente” 
 
 
2. 









19
53
411
)(
2 xsix
xsi
xsix
xf 
 
 
Como se puede observar, al igual que el ejercicio anterior tenemos una función 
por intervalos, porque para cada trozo (intervalos) se tiene una función distinta. 
 
En este caso separaremos la función así: 
y=-6 
 
 
 411)(  xsixxf (Esto se lee así: Es una función Lineal en el 
intervalo definido desde -1 cerrado, hasta -2 cerrado) 
 
Como se trata de una FUNCIÓN LINEAL, según la teoría vista, debemos elaborar 
como primer paso una tabla de valores con los dos extremos: 
 
 
Valor Sustitución Resultado 
x=-1 y= (-1)+1 y=0 
x=4 y= (4)+1 y=5 
 
2do paso: Corte con los ejes. 
 
Con “x”: 
1
01


x
x
 Con “y”: 
1
10


y
y
 
 
 Función Constante: 53)(  xsixf (Esto se lee así: Es una función 
cuadrática en el intervalo definido desde 5 abierto en adelante. Es decir, 
hasta el infinito positivo) 
 
Como se trata de una FUNCIÓN CONSTANTE, procedemos a trazar una “recta 
horizontal” en el intervalo definido. 
 
 19)(
2  xsixxf (Esto se lee así: Es una función cuadrática en el 
intervalo definida para los valores menores que -1. Es decir, desde el 
infinito negativo hasta el valor x=-1) 
 
Como se trata de una FUNCIÓN CUADRÁTICA, procedemos a hacer su estudio 
así, (recordar lo que se vio en clase presencial sobre trazado de parábolas): 
 
a. Abertura: Cóncava (x2 es positivo) 
b. Discriminante: acb 42  (a=1, b=0, c=-9, ver la función) 
 )9)(1(402  
 36 (Positivo: La parábola corta dos veces a “x”) 
 
c. Vértice: 




 

a
bac
a
b
V
4
4
;
2
2
 (a=1, b=0, c=-9, ver la función) 
 
 
 
 





 

)1(4
0)9)(1(4
;
)1(2
0 2
V , por lo que:  9;0 V 
 
d. Corte con los ejes: 
Con “x”: 
303
303
0)3)(3(
092




xx
xx
xx
x
 Con “y”: 
9
902


y
y
 
 
e. Estudio de extremos: Esto se hace porque la función está limitada en un 
intervalo, en este caso: 1x 
 
Pare ello se sustituyen los valores de los extremos del intervalo en la función y=x2 -9, así: 
 
Valor Sustitución Resultado 
x=-1 y= (-1)2-9 y=-8 
 
La gráfica quedaría trazada de la siguiente forma: 
 
 
 
“Igualmente te invito a hacer el análisis completo de la gráfica, con la teoría vista 
anteriormente” 
 
 
Ejercicios Propuestos: Trace la gráfica y realice el análisis 
de la siguientes funciones. 
 
1. 









5214
3044
04
)( 2
xsix
xsixx
xsi
xf 
 
2. 









23
211
11
)( 2
xsi
xsix
xsix
xf 
 
3. 









84
442
4
)(
2 xsixx
xsi
xsix
xf 
 
4. 









4134
43
12
)(
2 xsixx
xsi
xsix
xf 
 
5. 









5154
52106
25
)( 2
xsix
xsixx
xsi
xf 
 
6. 









39
305
02
)(
2 xsix
xsi
xsix
xf