Tema 15- Dinámica de la Rotación

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- Depende de la masa del cuerpo y de la forma en que se distribuye 
en el espacio.
- Depende de la dirección del eje de rotación.
[kg.m2]
El momento de inercia de un cuerpo rígido con respecto a un eje es una medida de la resistencia que opone el 
cuerpo a empezar a girar alrededor de ese eje. Equivale a la MASA para la traslación.
MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO
Consideremos que el cuerpo está formado por un gran número de partículas, con masas m1, m2, …, a 
distancias r1, r2, …, del eje de rotación. Se define, al Momento de Inercia con respecto al eje que pasa 
por el C.M. a:
donde las ri son las distancias de las masas mi al eje de rotación medida
en forma perpendicular.
1 1 2 2 ...CM i i
i
I m m m dm= + + = = 
2 2 2 2
r r r r
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS (TEOREMA DE STEINER)
momento de inercia de un cuerpo de masa M alrededor de un eje 
que pasa por el centro de masa
- Un cuerpo tiene infinitos momentos de inercias porque el número de ejes sobre los que podría girar es infinito.
- Dado que el segundo sumando Md2 es una cantidad siempre positiva, se ve que, entre todos los posibles, el
momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masa es el menor de todos!
- Es más fácil poner a girar un cuerpo si el eje de rotación pasa por el centro de masa.
momento de inercia alrededor de cualquier otro eje paralelo al original
distancia entre el nuevo eje y el original
Nos permite calcular el momento de inercia con respecto a cualquier eje si conocemos el Icm con respecto a un eje 
paralelo. Atención, sólo vale para cuerpos continuos!
2.P CMI I M d= +
CMI
PI
d
MOMENTO DE INERCIA DE DIVERSOS CUERPOS SIMPLES
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL
- Sabemos que una fuerza neta aplicada a un cuerpo provoca una aceleración lineal a ese cuerpo. La 
segunda Ley de Newton la aplicamos al movimiento de traslación:
- Pero… ¿Qué se requiere para impartir una aceleración angular a un cuerpo? Es decir, ¿Qué se necesita 
para poner a girar un cuerpo estacionario o para detener un cuerpo que está dando vueltas?
- Se requiere una fuerza, pero no de cualquiera, debe aplicarse de tal manera que proporcione una acción 
de torcer o de dar vuelta.
▪ Es una medida de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo.
▪ Describe la acción de torsión o giro debido a una fuerza.
▪ El torque total que actúa sobre un cuerpo rígido determina su aceleración angular.
TORQUE
.F m a=
¿Qué aspectos de una fuerza son importantes para provocar o modificar el movimiento rotacional? 
La magnitud y dirección de la fuerza son importantes, pero también lo es la posición del punto de 
aplicación.
Sean , y tres fuerzas de igual magnitud.
¿Cuál fuerza tiene mayor probabilidad de aflojar el tornillo 
apretado?
[N.m]
aF bF cF
.F l =
TORQUE (Momento de una fuerza - Par de torsión - Torca)
El torque no es trabajo ni energía, así que debemos expresarlo en newton-metros, no en joules[N.m]
Para una fuerza de magnitud F cuya línea de acción está a una distancia perpendicular l del punto O, el torque 
es:
- Un cuerpo rígido gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la 
figura que pasa por el punto O.
- El torque siempre se define con referencia a un punto específico.
- Si cambiamos la posición del punto de giro, el torque de cada fuerza 
cambia.
- Debemos decir “El torque de con respecto al punto X”
l: brazo de palanca
.F l =
F
EL TORQUE COMO VECTOR
vector
magnitud
- La dirección de es perpendicular tanto a como a .
- Su sentido está dado por la regla de la mano derecha.
Observación:
Un punto ( ) representa un vector que apunta hacia afuera de la página,
Una cruz (X) representa un vector que apunta hacia adentro de la página.
r F = 
( ). . .F l r F sen = =
 r F
SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA EL MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO
La aceleración angular de un cuerpo rígido en rotación es directamente proporcional a la suma de las 
componentes del torque sobre el eje de rotación. El factor de proporcionalidad es el momento de 
inercia.
- Análoga rotacional de la segunda ley de Newton para un 
cuerpo rígido.
- La suma sólo incluye los torques de las fuerzas externas.
Una fuerza externa importante que actúa sobre un cuerpo es su peso. Esta fuerza no se concentra en un solo punto, sino que actúa sobre 
todas las partículas del cuerpo. Pero, siempre obtenemos el torque correcta si suponemos que todo el peso se concentra en el centro de masa
del cuerpo.
.z zI =
ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO
Energía cinética de un cuerpo rígido que rota con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa 
por el centro de masa.
Energía cinética de la i-ésima partícula:
Pero, la velocidad angular es la misma para todas las partículas en
rotación, así que, si sumamos, sale de factor común:
Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, entonces, tiene una energía cinética de rotación, que 
no la habíamos tenido en cuenta cuando lo considerábamos una partícula, y que se puede expresar en términos 
de la rapidez angular y el momento de inercia:
1 1 2 2
1 1 1 1
...
2 2 2 2
i i i i
i i
K m m m m   
 
= + + = =  
 
 2 2 2 2 2 2 2 2r r r r
1 1
2 2
i i i im v m 
2 2 2
= r
1
2
CMK I =
2
Ejercicios:
1- Cuatro esferas pequeñas, que pueden considerarse como puntos con masa de 0.2 kg cada una, 
están dispuestas en un cuadrado de 0.4 m de lado, conectadas por varillas muy ligeras. Calcule el 
momento de inercia del sistema alrededor de un eje a) que pasa por el centro del cuadrado, perpendicular a su plano 
(que pasa por O en la figura); b) que biseca el cuadrado (pasa por la línea AB en la figura); c) que pasa por los centros de 
las esferas superior izquierda e inferior derecha y por el punto O.
Rta: a) 0,06272 Kg.m2 b) 0,032 Kg.m2 c) 0,03136 Kg.m2
2- Una pieza mecánica está formada por tres puntos A, B y C como se muestra en la figura.
a) ¿Qué momento de inercia tiene este cuerpo alrededor de un eje que pasa por el punto A y es 
perpendicular al plano del diagrama? 
b) Si el cuerpo gira con una rapidez angular ω = 7 rad/s ¿Qué energía cinética tiene? 
c) ¿Qué momento de inercia tiene este cuerpo alrededor de un eje que pasa por los puntos B y C?
d) El sistema se pone en rotación alrededor de este nuevo eje con energía cinética de 186 J. Hallar el número de 
revoluciones que el sistema realiza por minuto. 
Rta: a) 6,45 Kgm2; 158.02 J; c) 4.5 Kgm2; d) 86,94 rpm.
3- Calcule el momento de inercia de cada uno de los siguientes objetos uniformes en torno a los ejes indicados. a) Una 
varilla delgada de 2.5 kg con longitud de 75 cm, alrededor de un eje perpendicular a ella y que pasa por i) un extremo, ii) 
su centro y iii) alrededor de un eje paralelo a la varilla y que pasa por ella. (despréciese el radio de la varilla).b) Una 
esfera de 3 Kg con diámetro de 38 cm, alrededor de un eje que pasa por su centro si la esfera i) es sólida y ii) es un 
caparazón hueco de pared delgada. c) Un cilindro de 8 Kg con longitud de 19.5 cm y diámetro de 12 cm, alrededor del 
eje central de un cilindro, si el cilindro es i) hueco de pared delgada y ii) sólido.
4- Bloques pequeños de masa m están sujetos en los extremos y en el centro de una varilla ligera de longitud L y masa despreciable. 
Calcule el momento de inercia del sistema alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por a) el centro y b) un punto a un 
cuarto de su longitud. Explicar por qué no se puede aplicar el Teorema de Steiner en este caso.
Rta: a) ML2/2; 11/16 ML2, el T. de Steiner sólo se aplica para cuerpos continuos.
5- Calcule el momento de inercia de un aro (anillo hueco de paredes delgadas) con masa M y radio R, alrededor de un eje perpendicular al 
plano del aro y que pasa por un borde.
6- Una lámina de acero rectangular delgada tiene lados que miden a y b y una masa de M. Use el teorema de los ejes paralelos para 
calcular el momento de inercia dela lámina alrededor de un eje perpendicular al plano de la lámina y que pasa por una esquina de ésta.
7- Una cuerda ligera y flexible se enrolla varias veces en un cilindro hueco con peso de 40 N y radio de 0.25 m, que gira sin fricción sobre 
un eje horizontal fijo. El cilindro está unido al eje mediante rayos cuyo momento de inercia es despreciable, e inicialmente está en reposo. 
Se tira del extremo libre de la cuerda con fuerza constante P una distancia de 5 m, punto en el cual la cuerda se está moviendo a 6.00 m/s. 
Si la cuerda no resbala sobre el cilindro, ¿cuánto vale P?
Rta: 14.4 N
8- Se almacenará energía en un volante con forma de disco sólido uniforme con radio R= 1.2 m y masa de 70 Kg. Para evitar que falle 
estructuralmente el volante, la aceleración radial máxima permitida de un punto en su borde es de 3500 m/s2. ¿Qué energía cinética 
máxima puede almacenarse en el volante?
9- Imagine que trabaja como pasante en una empresa de ingeniería y le piden que mida el momento de inercia de una rueda grande, que 
gire en torno a un eje que pasa por su centro. Dado que usted fue buen estudiante de física, sabe lo que debe hacer. Mide la rueda y 
determina que su diámetro es de 0.740 m y que tiene un peso de 280 N. Luego monta la
rueda, empleando cojinetes sin fricción, en un eje horizontal que pasa por el centro de la rueda. Enrolla una cuerda ligera 
en el borde de la rueda y cuelga una masa de 8 kg del extremo libre. Luego suelta la masa desde el reposo; la masa 
desciende y la rueda gira mientras la cuerda se desenrolla. Usted determina que la masa tiene una rapidez de 5 m/s 
después de haber descendido 2 m. a) ¿Qué momento de inercia tiene la rueda para un eje perpendicular que pasa por su 
centro? b) Su jefe le dice que se requiere un I más grande y le pide diseñar una rueda con la misma masa y radio que 
tenga un I= 19 Kgm2. ¿Qué le contesta usted?
10- Una polea cilíndrica maciza (ICM = M.R2/2) como la de la figura tiene masa M y radio R = 0.5 m. Las
masas m1 y m2 son de 4 kg y 8 kg respectivamente. El sistema está inicialmente en reposo y en t = 0 se 
lo deja libre iniciándose el movimiento hacia la derecha con aceleración constante e igual a 2 m/s2. Calcular:
a) Las tensiones en las cuerdas. (Rta: 48N, 64 N)
b) La masa de la polea. (Rta: 16 Kg)
c) La energía cinética después de 3 segundos. Rta: 360 J
11- Dos bloques están conectados por una cuerda que pasa por una polea maciza cilíndrica de radio R y masa M (ICM = 
M.R2/2). El bloque de masa m1 se desliza sobre una superficie horizontal con rozamiento. 
El bloque de masa m2 está suspendido de la cuerda. Suponiendo que la cuerda no se desliza
por la polea. El sistema está en reposo y en el instante t = 0 se lo deja en libertad. 
a) Expresar la aceleración angular de la polea en función de m1, m2, M, R y µD. 
b) Calcular el ángulo girado y la cantidad de vueltas que da la polea al cabo de 6 segundos si
m1 = 4 kg, m2 = 6 kg, M = 20 kg, R = 30 cm y μD = 0,2.
Rta: a) α= g(m2- m1μD)/R(m1+m2+M/2) b) θ= 156,06. nro. de rev: 24,84 
12- Dos bloques de madera, de masa m1 = 0,6 kg y m2 = 0,8 kg, se colocan en un sistema con una polea maciza cilíndrica 
de radio R = 10 cm y masa M = 3 kg (ICM = M.R2/2) como se observa en la figura. Entre el bloque m1 y la mesa existe 
rozamiento cuyo µk = 0,25. Inicialmente el sistema está en reposo y en t = 0 se lo libera. Determinar: 
a- La aceleración de los bloques y la aceleración angular de la polea.
b- Las tensiones de la cuerda.
c- Comparar la aceleración de los bloques y las tensiones con un problema similar pero en el cual se haya despreciado el 
efecto de la polea.
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