Corregido-de-derivadas-1

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CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
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CUADERNILLO DE 
DERIVADAS CON CIR 
 (MATECHO) 
 
 
 
 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
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AUTOR DEL CUADERNILLO DE DERIVANDO CON CIR (MATECHO) 
 
 
 
FORMACIÓN ACADÉMICA 
PREGRADO: Lic. de Matemáticas de la Universidad Santiago de Cali. 
POSGRADO: En Edumatica Universidad Autónoma De Colombia. 
Especialización en pedagogía para el desarrollo del aprendizaje autónomo con la UNAD 
Magister en informática educativa del 13 de marzo del 2003 con la universidad tecnológica 
metropolitana de chile 
OTROS: 
ESTUDIOS DE ESTADISTICA A NIVEL DE POSTGRADO EN LA UNIVERSIDAD DEL VALLE: 
Para la comparación en nivel de postgrado de la universidad del valle. 
Fundamental a nivel de postgrado universidad del valle. 
Exploración de datos a nivel de postgrado en la universidad del valle. 
PARTICIPACIONES 
En programas de cualificación de un valle, seminarios de pedagogía en Univalle y Uceva y con 
profuturo en un curso de actualización en el área de sistemas. 
Participación en seminarios como expositor y como asistente 
INFORMACION LABORAL 
Docente Universitario: Univalle, sede Tulua, Usaca( monitor) , Uceva ,Antonio Nariño. Unidad central 
del valle (Uceva) 
Docente de secundaria: En Cali Luis Madina, Villegas, Santísima Trinidad, Divino niño, Consolación y 
en Tuluá, Jovita Santacoloma, Liceo Moderno, y actualmente en el gimnasio del pacifico 
INTERNET 
CANAL DE YOUTUBE: https://www.youtube.com/user/The26123 
CON BLOG: : https://wordpress.com/pages/carlosivanrestrepo.wordpress.com 
 
https://www.youtube.com/user/The26123
https://wordpress.com/pages/carlosivanrestrepo.wordpress.com
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GRACIAS 
 
Primero le doy gracias a Dios 
Luego a mis padres Enoc y Soledad por su esfuerzo 
Y dedicación en mi crianza, y a mi esposa 
Fanny Stella romero Macías por su paciencia al tiempo 
 Que no le dedico al realizar esta pequeña compilación 
 que espero que sea un orgullo para mis hijos Oscar y Sandra Giovanna Restrepo 
 y que sus hijos Juan Guillermo, Valeria y Victoria les sirva este módulo como 
 un ejemplo de vida en un futuro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRESENTACION DEL MODULO WEB 
 
En este trabajo intentamos relacionar las características de los escritos en internet sobre el manejo 
delas derivadas en el Cálculo de una variable utilizados a lo largo de la historia de las carreras de 
Ingeniería de la Facultad de Ciencias Exactas, con respecto a los contenidos fundamentales dadas 
en las de las universidades colombianas y de pronto hasta nivel mundial, con las particularidades del 
contexto matemático y pedagógico. He considerado para ello he vinculados los temas más 
importantes y concernientes a derivadas que han influido en el ámbito educativo en nuestro país. A 
partir de una revisión de los documentos de internet escritos por varios colegas he realizado una 
compilación con los documentos que nombro en webgrafia y adaptadas a los contenidos de la 
universidad en un contexto mundial en la enseñanza del cálculo. 
 
A efecto de caracterizar los libros propuestos en la bibliografía de las asignaturas de Cálculo de una 
variable de las carreras de Ingeniería de esta Facultad, llevamos a cabo más bien una webgrafia para 
apoyar este trabajo con un análisis didáctico y epistemológico en torno al enfoque del concepto 
de derivada en cada uno de ellos, tratando de establecer las propuestas (implícitas o explícitas) del 
autor. Nos centramos en este concepto en virtud de su riqueza en el contexto de las aplicaciones 
ingenieriles. 
Este módulo web presenta una metodología de enseñanza dominante en el periodo donde la atención 
se focalizaba en la presentación rigurosa de definiciones, propiedades y teoremas y la mecanización 
en la ejercitación a partir de largas listas de ejercicios análogos. Sin embargo, el hecho de que el 
modulo fuera o no fueran utilizados en el aula es de permitir una explicación agradable y lo 
libros rigurosos que hace que los estudiantes en pocas y raras ocasiones, los abran pues su 
lecturas son ladrillos mientras que este módulo web hará que el estudiante consulte asiduamente 
para contar con mayor cantidad de ejercicios tendientes a reforzar la aplicación directa de 
definiciones o propiedades y se pueda apoyar .en direcciones electrónicas que aparece en la web 
grafía pues es la base del tutorial pues sobre ella se soporta el material y algunas renovaciones que 
el autor le hace a dichos documentos 
Lo único que espero que este módulo alcance en docentes y alumnos de Tuluá, y de Colombia en 
general que sea impactante y que ojalá pase fronteras y que mis nietos lo lleguen a usar como 
herramientas de trabajo y sea orgullosos de este modesto cuadernillo derivadas 
El cuadernillo tiene como objetivo ser un instrumento de guía en clase para el docente, pues el 
ejercicio muchas veces se inicia se corta el proceso y luego se da la respuesta con el objetivo de que 
el estudiante lo continúe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONTENIDOS 
 
CAPITULO 
DERIVADA………………………………………………………………………………………………….…….8 
INTERPRETACION GEOMETRICA…………………………………………………………………………...8 
EJEMPLOS DE DERIVADAS APLICANDO LA DEFINICIÓN……………………………………………12 
ZONA DE DESCANSO 1……………………………………………………………………………………...13 
CAPITULO 2 
REGLAS DE DERIVACIÓN PASO A PASO……………………………………………….……………….14 
FORMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN……………………………………….……………… …….… .15 
DERIVACIÓN DE FUNCIONES CON VARIABLES CON EXPONENTES NEGATIVOS Y 
EXPONENTES FRACCIONARIOS……………………………………...………………………………...…19 
ZONA DE DESCANSO 2………………………………….………………..………………22 
DERIVACIÓN APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA……...………………………………………..23 
DERIVACION IMPLICITA………….……………………………………………………25 
DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES………………………………..29 
 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS ………………………………………………………………..……..32 
ECUACIONES DE RECTAS RELACIONADAS CON LA 
DERIVADA………………………………………………………………………………………………….….40 
ZONA DE DESCANSO 3……………………………………………………………………………………..43 
CAPITULO 3 
TEOREMA DE L´HÔPITAL………………………………………………………………………...…..…….44 
CAPITULO 4 
RAZON DE CAMBIO……………………………………………………………………………………….….48 
PROBLEMAS DE RAZON ..DE CAMBIO………………………………………….…………………….…53 
ZONA DE DESCANSO 4…………………………………………………………………………………..….54 
CAPITULO 5 
MAXIMOS Y MINIMOS…………………………………………………………………………………..55 
APLICACIONES DE LA DERIVADA…………………………………………………………………..…….55 
SIMETRÍA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS……………………………………......……………56 
SIMETRÍA RESPECTO AL ORIGEN………………………………….……………………..……….……..56 
PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX…………….………………………….……………………………57 
PUNTO DE CORTE CON EL EJE OY…………………………………………………………………….…57 
ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN………………………...………….59 
MÁXIMOS Y MÍNIMOS (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA………………………………..……59 
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR O SUCESIVAS…………………………………………..……….67 
 
CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON EL CRITERIO DE LA SEGUNDA 
DERIVADA…69 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES……………..…….………………...74 
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN……………………………………..………..…………….….76REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN…………………………………….……….…….….79 
PROBLEMAS DE OPTIMIZACION…………………………………………..……………………..….……81 
ZONA DE DESCANSO 4……………………………………………………………….…………....….…….86 
ZONA DE EJERCICIOS RESUELTOS……………………………………………….………….….………90 
ZONA DE JERCICIOS CON FORMULA Y DIRECTOS…………………………… ……………….….…90 
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE 
FUNCIONES…………………………………………………………………91 
DERIVADA CAMBIANDO VARIABLES Y APLICANDO FORMULAS……………………………….…91 
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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA…………………………………………………………..92 
DERIVADA DE UNA FUNCION POTENCIAL……………………………....................93 
DERIVADADE UNA FUNCION EXPONENCIAL CON BASE E………………………...94 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO SENO………………………………………………..…94 
 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO COSENO…………………………….………………..94 
 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO TANGENTE……………………………..……….……95 
 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO COTANGENTE…………………………………….…95 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO ARCO TANGENTE …………………………….…… 95 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO ARCO SENO…………………………………………..95 
ZONAS DE EJERCICIOS RESUELTOS CON GRAFICAS……………………………………………….96 
TABLAS DE 
DERIVADAS……………………………………………………………………………………………..……102 
DERIVANDO USANDO LA TABLA……………………………………………………………..…103 
ZONA DE EJERCICIOS CON RESPUESTA PARA PROBLEMAS DE RAZON DE 
CAMBIO…………………………………………………………………………………………... 112 
ZONAS DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACION………………………………………………………….113 
ZONA DE EJERCICIOS CON RESPUESTAS CON GRAFICA……………………………………......114 
ZONA DE EJERCICIOS DE DERIVADAS SIN RESPUESTA………………………………………......116 
WEBGRAFIA……………………………………………………………………………………………….…126 
 
 
 
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CAPITULO 1 
Definición de Derivada 
 
Es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se 
le están alterando sus valores iniciales. La derivada de una función esta representada 
gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función), el valor de 
esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo estudiada la función recibe el nombre 
de Derivada 
 
Esta línea, está colocada sobre el punto más extremo (superior o inferior) de la curva, por lo 
que a su vez está determinando un límite al que la función llega, en relación al incremento que 
consiga la variable estudiada por las alteraciones que reciba. 
Se enuncia de primero todo lo relacionado con el campo matemático de la derivada ya que su 
importancia a la hora de un cálculo o un gráfico es notable, es un concepto muy rico en el área 
y muy usado por estudiantes de ingeniería, los cuales las emplean como herramienta de 
cálculo para el estudio. Sin embargo, la palabra al ser utilizada como un adjetivo, describe una 
situación en la que se denota él lugar o contexto de donde proviene algo. 
Derivada, su etimología indica que señala la procedencia, el destino que tuvo y al conjugar al 
futuro se podrían describir consecuencias de un acto. “El agua deriva de los manantiales”, “La 
relección podría derivar mas caos” son ejemplos que confirman el concepto. Las 
consecuencias son derivaciones de problemas. 
. 
https://conceptodefinicion.de/derivada/ 
 LA DERIVADA 
 CALCULO INFINITESIMAL 
 Es el instrumento más importante para efectuar cálculos, se divide en: cálculo diferencial y 
cálculo integral 
 
Calculo diferencial. - Estudia la relación de incremento infinitamente pequeños de las variables 
dependientes con respecto a las variables independientes de una función. 
 
Calculo integral. - Es la operación inversa del cálculo diferencial es el estudio de las sumatoria 
de las relaciones de los infinitamente pequeños variables dependientes e independientes de 
una función. 
 
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA 
 
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende 
a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β. 
 
https://conceptodefinicion.de/linea/
https://conceptodefinicion.de/punto/
https://conceptodefinicion.de/palabra/
https://conceptodefinicion.de/derivada/
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La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese 
punto. 
mt = f'(a) 
Ejemplo 
Dada la parábola f(x) = x², hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la 
bisectriz del primer cuadrante. 
La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1. 
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que: 
f'(a) = 1. 
Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a. 
 
 
 
La segunda coordenada del punto la obtenemos sustituyendo el valor de a en la función f(x) = 
x² 
 
 
 
Incremento: Un incremento es cuando una variable pasa de un valor a otro valor, puede ser 
positivo o negativo según la variable aumente o disminuya. 
 
Así: se lee incremento de 
 Se lee incremento de 
 Se lee incremento de 
 
)(xf
y
x



)(xf
y
x
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Si se incrementa la variable independiente de )(xf la variable dependiente también queda 
incrementada. 
 
Ejemplo: 
 
Sea la función y = 2x2 + 3 
 
Indicamos: Si se incrementa la variable independiente ∆x la variable dependiente queda 
incrementada en y 
 
3242
3)2(2
3)(2
2
2
2



xxxxyy
xxxxyy
xxyy
 
 
Si a esta expresión se la resta con la función original se tiene el valor del incremento y 
 
- 
 
 
 
 
Si a la diferencia anterior se le divide entre el incremento delta (x = ∆x) se le lleva al límite 
cuando ∆x tiende a 0 a esta relación en el límite se la llama derivada. 
 
x
xxx
x
y




 224
 
 
x
x
x
xx
x
y







 224
 
A esta última expresión se la lee derivada de y con respecto a x es decir x
dx
dy
4 
La expresión: 
 
x
xfxxf
x
y




 )()(  Cuando 0x 
 
A esta expresión se la denomina cociente de incremento 
 
x
xfxxf
xx
y





 )()(
0
lim

 
 
h
xfhxf
h
yf x
)()(
0
lim
)(


 
 
Por tanto, una derivada es básicamente un límite y existirá en la medida que existe el límite, 
para que exista una derivada es preciso que la función sea continua. 
 
Ejemplo: Derivar por definición 
3242 2  xxxxyy
y 22x
3
224 xxxy 
0//24 


xxx
x
y
x
x
y
4


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Y = 3x – 1 
 
Solución 
 
h
xhx
h
yf x
13313
0
lim
)(


 
3)(  yf x 
Definición de derivada: La derivada de la función f en el punto x=a, llamada f prima de a se denota 
por f’(a), si existe, es el valor del límite: 
 
 
Si f’(a) es un número real, la función f es derivable en x=a. Si f’(a) no es un número real o el límite 
no existe, la función f no es derivable en dicho punto. 
 
Ejemplo: Calcular la derivada de f(x)=x2 en x=2: 
 
 
 
 
 
Tasa de variación media: Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera 
totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniéndose la 
siguiente tabla: 
 
En este caso, la posición y, se puede ver como una función f,que depende del tiempo x; es decir 
y=f(x). 
 
La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante 9 al instante 
13.4 es: 
 
En general, la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a;b] se define como el 
cociente: 
 
Esta tasa puede ser positiva (creciente), negativa (decreciente) o nula (constante). 
 
La tasa de variación instantánea de la función f en el punto x=a se obtiene, haciendo tender el 
punto b al punto a, en la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a;b]; por tanto, la 
tasa de variación instantánea de la función f en el punto x=a es 
 
que es precisamente la derivada de la función f en el punto x=a. (en este límite consideramos b=a+h) 
 
http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Imagen:Tabla7.png
http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Definici%C3%B3n_de_derivada
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Utilizamos la derivada como la variación de una función en un punto concreto, o en un instante de 
tiempo, por eso se considera h como un incremento muy pequeño. Ejemplos de uso en el cálculo de 
la velocidad y de la aceleración instantánea. 
 
 
 
EJEMPLOS DE DERIVADAS APLICANDO LA DEFINICIÓN 
 
Hallar la tasa de variación media de la función f(x)=x2+1 en el intervalo [0;3] y la tasa de variación 
instantánea en el punto x=2. 
 
Intervalo [a;a+h] luego f(a+h)=f(3)=32+1=10 y f(a)=f(0)=02+1=1 
 
 
 
Calculamos f(x+h) sumando h a las x y respetando el exponente de la variable. 
f(x+h)=(x+h)2+1=x2+2xh+h2+1, como nos piden en el punto x=2, podemos sustituir directamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ZONA DE DESCANSO 1 
 
 
 
 
 
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS 
 
Blaise Pascal (pronunciación en francés: /blɛz paskal/; Clermont-Ferrand, 19 de junio 1623 - 
París, 19 de agosto de 1662) fue un polímata, matemático, físico, teólogo católico, filósofo y 
escritor francés. Sus contribuciones a la matemática y a la historia natural incluyen el diseño y 
construcción de calculadoras mecánicas, aportes a la teoría de la probabilidad, investigaciones 
sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío. Después de una 
experiencia religiosa profunda en 1654, Pascal se dedicó también a la filosofía y a la teología. 
Pierre de Fermat Fue un jurista y matemático francés denominado por el historiador de 
matemáticas escocés, y Joseph-Louis Lagrange afirmó claramente que consideraba a Fermat 
como el inventor del cálculo.3 
 
TOMADO DE https://es.wikipedia.org/wiki/Los_grandes_matem%C3%A1ticos 
https://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_Fon%C3%A9tico_Internacional
https://es.wikipedia.org/wiki/Clermont-Ferrand
https://es.wikipedia.org/wiki/19_de_junio
https://es.wikipedia.org/wiki/1623
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%ADs
https://es.wikipedia.org/wiki/19_de_agosto
https://es.wikipedia.org/wiki/1662
https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADmata
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico
https://es.wikipedia.org/wiki/Te%C3%B3logo
https://es.wikipedia.org/wiki/Iglesia_cat%C3%B3lica
https://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Escritor
https://es.wikipedia.org/wiki/Francia
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Calculadora_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Fluido
https://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Vac%C3%ADo
https://es.wikipedia.org/wiki/1654
https://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Teolog%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Jurista
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange
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CAPITULO 2 
REGLAS DE DERIVACIÓN PASO A PASO 
 
2.1 Reglas de derivación de funciones algebraicas. 
 
Objetivos: 
 
Obtendrá la derivada de una función aplicando incrementos (regla de los 4 pasos). Aplicara las 
fórmulas de derivación de funciones algebraicas 
Método de derivación por incremento (regla de los 4 pasos): 
 
Este método de derivación está basado en la definición de derivada 
     
x
xfxxf
Lim
x
y
Limx'f
0x0x 






. si vemos detenidamente la última notación, en ella está 
basada la regla de los 4 pasos, que son los siguientes: 
 
1.  xxf  . este paso nos indica que a todas las variables x les tenemos que sumar su 
incremento en x ( xx  ), por ejemplo si la función es x3xy 2  , al sumarle xx  nos queda 
   xx3xxy 2  , en otras palabras podemos decir que todas las x de la función se 
cambiaran o sustituirán por  xx  . después de agregar los  xx  , tenemos que hacer las 
opresiones algebraicas correspondientes, como desarrollar el cuadrado  2xx  y la 
multiplicación  xx3  , en el caso del ejemplo dado. 
 
2.  xf . Este paso nos indica que a la función a la que se sumo el  xx  se le tiene que restar 
ahora la función inicial que en este caso es x3x2  . 
 
3. después de restar la función inicial, se factoriza la expresión y se divide todo entre x . 
 
4. después de la división se aplica el 
x
y
Lim
0x 


, con lo cual todas las expresiones que tengan 
x se van a eliminar y lo que quede sera la derivada de nuestra función. 
 
Ejercicios resueltos: 
 
Hallar le derivada de la función x3xy
2  , aplicando la regla de los 4 pasos. 
 
Sumando los incrementos de x: 
 
      x3x3xxx2xxx3xxyy 222  
 
Restamos ahora la función inicial: 
 
    x3xxx2x3xx3x3xxx2xyyy 2222  
 
Ahora dividimos entre x , podemos hacerlo factorizando por termino común o simplemente 
dividir termino por termino entre x 
 
 
3xx2
x
x3xxx2
x
y 2






 
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Finalmente aplicamos el límite 
x
y
Lim
0x 


 a lo que nos quedó de la división. 
 
32x 



3xx2Lim
x
y
Lim
0x0x
 
 
 
FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN: La palabra formula la abreviaremos con f 
 
Formulas básicas de derivación 
 
0C
dx
d
 ; Si c = constante f1 
 
La derivada de una constante es igual a cero. 
 
1x
dx
d
 f2 
 
La derivada de x con respecto a x es igual a la unidad. 
 
CCx
dx
d
 (f3) 
 
La derivada de una constante, multiplicada por la variable x elevada a la uno, con respecto a x, 
es igual a la constante. 
 
1nn nxx
dx
d  f4 
 
La derivada de x elevada a una potencia n, con respecto a x, es igual al producto de n por x 
elevada a la n – 1. 
 
1nn nCxCx
dx
d  f5 
 
La derivada de una constante multiplicada por x elevada a la n, es igual al producto de n por la 
constante por x elevada a la n – 1. 
 
 
Ejercicios resueltos: 
 
Hallar la derivada de las funciones que se dan a continuación: 
 
1) 10y  
 
Para expresar que estamos obteniendo la derivada de la función, a la derivada de y la 
representaremos como y’ (ye prima). 
 
De acuerdo con la fórmula 1 de derivación: 
 
Si: 10y   y’ = 0 
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2) xy  
 
De acuerdo con la fórmula 2 de derivación:Si: xy   y’ = 1 
 
3) x12y  
 
De acuerdo con la fórmula 3 de derivación: Si: x12y   y’ = 12 
 
4) 
6x12y  
 
De acuerdo con la fórmula 5 de derivación: Si: 
6x12y   y’ =     16x126   y’ = 
5x72 
 
5) 10x4x5x3y
23  
 
De acuerdo con las formulas 1, 3, 4 y 5 de derivación: 
 
Si: 10x4x5x3y
23   y’ = 4x10x9
2  
 
Fórmulas de derivación de funciones que realizan operaciones algebraicas (suma, resta, 
multiplicación y división) 
 
Ahora nos enfocaremos a las derivadas un poco más complicadas, las que involucran 
funciones que realizan operaciones algebraicas, empecemos por la suma y la resta: 
 
i. ...(v)
dx
d
(u)
dx
d
...)v(u
dx
d
 (suma y resta) f6 
 
Para hallar las derivadas de funciones que nada más realizan operaciones de suma y resta, lo 
único que tenemos que hacer es: sacar por separado la derivada de cada uno de los términos 
de la función. 
 
Aplicaremos la fórmula de derivada de sumas y restas cuando: 
 
La función no está en forma de cociente. 
En caso de que exista una raíz, esta no contiene más de dos términos. 
Si los términos están agrupados en un paréntesis, este paréntesis no está elevado a un 
exponente diferente de uno. 
 
1. 15x9x8x2y
23  
 
       15
dx
d
x9
dx
d
x8
dx
d
x2
dx
d
y 23 ´ 
 
159166 2/  xxxy 
 
2. 150x90x18x20y
246  
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 16 
       150
dx
d
x90
dx
d
x18
dx
d
x20
dx
d
´y 246  
180x72x120xy 35'  
 
ii. (u)
dx
d
v(v)
dx
d
u(uv)
dx
d
 (multiplicación) f7 
 
Para obtener la derivada de un producto, debemos de empezar por definir quién es el término 
u y quien es el termino v. una vez definidos estos términos debemos de seguir el siguiente 
procedimiento: 
 
Sustituir los valores de u y v en la fórmula de derivación. 
Derivar las expresiones que tengan delante de si el operador diferencial 
dx
d
 
Realizar las operaciones algebraicas de simplificación (sumas, restas, multiplicaciones, 
divisiones, etc.). 
 
    
v
x3x4
u
5x8x3y 223  
 
Sustituyendo en la fórmula: 
 
       5x8x3
dx
d
x3x4x3x4
dx
d
5x8x3´y 232223  
 
Derivando:        x16x95x8x3
dx
d
Y3x4x3x4
dx
d 2232  : 
 
     x16x9x3x43x85x8x3y 2223'  
 
Multiplicando los paréntesis: 
 
23342334 x48x27x64x3615x40x24x64x9x24y'  
 
Reduciendo términos semejantes: 
 
1540x72x92x60xy 234'  
 
 
III)
 
0v,
v
(v)
dx
d
uu
dx
d
v
v
u
dx
d
2








 (división) f8 
 
Para obtener la derivada de un cociente, al igual que en la multiplicación, primero tenemos que 
ver quién es el termino u y quien es el termino v. 
El procedimiento es el siguiente: 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 17 
Sustituimos en la formula los valores de u y v. Como en la formula se van a sustituir los 
valores de 
dx
d
(u) y 
dx
d
(v), podemos sacar estos valores antes de sustituirlos en la formula y 
con esto, la derivación quedaría incluida en este paso. 
En el denominador de la formula debe de ir el valor del termino v elevado al cuadrado, para no 
estar repitiendo varias veces este valor, podemos escribir nada mas v2 en el denominador y 
hasta el final sustituimos el valor v ya elevado al cuadrado. Esto se debe a que las operaciones 
de reducción se realizan en el numerador y no en el denominador. 
 
1. 
x3x2
5x3
y
2 

 Pista 
 
0v,
v
(v)
dx
d
uu
dx
d
v
v
u
dx
d
2








 
 
Definimos los valores de u y v y de una vez sacamos sus derivadas ( u
dx
d
 y v
dx
d
’): 
3x4v
dx
d
v
3u
dx
d
u
x3x2
5x3
y
2




 
 
Sustituyendo en la formula los valores de u, v, u
dx
d
 y v
dx
d
: 
 
      
2
2
v
3x45x33x3x2
y

 
 
 
 
ESTIMADO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES 
 22
2
3x2x
1520x6x
y


 
2. 
124
538
2
2



xx
xx
y Pista 
 
0v,
v
(v)
dx
d
uu
dx
d
v
v
u
dx
d
2








 
Definimos los valores de u y v y de una vez sacamos sus derivadas ( u
dx
d
 y v
dx
d
’): 
124
538
2
2



xx
xx
y
2x8v
dx
d
v
3x16u
dx
d
u
1x2x4
5x3x8
y
2
2




 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 18 
Sustituyendo en la formula los valores de u, v, u
dx
d
 y v
dx
d
: 
 
     
2
22
v
2x85x3x83x161x2x4
y

 
 
 
 
 
 
ESTIMADO AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE 
ES 
 
 22
2
12x4x
1520x6x
y


 
3. 
3x2
2x3
y


 Pista 
 
0v,
v
(v)
dx
d
uu
dx
d
v
v
u
dx
d
2








 
 
Definimos los valores de u y v y de una vez sacamos sus derivadas ( u
dx
d
 y v
dx
d
’): 
 
2v
dx
d
v
3u
dx
d
u
3x2
2x3
y




 
 
Sustituyendo en la formula los valores de u, v, u
dx
d
 y v
dx
d
: 
 
       
2v
22x333x2
y

 
 
IV) DERIVACIÓN DE FUNCIONES CON VARIABLES CON EXPONENTES NEGATIVOS Y 
EXPONENTES FRACCIONARIOS 
 
Cuando tengamos que derivar funciones con variables con exponentes negativos, 
fraccionarios o ambos, tenemos que recordar dos leyes de exponentes para expresiones 
algebraicas 
Para exponentes negativos: una expresión algebraica que esté actuando como factor en un 
cociente, puede pasarse del numerador al denominador siempre y cuando le cambiemos el 
signo al exponente de dicho factor. 
 
Matemáticamente, lo anterior se representa así: 
 
m
m
m
m
a
1
aO
a
1
a  
 
 
Para exponentes fraccionarios: un exponente fraccionario nos representa o nos va a dar lugar 
a un radical o raíz. esto quiere decir que una potencia de exponente fraccionario se puede 
convertir en una raíz y viceversa, donde el numerador del exponente fraccionario se va a 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 19 
convertir en el exponente de la base dentro de la raíz y el denominador del exponente 
fraccionario se va a convertir en el índice de la raíz. 
 
Matemáticamente, lo anterior se represente así: 
 
n
aa m
n
m
 
 
Cuando la variable que queramos derivar se encuentre en el denominador, algunas veces para 
no usar la fórmula de derivación de un cociente, podemos pasar nuestra variable al numerador 
y con esto, podemos usar mejor la fórmula de derivada de una potencia. 
 
Hallar el valor de las derivadas de las siguientes funciones, usando la fórmula de potencia y 
procurando que el resultado no tenga exponentes negativos ni fraccionarios: 
Ejemplos: 
 
1. 432 x
1
x
1
x
1
y  
 
Como los términos solo están sumándose, entonces solo tenemos que hallar la derivada de 
cada uno de los términos, todos van a llevar el mismo procedimiento. 
 
Lo primero que haremos será pasar las variables del denominador al numerador, de acuerdo 
con la ley del exponente negativo, al pasar el término al numerador, tenemos que cambiarle el 
signo al exponente. 
 
Pasando las variables al numerador la función nos queda: 
432 xxxy   
 
Observemos el ejemplo el exponente del primer término es –2 así que al restarle uno lo que 
tenemos es –2 –1 = –3, esto sucederá siempre que derivemos a una variable con exponente 
negativo. 
 
La derivada nos queda: 
543 x4x3x2y'   
 
El resultado de la derivada es: 
543 x
4
x
3
x
2
y'  
 
2. 
32
3
x3x9
x
8
y  
 
El procedimiento completo paso a paso es: 
 
18x
x
33
y'
4
 x18x33y'x9x11yx3x9x8yx3x9
x
8
y 42332332
3 
 
3. 4
7
2
3
3
4
xxxy  
 
El procedimiento completo es: 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 20 
4 33 x
4
7
x
2
3
x
3
4
y'  4
3
2
1
3
1
4
7
2
3
3
4
x
4
7
x
2
3
x
3
4
y'xxxy 
 
 4
1
3
7
2
11
xxxy  Derivando la función: 4
3
3
4
2
9
x
4
1
x
3
7
x
2
11
y'

 
 
Haremos ahora el proceso de formar los radicales, pero si observamos el tercer término, su 
exponente es negativo, así que la diferencia que tendrá con los otros es que se le tiene que 
aplicar la regla del exponente negativo, así que la raíz del tercer término ira en el denominador, 
esto pasara con todas las x que queden con exponente negativo. 
 
Formando los radicales: 
 
4 3
3 49
x4
1
x
3
7
x
2
11
y'  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 21 
ZONA DE DESCANSO 2 
 
 
 
 
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS 
 
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845-Halle, 6 de enero de 
1918) fue un matemático y lógico nacido en Rusia,1 aunque de ascendencia alemana y judía.2 Fue 
inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas 
modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz 
de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales). 
Kurt Gödel o también Kurt Goedel : Se le considera uno de los lógicos más importantes de 
todos los tiempos. Su trabajo ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y 
filosófico del siglo XX. Se le conoce sobre todo por sus dos teoremas de la incompletitud, 
publicados en 1931, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena. El 
más célebre establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo 
suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la 
aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden 
demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema, desarrolló una técnica 
denominada ahora numeración de Gödel, que codifica expresiones formales como números 
naturales. 
TOMADO https://es.wikipedia.org/wiki/Los_grandes_matem%C3%A1ticos 
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XX
https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_la_incompletitud_de_G%C3%B6del
https://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Viena
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Recursivo
https://es.wikipedia.org/wiki/Consistencia_(l%C3%B3gica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales
https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano
https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma
https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_de_G%C3%B6del
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 22 
 
2.2. DERIVACIÓN APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA 
2.2.1 a) (u)
dx
d
mu)(u
dx
d 1mm  (potencia) f9 regla de la cadena 
Si y =(3x-1)2 
Donde m=2 u =3x-1 y du/dx=3 entonces 
)13(6)3()13(2)13( /12/2   XYXYXY 
 
Se dice que es la derivada de parte externa por la derivada de la parte interna 
2.2.2 APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA EN FUNCION DE U 
Este tipo de derivadas relacionan a dos funciones dependientes que se tienen que derivar al 
mismo tiempo. Estas funciones las vamos a denominar como la función u y la función y. 
 
Como se dijo al principio, estas dos funciones son dependientes, la función u es dependiente 
de la variable x mientras que la función y de la función u. 
 
La fórmula para resolver una derivada de función de función es la siguiente: 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
 
 
Ejemplos: 
 
Hallar la derivada de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena: 
 
1. hallar la 
du
dy
 si y=3(7x2-5x)2 - (7x2-5x) entonces 3u2 – u y u = 7x2 – 5x 
 
Como primer paso tenemos que derivar por separado cada una de las funciones que nos están 
dando: 
 
1u6
du
dy
uu3y 2  y 5x14
dx
du
x5x7u 2  
Sustituimos los valores de las derivadas obtenidas en la fórmula de derivada de la cadena y 
después multiplicamos estas derivadas: 
 
 
    5x14u30xu84
dx
dy
5u30x14xu84
dx
dy
5x141u6
dx
dy
 
 
Ahora se sustituyen las u que nos hayan quedado por su valor inicial (u = 7x2 – 5x): 
 
 
dx
dy
84x (7x2 – 5x ) – 30 ( 7x2 – 5x ) – 14x + 5 
Después de la sustitución de los valores de u, lo que sigue a continuación son solamente 
procedimientos algebraicos de reducción que van a variar de acuerdo al tipo de función que 
nos den. 
 
Multiplicamos los paréntesis. 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 23 
 
 

dx
dy
 588x3 – 420x2 – 210x2 + 150x – 14x + 5 
 
Reducimos los términos semejantes: 
 

dx
dy
588x3 – 630x2 + 136x + 5 
 
2. y= 2(x+2)3 -1 entonces y = 2u3 - 1 y u = (x + 2 ) 
 
Derivando las funciones: 
 
Y=2u3-1 y du/dx=1 dy/du =6u2 
Sustituyendo en la fórmula de derivada de la regla de la cadena: 
 

dx
dy
( 6u2 ).1 y Multiplicando las derivadas obtenidas y Sustituyendo el valor inicial de u: 
entonces 
dx
dy
6(x + 2 )2 
 
 
3. xySea  entonces u=x 
 
Derivando las funciones: 
 
u2
1
du
dy
u2
1
du
dy
u
2
1
du
dy
uyuy
2
1
2
1
2
1


 
Du/dx=1 
 
Sustituyendo en la fórmula de derivada de la regla de la cadena: 
 
 
Dy/dx=(dy/du).(du/dx) 
 
 
 
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS E INDIQUE CUAL SERIA LA 
RESPUESTA 
 
 
 
4. Derivar la siguiente función: -    3342 3x55x3y  
 
La función que nos dan es una multiplicación de dos expresiones algebraicas, donde cada una 
de las expresiones es una potencia. 
 
Resolvamos el ejercicio como un producto: 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 24 
   3342
v
3x5
u
5x3y



 
 
Tomando como termino u a (3x+5) y como término v a 5X3+3, sustituimos estos valores en la 
fórmula de derivada de un producto: 
 
 
       42333342 5x3
dx
d
3x53x5
dx
d
5x3y'  
 
Para obtener las derivadas de los términos  33 3x5  y  42 5x3  , usamos la fórmula de 
derivada de una potencia, donde u van a ser los términos que están dentro de los paréntesis y 
los valores de m van a ser 3 y 4 respectivamente .Saquemos la derivada de los términos 
 33 3x5  y  42 5x3  
 
          232 35x45x  22333 x153x533x5
dx
d
 y            32 53x24x  x65x345x3
dx
d 3242
 
 
Sustituyendo estos valores en la derivada del producto tenemos: 
 
          323323242 5x3x243x53x5x455x3y'  
 
 
 
 
 
EL LECTOR CONTINUARA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES 
     72x225x255x35x53xy' 242332  
 
2.3 DERIVACIÓN IMPLÍCITAS 
 
2.3.1 Derivadas De Funciones Implícitas 
 
Objetivos 
 
Obtendrá la derivada de una función implícita. 
 
Hasta ahora solo hemos visto derivadas de funciones explicitas, pero también podemos 
sacarles derivadas a las funciones implícitas. 
 
Para obtener la derivada de funciones implícitas, podemos decir que tenemos un método a 
seguir, que es el siguiente: 
 
se derivan todos los términos de la función, no importandoel tipo de variable que tengan, solo 
que cuando derivemos un término de variable y, hay que agregarle al resultado de su derivada 
la expresión y ’ o 
dx
dy
. 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 25 
Los términos que no tengan la expresión y ’ o 
dx
dy
, se pasaran al segundo miembro (lado 
derecho) de la ecuación. 
 
Se factorizan los términos que dejamos en el primer miembro de la ecuación, tomando como 
termino común la expresión y ’ o 
dx
dy
. 
 
Todos los términos que quedan encerrados en el paréntesis, que esta multiplicado por y’ o 
dx
dy
, 
se pasan al segundo miembro. Como este paréntesis está multiplicando, pasara al segundo 
miembro dividiendo. 
 
Hay que revisar si la fracción que se nos forma en el segundo miembro se puede simplificar 
por alguna factorización de su numerador y denominador, en caso de que esto no sea posible, 
la fracción será el resultado de nuestra función implícita. 
 
Ejercicios: 
 
Obtener la derivada de las siguientes funciones implícitas: 
 
1. – 3x2 + 5y + 8x + 9y4 = 0 para y se pone y´ o 
dx
dy
, usaremos 
dx
dy
 
Derivamos la función, cuando derivemos alguna y le agregaremos la expresión 
dx
dy
: 
 
– 6x + 5
dx
dy
 + 8 + 36y3
dx
dy
 = 0 
 
Cambiando de miembro a los términos que no tienen 
dx
dy
 
 
5
dx
dy
 + 36 y3
dx
dy
 = 6x – 8 
 
factorizando por termino común (
dx
dy
) ( 5 + 36 y3 ) ; 
dx
dy
´ = 6x – 8 
 
 
Ahora despejamos a 
dx
dy
entonces queda 
336y5
86x
dx
dy


 
 
2. 4x3 – 8y4 – 9x2y4 = 0 
 
El termino 9x2y4 tiene a la variable x y a la variable y, por lo que para obtener su derivada 
tendremos que utilizar la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación, donde 
u = 9x2 y v = y4. 
 
Sustituyendo en la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación: 
 
( 9x2) 
dx
d (y4) + (y4) 
dx
d
 ( 9x2) 
 
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 26 
Derivando los paréntesis que tienen adelante el operador diferencial: 
 
( 9x2) (4y3
dx
dy
) + (y4) (18x) 
 
Multiplicando los paréntesis de cada lado: 
 
 36x2y3
dx
dy
 + 18xy4 
 
Ya que tenemos la derivada de este término, lo sustituimos y derivamos los otros términos de 
la función implícita: 
 
12x2 – 32y3
dx
dy
 – ( 18xy4 + 36x2y3
dx
dy
 ) = 0 
 
el signo negativo que está delante del paréntesis, le va a cambiar de signo a los términos que 
están dentro de él. 
 
12x2 – 32y3
dx
dy
 – 18xy4 – 36x2y3
dx
dy
 = 0 
 
 
 
EL AMIGO LECTOR CONTINUARA Y LLEGARA A L RESPUESTA QUE ES 
 
 
  323
24
y18x16y
6x9xy
dx
dy









323
24
323
24
yx18y162
x6xy92
dx
dy
yx36y32
x12xy18
dx
dy
 
 
3. 10x3y3 + 9x2y4 – 5x3y2 = 4x2y3 
 
Todos los términos tienen a la variable x y a la variable y, por lo que para obtener su derivada 
tendremos que utilizar la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación. 
 
Para 10x3y, tendremos que u = 10x3 y v = y3. 
 
Sustituyendo en la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación: 
(10x3) 
dx
d
 (y3) + (y3) 
dx
d
 (10x3) 
 
Derivando los paréntesis que tienen adelante el operador diferencial: 
 
(10x3) (3y2
dx
dy
) + (y3) (30 x2) 
 
Multiplicando los paréntesis de cada lado: 30x3y2
dx
dy
 + 30x2y3 
 
Para 9x2y4, tendremos que u = 9x2 y v = y4. 
 
Sustituyendo en la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación: 
(9x2) 
dx
d
 (y4) + (y4) 
dx
d
 (9x2) 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 27 
 
Derivando los paréntesis que tienen adelante el operador diferencial: (9x2) (4y3
dx
dy
) + (y4) (18x) 
 
Multiplicando los paréntesis de cada lado: 36x2y3
dx
dy
 + 18xy4 
 
Para 5x3y2, tendremos que u = 5x3 y v = y2. 
 
Sustituyendo en la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación: 
(5x3) 
dx
d
 (y2) + (y2) 
dx
d
 (5x3) 
 
Derivando los paréntesis que tienen adelante el operador diferencial: (5x3) (2y
dx
dy
) + (y2) (15x2) 
 
Multiplicando los paréntesis de cada lado: 10x3y
dx
dy
 + 15x2y2 
 
Para 4x2y3, tendremos que u = 4x2 y v = y3. 
 
Sustituyendo en la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación: 
4x2) 
dx
d
 (y3) + (y3) 
dx
d
 (4x2) 
 
Derivando los paréntesis que tienen adelante el operador diferencial: (4x2) (3y2
dx
dy
) + (y3) (8x) 
 
Multiplicando los paréntesis de cada lado: 12x2y2
dx
dy
 + 8xy3 
 
Sustituimos los valores de nuestras derivadas en la función, las derivadas obtenidas del 
termino 5x3y2, van a cambiar de signo, porque delante del termino hay un signo negativo. 
 
30x3y2
dx
dy
 + 30x2y3+ 36x2y3
dx
dy
 + 18xy4´ – 15x2y2 – 10x3y
dx
dy
 = 8xy3 + 12x2y2
dx
dy
 
 
 
 
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE 
ES 
xyxxyxy
xyyxyy
dx
dy
12103630
1518308
22
322


 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 28 
2.4 DERIVADAS LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES 
Objetivos: 
 
 Aplicara las fórmulas de derivación de funciones exponenciales y logarítmicas. 
Derivadas de funciones trascendentales. 
 
En las derivadas de funciones trascendentales, la parte complicada es obtener la derivada del 
término u que está presente en dicha función, mientras más complicado sea este término u 
más complicado será obtener el resultado de nuestra derivada. 
En los siguientes ejercicios se detallan el uso de estas fórmulas para obtener la derivada de 
una función trascendental. 
 
Ejemplos: 
 
LOGARÍTMICAS 
 
1. 
3x4Logy  Pista 
1a,0aQUESIEMPRE
elog
u
u
dx
d
)u(log
dx
d
aa

 f10 
 
La función que nos dan es logaritmo común, la fórmula para obtener su derivada es 
1a,0aQUESIEMPRE
u
dx
d
elog
u
1
)u(log
dx
d
aa








, también la podemos manejar como 
1a,0aQUESIEMPRE
elog
u
u
dx
d
)u(log
dx
d
aa

 en lo 
personal la prefiero de esta forma, no importa cual se use el resultado será el mismo. 
 
El procedimiento para hallar la derivada es el siguiente: el término u = 4x3, por lo que u
dx
d
 = 
12x2. Para obtener la derivada, sustituimos u
dx
d
 en la derivada logaritmo común, esto quedara 
dividido entre u y le agregamos la expresión log e, la fracción 
u
u
dx
d
 debe de dividirse y con 
eso tenemos ya el resultado de nuestra derivada. 
2.  32 x5x16Logy  = Pista 
1a,0aQUESIEMPRE
elog
u
u
dx
d
)u(log
dx
d
aa

 
 
UN CONSEJO: HAZ LOS EJERCICIOS CON MUCHO AMOR, QUE DIOS TE 
AYUDARA. RECUERDA A QUIEN DIOS TIENE NADA LE FALTA SOLO DIOS 
BASTA. 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 29 
La función que nos dan es logaritmo común, la fórmula para obtener su derivada es 
1a,0aQUESIEMPRE
elog
u
u
dx
d
)u(log
dx
d
aa

 
 
El termino u = 16x2 + 5x3 , por lo que 
2
x15x32u
dx
d
 . Para obtener la derivada, sustituimos 
u
dx
d
 en la derivada logaritmo común y copiamos todas las expresiones que lleva la respuesta 
de esta derivada (log e). 
 
 
eLog
x5x16
x15x32
y'
32
2


 
 
Para simplificar el resultado, factorizamos por termino común al numerador y al denominador, 
el termino común es x, al menos con esto logramos eliminar una x y reducir el exponente de 
las variables. 
 
 
 
eLog
5x16x
15x32
y'
2




 eLog
x5x16x
x1532x
y'
2
 
3. y = ln 3x–2 Pista 
u
u
dx
d
)uIn(
dx
d
 f11 
 
La función es de tipo logaritmo natural. la fórmula para obtener su derivada es 
u
u
dx
d
)uIn(
dx
d
 .El termino u = 3x–2, por lo que u
dx
d
= – 6x–3. Para obtener la derivada, sustituimos u
dx
d
 en la 
derivada logarítmica natural y luego dividimos esto entre u: debemos revisar si la fracción que 
nos resulte se puede simplificar. 
 
 2
3
x3
x6
y'


 
 
 
 
ESTIMADO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES 
x
2
y'  
EXPONENCIALES 
 
4. 
3x10ay  Pista 





 u
dx
d
aIna)a(
dx
d uu
 f12 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 30 
la función es de tipo exponencial de base a. la fórmula que usaremos es 






 u
dx
d
aIna)a(
dx
d uu
, que también la podemos expresar de la forma: aInau
dx
d
)a(
dx
d uu






 , 
de preferencia podemos mandar el termino 





u
dx
d
 de todas las fórmulas de derivación 
trascendente al principio, pues de todas maneras al sustituirlas el último paso siempre es 
mandar la expresión 





u
dx
d
al principio de la derivada, de aquí en adelante todas las fórmulas 
de derivación ya tendrán este cambio cuando la mencionemos. 
 
El término u es el exponente de la función, así que u = –10x3, por lo que u
dx
d
–30x2. Para 
obtener la derivada, sustituimos u
dx
d
 en la derivada exponencial de base a y copiamos todas 
las expresiones que lleva la respuesta de esta derivada  aInau . 
 
aLna30xy'
310x2  
5. 
3x72x16ay  Pista 





 u
dx
d
aIna)a(
dx
d uu
 f12 
 
La función es de tipo exponencial de base a. la fórmula que usaremos es: 
aInau
dx
d
)a(
dx
d uu






 
 
El termino u = –16x2 + 7x3, por lo que u
dx
d
 –32x + 21x2. para obtener la derivada, sustituimos 
u
dx
d
 en la derivada exponencial de base a y copiamos todas las expresiones que lleva la 
respuesta de esta derivada. 
 
  aLna21x32xy' 37x216x2  
 
Debemos de tener cuidado con la respuesta ya que como u
dx
d
 tiene dos términos debemos 
agruparlos en un paréntesis, ya que el resultado de la derivada debe de ser un producto, esto 
lo tendremos que hacer siempre que u
dx
d
 tenga dos o más termino, cuando tiene un solo 
termino no es necesario usar el paréntesis. 
6. 
72x9ey  Pista 
uu eu
dx
d
)e(
dx
d






 f13 
 
La función es de tipo exponencial de base e. la fórmula que usaremos es 
uu eu
dx
d
)e(
dx
d






 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 31 
 
El termino u = 9x2 + 7, por lo que u
dx
d
18x. Para obtener la derivada, sustituimos u
dx
d
 en la 
derivada exponencial de base e y la única expresión que se le añade a u
dx
d
 es la función 
72x9e  que es lo que teníamos al inicio. 
 
729xe18xy'  
 
2.5 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS 
OBJETIVO 
Aplicara las fórmulas de derivación de funciones trigonométricas 
1. y = sen 10x3 Pista ucosu
dx
d
)usen(
dx
d






 f14 
 
La función trigonométrica que nos están dando es la función seno, el termino u = 10x3, por lo 
que u
dx
d
= 30x2. Sustituimos u
dx
d
 en la fórmula de derivada de la función seno, 
ucosu
dx
d
)usen(
dx
d






 , esta fórmula nos indica que la derivada de la función seno de u 
cambia a función coseno de u al derivarla, así que la derivada nos da: 
32 10xCos30xy' 
 
2. y = cos 4x–3 Pista )()(cos senuu
dx
d
u
dx
d






 f15 
 
La función trigonométrica que nos están dando es la función coseno, el termino u = 4x-3, por lo 
que u
dx
d
= -12x-4. Sustituimos u
dx
d
 en la fórmula de derivada de la función coseno 
)()(cos senuu
dx
d
u
dx
d






 , esta fórmula nos indica que la derivada de la función coseno de u 
cambia a función seno de u al derivarla, así que la derivada nos da: 
 
 
 
 
ESTIMADO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES 
34 x
4
Sen
x
12
y' 
3. y = tan 20x2 Pista usecudx
d
)u(tan
dx
d 2






 f16 
 
La función trigonométrica que nos están dando es la función tangente, el termino u = 20x2, por 
lo que u
dx
d
= 40x. Sustituimos u
dx
d
 en la fórmula de derivada de la función tangente 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 32 
usecu
dx
d
)u(tan
dx
d 2






 , esta fórmula nos indica que la derivada de la función tangente de u 
cambia a función secante cuadrada de u al derivarla, así que la derivada nos da: 
 
y’ = 40x sec2 20x2 
4. y = csc ( 50x3 + 7x ) Pista uCotuCscudx
d
)uCsc(
dx
d






 f17 
 
La función trigonométrica que nos están dando es la función cosecante, el termino 
x7x50u 3  , por lo que u
dx
d
= 150x2 + 7. Sustituimos u
dx
d
 en la fórmula de derivada de la 
función cosecante, uCotuCscudx
d
)uCsc(
dx
d






 , esta fórmula nos indica que la derivada de 
la función cosecante de u cambia a función cosecante de u por cotangente de u, así que la 
derivada nos da: 
 
y’ = – (150x2 + 7 ) csc ( 50x3 + 7x ) cot ( 50x3 + 7x ) 
 
Ahora pasaremos a algo un poco más complejo llamémoslo combinación de fórmulas, así que 
cuidado. 
Podemos tener dos casos: 
 
Que una de las funciones trascendentes no sea independiente, es decir que este dentro de la 
otra. 
En este caso las derivadas trascendentes pueden combinarse entre ellas, es decir en un 
ejercicio de derivación podemos usar al mismo tiempo fórmulas de funciones logarítmicas, 
exponenciales y trigonométricas. 
 
Veamos algunos ejemplos de este tipo de derivación: 
 
Derivar: 
 
1. 
3x10eSeny  Pista ucosu
dx
d
)usen(
dx
d






 
 
En este ejercicio tenemos dos funciones trascendentes, estas son una función trigonométrica 
y una función exponencial. esta derivada pertenece al primer caso de combinación de 
fórmulas, ya que la función exponencial está dentro de la función trigonométrica. 
 
 
Básicamente lo que tenemos que derivar es una función seno de u, donde 
3x10eu  , así que 
usaremos la fórmula de la derivada de la función seno de u: ucosu
dx
d
)usen(
dx
d






 . 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 33 
 
 
Procedimiento: como 
3x10eu  tenemos que hallar u
dx
d
, pero como u esta formada por una 
función exponencial de base e, para poder hallar u
dx
d
tenemos que usar la formula 
uu eu
dx
d
)e(
dx
d






 , entonces: 
Como: 
3x10eu  usando la formula
uu eu
dx
d
)e(
dx
d






  
3x102 ex30u
dx
d
 
 
Ahora sustituimos u
dx
d
 que acabamos de obtener y 
3x10eu  en la fórmula de la derivada de la 
función seno ucosu
dx
d
)usen(
dx
d






 , por lo que el resultado de la derivada de . 
310x310x2 eCose30xy' 
 
2. 
x3Lnay  Pista aInau
dx
d
)a(
dx
d uu






 f18 
 
Básicamente lo que tenemos que derivar es una función exponencial de base a elevada a la u, 
donde x3Lnu  , así que usaremos la fórmula de la derivada de la función exponencial de base 
a elevada a la u, aInau
dx
d
)a(
dx
d uu






 . 
 
Procedimiento: como x3Lnu  tenemos que hallar u
dx
d
, pero como u está formada por una 
función logaritmo natural de u, para poder hallar u
dx
d
tenemos que usar la formula 
u
u
dx
d
)uIn(
dx
d
 , entonces: 
Como: x3Lnu  usando la formula
u
u
dx
d
)uIn(
dx
d
  
x
1
u
dx
d
x3
3
u
dx
d
 
 
Ahora sustituimos u
dx
d
 que acabamos de obtener y x3Lnu  en la fórmula de la derivada de la 
función exponencial de base a elevada a la u, aInau
dx
d
)a(
dx
d uu






 ., por lo que el resultado de 
la derivada es . 
 
aLna
x
1
y' 3xLn 
 
3.y = tan ( ln 8x4 ) Pista usecudx
d
)u(tan
dx
d 2






 f19 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 34 
Básicamente lo que tenemos que derivar es una función tangente de u, donde u = ln 8x4, así 
que usaremos la fórmula de la derivada de la función tangente de u, usecudx
d
)u(tan
dx
d 2






 . 
 
Procedimiento: como u = ln 8x4 tenemos que hallar u
dx
d
, pero como u está formada por una 
función logaritmo natural de u, para poder hallar u
dx
d
tenemos que usar la formula 
u
u
dx
d
)uIn(
dx
d
 , entonces: 
 
 
 
 
 
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES 
42 8xLnSec
x
4
y' 
4.
x15Secey  Pista 
uu eu
dx
d
)e(
dx
d






 
 
En este ejercicio también tenemos dos funciones trascendentes, estas son una función 
exponencial y una función trigonométrica. Esta derivada pertenece al primer caso de 
combinación de fórmulas, ya que la función trigonométrica está dentro de la función 
exponencial. 
 
Básicamente lo que tenemos que derivar es una función exponencial de base e elevado a la u, 
donde u = sec 15x, así que usaremos la fórmula de la derivada de la función exponencial de 
base e elevado a la u, 
uu eu
dx
d
)e(
dx
d






 . 
 
Procedimiento: como u = sec 15x tenemos que hallar u
dx
d
, pero como u está formada por una 
función secante de u, para poder hallar u
dx
d
tenemos que usar la formula 
utgusecu
dx
d
)u(sec
dx
d
 , entonces: 
Como: u = sec 15x usando la formula utgusecu
dx
d
)u(sec
dx
d
  x15tgx15sec15u
dx
d
 
 
 
 
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES 
 15xSece15xtg15xsec15y' 
 
5. ln cos 8x2 Pista 
u
u
dx
d
)uIn(
dx
d
 
 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 35 
Lo que tenemos que hacer es derivar es una función logaritmo natural de u, donde 2x8Cosu  , 
así que usaremos la fórmula de la derivada de la función logaritmo natural de u, 
u
u
dx
d
)uIn(
dx
d
 . 
Procedimiento: como 
2x8Cosu  tenemos que hallar u
dx
d
, pero como u está formada por una 
función coseno de u, para poder hallar u
dx
d
tenemos que usar la formula 
usenu
dx
d
)u(cos
dx
d






 , entonces: 
Como: 
2x8Cosu  usando la formula usenu
dx
d
)u(cos
dx
d






  
2x8Senx16u
dx
d
 
 
28xTan16xy'  (porque) 
 
6. y = sen 4x – cos 15x2 
 
Como las funciones están realizando una operación algebraica, tenemos que sacar la derivada 
de esta operación algebraica, en este caso una diferencia, así que la fórmula que vamos a usar 
es la de derivada de una suma o resta: ...)v(
dx
d
)u(
dx
d
...)vu(
dx
d
 
 
 
 
Como dijimos la operación algebraica que tenemos es una diferencia, por lo que u = sen 4x y 
v = cos 15x2. Para obtener la u
dx
d
 tenemos que utilizar la fórmula de derivada de la función 
seno ucosu
dx
d
)usen(
dx
d






 , mientras que para obtener la v
dx
d
 tenemos que utilizar la formula 
sacar la derivada de la función coseno usenu
dx
d
)u(cos
dx
d






 . 
 
Como: u = sen 4x usando la formula ucosu
dx
d
)usen(
dx
d






  x4Cosx4u
dx
d
 
 
Como: v = cos 15x2 usando la formula vsenv
dx
d
)v(cos
dx
d






  2x15Senx30v
dx
d
 . 
 
 
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE 
ES 
y’ = 4 cos 4x + 30x sen 15x2 
7. y = tan 10x3 cos 20x2 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 36 
La operación algebraica que tenemos es un producto, por lo que tendremos que utilizar la 
fórmula de derivada algebraica de un producto )u(
dx
d
v)v(
dx
d
u)uv(
dx
d
 . 
 
Como dijimos la operación algebraica que tenemos es un producto, por lo que 
3x10Tanu  y 
2x20Cosv  . Para obtener la u
dx
d
 tenemos que utilizar la fórmula de derivada de la función 
tangente usecu
dx
d
)u(tan
dx
d 2






 , mientras que para obtener la v
dx
d
 tenemos que utilizar la 
formula sacar la derivada de la función coseno usenu
dx
d
)u(cos
dx
d






 . 
 
 
Como: 
3x10Tanu  usando la formula usecu
dx
d
)u(tan
dx
d 2






  
322 x10secx30u
dx
d
 
 
Como: 
2x20Cosv  usando la formula usenu
dx
d
)u(cos
dx
d






  2x20Senx40v
dx
d
 . 
 
Ahora sustituimos 
3x10Tanu  , 
322 x10secx30u
dx
d
 , 2x20Cosv  y 2x20Senx40v
dx
d
 , en 
nuestra fórmula de producto )u(
dx
d
v)v(
dx
d
u)uv(
dx
d
 con lo que obtenemos: 
 
   322223 x10secx30x20Cosx20Senx40x10Tany'  
 
 
 
El AMIGO LECTOR CONTINUARA CON EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA 
RESPUESTA QUE ES 
233222 20xSen10xTan40x10xSec20xCos30xy'  
8. RESOLVER x20Cot
e
y
x4
 
 
0v,
v
)v(
dx
d
uu
dx
d
v
v
u
dx
d
2








 
La operación algebraica que tenemos es un cociente, por lo que tendremos que utilizar 
la fórmula de derivada algebraica de un producto 
 
0v,
v
)v(
dx
d
uu
dx
d
v
v
u
dx
d
2








. 
 
Como dijimos la operación algebraica que tenemos es un cociente, por lo que 
x4eu  y 
x20Cotv  . Para obtener la 
u
dx
d
 tenemos que utilizar la fórmula de derivada de la función 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 37 
exponencial de base e elevado a la u, 
uu eu
dx
d
)e(
dx
d






 ., mientras que para obtener la v
dx
d
 
tenemos que utilizar la formula sacar la derivada de la función cotangente 
uCscu
dx
d
)uCot(
dx
d 2






 . 
 
 
 
 
EL AMIGO LECTOR CONTINUARA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES 
 
   
2
2x4x4
v
x20Csc20ee4x20Cot
y'

 
 
2. LA FUNCIÓN QUE TENEMOS PARA DERIVAR ES LA FUNCIÓN ARCO COSENO 
2u1
u
dx
d
)ucosarc(
dx
d

 . F22 
Ejemplo: Sea )
2
arccos(
x
y  
 Se define cual es el valor de u y a partir de este valor se sacan los valores u
dx
d
 y u2. 
el valor de x
2
1
u  o x/2, por lo que el valor de 
2
1
u
dx
d
 y 
22
2
2 x
4
1
ux
2
1
u 





 . 
De u
dx
d
 y u2 los sustituimos en la fórmula de la derivada de la función arco coseno 
2u1
u
dx
d
)ucosarc(
dx
d

 . Por lo tanto 
4
x
1
2
1
y'
x
4
1
1
2
1
y'
2
2



 
 
Los términos que tenemos dentro de la raíz cuadrada, los sumamos siguiendo las reglas de la 
suma de fracciones nos queda 
4
x4
2
1
y'
2
 
 
 
 
 
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGA A LA RESPUESTA QUE ES 
 
2x4
1
y'

 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 38 
 
y = arc cos x2 Pista 
2u1
u
dx
d
)ucosarc(
dx
d

 f23 
 
La función que tenemos para derivar es la función arco coseno 
2u1
u
dx
d
)ucosarc(
dx
d

 . 
El procedimiento que se sigue en este ejercicio para hallar la derivada de la función dada es el 
siguiente: 
Se define cual es el valor de u y a partir de este valor se sacan los valores que nos indica la 
fórmula de la derivada función arco coseno, estos valores son u
dx
d
 y u2. 
 
El valor de u = x2, por lo que el valor de u’ = 2x y u2 = (x2)2  u2 = x4 
 
 
 
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES 
 
4x1
2x
y'

 
 
3. y = arc tan 3x2 Pista 
2u1
u
dx
d
)utanarc(
dx
d

 f24 
La función que tenemos para derivar es la función arco tangente 
2u1
u
dx
d
)utanarc(
dx
d

 . 
 
Se define cual es el valor de u y a partir de este valor se sacan los valoresu
dx
d
 y u2. 
 
El valor de u = 3x2, por lo que el valor de u
dx
d
 = 6x y u2 = (3x2)2  u2 = 9x4. 
 
Los valores de u
dx
d
 y u2 los sustituimos en la fórmula de la derivada de la función arco 
tangente 
2u1
u
dx
d
)utanarc(
dx
d

 .Por lo tanto 49x1
6x
y'

 
 
4. 
x
3
TanArcy  Pista 
2u1
u
dx
d
)utanarc(
dx
d

 
La función que tenemos para derivar es la función arco tangente 
2u1
u
dx
d
)utanarc(
dx
d

 . 
 
Se define cual es el valor de u y a partir de este valor se sacan los valores de u
dx
d
 y u2. 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 39 
El valor de 
x
3
u  , es decir u = 3x–1, por lo que el valor de u
dx
d
= –3x–2 es decir 
2x
3
u
dx
d
 y 
2
2
2
2
x
9
u
x
3
u 





 . 
 
los valores de u
dx
d
 y u2 los sustituimos en la fórmula de la derivada de la función arco 
tangente 
2u1
u
dx
d
)utanarc(
dx
d

 . 
 
 
 
2
2
x
9
1
x
3
y'


 AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA 
RESPUESTA QUE ES 
9x
3
y'
2 
 
 
2.6 ECUACIONES DE RECTAS RELACIONADAS CON LA DERIVADA 
 
2.6.1 ECUACIÓN DE LA TANGENTE Y LA NORMAL 
 
Objetivos: 
 
Obtendrá la ecuación de la recta tangente y de la normal a una función en un punto dado. 
 
Ecuación de la tangente y la normal 
 
La derivada de una función geométricamente hablando es igual al valor de la pendiente de la 
recta que es tangente a una curva en un punto dado de dicha curva. 
 
Para hallar el valor de la pendiente de la función, tendremos que derivar a esta función y 
sustituir el valor de x en el punto de tangencia p (x1 , y1). 
 
Para obtener la ecuación de la recta tangente aplicaremos la fórmula de la ecuación de la 
recta: y – y1 = m (x – x1) 
 
Para obtener la ecuación de la recta normal aplicaremos la fórmula de la ecuación de la recta: 
 
 11 xx
m
1
yy  
 
De donde m es la pendiente de la recta tangente, x1 y y1 son los valores del punto de tangencia. 
 
Por definición la ecuación de la recta normal es perpendicular a la recta tangente, por eso es 
que para obtenerla usamos el valor de la pendiente, pero de forma inversa y de signo 
contrario. 
 
Ejemplos: 
Hallar el valor de la pendiente y las ecuaciones de la recta tangente y normal de las siguientes 
funciones 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 40 
1.- y = 3x2 + 5x – 2 en el punto (–2, 3) 
 
Obteniendo la derivada de la función: y’ = 6x + 5 
 
Usando la igualdad de derivada y pendiente: m = y’ 
 
Sustituyendo y’ en la fórmula de la pendiente: m = 6x + 5, como x = –2 
 
Sustituyendo el valor de x: m = 6 (–2) + 5 = –12 + 5. Reduciendo términos: m = –7 
 
Para obtener la ecuación de la recta tangente, sustituimos x1, y1 y m en la ecuación de la recta: 
 
y – 3 = –7 (x + 2) y simplificando nos queda: y – 3 = –7x – 14 
 
Acomodando de acuerdo a la forma de la ecuación de la recta ax + by + c = 0 nos queda: 
 
7x + y – 3 + 14 = 0  7x + y + 11 = 0 
 
Para obtener la ecuación de la recta normal, sustituimos x1, y1 y m en la ecuación de la recta, 
solo que el valor que usaremos para la pendiente será: 
7
1
m  : 
 
 2x
7
1
3y  
 
El 7 se cambia de miembro y pasara a multiplicar a la expresión y – 3, mientras que el 1 
multiplicara a la expresión x + 2 entonces 7 (y – 3) = 1 (x + 2 ) 
 
 
 
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE 
ES 
x – 7y + 23 = 0 
 
2.- y = x  y = 2
1
x p.t.( 4, – 2 ) 
 
Obteniendo la derivada de la función: 
x2
1
'yxy 2
1
 
Usando la igualdad de derivada y pendiente: m = y´ 
 
Sustituyendo y’ en la fórmula de la pendiente: 
x2
1
m  y x = 4 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 41 
 
Sustituyendo el valor de x: 
4
1
m
22
1
m
42
1
m 

 
 
Para obtener la ecuación de la recta tangente, sustituimos x1, y1 y m en la ecuación de la recta: 
 
 4x
4
1
2y  
 
Distribuyendo el valor de la pendiente: 4 (y + 2) = 1 (x – 4 ) 
 
 
 
 
EL LECTOR CONTINUARA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES 
x-4y-12=0 
 3.- y = sen x en el punto (0, 1) 
 
Obteniendo la derivada de la función: y’ = cos x 
Usando la igualdad de derivada y pendiente: m = y ’ 
 
Sustituyendo y’ en la fórmula de la pendiente: 
 
m = cos x , como x = 0 
 
Sustituyendo el valor de x podemos decir que m = cos 0 
Hallando el valor del coseno de cero: m = 1 
 
Para obtener la ecuación de la recta tangente, sustituimos x1, y1 y m en la ecuación de la recta: 
 
 
y – 1 = 1( x – 0 ) entonces nos queda y – 1 = x 
 
Acomodando de acuerdo a la forma de la ecuación de la recta ax + by + c = 0 nos queda: 
 
x – y + 1 = 0 
 
 
 
AMIGO LECTOR CONTINUA CON EL EJERCICIO Y ENCONTRARAS QUE LA ECUACION DE LA 
NORMAL ES 
x + y – 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 42 
 
 
ZONA DE DESCANSO 3 
 
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS 
 
Grigori "Grisha" Yákovlevich Perelmán , nacido el 13 de junio de 1966 en Leningrado, URSS 
(actualmente San Petersburgo, Rusia), es un matemático ruso de ascendencia hebrea1 que ha hecho 
contribuciones históricas a la geometría riemanniana y a la topología geométrica. En particular, ha 
demostrado la conjetura de geometrización de Thurston, con lo que se ha logrado resolver la famosa 
conjetura de Poincaré, propuesta en 1904 y considerada una de las hipótesis matemáticas más 
importantes y difíciles de demostrar. 
 
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS 
 
Leonardo Pisano Blgollo : Vivió desde el 1170 al 1250 y es conocido por introducir la serie Fibonacci 
en el occidente. 
En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por y, a veces, por con el fin 
de distinguirlos de los números de Bell) constituyen una sucesión de números racionales con 
profundas conexiones en teoría de números. 
Fueron llamados así por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer 
matemático que los estudió. Los números de Bernoulli también aparecen en la expansión de 
las funciones tangente y tangente hiperbólica mediante series de Taylor, en la fórmula de 
Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la función zeta de Riemann. 
 
TOMADO DE https://es.wikipedia.org/wiki/Los_grandes_matem%C3%A1ticos 
 
ACERTIJOS 
 
1) Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de 
una barca en la que solo caben él y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra 
se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo? 
 
2) Un oso camina 10 Km. hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que 
partió. ¿De qué color es el oso? 
 
3) ¿Qué animal tiene en su nombre las cinco vocales? 
 
4) Un hombre esta al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay una 
habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitación, 
que esta inicialmente apagada. ¿Cómo lo hizo para conocer que interruptor enciende la luz 
recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo? Pista: El hombre tiene una linterna. 
 
5) Tenemos doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso 
ligeramente superior. Usando una balanza de platillos y con solo tres pesadas encontrar 
la moneda diferente. 
TOMADO DE http://www.juegosdelogica.com/neuronas/acertijos2.htm 
 
 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Bell
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros
https://es.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre
https://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoulli
https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_hiperb%C3%B3lica
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler-Maclaurin
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler-Maclaurin
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_zeta_de_Riemann
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 43 
 
 
CAPITULO 3 
 
TEOREMA DE L´HÔPITAL 
 
HÔPITAL 
Teorema de L´Hôpital 
Supongamos que las funciones f y g están definidas y son derivables en cierto entorno de a . Si 


)(lim xf
ax
0)(lim 

xg
ax
, y 0)( xg en cierto entorno de a , entonces, si existe 
)(
)(
lim
xg
xf
ax 


(finito o 
infinito), existe también 
)(
)(
lim
xg
xf
ax
, y se cumple que: 
)(
)(
lim
xg
xf
ax
=
)(
)(
lim
xg
xf
ax 


. 
La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones f y g no están definidas en 
a , pero 

)(lim xf
ax
0 y 0)(lim 

xg
ax
. 
Si 0)()(  agaf , y )(xf  y )(xg  satisfacen las condiciones puestas sobre las funciones f y 
g , podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a 
)(
)(
cg
cf


, y obtenemos: 
)(
)(
lim
xg
xf
ax 


= 
)(
)(
lim
xg
xf
ax 


; aplicar 
sucesivamente. 
 
Ejemplo resuelto 1: 
Calcular: 
a) 
ee
xx
xx 


ln1
lim
2
1
 b) 
30
lim
x
xsenx
x


 c) 
34
23
lim
23
23
1 

 xx
xx
x
 
Solución: 
a) 
ee
xx
xx 


ln1
lim
2
1
 
En este caso estamos ante la indeterminación 
0
0
, pues 0011)ln1(lim 22
1


xx
x
, y 
0)(lim 1
1


eeee x
x
 
Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital: 



 ee
xx
xx
ln1
lim
2
1



 )(
)ln1(
lim
2
1 ee
xx
xx ee
x
x
xx
3
1
2
lim
1



 
b) 
30
lim
x
xsenx
x


= 

 20 3
cos1
lim
x
x
x 6
1
lim
6
1
6
)(
lim
00


 x
xsen
x
xsen
xx
 
c) 
34
23
lim
23
23
1 

 xx
xx
x
= 
5
3
83
63
83
63
lim
2
2
1






 xx
xx
x
 
 
Ejemplo resuelto 2: 
Hallar: 
x
x
sen
x 1
4
lim

 
Solución: 
http://sosa.solucionesdeingenio.com/wp-content/uploads/2011/11/Aplicacion-de-la-drivada.doc
http://sosa.solucionesdeingenio.com/wp-content/uploads/2011/11/Aplicacion-de-la-drivada.doc
http://sosa.solucionesdeingenio.com/wp-content/uploads/2011/11/Aplicacion-de-la-drivada.doc
http://sosa.solucionesdeingenio.com/wp-content/uploads/2011/11/Aplicacion-de-la-drivada.doc
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 44 


x
x
sen
x 1
4
lim 



2
2
1
4
cos.
4
lim
x
xx
x


)
4
cos4(lim
xx
4 41.4)
4
(coslim 
 xx
 
 
Cálculo de límites de la forma 


 
El teorema anterior es válido si se sustituye la exigencia de 

)(lim xf
ax
)(lim xg
ax
=0 por 


)(lim xf
ax
)(lim xg
ax
=  , y se llama, por extensión, Regla de L´Hôpital. 
 
Ejemplo resuelto 3: 
Hallar: 
a) 
x
x
x 1
ln
lim
0
 b) 
xx e
x 2
lim

 
Solución: 
a) En este caso estamos ante la indeterminación 


, pues, 

x
x
lnlim
0
, y 
 xx
1
lim
0
. 
Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital: 
x
x
x 1
ln
lim
0
= 0lim
1
1
lim
2
0
2
0


  x
x
x
x
xx
 
b) 
xx e
x 2
lim

= 
 xx e
x2
lim 0
2
lim 
 xx e
 
Existen otras formas indeterminadas, 0. e  , que pueden transformarse en las formas 
0
0
 
ó 


, y aplicar la Regla de L´Hôpital. 
Si queremos calcular )().(lim xgxf
ax
 y , 0)(lim 

xf
ax
 y 

)(lim xg
ax
, entonces, 
)().( xgxf = 
)(
1
)(
xg
xf
 , y por tanto, )().(lim xgxf
ax
= 
)(
1
)(
lim
xg
xf
ax
, y ahora es de la forma 
0
0
. 
 Además, )().( xgxf = 
)(
1
)(
xf
xg
 , y es un límite de la forma 


. 
En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las transformaciones 
anteriores, siguiendo el criterio que la aplicación de la Regla de L´ Hôpital simplifique el proceso de 
determinación del límite. 
 
Ejemplo resuelto 4: 
Calcular: 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 45 
a) 
22
0
lnlim xx
x
 b) 






 xxx ln
1
1
1
lim
1
 
Solución: 
Observemos que 0lim 2
0


x
x
, y 

2
0
lnlim x
x
Luego, estamos ante una indeterminación del tipo 
0. . Transformando, 
22
0
lnlim xx
x
= 

2
2
0 1
ln
lim
x
x
x



4
2
0 2
2
lim
x
x
x
x
x
0lim 2
0


x
x
 
Observe que 
22
0
lnlim xx
x
= 
2
2
0
ln
1
lim
x
x
x
, pero esta transformación es menos recomendable en este 
caso en particular, pues la derivada de 
2ln
1
x
 es mucho más compleja que, simplemente, la derivada 
de 
2ln x . 
b) 






 xxx ln
1
1
1
lim
1
 
No existe una forma única de proceder para resolver indeterminaciones del tipo  . En este caso, 
se debe efectuar la resta: 







 xxx ln
1
1
1
lim
1
= 







 xx
xx
x ln)1(
)1(ln
lim
1
= 







 xx
xx
x ln)1(
)1ln
lim
1
 
 
 
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA 
QUE ES 1/2 
Un caso en que la regla de L'Hôpital no es aplicable 
Suponga que tenemos 
Como usted puede ver, este límite se puede obtener por simple evaluación: 
 
y esto indica que no es de las formas apropiadas para aplicar la regla de L'Hôpital. ¿Qué 
sucedería si no nos damos cuenta de ello o aun dándonos cuenta insistimos en aplicarla? En 
ese caso haríamos lo siguiente: 
 
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO ) 
 
 46 
Y esto es un error puesto que el límite es 8/7 y no 2. 
 
EJERCICIOS: Calcular1) R/1/2 2) R/0 
 
3) R/4/3 4) R/ 4 
 
5) R/1/6 7) R/1/2 
 
8) R/-1 9) R/0 
 
10) R/0 11) R/ 0 
12) R/e-6 13) R/1 
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS: Augustin Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 
1789 - Sceaux, Lion, 23 de mayo de 1857) fue un matemático francés,1Cauchy ha sido uno de 
los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos, solo superado por Leonhard Euler, Paul 
Erdős y Arthur Cayley con cerca de 800 publicaciones y siete trabajos; su investigación cubre 
el conjunto de áreas matemáticas de la época. Fue pionero en análisis donde se le debe la 
introducción de las funciones holomorfas, los criterios de convergencia de series y las series 
de potencias. Sus trabajos sobre permutaciones fueron precursores de la teoría de grupos, 
contribuyendo de manera medular a su desarrollo. En óptica se le atribuyen trabajos sobre la 
propagación de ondas electromagnéticas. 
 
TOMDO DE https://es.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%ADs
https://es.wikipedia.org/wiki/21_de_agosto
https://es.wikipedia.org/wiki/1789
https://es.wikipedia.org/wiki/Sceaux_(Altos_del_Sena)
https://es.wikipedia.org/wiki/23_de_mayo
https://es.wikipedia.org/wiki/1857
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Francia
https://es.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy#cite_note-BRIT-1
https://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
https://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s
https://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s
https://es.wikipedia.org/wiki/Arthur_Cayley
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfa
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica