1 - Introducción, Definición de Error - AyZConsultPPT

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Métodos numéricos
Bachiller Juan López Espinoza
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1.- Introducción
Los métodos numéricos son técnicas o procedimientos para poder resolver
distintos problemas matemáticos, utilizando operaciones aritméticas básicas. A lo
largo del curso veremos una gran diversidad de métodos numéricos, pero todos
comparten una característica en común: llegar a un resultado confiable implica un
gran número de tediosos cálculos aritméticos.
Con el rápido avance de las computadoras eficientes y rápidas, el papel de los
métodos numéricos han ido creciendo de forma considerable.
2.- Antes de las computadoras
Antes de tener al alcance de la mano una computadora, los ingenieros solo
contaban con 3 métodos para solucionar un problema matemático:
• Si se contaba con una formulación sencilla de un problema, la solución se encontraba usando
métodos exactos o analíticos. Estas soluciones solo resultan útiles para una cantidad muy
limitada de sistemas. Generalmente son de gran utilidad en sistemas que pueden
aproximarse a modelos lineales o con una geometría sencilla.
• Si era necesario analizar el comportamiento de algún sistema, es posible usar los métodos
gráficos. Este tipo de formulaciones pueden ayudarnos también a resolver problemas, pero la
desventaja es que muchas veces no son lo suficientemente exactos ni precisos. Solo funciona
para problemas que tengan como máximo 3 dimensiones.
• Para resolver los métodos numéricos se usaban calculadoras, un lápiz, y un papel. En teoría
usar métodos numéricos resulta ser mucho más exacto y preciso que los métodos gráficos,
pero la dificultad se presenta en que son cálculos manuales tediosos y muy lentos.
Actualmente, las computadoras y los métodos numéricos nos ofrecen un campo
muy amplio para poder resolver problemas que necesitan cálculos complejos. Al
usar la potencia de cálculo de una computadora, podemos obtener soluciones más
directas, sin necesidad de recurrir a métodos de simplificación o técnicas lentas
(métodos analíticos).
Ventajas de los métodos numéricos
• Los métodos numéricos son capaces de resolver sistemas de ecuaciones grandes,
manejar a la perfección no linealidades y trabajar con geometrías complicadas.
Este tipo de sistemas son los más comunes en la práctica de la ingeniería.
• Actualmente existen paquetes, o programas ya desarrollados para cada uno de
los métodos que se estudiarán. Pero, para que el uso de los métodos numéricos
sea eficaz, se debe tener conocimientos básicos de cómo funciona cada uno, y
tener criterio para elegir entre uno y otro.
• Los programas ya desarrollados, o los paquetes predeterminados no resolverán
todos los problemas que se nos presenten. En cambio, teniendo un mínimo de
conocimiento de los métodos numéricos y un poco de programación podremos
desarrollar nuestros propios programas.
• La gran mayoría de los métodos numéricos están diseñados para usarlos en
computadoras, por lo que, al ponerlos en práctica, podremos mejorar nuestros
conocimientos en programación.
Cap 2.- Aproximaciones y 
error
2.- Aproximaciones y error
Entender en concepto de error es importante para poder elegir y utilizar de manera
efectiva los distintos métodos numéricos que se estudiarán.
La forma más sencilla de calcular un error es comparar el resultado obtenido con
el resultado exacto del problema. Pero en muchos de esos problemas en ingeniería
no es posible calcular una solución analítica, por lo que en métodos numéricos no
se podrá calcular dichos errores con exactitud.
En estos casos debemos recurrir a aproximaciones o estimaciones válidas de los
errores.
Los errores surgen mayormente del uso de aproximaciones en los distintos
modelos usados para representar un fenómeno físico, y del redondeo generado
por el uso de herramientas o instrumentos que trabajan con números limitados de
cifras significativas.
En general, la relación entre valor exacto, valor aproximado y error es la siguiente:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
Despejando el error, podemos encontrar que este es la diferencia entre el valor
verdadero y el estimado:
𝐸𝑣 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
Una desventaja en la definición anterior es que no podemos notar numéricamente
la magnitud del error que se está estimando. Es decir, un error de 1𝑐𝑚 es más
significativo si es parte de la elaboración de un remache que si ese error
perteneciera a la longitud de un puente.
Una manera de tener presente la magnitud de las cantidades que se evalúan es
normalizando el error respecto al valor verdadero:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑣 =
𝐸𝑣
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
𝜀𝑣 =
𝐸𝑣
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
× 100%
Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se
obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10
cm, calcule a) el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero en cada
caso.
a) El error verdadero se calcula:
𝑒𝑣 = 10000 − 9999 = 1𝑐𝑚
𝑒𝑣 = 10 − 9 = 1𝑐𝑚
b) El error relativo porcentual es:
𝜀𝑣 = Τ(1 10000) × 100% = 0.01%
𝜀𝑣 = Τ(1 10) × 100% = 1𝑐𝑚
Los errores anteriormente estudiados son errores verdaderos, es decir, se miden
con respecto a una magnitud real. Pero, en situaciones normales no tendremos
como información preliminar el valor verdadero. En dichos casos es mejor
normalizar el error usando la mejor estimación del valor verdadero, es decir, la
aproximación misma:
𝜀 𝑎 =
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
× 100%
Uno de los retos que se deben afrontar en los métodos numéricos es determinar
estimaciones del error en ausencia de los valores verdaderos. La mayoría de los
métodos que estudiaremos son procesos iterativos, es decir, se hace una
aproximación usando la aproximación anterior. Esto se hace varias veces para
encontrar cada vez mejores aproximaciones.
En estos casos, el error se calcula con la diferencia entre la aproximación previa y
la aproximación actual, por lo que el cálculo del error sería:
𝜀 𝑎 =
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
× 100%
Exactitud y precisión
Estas dos características nos
ayudarán a definir los errores en los
cálculos que realicemos:
• La exactitud hace referencia a qué
tan cercano está el valor que se ha
calculado del valor verdadero.
• La precisión se refiere a qué tan
cercanos se encuentran diversos
valores calculados o medidos.
Los métodos numéricos que se
estudien deben ser lo
suficientemente exactos y precisos
para satisfacer los requisitos de un
problema particular de ingeniería.