3 - Métodos Cerrados - AyZConsultPPT

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Cap 3.- Métodos Cerrados
3.- Métodos cerrados o de intervalos
Se les denomina métodos cerrados a las técnicas en donde se necesita de dos
valores iniciales para calcular la raíz. Cada unos de los métodos que se explicarán
en este capítulo emplean estrategias diferentes para reducir el tamaño de dicho
intervalo, y finalmente converger a la respuesta correcta.
Como primer caso veremos los métodos gráficos. Esto nos permitirá:
• Determinar valores iniciales
• Analizar las propiedades de las funciones
• Analizar comportamiento de distintos métodos numéricos
3.1.- Métodos Gráficos
La forma más simple de obtener una aproximación de una raíz de 𝑓 𝑥 = 0 es 
graficar la función y observar sus pasos por el eje x. Por ejemplo:
Determinar el coeficiente de arrastre 𝒄 necesario para que un paracaidista de masa
𝒎 = 𝟔𝟖. 𝟏 𝒌𝒈 tenga una velocidad de 𝟒𝟎𝒎/𝒔 después de una caída libre de 𝒕 =
𝟏𝟎 𝒔.
𝑣 =
𝑔𝑚
𝑐
(1 − 𝑒− Τ𝑐 𝑚 𝑡)
𝑓 𝑐 =
𝑔𝑚
𝑐
1 − 𝑒− Τ𝑐 𝑚 𝑡 − 𝑣
𝑓 𝑐 =
(9.81)(68.1)
𝑐
1 − 𝑒− Τ𝑐 68.1 (10) − 40
𝑓 𝑐 =
667.38
𝑐
1 − 𝑒−0.146843𝑐 − 40
c f(c)
4 34.115
8 17.653
12 6.067
16 -2.269
20 -8.401
Se puede notar que la raíz se encuentra entre 𝑐 = 12 y
𝑐 = 16. Se puede decir que una aproximación de la raíz
es 𝑐 = 14.75.
Para comprobar si la aproximación es acertada,
reemplazamos dicho resultado en la ecuación inicial.
𝑓 14.75 =
667.38
14.75
1 − 𝑒−0.146843(14.75) − 40
𝑓 14.75 = 0.059
Los métodos gráficos no nos dan un resultado muy preciso, pero son útiles para
obtener aproximaciones de la raíz, que pueden ser usados como valores iniciales
para los próximos método numéricos a analizar.
Además de darnos una idea de los valores iniciales, el método gráfico nos
proporciona información sobre las propiedades de las funciones, y prevenir
posibles fallas en los métodos numéricos analíticos. A continuación se presentará
algunas formas en las que se puede encontrar (o no) una o más raíces dentro de un
intervalo definido por un límite inferior 𝑥𝑖 y un límite superior 𝑥𝑢.
En la figura 𝒂 se representa el caso en el que una sola raíz
está entre límites de signos opuestos. Algo similar ocurre en
la figura 𝒃, en donde existen 3 raíces que están acotadas en
un intervalo de límites con signos opuestos.
En general, si 𝑓(𝑥𝑖) y 𝑓(𝑥𝑢) tienen signos opuestos, existe
un número impar de raíces contenido en ese intervalo.
Mientras tanto, en la figura 𝑑 podemos observar que los
límites tienen el mismo signo, y estos contienen un
número par de raíces. Caso similar es el de la figura 𝑎,
pero aquí no hay raíces contenidas en ese intervalo.
Cuando los límites del intervalo tienen mismo signo, o no
hay raíces, o podemos encontrar un número par de ellas
entre esos valores.
Sin embargo existen algunas excepciones a los casos
generales antes mencionados. Por ejemplo, el polinomio
𝑓 𝑥 = (𝑥 – 2)(𝑥 – 2)(𝑥 – 4) presenta raíces múltiples, es
decir, por definición esta función debe tener como respuesta
3 raíces, pero dos de ellas son iguales.
Lo mismo ocurre cuando se trata de funciones discontinuas.
La existencia de este tipo de excepciones dificulta el
desarrollo de métodos generales para localizar raíces. Es por
esto que se debe saber qué métodos usar en cada caso
presentado.
3.2.- Método de Bisección
De acuerdo a lo estudiado en el método gráfico, si la función 𝑓 𝑥 es real y
continua en un intervalo [𝑥𝑖 , 𝑥𝑢], y 𝑓(𝑥𝑖) y 𝑓(𝑥𝑢) tienen signos opuestos, entonces
existe al menos una raíz en dicho intervalo.
El método de bisección aprovecha esta propiedad y, usando una búsqueda
incremental, logra encontrar la raíz con mayor exactitud al dividir el intervalo
analizado en varios subintervalos.
En cada iteración del proceso la raíz mejora a medida que los intervalos sean más
pequeños.
Los pasos del método iterativo son los siguiente:
• Paso 1: Elegir límites superior (𝑥𝑢) e inferior (𝑥𝑖) que encierren una raíz, es decir, que 𝑓(𝑥𝑢)
y 𝑓(𝑥𝑖) tengan signos opuestos:
𝑓(𝑥𝑖) × 𝑓 𝑥𝑢 < 0
• Paso 2: Hallar una aproximación de la raíz 𝑥𝑟 , en donde:
𝑥𝑟 =
𝑥𝑖 + 𝑥𝑢
2
• Paso 3: Usar las siguientes condiciones para elegir el nuevo subintervalo que contiene la raíz
a) Si 𝑓 𝑥𝑖 × 𝑓 𝑥𝑟 < 0; entonces la raíz se encuentra entre esos dos puntos, entonces 𝑥𝑢 = 𝑥𝑟
b) Si 𝑓 𝑥𝑖 × 𝑓 𝑥𝑟 > 0; entonces la raíz no se encuentra entre esos dos puntos, entonces 𝑥𝑖 = 𝑥𝑟
c) Si 𝑓 𝑥𝑖 × 𝑓 𝑥𝑟 = 0; entonces la raíz es 𝑥𝑟
Determinar el coeficiente de arrastre 𝒄 necesario para que un paracaidista
de masa 𝒎 = 𝟔𝟖. 𝟏 𝒌𝒈 tenga una velocidad de 𝟒𝟎𝒎/𝒔 después de una
caída libre de 𝒕 = 𝟏𝟎 𝒔.
𝑓 𝑐 =
(9.81)(68.1)
𝑐
1 − 𝑒− Τ𝑐 68.1 (10) − 40
𝑓 𝑐 =
667.38
𝑐
1 − 𝑒−0.146843𝑐 − 40
𝑥𝑖 = 12; 𝑓(12) = 6.067
𝑥𝑢 = 16; 𝑓 16 = −2.269
𝑥𝑟 =
12 + 16
2
= 14
𝑥𝑟 = 14; 𝑓(14) = 1.569
𝑥𝑖 = 14; 𝑓 14 = 1.569
𝑥𝑢 = 16; 𝑓 16 = −2.269
𝑥𝑟 =
14 + 16
2
= 15
𝑥𝑟 = 15; 𝑓 15 = −0.425
𝑥𝑖 = 14; 𝑓 14 = 1.569
𝑥𝑢 = 15; 𝑓 15 = −0.425
𝑥𝑟 =
14 + 15
2
= 14.5
𝑥𝑟 = 14.5; 𝑓 14.5 = 0.552
El método iterativo termina cuando el resultado de la raíz sea lo suficientemente
exacto para satisfacer la necesidad del problema. Es por esto que debemos tener
un criterio para poder finalizar el método, teniendo en cuenta los errores
estimados en cada iteración. La forma más sencilla de encontrar el error en cada
iteración es usar la función:
𝑓 𝑥𝑟 = 0
es decir, cuando resolvemos la ecuación para un 𝑥 = 𝑥𝑟, la aproximación de la raíz
será mejor cuando 𝑓 𝑥𝑟 se aproxime más a 0.
Otra forma de terminar el proceso iterativo es fijar un número máximo de
iteraciones. De esta manera tenemos dos maneras de terminar el método
numérico
Continúe el ejemplo anterior hasta que el error sea menor a 0.01, o hasta la 10ma
iteración.
Iteración 𝒙𝒊 𝒇(𝒙𝒊) 𝒙𝒖 𝒇(𝒙𝒖) 𝒙𝒓 𝒇(𝒙𝒓) 𝒆 = 𝒇(𝒙𝒓)
1 12 6.067 16 −2.269 14 1.569 1.569
2 14 1.569 16 −2.269 15 −0.425 0.425
3 14 1.569 15 −0.425 14.5 0.552 0.552
4 14.5 0.552 15 −0.425 14.75 0.0589 0.0589
5 14.75 0.059 15 −0.425 14.875 −0.1841 0.1841
6 14.75 0.059 14.875 −0.1841 14.8125 −0.0629 0.0629
7 14.75 0.059 14.8125 −0.0629 14.78125 −0.002 0.002
𝑓 𝑐 =
(9.81)(68.1)
𝑐
1 − 𝑒− Τ𝑐 68.1 (10) − 40
Otro criterio de encontrar el error es el error relativo porcentual aproximado,
que ya hemos visto en el capítulo anterior. Usando este criterio, los resultados
son los siguientes (error de 0.5%):
Iteración 𝒙𝒊 𝒇(𝒙𝒊) 𝒙𝒖 𝒇(𝒙𝒖) 𝒙𝒓 𝒇(𝒙𝒓) 𝜺𝒂
1 12 6.067 16 −2.269 14 1.569 −
2 14 1.569 16 −2.269 15 −0.425 6.667
3 14 1.569 15 −0.425 14.5 0.552 3.448
4 14.5 0.552 15 −0.425 14.75 0.0589 1.695
5 14.75 0.059 15 −0.425 14.875 −0.1841 0.840
6 14.75 0.059 14.875 −0.1841 14.8125 −0.0629 0.422
𝜀 𝑎 =
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
× 100%
𝑓 𝑐 =
(9.81)(68.1)
𝑐
1 − 𝑒− Τ𝑐 68.1 (10) − 40
3.3.- Método de Regula Falsi
En el método anterior, para hallar la raíz en una iteración, se dividía el intervalo en
dos, sin tomar en cuenta la magnitud de estos resultados. Es decir, si 𝑓(𝑥𝑖) está
mucho más cerca de 0 que 𝑓(𝑥𝑢) es lógico pensar que la solución está más cerca
de 𝑥𝑖 que de 𝑥𝑢.
El método de falsa posición es una alternativa que usa la visualización gráfica.
Consiste en unir una 𝑓 𝑥𝑖 y 𝑓(𝑥𝑢) con una línea recta, y la intersección de esta
recta con el eje 𝑥 representa una raíz mejor aproximada. Este método usa el
concepto de triángulos semejantes y de interpolación lineal.
Usando la teoría de triángulos semejantes, la
línea recta se puede representar:
𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑟 − 𝑥𝑖
=
𝑓(𝑥𝑢)
𝑥𝑟 − 𝑥𝑢
Despejando:
𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −
𝑓(𝑥𝑢)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑢)
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑢
Con esta fórmula hallaremos una mejor
aproximación de la raíz. Este valor
reemplazará alguno de los dos límites del
intervalo 𝑥𝑖 , 𝑥𝑢 .
Iteración 𝒙𝒊 𝒇(𝒙𝒊) 𝒙𝒖 𝒇(𝒙𝒖) 𝒙𝒓 𝒇(𝒙𝒓) 𝒆 = 𝒇(𝒙𝒓)
1 12 6.0669 16 −2.269 14.9113 −0.2543 1.569
2 12 6.0669 14.9113 −0.2543 14.7942 −0.0273 0.425
3 12 6.0669 14.7942−0.0273 14.7817 −0.0029 0.0029
Determinar el coeficiente de arrastre 𝒄 necesario para que un paracaidista
de masa 𝒎 = 𝟔𝟖. 𝟏 𝒌𝒈 tenga una velocidad de 𝟒𝟎𝒎/𝒔 después de una
caída libre de 𝒕 = 𝟏𝟎 𝒔. Continúe hasta que el error sea menor a 0.01, o
hasta la 10ma iteración.
𝑓 𝑐 =
(9.81)(68.1)
𝑐
1 − 𝑒− Τ𝑐 68.1 (10) − 40 𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −
𝑓(𝑥𝑢)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑢)
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑢
Determinar el coeficiente de arrastre 𝒄 necesario para que un paracaidista
de masa 𝒎 = 𝟔𝟖. 𝟏 𝒌𝒈 tenga una velocidad de 𝟒𝟎𝒎/𝒔 después de una
caída libre de 𝒕 = 𝟏𝟎 𝒔. Continúe hasta que el error sea menor a 0.5%, o
hasta la 10ma iteración.
𝑓 𝑐 =
(9.81)(68.1)
𝑐
1 − 𝑒− Τ𝑐 68.1 (10) − 40
Iteración 𝒙𝒊 𝒇(𝒙𝒊) 𝒙𝒖 𝒇(𝒙𝒖) 𝒙𝒓 𝒇(𝒙𝒓) 𝜺𝒂
1 12 6.0669 16 −2.2688 14.9113 −0.2543 −
2 12 6.0669 14.9113 −0.2543 14.7942 −0.0273 0.7916
3 12 6.0669 14.7942 −0.0273 14.7817 −0.0029 0.0845
4 12 6.0669 14.7817 −0.0029 14.7804 −0.0003 0.0090
𝜀 𝑎 =
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
× 100%
𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −
𝑓(𝑥𝑢)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑢)
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑢
𝑓 𝑥 = 𝑥10 − 1
Resolver la siguiente ecuación por el método Regula
Falsi y Bisección con un error real del 0.01. Utilizar el
intervalo 0 y 1.3.
Rpta. bisección: 𝑥 = 1.0004; 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.0039
Rpta. regula falsi: 𝑥 = 0.9991; 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.0090
Por bisección se necesitaron 8 iteraciones, mientras que por el
método de regula falsi se necesitó 35 iteraciones.
3.3.- Método de Regula Falsi Modificado
Para evitar la unilateralidad del método de falsa posición, se puede modificar el
programa y agregar un contador, para que, en caso solo cambie uno de los
extremos del intervalo, este se divida por la mitad.
De esta manera, al combinar tanto bisección como regula falsi, obtendremos un
tercer método (regula falsi modificado). Con esto se podrán obtener mejores
resultados, en un número reducido de iteraciones.
3.4.- Búsquedas por incrementos