Sistemas de varios GDL

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jvelasquez@pucp.pe
Escuela de Posgrado – Maestría en Ingeniería Civil
SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE 
LIBERTAD
M.I. José M. Velásquez Vargas
mailto:jvelasquez@pucp.pe
Ecuación del movimiento de SVGDL
Obtener la ecuación del movimiento para la viga mostrada:
Ejemplo 1
Matriz de masa
Solo fuerzas verticales se aplican a las masas. Entonces la matriz de masa es 
diagonal y cada elemento de la diagonal representa cada masa en la estructura.
g.d.l. que pueden 
condensarse
Matriz de rigidez
Para obtener la primera columna de la matriz de rigidez se impone un desplazamiento 
unitario al primer g.d.l. (desplazamiento vertical)
Matriz de rigidez
Para obtener la segunda columna de la matriz de rigidez se impone un desplazamiento 
unitario al segundo g.d.l. (desplazamiento vertical)
Matriz de rigidez
Para obtener la tercera columna de la matriz de rigidez se impone un desplazamiento 
unitario al tercer g.d.l. (rotación)
Matriz de rigidez
Para obtener la cuarta columna de la matriz de rigidez se impone un desplazamiento 
unitario al cuarto g.d.l. (rotación).
Condensación estática y matriz de rigidez lateral
A partir de la ecuación del movimiento
Se tiene que la fuerza restitutiva fs se opone a los desplazamientos
Para un sistema elástico lineal la fuerza restitutiva se opone linealmente a los 
desplazamientos como
Si solo se aplican cargas sobre los g.d.l. traslacionales y además éstos tienen
propiedades de masa traslacional (no hay inercias rotacionales) entonces la
ecuación de equilibrio se puede reducir a los g.d.l. traslacionales.
Este proceso se conoce como condensación estática, reduciendo así la matriz
de rigidez total a solo una matriz reducida referida a los g.d.l. traslacionales. Esta
matriz se denomina matriz de rigidez lateral o condensada.
A continuación se presentan coeficientes de rigidez para un elemento en flexión:
(a) (b)
(a): Fuerzas necesarias para producir una rotación unitaria
(b): Fuerzas necesarias para producir una traslación unitaria
Ejemplo
Calcule la rigidez lateral para el marco mostrado en la figura 1, suponiendo que los
elementos son infinitamente rígidos en la dirección axial, además que Ic = Ib.
Solución:
Para obtener la primera columna (Ki1) de la matriz de rigidez de 3 x 3, se impone un
desplazamiento unitario en el GDL u1 y restringiendo los demás GDL, quedando: u2 = u3
= 0. Por lo tanto:
u1 = 1
u2 = 0
u3 = 0
Si se aplica un desplazamiento unitario en u2 = 1 y restringiendo los demás GDL,
obtenemos la segunda columna de nuestra matriz de rigidez:
u1 = 0
u2 = 1
u3 = 0
Si aplicamos un desplazamiento unitario en u3 = 1 y restringiendo los demás GDL,
obtenemos la tercera columna de nuestra matriz de rigidez:
u1 = 0
u2 = 0
u3 = 1
Ordenando en forma matricial y asumiendo Ic = Ib., se tiene:
Factorizando:
Se calcula la matriz de rigidez lateral, considerando solo cargas laterales:
Luego despejamos los giros en función del desplazamiento lateral:
… (1)
La segunda y tercera ecuación, esta rotación puede ser expresada en términos del
desplazamiento lateral:
Reemplazando los giros en función del desplazamiento de la ecuación (2) en la ecuación
(1), se tiene :
… (2)
El procedimiento se llama condensacion estatica. Ahora bien, a partir de la EMM:
Para el ejemplo 1
El vector de 4 g.d.l. se particiona en 2 partes:
y
Las matrices de la E. del M. para los desp. son:
Se particiona k de la siguiente manera: 
y la matriz de rigidez reducida queda así:
Ejemplo 2
g.d.l. que pueden 
condensarse
Condensación estática
Se particiona k de la siguiente manera (para los 2 g.d.l.s traslacionales): 
y la matriz de rigidez reducida queda así:
Movimiento del suelo (carga sísmica) en SVGDL
Consideremos el edificio de corte (entrepisos rígidos) sometido a carga sísmica
(movimiento en la base):
pero:
2 g.d.l.
Reemplazando para la masa superior:
y para la masa inferior:
Pasando los términos de la aceleración del suelo al lado derecho:
Movimiento del suelo (carga sísmica) en sistemas de 
varios g.d.l. 
En forma matricial:
donde:
Fuerzas efectivas para un sistema con base fija:
Movimiento del suelo (carga sísmica) en sistemas de 
varios g.d.l. 
Sistemas equivalentes:
Movimiento del suelo (carga sísmica) en sistemas de 
varios g.d.l. 
Sistemas equivalentes:
Movimiento del suelo (carga sísmica) en sistemas de 
varios g.d.l. 
Vibración libre de sistemas de varios grados de 
libertad
Consideremos la vibración libre no-amortiguada para el sistema de 2 g.d.l. con condiciones 
iniciales u0,1 y u0,2.
Como las ecuaciones están acopladas, la respuesta de desplazamiento de la masa superior 
puede representarse como:
y para la masa inferior:
También puede escribirse así:
o matricialmente:
Vibración libre de sistemas de varios grados de 
libertad
Frecuencias y modos naturales de vibración
Se observa que los desplazamientos son una combinación de lineal de los modos naturales 
de vibración, cuyas amplitudes se pueden expresar como:
de esto se obtiene que los desplazamientos y aceleraciones son:
Frecuencias y modos naturales de vibración
Reemplazando en la ecuación del movimiento:
frecuencias naturales 
de vibraciónmodos naturales de 
vibración
Frecuencias y modos naturales de vibración
Sustituyendo:
cuya solución no-trivial será:
denominada ecuación característica (ecuación polinómica) y que permite calcular las N
(número de g.d.l.) frecuencias naturales.
Una vez calculadas las frecuencias naturales, los modos naturales se obtienen
reemplazando en la ecuación inicial:
Ejemplo 1
Calcular las frecuencias y modos naturales de vibración de la viga.
Frecuencias y modos naturales de vibración
Las matrices obtenidas fueron:
Las frecuencias de determinan resolviendo la ecuación característica:
Frecuencias y modos naturales de vibración
sustituyendo las matrices de masa y rigidez, se tiene:
la ecuación polinómica a resolver es:
donde las soluciones (raíces):
Las frecuencias circulares quedan como:
Frecuencias y modos naturales de vibración
Los modos se obtiene reemplazando las frecuencias en:
PRIMER MODO:
Frecuencias y modos naturales de vibración
SEGUNDO MODO:
Ejemplo 2
Calcular las frecuencias y modos naturales de vibración del edificio de corte.
Normalizar los modos de tal manera que el desplazamiento en el segundo piso sea
unitario.
Frecuencias y modos naturales de vibración
Por simple inspección las matrices de
masa y rigidez se obtienen como:
La ecuación característica a resolver es:
Frecuencias y modos naturales de vibración
Sustituyendo las matrices y evaluando el determinante se obtiene la siguiente
ecuación polinómia:
Las dos raíces son:
y las frecuencias
Sustituyendo para k=2 (12EIC/h3)
Sustituyendo cada una de las frecuencias en:
Frecuencias y modos naturales de vibración
y asumiendo que el desplazamiento del segundo piso es unitario, los modos se grafican
de la siguiente manera:
Segundo modoPrimer modo
Ejemplo 3
Calcular las frecuencias y modos naturales de vibración del pórtico mostrado.
Frecuencias y modos naturales de vibración
De los ejemplos anterios, las 
matrices de masa y rigidez 
son:
La ecuación característica a resolver es:
Frecuencias y modos naturales de vibración
Sustituyendo las matrices y resolviendo la ecuación polinómica se obtiene las
siguientes raíces:
Si comparamos estas frecuencias con las obtenidas en el ejemplo anterior (edificio
de corte), resulta claro que para este edificio que tiene vigas flexibles las frecuencias
de vibración son más bajas (períodos más largos).
Sustituyendo cada una de las frecuencias en:
Frecuencias y modos naturales de vibración
y asumiendo que el desplazamiento del segundo piso es unitario, los modos se grafican 
de la siguiente manera:
Segundo modoPrimer modo
Ejemplo 3
Formular la ecuación del movimiento del edificio mostrado. Calcular las frecuencias
y modos naturales de vibración
Frecuencias y modos naturales de vibración
Ecuación de movimientoEjemplo 4
Calcule la rigidez lateral para el pórtico de 3 niveles mostrado en la figura, suponiendo que 
los elementos son infinitamente rígidos en la dirección axial, además que Ic = Ib.
Se procede a calcular las columnas de la matriz de rigidez, mediante sus deformadas. 
Grados de libertad
1, 2 y 3
Se procede a calcular las columnas de la matriz de rigidez, mediante sus deformadas. 
Grados de libertad
4, 5 y 6
Se procede a calcular las columnas de la matriz de rigidez, mediante sus deformadas. 
Grados de libertad
7, 8 y 9
En función los desplazamiento y giros impuestos en los nudos se tiene las siguientes
fuerzas actuando en la COLUMNA 1.
Grado de libertad 1: 𝑢𝑢1 = 1;𝑢𝑢2 = 𝑢𝑢3 = 𝑢𝑢4 = 𝑢𝑢5 = 𝑢𝑢6 = 𝑢𝑢7 = 𝑢𝑢8 = 𝑢𝑢9 =0
𝑘𝑘11 = 4
12𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ3
=48 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ3
𝑘𝑘21 = −2
12𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ3
=−24 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ3
𝑘𝑘31 = 0
𝑘𝑘41 =
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2 −
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2 = 0
𝑘𝑘51 =
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2 −
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2 = 0
𝑘𝑘61 = −
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2
𝑘𝑘71 = −
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2
𝑘𝑘81 = 0
𝑘𝑘91 = 0
Grado de libertad 5: 𝑢𝑢5 = 1;𝑢𝑢1 = 𝑢𝑢2 = 𝑢𝑢3 = 𝑢𝑢4 = 𝑢𝑢6 = 𝑢𝑢7 = 𝑢𝑢8 = 𝑢𝑢9 =0
𝑘𝑘15 =
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ3 −
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ3 = 0
𝑘𝑘25 =
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2
𝑘𝑘35 = 0
𝑘𝑘45 =
2𝐸𝐸𝐼𝐼𝑏𝑏
𝐿𝐿
𝑘𝑘55 = 2
4𝐸𝐸𝐼𝐼𝐶𝐶
ℎ +
4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑏𝑏
𝐿𝐿 =
8𝐸𝐸𝐼𝐼𝐶𝐶
ℎ +
4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑏𝑏
𝐿𝐿
𝑘𝑘65 = 0
𝑘𝑘75 =
2𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ
𝑘𝑘85 = 0
𝑘𝑘95 = 0
En función los desplazamiento y giros impuestos en los nudos se tiene las siguientes
fuerzas actuando en la COLUMNA 3.
Grado de libertad 3: 𝑢𝑢3 = 1;𝑢𝑢1 = 𝑢𝑢2 = 𝑢𝑢4 = 𝑢𝑢5 = 𝑢𝑢6 = 𝑢𝑢7 = 𝑢𝑢8 = 𝑢𝑢9 =0
𝑘𝑘13 = 0
𝑘𝑘23 = −2
12𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ3 =
−24𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ3
𝑘𝑘33 = 2
12𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ3 =
24𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ3
𝑘𝑘43 = 0
𝑘𝑘53 = 0
𝑘𝑘63 =
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2
𝑘𝑘73 =
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2
𝑘𝑘83 =
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2
𝑘𝑘93 =
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2
Grado de libertad 9: 𝑢𝑢9 = 1;𝑢𝑢1 = 𝑢𝑢2 = 𝑢𝑢3 = 𝑢𝑢4 = 𝑢𝑢5 = 𝑢𝑢6 = 𝑢𝑢7 = 𝑢𝑢8 =0
𝑘𝑘19 = 0
𝑘𝑘29 = −
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2
𝑘𝑘39 =
6𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ2
𝑘𝑘49 = 0
𝑘𝑘59 = 0
𝑘𝑘69 = 0
𝑘𝑘79 =
2𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ
𝑘𝑘89 =
2𝐸𝐸𝐼𝐼𝑏𝑏
𝐿𝐿
𝑘𝑘99 =
4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
ℎ +
4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑏𝑏
𝐿𝐿
Armando la matriz de rigidez:
Separando la matriz de rigidez en 4 partes como se muestra:
Entonces se tiene:
Siendo:
1,2 3 = Desplazamientos
4,5,6,7,8 y 9 = Giros en nudos
Además solo considerando fuerzas laterales:
Siendo:
U1, 2 y 3 = 1, 2 y 3
θ1,2,3,4,5 y 6 = 4,5,6,7,8 y 9
De forma general:
Efectuando la CONDENSACION ESTATICA:
La rigidez lateral esta dada por la expresión:
Ejemplo 5
El edificio a analizar se representa por el pórtico de acero mostrado. El edificio consiste en
dos pórticos espaciados cada 3 metros (Considere un peso de 1.20 tonf/m2). También se
supone que las propiedades estructurales son uniformes a lo largo del edificio y que, por lo
tanto el análisis de un provee la respuesta para todo el edificio. Determinar las frecuencias
naturales y los modos normales correspondientes.
Columnas: 
0.50 x0.50 m
Modulo de elasticidad
E = 2x106 tonf/m2
Solución:
Esta estructura esta modelada como un edificio simple que, por lo tanto, puede
representarse por el sistema de masas y resortes con masas concentradas por nivel.
Puesto que las vigas en los pisos se suponen rígidas, la constante del resorte de la
columnas entre pisos esta dada por
Las ecuaciones del movimiento para el sistema, que se obtienen considerando el equilibrio
dinámico de cada masa en vibración libre son
Siguiendo el procedimiento usual, estas ecuaciones se resuelven con la sustitución para
los desplazamiento
Y aceleraciones
Usando matrices, obtenemos
Para una solución no trivial de estas ecuaciones se requiere que el determinante de la
matriz de los coeficiente sea igual a cero
e introduciendo valores numéricos de este ejemplo se obtiene
Las raíces de esta ecuación cuadrática son
Para una solución no trivial de estas ecuaciones se requiere que el determinante de la
matriz de los coeficiente sea igual a cero
Estos resultados se pueden verificar con el programa SAP2000
	Número de diapositiva 1
	Número de diapositiva 2
	Número de diapositiva 3
	Número de diapositiva 4
	Número de diapositiva 5
	Número de diapositiva 6
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
	Número de diapositiva 9
	Número de diapositiva 10
	Número de diapositiva 11
	Número de diapositiva 12
	Número de diapositiva 13
	Número de diapositiva 14
	Número de diapositiva 15
	Número de diapositiva 16
	Número de diapositiva 17
	Número de diapositiva 18
	Número de diapositiva 19
	Número de diapositiva 20
	Número de diapositiva 21
	Número de diapositiva 22
	Número de diapositiva 23
	Número de diapositiva 24
	Número de diapositiva 25
	Número de diapositiva 26
	Número de diapositiva 27
	Número de diapositiva 28
	Número de diapositiva 29
	Número de diapositiva 30
	Número de diapositiva 31
	Número de diapositiva 32
	Número de diapositiva 33
	Número de diapositiva 34
	Número de diapositiva 35
	Número de diapositiva 36
	Número de diapositiva 37
	Número de diapositiva 38
	Número de diapositiva 39
	Número de diapositiva 40
	Número de diapositiva 41
	Número de diapositiva 42
	Número de diapositiva 43
	Número de diapositiva 44
	Número de diapositiva 45
	Número de diapositiva 46
	Número de diapositiva 47
	Número de diapositiva 48
	Número de diapositiva 49
	Número de diapositiva 50
	Número de diapositiva 51
	Número de diapositiva 52
	Número de diapositiva 53
	Número de diapositiva 54
	Número de diapositiva 55
	Número de diapositiva 56
	Número de diapositiva 57
	Número de diapositiva 58
	Número de diapositiva 59
	Número de diapositiva 60
	Número de diapositiva 61
	Número de diapositiva 62
	Número de diapositiva 63