Sistemas linealmente elásticos

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SISTEMAS LINEALMENTE ELÁSTICOS 
 
La elasticidad es estudiada por la teoría de elasticidad, que a su vez es parte de la mecánica 
de sólidos deformables. La teoría de la elasticidad (TE) como la mecánica de sólidos (MS) 
deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma 
como respuesta a fuerzas exteriores. En física, el término elasticidad designa la propiedad 
física y mecánica de ciertos materiales o cuerpos de sufrir deformaciones reversibles 
cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma 
original si estas fuerzas exteriores se eliminan. 
 
Un sólido es elástico lineal, cuando las tensiones y las deformaciones están relacionadas 
linealmente, y la teoría de la elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales 
sometidos a pequeñas deformaciones de tal manera que además los desplazamientos y 
deformaciones sean «lineales», es decir, que las componentes del campo de 
desplazamientos “u” sean muy aproximadamente una combinación lineal de las 
componentes del tensor deformación del sólido. 
 
En general un sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirá esta 
condición, por tanto, la teoría de la elasticidad lineal solo es aplicable a: 
 Sólidos elásticos lineales, en los que tensiones y deformaciones estén relacionadas 
linealmente (linealidad material). 
 Deformaciones pequeñas, es el caso en que deformaciones y desplazamientos están 
relacionados linealmente. En este caso puede usarse el tensor deformación lineal de 
Green-Lagrange para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad 
geométrica). 
 
Para determinar la estabilidad de un sistema, se presentan las condiciones de equilibrio 
para el sistema deformado y por eso es cuantitativa y, debido a los pequeños 
desplazamientos y/o deformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las 
siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables: 
 Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas 
 Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado 
 
 
 
ESTRUCTURAS MODELADAS COMO SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD–1GDL 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables
https://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformaci%C3%B3n
Diagrama de Cuerpo Libre de la masa - DCL: 
 
 
Considerando: FI = ma = mẍ (← ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces, Ecuación General de la Dinámica: 
 
 
 
 
Otra forma de obtener la Ecuación General de la dinámica es haciendo uso del Principio de 
D’Alambert: 
 
PRINCIPIO DE D’ALAMBERT: 
 
 
 
AMORTIGUAMIENTOS 
 
El amortiguamiento es un parámetro fundamental en el campo de las vibraciones, también 
en el desarrollo de modelos matemáticos que permiten el estudio y análisis de sistemas 
vibratorios, como lo son: estructuras metálicas, motores, maquinaria 
rotativa, turbinas, automóviles, etc. Esto va encaminado a la teoría de que todo sistema 
vibratorio (regularmente sistemas mecánicos) tiene la capacidad de disipar energía. 
 
Tipos de Amortiguamiento: 
1° HISTERÉTICO: Se ocasiona por la fricción interna molecular o histéresis, cuando se 
deforma un cuerpo sólido, y es aquella que se da por fuerzas de reacomodo de sus 
partículas del material que el sistema presenta ya sea concreto, acero, albañilería, etc. 
 
2° COULUMB-FRICCIÓN SECA: Es aquella que se da por fuerzas de fricción o rozamiento 
producidas en los nudos de la estructura, es causado por la fricción cinética entre 
superficies deslizantes secas ( F = µN ). 
 
3° VISCOSO: Es aquella amortiguación que se define por motivación de fuerzas externas 
puntuales o distribuidas, es proporcional a la velocidad y, se produce por la resistencia de 
un fluido al movimiento de un sólido, siendo este viscoso o turbulento. 
 
 
VIBRACIONES 
 
Se pueden considerar como vibraciones, las variaciones periódicas temporales de 
diferentes magnitudes relacionadas con el movimiento y las fuerzas o esfuerzos que 
aparecen en los sistemas físicos y, específicamente, una vibración mecánica es el 
movimiento de una partícula o de un cuerpo que oscila alrededor de una posición de 
equilibrio. 
 
Al intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de 
movimiento se le llama PERIODO de la vibración. El número de ciclos por unidad de tiempo 
define la FRECUENCIA del movimiento y el desplazamiento máximo del sistema desde su 
posición de equilibrio se llama AMPLITUD de la vibración, siendo el modelo de movimiento 
vibratorio más simple es el denominado Movimiento Armónico Simple 
 
Clasificación de las Vibraciones: 
a) Por la causa o excitación que la provoca. 
b) Atendiendo a la forma del movimiento ondulatorio de las partículas, se distinguen. 
c) Por el tipo de movimiento y deformaciones que aparecen en el sistema como conjunto. 
d) Por el número de grados de libertad del movimiento. 
e) Vibración Lineal. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Vibraci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Dise%C3%B1o_estructural
https://es.wikipedia.org/wiki/Motor
https://es.wikipedia.org/wiki/Turbina
https://es.wikipedia.org/wiki/Autom%C3%B3vil
Vibraciones Libres No Amortiguadas en Sistemas de un Grado de Libertad 
 
Un pórtico simple de un solo nivel, que se muestra en la figura, puede analizarse como en 
el esquema b), con la masa concentrada en el tope infinitamente rígido. Si se desprecia la 
deformación axial de las columnas, el sistema resulta de un grado de libertad dinámica, con 
los desplazamientos indicados en el esquema c). 
 
El modelo dinámico de la estructura consiste en una columna de rigidez flexional k que 
soporta una masa m, comportándose como un péndulo invertido. Si la masa del oscilador 
simple se somete a un desplazamiento inicial y luego se suelta, sin fuerzas exteriores 
actuantes, se producen vibraciones libres alrededor de su posición estática inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La respuesta dinámica del sistema se representa por el desplazamiento lateral de las masas 
concentradas, de acuerdo con el número de grados de libertad dinámica. La vibración 
resultante del sistema se obtiene por la superposición de las vibraciones de cada una de 
las masas. 
 
Cada modo individual de vibración tiene su propio período y puede ser representado por un 
sistema de un grado de libertad que tenga igual período. Además, en cada modo se 
mantiene con deformaciones relativas invariables para cualquier amplitud del 
desplazamiento. 
 
Un edificio de n pisos tendrá en consecuencia n modos diferentes de vibración y, a cada 
uno de ellos le corresponde un período T diferente. El pórtico de la figura, por ejemplo, tiene 
10 modos diferentes de vibración y, el de mayor período (o de menor frecuencia) se 
denomina modo fundamental. Los restantes modos, con períodos más cortos (o frecuencias 
superiores) se conocen por modos superiores de vibración o armónicos. En la figura se 
muestran los 5 primeros modos de vibración. 
 
Se puede utilizar el método del análisis modal para definir la respuesta dinámica de la 
estructura con múltiples grados de libertad. La respuesta máxima de los distintos modos 
independientes se logra considerando cada uno como un oscilador de un grado de libertad. 
Como los máximos valores no se pueden obtener todos simultáneamente, estos valores se 
combinan estadísticamente de manera de obtener la respuesta total. En general, la raíz 
cuadrada de la suma de los cuadrados se acepta como respuesta suficientemente 
aproximada para los sistemas bidimensionales cuando la relación entre cualquier modo 
superior e inferior es menor o igual a 0.75 y el factor de amortiguamiento no excede el 5%. 
 
El análisis modal puede plantearse según: 
• Métodos matriciales.• Métodos numéricos. 
• Métodos iterativos.