U6 pp 120 Número_natural

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Número natural
En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para
contar los elementos de ciertos conjuntos,1 2 como también en operaciones
elementales de cálculo.
Por definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto,
ℕ = {1, 2, 3, 4, …}, es un número natural.2 De dos números vecinos cualesquiera,
el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo,3 por lo que el
conjunto de los números naturales es ordenado e infinito.
El conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número
natural , es decir, el conjunto , se llama segmento de una
sucesión natural y se denota o bien .3 
Convenios de notación
Historia
Construcciones axiomáticas
Axiomas de Peano
Versión de Bush-Obreanu
Definición en teoría de conjuntos
Operaciones con los números naturales
Propiedades de los números naturales
Conceptos globales y de estructura
Uso de los números naturales
Sustracción o resta con números naturales
Proposiciones
Observación
Topologización de N
Principio de permanencia
Véase también
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la
ausencia de los mismos; dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos
maneras distintas:
Los números naturales pueden
usarse para contar (una manzana,
dos manzanas, tres manzanas, …).
Índice
Convenios de notación
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
https://es.wikipedia.org/wiki/Numerable
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
https://es.wikipedia.org/wiki/Cero
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Three_apples.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
Definición sin el cero:
Definición con el cero:
donde la ℕ de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".
Históricamente el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII. Esto no quiere decir que antes no se utilizara
el número cero como numeral, ya que con la invención del sistema de numeración Hindi (en la India) se incluyó el número cero como
numeral. Con el tiempo, este sistema de numeración también fue usado por los árabes; de este hecho viene que pasara de llamarse
sistema de numeración Hindi a denominarse sistema de numeración arábigo-índico. Con la conquista musulmana de la península
ibérica en el siglo XII, el sistema de numeración arábigo-índico empezó a usarse en Europa y pasó a llamarse sistema de numeración
arábigo-índico occidental o sistema de numeración decimal, el cual incluye el cero como numeral, pero aun así no se consideraba a
este como un número natural.
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los
números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,4 y otras, como la teoría de la computación.5 En particular, el
estándar DIN 5473 adopta esta definición.5 Sin embargo, en la actualidad ambos convenios conviven.6 
Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si no se incluye el cero en los naturales, al
conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota como ℕ*. Alternativamente
también se utiliza ℕ \ {0}.7 
Por el contrario, cuando el 0 se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en divisibilidad y teoría de
números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números cardinales y se lo denota ℕ0.
Antes de que surgieran los números naturales para la representación de cantidades, el hombre usó otros métodos para contar,
utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos (ver sistema de numeración
unario). Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o
simplemente trazos específicos sobre la arena (véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4000 a. C. donde
aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en forma de cuñas sobre pequeños tableros
de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue
adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se
empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma, además de las letras, se utilizaron algunos
símbolos.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida,fue Richard Dedekind en el siglo
XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por
cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su
nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes.
Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad, y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien
demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del
axioma de infinitud, que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales
como ordinales según von Neumann.
Algunas características de los números naturales son:
Historia
https://es.wikipedia.org/wiki/Blackboard_bold
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XII
https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_india
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_ar%C3%A1bigos
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIX
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_computaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/DIN
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteros
https://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_cardinales
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuenta_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Piedra
https://es.wikipedia.org/wiki/Madera
https://es.wikipedia.org/wiki/Nudo_(lazo)
https://es.wikipedia.org/wiki/Dedos
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_unario
https://es.wikipedia.org/wiki/Contar
https://es.wikipedia.org/wiki/Hueso_de_Ishango
https://es.wikipedia.org/wiki/Mesopotamia
https://es.wikipedia.org/wiki/Arcilla
https://es.wikipedia.org/wiki/Escritura_cuneiforme
https://es.wikipedia.org/wiki/Grecia_Antigua
https://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Roma
https://es.wikipedia.org/wiki/Letra
https://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto
https://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIX
https://es.wikipedia.org/wiki/Peano
https://es.wikipedia.org/wiki/Frege
https://es.wikipedia.org/wiki/Zermelo
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma
https://es.wikipedia.org/wiki/Adolf_Fraenkel
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_ordinal_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)
https://es.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann
1. Todo número mayor que 1 (o mayor que 0 en caso de considerar el 0 como natural) va después de otro número
natural.
2. Entre dos números naturales siempre hay un número finito de naturales (interpretación de conjunto no denso).
3. Dado un número natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que este (interpretación de conjunto infinito).
4. Entre el número natural y su sucesor no existe ningún número natural.
Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las que destacan las
de Peano yla construcción a partir de la teoría de conjuntos.
Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural
cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los números
naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.
El sistema de Peano ha sido simplificado.8 
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se
pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la
definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue
proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el
conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple
1. Para cada y ∈ x, y ⊆ x
2. La relación ∈x = {(a, b) ∈ x • x | a ∈ b} es un orden total estricto en x
3. Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden ∈x
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca
un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que ∅ no contiene elementos. Luego se definen los
siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define -según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene
un sucesor denotado como n+. Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:
0 = ∅
n+ = n ∪ {n}
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:
Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
1 es el sucesor de 0, entonces 1 = 0+ = ∅ ∪ {0} = {0}
2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces 2 = 1+ = {0} ∪ {1} = {0, 1} .
y en general
Construcciones axiomáticas
Axiomas de Peano
Versión de Bush-Obreanu
Definición en teoría de conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesor
https://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
https://es.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
https://es.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann
https://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Halmos
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}
5 = {0, 1, 2, 3, 4}
⋮
Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un
agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión:
a ≤ b ⇔ a ⊆ b
es decir que un número a es menor o igual que b si y solo si b contiene a todos los elementos de a.
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así
a < b si y solo si a ∈ b.
Esa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-
Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción
matemática.
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si A es un
conjunto inductivo, entonces ℕ ⊆ A. Esto significa que, en efecto, ℕ es el mínimo conjunto inductivo.
Se define la suma por inducción mediante:
a + 0 = a
a + b+ = (a + b) +
Lo que convierte a los números naturales (ℕ, +) en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con
un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor
grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones:
a × 0 = 0
a × b+ = (a × b) + a
Esto convierte (ℕ, ×) (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.
Otra forma de construcción de ℕ es la siguiente: Sea ℱ la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser
equipotente" de la siguiente manera: Dados A y B ∈ ℱ se dice que A R B ↔ Existe una aplicación biyectiva de A sobre B, es decir,
existe f : A → B biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva
luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente ℱ/R = {[A]/A ∈ ℱ} los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se
les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el
producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que (ℕ, +, ×) sea un semianillo conmutativo
y unitario.
Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.
La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:
El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a + b = b + a, y a × b = b × a.
Para sumar —o multiplicar— tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera
específica ya que (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como
Operaciones con los números naturales
https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_orden
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
https://es.wikipedia.org/wiki/Bicondicional
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_formal
https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma
https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel
https://es.wikipedia.org/wiki/Postulado
https://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Suma
https://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Monoide
https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro
https://es.wikipedia.org/wiki/Cancelativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Semianillo
https://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Suma
https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad
https://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad_(%C3%A1lgebra)
a + b + c.
Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la
multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta
compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:
Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números
naturales.
Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.
No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que
a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0.
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número
natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, by c son números
naturales y a ≤ b, entonces se cumple:
a + c ≤ b + c
a × c ≤ b × c
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado
1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b ≠ 0, podemos encontrar otros dos
números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:
a = (b × q) + r y r < b
Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas
por la teoría de números.
Relación de orden
La relación sucesor le da una estructura de orden.9 
Algebraicamente, el conjunto ℕ = {0, 1, 2, ... n, ...} es un semigrupo aditivo asociativo con elemento neutro 0 y
semigrupo multiplicativo asociativo con elemento neutro 1.10 
Topológicamente, ℕ tiene la topología cofinita.11 
El cardinal de ℕ es menor que el cardinal de ℝ.12 
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una
secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a
su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundo de lo finito, ambos conceptos son
Propiedades de los números naturales
Conceptos globales y de estructura
Uso de los números naturales
https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva
https://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_interna
https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro
https://es.wikipedia.org/wiki/Divisor_de_cero
https://es.wikipedia.org/wiki/Orden_total
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_bien_ordenado
https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_la_divisi%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_ordinal_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cardinal_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)
coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos
conceptos son diferentes.
Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros,
para lo cual en N × N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N × N:
(a, b) ~ (c, d) ↔ a + d = b + c.
Asúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} y sea H = {(m, n) / m, n ∈ ℕ; m ≥ n}, sea g una aplicación de H en ℕ, tal que
g(m, n) = m - n = d ↔ m = d + n, donde m, n están en H y d está en ℕ. A la aplicación g de H sobre ℕ se llama sustracción o resta
en ℕ. La diferencia d = m - n, solo es posible en el caso que m ≥ n.
Si m - n = p, entonces m - p = n
Si m - n = p, entonces (m + r) - (n + r) = p
Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0;
como m - 0 = m, 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha.
La resta no es conmutativa ni asociativa.
Si se da m - n = p, existe una infinidad de números naturales m´ y n´ tal que m´ - n´ = p; de modo tal que en ℕ × ℕ
la relación (m, n) ≈ (m´ ,n´) ↔ m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para la
construcción del ℤ de los números enteros.13 
1. Una operación en A definen algunos matemáticos como una aplicación de A × A en A. Si se acepta esto, la
sustracción no es una operación en el conjunto de los naturales.14 
2. Si se define una aplicación en H, parte propia de A × A, en A tal aplicación se llama operación parcialmente
definida en A. Admitido lo anterior, la sustracción es una operación parcialmente definida en los números
naturales.15 
En el conjunto ℕ de los naturales cabe la topología discreta y la cofinita, también alguna topología de orden.16 
Es un teorema vinculado al sistema de los números naturales y sus ampliaciones aplicativas. Esta proposición expresa que las
propiedades de cálculo usuales para los números naturales, también son legítimas para los números estructurados mediante
operaciones inversas. Como ejemplo: según el principio de permanencia, las propiedades de la potenciación siguen válidas aun en el
caso de números con exponentes fraccionarios.
(ab)5 = a5b5 ⇒ (ab)2/3 = a2/3 b2/3 entre otras leyes de la potenciación. 17 
Números pares
Números primos
Número capicúa
Números impares
Números Enteros positivos
Sustracción o resta con números naturales
Proposiciones
Observación
Topologización de N
Principio de permanencia
Véase también
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Virgulilla#Matemática
https://es.wikipedia.org/wiki/Bicondicional
https://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3n#Matemáticas
https://es.wikipedia.org/wiki/Bicondicional
https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_pares
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_capic%C3%BAa
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_impares
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
Números pitagóricos
Números perfectos
Números triangulares
Números abundantes
Sucesiones
Progresiones
Clasificación de números
Complejos 
Reales 
Racionales 
Enteros 
Naturales 
uno: 1
Naturales primos
Naturales
compuestos
Cero: 0
Enteros negativos
Fraccionarios
Exactos
Periódicos
Puros
Mixtos
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios
Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana. ISBN
970-32-1392-8.
1. Por ejemplo, los elementos del intervalo abierto <0; 1>
no se pueden contar
2. Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso
(2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona
Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier.
Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño,
Sociedad Limitada. p. 13. ISBN 9788421659854.
3. Tsipkin, A. G. Manual de Matemáticas, Edirorial Mir,
Moscú (1985), traducción de T. I. Shopovalova
4. Véanse textos como Jech (2006). ISBN 978-3-540-44085-
7, Falta el |título= (ayuda) Devlin (1993). ISBN 0-387-
94094-4. Falta el |título= (ayuda) o Kunen (1992).
ISBN 0-444-86839-9. Falta el |título= (ayuda)
5. Véase Welschenbach, 2005, p. 4.
6. Véase Weisstein, Eric W. «Natural Numbers» (http://m
athworld.wolfram.com/NaturalNumber.html).
MathWorld (en inglés). Consultado el 14 de agosto de
2011.
7. Cominos (2006). ISBN 9781852339029. Falta el
|título= (ayuda), p. 27.
8. Tal como se presenta en la 'discusión' de este artículo
9. Consultar en discusión de artículo
10. Rojas: "Algebra I"
11. Munkres: "Topología" 2.ª edición
12. Haaser: "Análisis real"
13. "Concepto de número" (1970) Trejo, César, publicación
de la OEA; Universidad Nacional de Buenos Aires
14. Ayres: Álgebra mooderna, compendio Schaumm
15. Carranza: Álgebra, Studium, Lima,1973
16. Munkres: Topología ISBN 978-84-205-3180-9
17. Diccionarios RIODUERO. Matemática. ISBN 84-220-
0832-7
Referencias
Bibliografía
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_pitag%C3%B3rico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_perfectos
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_triangulares
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_abundantes
https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Uno
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuesto
https://es.wikipedia.org/wiki/Cero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal_peri%C3%B3dico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9703213928
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788421659854
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-3-540-44085-7
https://es.wikipedia.org/wiki/Ayuda:Errores_en_las_referencias#citation_missing_title
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-387-94094-4
https://es.wikipedia.org/wiki/Ayuda:Errores_en_las_referencias#citation_missing_title
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-444-86839-9
https://es.wikipedia.org/wiki/Ayuda:Errores_en_las_referencias#citation_missing_title
http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9781852339029
https://es.wikipedia.org/wiki/Ayuda:Errores_en_las_referencias#citation_missing_title
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788420531809
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8422008327
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