Modulo III - Clase 2

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Análisis de Componentes Principales
Análisis de Coordenadas Principales
Análisis de Correspondencias
Universidad Nacional de Salta
Facultad de Ciencias Económicas, Jurídicas y Sociales
Curso de Posgrado: Introducción a la ciencia de datos aplicada a los 
negocios con R
Métodos de ordenación
• Análisis de Componentes Principales
• Variables cuantitativas
• Input → matriz de varianzas y covarianzas o matriz de correlaciones
• Análisis de Coordenadas Principales
• Variables cualitativas
• Input → matriz de similaridad (elementos van de 0 a 1)
• Análisis Factorial de Correspondencias
• Variables cualitativas
• Input → tablas de contigencias
• Simple → 2 factores
• Múltiple → mas de 2 factores
• Escalamiento Multidimensional
• Input → matriz de distancias
Introducción
El análisis de componentes principales (PCA) es una técnica que permite:
• Reducir la dimensionalidad de un fenómeno estudiado que puede tener 
originalmente muchas variables asociadas
• Se generan nuevas variables (componentes principales) que son combinaciones 
lineales de las variables originales.
• Las nuevas variables están incorrelacionadas entre si.
• La idea es trabajar con menos variables:
• Simplificando la estructura de los datos
• Minimizando la perdida de información
• Utilizando la correlación de las variables originales.
• El input es la matriz de varianzas y covarianzas o matriz de correlación.
Enzo
Resaltar
Aplicación en los negocios
• Análisis de cartera de productos de una empresa
• Segmentación de clientes en una tienda minorista
• Análisis de encuestas de satisfacción del cliente
• Optimización de la cadena de suministro
• Análisis de datos financieros de una empresa
• Diagnóstico de problemas en la producción
Contexto Histórico
• En Análisis de Componentes Principales se fue desarrollando desde 
inicios del siglo XX cuando:
• Karl Pearson (1901) publicó un artículo en el que planteo la idea de la 
reducción de dimensionalidad
• Harold Hotelling (1933) fue quien formalizo y divulgo el PCA aplicándolo a 
diversas disciplinas como la economía y la psicología.
• Hay mucha confusión sobre las diferencias entre el Análisis de 
Componentes Principales (PCA) y el Análisis Factorial Exploratorio 
(EFA).
• El EFA fue planteado por Charles Spearman en 1904 en un trabajo 
para definir y medir la Inteligencia. 
Diferencias entre el ACP y el EFA
Enzo
Máquina de escribir
Factores que inciden en las vbles
Enzo
Máquina de escribir
Con 2 vbles queremos
predecir el resto
Marco teórico
La fundamentación matemática de PCA implica desarrollar conceptos de geometría visualizando
las transformaciones lineales en distintos gráficos.
Conceptos fundamentales:
Covarianza: es el indicador que mide la relación lineal entre dos variables aleatorias en un conjunto
de datos. La covarianza entre X e Y se define como:
𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=1
𝑛
(𝑋𝑖 − ത𝑋)(𝑌𝑖 − ത𝑌)
Para justificar la realización de un PCA, debe existir un nivel razonable de correlación entre las
variables.
Marco teórico
A cada autovector le corresponde un autovalor que 
indica cuanta varianza se explica a lo largo de cada 
autovector.
෍
𝑖=1
𝑝
𝜆𝑖 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
Los autovectores están ordenados de manera que al 
primer autovector le corresponda el autovalor mas 
grande y asi sucesivamente.
Cada autovalor coincide con la varianza de cada 
componente principal calculado.
Autovectores: Representan las direcciones 
principales de variación en los datos
Métodos de ordenación
Matriz de varianzas y covarianzas
Variables y x z
y 𝑆𝑦
2 𝑆𝑦𝑥 𝑆𝑦𝑧
x 𝑆𝑥𝑦 𝑆𝑥
2 𝑆𝑥𝑧
z 𝑆𝑧𝑦 𝑆𝑧𝑥 𝑆𝑧
2
𝑆𝑦
2 𝑆𝑦𝑥 𝑆𝑦𝑧
𝑆𝑥𝑦 𝑆𝑥
2 𝑆𝑥𝑧
𝑆𝑧𝑦 𝑆𝑧𝑥 𝑆𝑧
2
𝑆𝑦
2 es la varianza de y
𝑆𝑦𝑥 es la covarianza entre y e x
෍
𝑗=1
𝑝
𝑆𝑗
2 = Varianza Total
Definición matemática
Dada una matriz cuadrada 𝐴, un autovalor de 𝐴 es un número 𝜆 tal que existe un autovector 𝑣 tal que:
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣
Para calcular los autovalores de una matriz 𝐴, se debe resolver la ecuación característica, que es una ecuación 
polinómica en 𝜆. La ecuación característica se obtiene al buscar los valores propios 𝜆 tal que
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 donde 𝐼 es la matriz identidad 𝑛 × 𝑛
La aplicación un PCA requiere calcular los autovalores y autovectores de la matriz de varianzas y covarianzas 
muestrales. 
Para calcular cada componente principal, se debe realizar una transformación lineal de las variables originales 
multiplicándolas por los coeficientes de los autovectores.
En el PCA el calculo de las correlaciones entre las distintas variables observadas y los distintos componentes es 
importante para la interpretación.
Enzo
Resaltar
Transformación lineal
Matriz de varianzas y covarianzas
Matriz de correlaciones
Varianza total = 44,182
Varianza x1 = 23,091/44,182 = 52,26%
Varianza x2 = 21,091/44,182 = 47,73%
Transformación lineal
𝑥1
∗ = 𝑐𝑜𝑠𝜃 × 𝑥1 + 𝑠𝑒𝑛𝑜𝜃 × 𝑥2
𝑥1
∗ = 0,985 × 𝑥1 + 0,174 × 𝑥2
𝜃 = 10°
Enzo
Resaltar
𝑥1
∗ = 𝑐𝑜𝑠𝜃 × 𝑥1 + 𝑠𝑒𝑛𝑜𝜃 × 𝑥2
𝑥1
∗ = 0,729 × 𝑥1 + 0,685 × 𝑥2
𝜃 = 43,261°
𝑥2
∗ = −𝑠𝑒𝑛𝑜𝜃 × 𝑥1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 × 𝑥2
𝑥2
∗ = −0,685 × 𝑥1 + 0,729 × 𝑥2
Resumen
• Los nuevos ejes son los componentes principales
• Las nuevas variables son combinaciones lineales de las variables originales
• La varianza total de las nuevas variables es la misma que las variables originales
• Los porcentajes de la varianza recogidos por 𝑥1
∗ =
38,576
44,182
= 87,31% y 𝑥2
∗ =
5,606
44,182
=
12,69%
• La varianza recogida por 𝑥1
∗ es mas grande que la varianza recogida por cualquiera 
de las variables originales
• La correlación entre las nuevas variables es cero ya que son ortogonales o sea que 
están incorrelacionadas.
Enzo
Resaltar
Enzo
Resaltar
Enzo
Resaltar
Aplicación
En el mercado del retail de tecnología, precisamente en el mercado de los celulares, existen diversidad
de modelos de distintas marcas y características, en este trabajo se utiliza un conjunto de 40 modelos
de celulares comercializados activamente por una empresa nacional de venta de artículos tecnológicos.
Por cada modelo se cuenta con 6 características o variables observadas que son:
- Resolución de la cámara trasera.
- Resolución de la cámara frontal.
- Capacidad de la batería.
- Memoria RAM.
- Memoria de almacenamiento.
- Tamaño de la pantalla.
Características de 
40 modelos de 
celulares
Modelo Precio
Memoria de 
Almacenamiento
Memoria 
RAM
Tamaño 
Pantalla
Capacidad 
Bateria
Camara 
Trasera
Camara 
Frontal
MOTO G32 128GB $ 88.999 128 4 6,4 5000 50 16
MOTO G42 128GB $ 94.999 128 4 6,4 5000 50 16
SM A04 64GB $ 71.999 64 4 6,5 5000 50 5
MOTO E22 32GB $ 56.999 32 3 6,5 4020 16 5
MOTO G13 128 GB $ 73.999 64 4 6,5 5000 50 8
SM A23 5G 128GB $ 146.999 128 4 6,6 5000 50 8
SM A23 128GB $ 122.999 128 4 6,6 5000 50 8
MOTO E13 64GB $ 50.999 64 2 6,5 5000 13 5
SM A24 LTE 128GB $ 129.999 128 6 6,5 5000 50 13
SM A54 5G 128GB $ 209.999 256 8 6,4 5000 50 32
MOTO G23 128GB $ 85.999 128 4 6,5 5000 50 16
PIXPRO L1 PRO 16GB $ 29.599 16 2 5,7 2700 5 2
MOTO G72 128GB $ 134.999 128 6 6,55 5000 108 16
SM A54 5G 256GB $ 226.999 256 8 6,4 5000 50 32
SKY ENERGY $ 13.990 32 0,032 1,77 1800 0,8 0
SM A04 128GB $ 79.999 128 4 6,5 5000 50 5
KODAK SEREN D55L $ 33.499 32 2 5,5 2000 13 5
XIAOMI REDMI NOTE 11 $ 104.899 128 4 6,43 5000 50 13
KODAK SEREN D61L $ 39.299 32 2 6,08 3000 13 8
XIAOMI REDMI 10C $ 89.999 64 4 6,7 5000 50 5
KODAK SEREN D65LX $ 44.999 64 2 6,5 3000 16 8
MOTO EDGE 30 FUSION 256GB $ 249.999 256 12 6,55 4400 50 32
SM S21 FE 128GB $ 274.999 128 6 6,4 4500 12 32
MOTO G13 DUAL SIM $ 79.999 64 4 6,5 5000 50 8
QUANTUM Q-TEST 4G 32GB $ 32.999 32 1 5,45 2800 8 5
SM A34 5G 128GB $ 169.999 128 6 6,6 5000 48 13
MOTO EDGE 30 NEO 128GB$ 164.999 128 8 6,28 4020 64 32
SM S23 256GB $ 409.999 256 8 6,1 3900 50 12
SM S22 128GB $ 349.999 128 8 6,1 3700 50 10
MOTO Edge 30 ULTRA + BUND. $ 379.999 256 12 6,67 4610 200 60
MOTO EDGE 30 ULTRA 256GB $ 349.999 256 12 6,67 4610 200 60
SM A04e 64GB $ 62.999 64 3 6,5 5000 13 5
SM S20FE 5G 128GB $ 234.999 128 6 6,5 4500 12 32
SM M13 128GB $ 94.999 128 4 6,6 5000 50 8
SM S23 ULTRA 256GB $ 559.999 256 12 6,8 5000 200 12
SM A14 LTE 128GB $ 98.999 128 4 6,6 5000 50 13
MOTO G22 128GB $ 83.999 128 4 6,5 5000 50 16
MOTO E32 64GB $ 67.999 64 4 6,53 5000 16 8
SM GALAXY Z FOLD4 256GB $ 659.999 256 12 7,6 4400 50 10
SM GALAXY Z FLIP 4 128GB $ 379.999 128 8 6,7 3595 16 13
Análisis Descriptivo
Almacena. RAM Pantalla Bateria Camtraser Camfront
Almacena. 1,000 0,889 0,376 0,389 0,641 0,674
RAM 0,889 1,000 0,447 0,299 0,696 0,695
Pantalla 0,376 0,447 1,000 0,667 0,300 0,238
Bateria 0,389 0,299 0,667 1,000 0,358 0,222
Camtraser 0,641 0,696 0,300 0,358 1,000 0,618
Camfront 0,674 0,695 0,238 0,222 0,618 1,000
Matriz de correlaciones
Matriz de correlaciones
Matriz de correlaciones (sin precio)
Autovalores y autovectores
 Los autovalores
[1] 3.57529580 1.22687490 0.44511173 0.35695024 0.32028041 0.07548692
 Los autovectores
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] -0.4725107 0.1706369 0.28984784 -0.22071604 -0.514638069 0.59163925
[2,] -0.4804491 0.1977900 0.36632546 -0.27954258 0.005757357 -0.71949724
[3,] -0.3192938 -0.6145634 0.38726887 0.03313014 0.561223176 0.23306028
[4,] -0.3048302 -0.6391225 -0.40384777 0.15407257 -0.503365081 -0.24164687
[5,] -0.4261859 0.1810045 -0.68241493 -0.38376127 0.391511890 0.13913496
[6,] -0.4115799 0.3359075 -0.05507763 0.83727636 0.116125338 0.01476048
Se expresa en porcentaje la varianza explicada por cada componente sobre la varianza total:
[1] 59.588263 20.447915 7.418529 5.949171 5.338007 1.258115
El porcentaje acumulado de varianza explicada por los primeros dos componentes:
[1] 80.03618
Enzo
Llamada
nos tenemos que quedar con los autovalores mayores a 1
Gráfico de Sedimentación (scree plot)
Fuente: Elaboración propia en R
Dim.1 Dim.2
almacenamiento 0.8934446 -0.1890049
ram 0.9084548 -0.2190809
pantalla 0.6037351 0.6807174
bateria 0.5763868 0.7079201
camtrasera 0.8058516 -0.2004885
camfrontal 0.7782338 -0.3720658
• El primer componente está relacionado con las prestaciones de los modelos, más precisamente con
las características de memoria, rapidez y aspectos de fotografía.
• El segundo componente esta relacionado con aspectos de comodidad al tener cargas fuertes de la
dimensión de la pantalla y la duración de la batería.
Interpretación de los componentes principales
Enzo
Máquina de escribir
A partir de lo relacionado que estan las vbles con las dimensiones
Enzo
Cuadro de texto
En la dim 2, estas vbles estan mas relacionadas
Gráfico de las cargas sobre los primeros dos componentes
Fuente: Elaboración propia en R
Gráfico de las cargas con el sentido de la correlación
Fuente: Elaboración propia en R
Fuente: Elaboración propia en R
Gráfico de los modelos sobre los componentes principales
Fuente: Elaboración propia en R
Gráfico de los individuos y las variables
Análisis de Coordenadas Principales
• Es una técnica de reducción de la dimensionalidad de un fenómeno.
• Variables cualitativas
• Input → matriz de similaridad
• Ordenar individuos o poblaciones pero no variables
Enzo
Máquina de escribir
Para agrupar individuos o poblaciones, no vbles
Enzo
Resaltar
Enzo
Resaltar
Análisis de Coordenadas Principales
• Análisis de Percepción del Cliente:
• Se puede utilizar para visualizar la similitud en las respuestas de los clientes y entender cómo perciben tus productos o 
servicios en relación con la competencia.
• Comparación de Productos:
• Para comparar productos y visualizar cómo se agrupan en función de esas características. Esto puede ser útil para la toma de 
decisiones en la gestión de productos.
• Análisis de Competencia:
• Considera que posees datos financieros y métricas clave para varias empresas en tu industria. Se puede identificar patrones 
de similitud o diferencias entre las empresas, lo que podría ser valioso para estrategias de posicionamiento y toma de 
decisiones competitivas.
• Evaluación de Desempeño de Empleados:
• Si tienes métricas de desempeño para empleados en diferentes dimensiones (productividad, satisfacción, habilidades, etc.), 
puedes utilizar PCoA para analizar la similitud entre empleados y entender cómo se distribuye el desempeño en tu 
organización.
• Análisis de Mercado:
• Si estás en un sector donde se recopila información sobre múltiples mercados (regiones geográficas, segmentos 
demográficos), el PCoA puede ayudarte a visualizar las similitudes y diferencias entre estos mercados, lo que podría guiar 
estrategias de marketing y expansión.
• Evaluación de Proveedores:
• Supongamos que tienes datos sobre múltiples proveedores en términos de calidad, costos, tiempos de entrega, etc. PCoA
puede ayudarte a clasificar proveedores y visualizar cuáles son los más similares o diferentes en términos de rendimiento.
Caso Práctico
Evaluación de Locales Comerciales en una cadena
• 23 locales
• Se los evalúa en 84 características
• Con respuestas si/no
Enzo
Llamada
Puede llegar a haber mas respuestas
Análisis Factorial de Correspondencias
Su principal ventaja es la posibilidad de representar simultáneamente 
las variables y los individuos.
• Análisis de Correspondencias Simple → solo dos factores
• Análisis de Correspondencias Múltiple → mas de dos factores.
Input → tablas de contingencias
Enzo
Máquina de escribir
Aca si podemos representar vbles e individuos
Enzo
Resaltar
Enzo
Resaltar
Enzo
Resaltar
Enzo
Resaltar
Enzo
Máquina de escribir
Lo primero que se hace es ver si hay relacion entre las vbles
Prueba 𝜒2de independencia
𝐻0: 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝐻1: 𝐿𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
Hipótesis Estadística de Prueba
Regla de Decisión:
𝑅 → 𝐻0 𝑠𝑖 𝜒0
2 > 𝜒 𝛼; 𝑟−1)(𝑐−1
2
𝜒0
2 = ෍
𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎𝑠
(𝑓𝑜 − 𝑓𝑒)
2
𝑓𝑒
𝑓𝑒 =
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑥 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
𝑛
Determinan si dos factores son estadísticamente independientes
Ejemplo: Se ha realizado una encuesta para determinar si existe alguna relación entre el lugar de residencia y la 
preferencia por la marca del automóvil.
Residencia
Preferencia de automóvil
Totales
GM Ford Chrysler Europeo Asiático
Ciudad Grande 64 40 26 8 62 200
Suburbio 53 35 24 6 32 150
Rural 53 45 30 6 16 150
Totales 170 120 80 20 110 500
Enzo
Máquina de escribir
Si no hay relacion termina ahi
Prueba 𝜒2de independencia
Cátedra de Estadística - Facultad de Ciencias Económicas, Jurídicas y Sociales - Universidad Nacional de Salta
Residencia
Frecuencias Observadas
Totales
GM Ford Chrysler Europeo Asiático
Ciudad Grande 64 40 26 8 62 200
Suburbio 53 35 24 6 32 150
Rural 53 45 30 6 16 150
Totales 170 120 80 20 110 500
Residencia
Frecuencias Esperadas
Totales
GM Ford Chrysler Europeo Asiático
Ciudad Grande 68 48 32 8 44 200
Suburbio 51 36 24 6 33 150
Rural 51 36 24 6 33 150
Totales 170 120 80 20 110 500
𝐻0: 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝐻1: 𝐿𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
Hipótesis
Estadística de Prueba
𝜒0
2 = ෍
𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎𝑠
(𝑓𝑜 − 𝑓𝑒)
2
𝑓𝑒
𝑓𝑒 =
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑥 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
𝑛
Prueba 𝜒2de independencia
Cátedra de Estadística - Facultad de Ciencias Económicas, Jurídicas y Sociales - Universidad Nacional de Salta
Estadística de Prueba
𝜒0
2 = ෍
𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎𝑠
(𝑓𝑜 − 𝑓𝑒)
2
𝑓𝑒
𝑓𝑜𝑓𝑒 𝑓𝑜 − 𝑓𝑒 (𝑓𝑜 − 𝑓𝑒)
2 (𝑓𝑜−𝑓𝑒)
2
𝑓𝑒
64 68 -4 16 0,23529412
53 51 2 4 0,07843137
53 51 2 4 0,07843137
40 48 -8 64 1,33333333
35 36 -1 1 0,02777778
45 36 9 81 2,25
26 32 -6 36 1,125
24 24 0 0 0
30 24 6 36 1,5
8 8 0 0 0
6 6 0 0 0
6 6 0 0 0
62 44 18 324 7,36363636
32 33 -1 1 0,03030303
16 33 -17 289 8,75757576
𝜒0
2 = 22,7797831
Regla de Decisión:
𝑅 → 𝐻0 𝑠𝑖 𝜒0
2 > 𝜒 𝛼; 𝑟−1)(𝑐−1
2
𝜒0
2 > 𝜒 0,05; 3−1)(5−1
2
𝑅 → 𝐻0
22,78 > 15,50
Si rechazo la Ho, me interesa 
ver en detalle la relación 
entre los factores → AFCS
Entrada de datos en AFCS
Residencia GM Ford Chrysler Europeo Asiático
Ciudad Grande 64 40 26 8 62
Suburbio 53 35 24 6 32
Rural 53 45 30 6 16
1) Tabla de contingencias
Residencia Marca Frecuencias
Ciudad Grande GM 64
Ciudad Grande Ford 40
Ciudad Grande Chrysler 26
Ciudad Grande Europeo 8
Ciudad Grande Asiático 62
Suburbio GM 53
Suburbio Ford 35
Suburbio Chrysler 24
Suburbio Europeo 6
Suburbio Asiático 32
Rural GM 53
Rural Ford 45
Rural Chrysler 30
Rural Europeo 6
Rural Asiático 16
2) Como variables clasificatorias
3) Una fila por cada individuo
Residencia Marca
Ciudad Grande GM
Ciudad Grande GM
Ciudad Grande GM
Ciudad Grande GM
Ciudad Grande GM
Ciudad Grande GM
Ciudad Grande Ford
Ciudad Grande Ford
Ciudad Grande Ford
Ciudad Grande Ford
Ciudad Grande GM
Caso Práctico en R
Entrada de datos en AFCM
Como variables clasificatorias por individuo
Residencia Marca Estado Civil
Ciudad Grande GM Soltero
Ciudad Grande GM Casado
Ciudad Grande GM Casado
Ciudad Grande GM Casado
Ciudad Grande GM Soltero
Ciudad Grande GM Soltero
Ciudad Grande Ford Casado
Ciudad Grande Ford Casado
Ciudad Grande Ford Soltero
Ciudad Grande Ford Casado
Ciudad Grande GM Casado
Análisis de Correspondencias Múltiple
Transforma esos datos en una tabla disyuntiva completa
Residencia Marca Estado Civil
Ciudad 
Grande
Suburbio Rural GM Ford Chrysler Europeo Asiático Soltero Casado
Indiv A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 B5 C1 C2
1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
3 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0
4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
6 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
8 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
9 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
10 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
11 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
12 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1
13 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
14 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
15 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
Casos prácticos