Velocidad y aceleracion relativas

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MOVIMIENTO RELATIVO 
Ing. Adriana Fernández 
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto 
 
 
Introducción 
 
Hasta ahora se ha estudiado las velocidades de las partículas observadas desde cierto 
marco de referencia, acá se podrá ver como están relacionadas entre si las observaciones 
de dos observadores que se encuentran en marcos de referencia distintos. Se concluirá en 
que para una misma partícula en movimiento, estos observadores van a medir, distintos 
desplazamientos, velocidades y aceleraciones. Por tanto, dos observadores, que se mueven 
uno con respecto al otro, no estarán de acuerdo con una misma medición. 
 
En este apunte se consideran válidas y aplicables las expresiones halladas a situaciones 
cotidianas en donde los objetos poseen velocidades muy inferiores a la velocidad de la luz. Y 
en donde los tiempos para ambos observadores son los mismos. Primero se analizará que 
pasa en un movimiento rectilíneo y luego se generalizará al plano. 
 
 
Velocidad y aceleración relativas 
 
Se partirá de ejemplos para poder definir lo que es la velocidad relativa. 
 
a) Si dos automóviles están en una carretera moviéndose en igual dirección, uno a 110 
km/h y el otro a 130 km/h, un pasajero que se encuentra en el automóvil que circula más 
lento podrá decir que la velocidad que lleva el que va más rápido respecto a él es de 20 
km/h. Mientras que un observador que va en el vehículo más rápido podrá afirmar que el 
auto más lento circula a –20 km/h. Para un observador que está a la vera del camino, 
percibirá que el más rápido se mueve a 130 km/h y el más lento lo hace a 110 km/h. Como 
se ve los distintos observadores miden velocidades diferentes. La velocidad que un 
observador percibe es la velocidad relativa a él. 
 
b) Si un observador A viaja en un vehículo en movimiento y arroja una pelota hacia arriba, 
de acuerdo con su marco de referencia (Figura 1), la pelota sigue una trayectoria vertical en 
línea recta (la lanza y la vuelve a tomar en sus manos después de un cierto tiempo). En el 
dibujo se ha desplazado, (la línea que sube de la que baja), un poquito para observar bien el 
movimiento. Para una observador B que se encuentra al costado de la calle, la trayectoria de 
la pelota que ve él, es la de una parábola (Figura 2). En la mecánica clásica el tiempo para el 
observador A como para el observador B es el mismo, independientemente de sus 
velocidades relativas. 
 
 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
 
c) Otro ejemplo es la trayectoria de una bomba que podría observar una persona que va 
en un avión, el que vuela horizontalmente a velocidad constante, éste ve que la bomba cae 
verticalmente, mientras que para un observador que se encuentra en Tierra es una 
trayectoria curva. En el momento en que se deja caer la bomba ésta tiene una velocidad 
horizontal igual a la del avión, a medida que va cayendo la componente vertical de la 
velocidad va creciendo y hace que lo que en principio podría haberse supuesto como que 
sería una trayectoria recta con cierta inclinación, se vaya “curvando” hasta transformarse en 
media parábola debido a la acción de la atracción de la Tierra sobre la bomba. Si el avión no 
modifica su velocidad, la bomba impactará contra el suelo justo en el momento que el avión 
está pasando directamente sobre ella, esto es así, siempre que se suponga despreciable el 
rozamiento con el aire. 
 
 
Velocidad relativa en una dimensión 
 
Se considerará el movimiento de un niño que corre por el pasillo del vagón de un tren (el 
que inicialmente está en reposo) a 1 m/s, una persona (observador O) en el andén ve que el 
niño se desplaza con esa velocidad hacia la derecha. Y un pasajero (observador O’) 
sentado en el medio del vagón lo ve desplazarse con la misma velocidad. Como se ve en la 
Figura 3 (a), cada observador tiene un marco de referencia S (fijo a Tierra) y S’ (fijo al tren) 
respectivamente con el eje x y x’ positivos hacia la derecha. 
 
En el movimiento relativo la posición del niño (designado como P) respecto al marco S, se 
puede escribir como 
 
'' S
S
S
P
S
P xxx
rrr
+= (1) 
 
en el caso de la Figura 3 (a), no hay desplazamiento del tren respecto del observador en el 
anden, por lo que 0
'
=
S
Sx
r . El desplazamiento de P para ambos es el mismo 
'S
P
S
P xx
rr
= . 
 
Si se deriva (1) respecto del tiempo, se obtendrá la velocidad 
 
''
''
S
S
S
P
S
P
S
S
S
P
S
P
vvv
dt
xd
dt
xd
dt
xd rrr
rrr
+=⇒+= (2) 
 
en cuyo caso 0
'
=
S
Sv
r y por lo tanto smvv
S
P
S
P /1
'
==
rr 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 3 
Si el tren se pusiera en marcha y alcanzara una velocidad de 4 m/s, hacia la derecha. El 
observador O mediría que la velocidad del niño es de 5 m/s (pues es la suma de su propia 
velocidad más la del tren). Para el observador O’, el niño sigue moviéndose con una 
velocidad de 1 m/s, ya que ambos viajan en el tren a la misma velocidad de éste. (Figura 3 
(b)). 
 
smv
S
P /1
'
=
r
 y smv
S
S /4
'
=
r
 por lo que: 
 
smsmsmvvv
S
S
S
P
S
P /5/4/1
''
=+=+=
rrr
. Entonces la smv
S
P /5=
r
. 
 
Si el niño corriera hacia la izquierda tendría una velocidad smv
S
P /1
'
−=
r (relativa al 
observador O’). 
 
Y con respecto al observador O: smsmsmvvv
S
S
S
P
S
P /3/4/1
''
=+−=+=
rrr
. 
 
Es importante tener en cuenta que las velocidades son vectores (por más que estén en 
una línea recta), por lo tanto tienen signos y cualquiera de las velocidades puede ser 
negativa. 
 
El observador O’ verá que el observador O (que está quieto en el andén) se mueve hacia 
atrás. O sea: smvv
S
S
S
S /4'
'
−=−=
rr
. 
 
Si un automóvil transita a velocidad constante por una calle paralela a las vías pero en 
dirección opuesta a la que lleva el tren, para un observador O’’ que va en el auto, verá que el 
niño se mueve con una velocidad de -1 m/s cuando el tren está detenido y con -5 m/s 
cuando el tren está en movimiento. 
 
 
Velocidad relativa en dos dimensiones 
 
Si se consideran: un observador O fijo a Tierra (su marco de referencia S es la Tierra) y 
otro observador O’ sentado en el vagón de un tren que se mueve con velocidad constante 
respecto a S, (el marco de referencia es S’ y está en el tren). Ambos observan el movimiento 
de una partícula dentro del tren, (que se encuentra en la posición A para S y A’ para S’). 
 
 
 
Figura 4 
En el marco de referencia S, el desplazamiento de la partícula desde su posición inicial, 
es el vector rr (de A a B). Mientras que en el marco de referencia S’, el desplazamiento es el 
vector 'rr (de A’ a B). Como se ve en la Figura 4, estos vectores son diferentes porque el 
punto de referencia A’ del marco se desplazó una distancia tur a lo largo del eje horizontal. 
Entonces sumando vectorialmente, se tiene: 
 
turr rrr += ' (3) 
 
Derivando respecto del tiempo la expresión (1), se obtendrá: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) u
dt
rd
dt
tdu
dt
rd
dt
tdut
dt
ud
dt
rd
dt
tud
dt
rd
dt
rd rrrrrrrrrr
+=⋅+=⋅+⋅+=+=
''''
 
 
El término 
( ) 0=
dt
ud r , pues la velocidad ur es constante. Y se puede reescribir la anterior 
teniendo en cuenta que v
dt
rd rr
= , es la velocidad instantánea medida desde el marco S 
y que '
'
v
dt
rd rr
= es la velocidad instantánea medida desde el marco S’, de modo que 
se obtiene una expresión más simplificada 
 
uvv rrr += ' (4) 
 
La velocidad v de la partícula respecto al marco S es la suma vectorial de la velocidad r 'vr 
respecto al marco S’ y la velocidad ur del marco S’ en relación al marco S. 
 
Se puede escribir esta expresión de una manera más fácil y es teniendo en cuentalos 
marcos de referencia en los subíndices de la nomenclatura, volviendo al ejemplo de la 
partícula que se mueve con velocidad 
T
pv respecto al marco de referencia S (fijo a Tierra) y 
la con velocidad 
t
pv respecto al marco de referencia S’ (fijo al tren), mientras que 
T
tv
r recibe 
el nombre de velocidad relativa del tren respecto a Tierra (o velocidad relativa de S’ respecto 
a S: 
 
T
t
t
p
T
p vvv
rrr
+= (4’) 
 
A las ecuaciones (3) y (4) e la conoce como ecuaciones de transformación galileana. 
 
Si se deriva la expresión (4) respecto al tiempo: 
 
( )
dt
vd
dt
ud
dt
vd
dt
vd '' rrrr
=+= 
 
Como 
( ) 0=
dt
ud r , entonces '
'
aa
dt
vd
dt
vd rrrr
=⇒= (5) 
 
Se ve que las aceleraciones medidas por ambos observadores son idénticas. Es decir que 
la aceleración medida por un observador en Tierra es igual a la aceleración medida por un 
observador que se traslada en un vehículo que se mueve a velocidad constante. 
 
La ecuación (5) fue deducida para el caso en que los marcos de referencia S y S’ se 
mueven a una velocidad relativa que es constante tanto en magnitud como en dirección. A 
los marcos que se pueden mover uno en relación al otro, pero en los cuales los 
observadores miden la misma aceleración, son llamados marcos de referencia inerciales. 
Otra cuestión importante y a tener en cuenta es que ambos marcos de referencia deben ser 
paralelos para poder aplicar las expresiones anteriores. 
 
 
Ejemplo: 
 
Un bote que va hacia el norte cruza un río ancho con una rapidez de 12 km/h con 
respecto al agua. El agua tiene una rapidez constante de 6 km/h hacia el este. a) Determinar 
la velocidad del bote con respecto a un observador en Tierra. b) Si el bote viaja con la misma 
rapidez de 12 km/h con respecto al agua y se desea ir directamente al norte, ¿en qué 
dirección debe dirigirse? 
 
Según se muestra en la Figura 5 (a) el marco de referencia S colocado en Tierra y el 
marco de referencia S’ en el río. 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
 
 
Figura 5 
 
a) Se usará la nomenclatura de la expresión (2’), se ve que 
T
av
r
 (velocidad del agua 
respecto a Tierra) es hacia la derecha, 
a
bv
r
 (la velocidad del bote respecto al agua) hacia 
arriba y 
T
bv
r
 (la velocidad del bote respecto a la Tierra) forma un ángulo θ como se observa 
en la Figura 5 (b). Se forma un triángulo rectángulo, entonces: 
 
( ) ( ) hkmvvvvvv
T
a
a
b
T
b
T
a
a
b
T
b /42,13612
22
22
=+=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=⇒+=
rrr
 
 
 
Y la dirección del bote será: 
 
º56,26
12
6
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= arctg
v
v
tg
a
b
T
a
θθ 
 
Son 2,56º al noreste. 
b) Para que el bote vaya directamente hacia el norte, se deberán dibujar los vectores 
como se ven en la Figura 5 (c). 
 
Por lo que la rapidez del bote respecto al río será: 
 
( ) ( ) hkmvvvvvv
T
b
T
a
a
b
T
a
a
b
T
b /4,10612
22
22
=−=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=⇒+=
rrr
 
 
 
La dirección del bote será: 
 
º30
4,10
6
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= arctg
v
v
tg
T
b
T
a
θα 
 
y la inclinación del bote será entonces de 30º hacia el noroeste. 
 
 
 
Bibliografía consultada: 
 
• Física – Volumen 1 de Halliday – Resnick – Krane – Compañía Editorial Continental, S.A. de C.V. 
CECSA (1994) 
• Física – Tomo I – Raymond Serway – Mc Graw Hill (1995) 
• Física Universitaria – Volumen I - Sears – Zemansky – Young – Freedman – Ed. Pearson Addison 
Wesley (2004)