Logo Studenta

MATEMATICAS-FINANCIERAS 1

¡Este material tiene más páginas!

Vista previa del material en texto

APUNTES DE
MATEMÁTICAS 
FINANCIERAS
Profesor: Juan Antonio González Díaz
Departamento de Métodos Cuantitativos de la 
Universidad Pablo de Olavide
�
�������������	
�����
���
����������
��
���������
������
���������
���
����������
��
���������
������
��������
�
���������
 �������
���
����������
��
���������
������!
���"�����
#����������
���$�
�
#����������
�����
������
���
������
���
����������
��
��������%���&�
���������!
����'�
���
����������
��
��������%���&�
���������!
���"�����
���
����������
��
��������%���&�
������
�������������	
�(��)
���
������
����������!
������
#����"���
��
���*����&�
�����+����
,����'�-
������
#����"���
��
���*����&�
.���+�����
,����'�-
���"�����
��
������
#����"���
������
������������
,����'�-
���"�����
��
������
������������
�
	���
�����
���
�
��+������
��*�
/����
��
�������
���"�����
��
��+������
��*�
/����
��
�������
��+������
0��
��
������%��
��������
���������
���������
,�������
�����+�-
���"�����
��
��+������
���������
���������
��+������
0��
��
������%��
���
������
��
������%���&�
���������
,�������
)��1����-
���"�����
��
��+������
���
�����
��
������%���&�
���������
��2����(�
��( �
���
�
�
���(
���"�����
��
������
3
�
4

���2����(�

���+�����
	�����
�
����

���+�����
���
	$����
��
("��*�������
���������

���+������
���
���&�
����
�
���������
���������

���+�����
���
�������&�
��
	������

���+�����
���
�����
��
������%���&�

���+�����
���
�+�����
���
/�����
���&�

���+�����
���
���&�
����������
�
LEY FINANCIERA DE 
CAPITALIZACIÓN SIMPLE
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
����������	
�����
�
���
�������
�����
�����
��������
��
������
�����
�
��������� ������
�!��"#�$
�����
�����
���
�������������������������
	
���	���
��
�����
���������
����
����
��������	
���
�
��
	�����������
������	������� 	���	��
�
������������
	������������
���
���
�������������������������

��
������
��������������	����
��	����������	
����	
��
�
��
�
%���
�����
��
���
�"#�����
��������#������
��
��
�����
�
��
��� 
����#�
��������
������
����������#������
���$������
��������!��#
�����
��������
�������������
��������#�����# �������& ���
	�
�	
������
������������'����������
���� ������
����
��"#���( 
	����
� �
�������������
�
����������	���
�
	���	�
�
���	�
��
����
����	�����
�
����	�����	���	������
	�
�����
���	�
��	��
!���	��"����#���
	�
��	�
����
����
��
��	����
�	�
����

����
������ ���
#�
	�	��!
���� �
���
���
�
�����
����
����
��	����������������!
�������!����������

���������������
��
����
 �
�	
����������
�$	����������)� 	
���
�
��
������
��������
�����
��������
������#���
����
��
����
�����
��
��	�����
	���
	��
��
��

�������
���� ���
�����	���
�����
���������
�����
�%�����
���
����
�	���
���
�	�
����

�����
��	
�
���
��
���
�����	��������
	���#��
	���	�
�	&
'�(���
����
	�� �
�	
��	��
��
'�(�������������
���	����������� �
�	����
��
	��
��
�	
��
��
�������������
������
�����
'�(�������
��

��
��� �
���������
�����
���
��
����
�������������
�����
"��
�������
�
�����
�
	��
���
�	�
����

�����
����
���	����
�
	
	���
�
��
��
���
	��������
	&
'�"��
����%���
��
����������
�������
'������
���� �
�����������
��
�����)�
'�����������
����
�$	���� �
�	
��
�
���������
��
�����
www.clasesuniversitarias.com
�
*	%��������
���	�
��
��
�����
��*���*�����*����+��,�-��. 
���
�� �
���	��
�
����	�������
����%�������
�������
	�
���
�����	�
����
�
�
�#��������� ��������
������������ ,�.& �	�����
������
�����
�
����������
��

�����
���
�
��������
���
�����
�	����	���������������
�
���
����
( ) +∈∈ RC,Rtt,C
�+���������%���+�/����0�����*����+*&�
+��*��0��%���1����1��0�����*����+*&���	�
������
	������
�
��	���+��+��)���,��,��	���	�	�������
	�	����
�
�������	���
���)


����
��
�����
�������
	��

����	����
�
��
����	���	�	��������-���
C
t p
(V,p)
(C,t)
V= Proy p(C,t)
����������+*��0�����*����+* �����
�
�	
��������������
��
���
������#
��� �� �
���	�
����	� �
�
���
��
��
����%�	�)�
�
�
���
���	���	���� �
�	�
���
�
	���
��	��
����$�����	����*���*�����21�3*��������
	��

����� �
���	�����	� �
���	��
�����
�������
��
	����������
�
��
����	�������	��
.
��������
�����	��
�
�������	�
������
	�
���
	 ��
�����+ 
����
�
���
����
���+ )��, 
����
�
���
����
���,��	���
 �����
��
	�

������	
�
	����
��
�
����
�����
�
��������������������
��������
�����#�
�����
��������
�����
�������
�
������"#���#����#!��#�����
���
���� ��
������������������������������
$����������&
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
����������	
�����
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
��/����*����+*
(���� �
�������
��
���������
�
���	
��
���
�
	��
	����� �
�����	�	�!
��	����
�����
��
	���	�
����%�	� �
�����)��

��
���
	
�
	���
��
 �����
��
	���	��
	����� �
��
�����)��
�
����	
���������
��
�
����
��
�������
�����	�
������
	��
���	� �
�	
�����
�)�
����	� �
�������
��
�	
���
�����	��������
��
�
��������$��������
����
�� �
��
��������
���	�	����
���&�#�
���!� ��
�����
&
"����!� ��
�����
 	
��
���
�
����������
������
����
����������������������$	��
��
�������
��	�
�������
�����	����
�
	
	�����
��
����#���
����
�������	�������������
��
��������)/��
���
	
�
���������������
���
�����
����
�������
��
����
����
"������	��
)������
�
�������
����
���������
���
	�����
��
���
�����
�(��)


���������
�
��� �
������������������
����
����
�
��-��
��!�������
t1 t2Capitalización t1 t2Descuento
�
�
�
>
<
===
ptsiptCA
ptsiptCL
ptCFtCoyV p
);,(
);,(
);,(),(Pr
*�"����0���	
��
�������1�
)������
�
����
�
�������#�
����
���2�)���*����0���1�
)������
�
����
*
�����#�
�������
��
	
�
����
���2�
3���4���������)


����-�	
��
��������������
�
�����
��
����������
������
���
3���5������(��)


�����

��
�
�������
��
��������
	
����������������
������
��
�����������	������
�
����
����
�
������	����
�
��
	��
)
	������
�
��	� �
�
��	�
��)�
�������
������	
��������	�	����������	�
������
	���������	��
����$���	
��������#�����	����
�
��
	���
��
���
	������
�
��	��
www.clasesuniversitarias.com
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
���+*��0�����*����+*
3
�
���
��
�������
��
���������
�
�������#����#���� �
���������	��
���
��� ���������������	�
 �����
��
	�
������������
���������������������
�����
��������
�
�����
�������!� ��
�����
�
����
����������
��� ��
����
��
���������
�
���	
��
��
������
��!������
����!�	��
�
�!���
����	�)�����	���
�	�����
���
	���)���	�����	�
����%�	� �
�	
�	�
�
��
��
����
�����*	%������
!
���������
��
	�����
������$	�������������
��
�
����
����������
����������
��
��
�	����
������
	�
�����������
��������
�����
��������
��
����$	������)����	�����	�
�
�����
�	����	�
����	��������
�
����
���� �
����
������
��
�����(�������
��
�����
��������
��
���������
����������
���
�������
��)����	�
����	��
�����
�	��
"���
���#�
�����
�������
��
���������
�
��������
�������������� �
�	
��#���
��������#����&�
+�6��#����#���������
���
���& 7���
�
��	����������
�
�������
�����	��
�������
	�����������	��
,�6��"#�$
�����
��"�	�
������
	������
�	
��
 �����
��
	��
	��

�����
�
��
	�������
��������
�
�����
������
)������
�
���
8�6�*����
��������#�
���!� ��
�����
��.
�
�
��	�����
�
����	���
�����������
��
�
�������
��������
��
�����	�)�

���������
���	�
������
	� �
�
��������������
��
������
	��������
����
��	��
��
�����
���	����
�
	
	��
�
����	��
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
��/����*����+*�%���*���*��4*��0��������
���
��3�	�
������	�
���
���������#�
����3����
�	
�
��	��
��� �
���	����
�
	
	� �
�	
��
�
����
�����9��	���	�
���
�
�����
	�)�	
�
��
�����	���
�
����������:��
��� �
�	
�����
��
��)� �
��
�������
��	��;��
	��

������	����
�
	
	� �
�	
�
�����
�
������������������
���	���	�����	��
�����	� �
�	
������
�
�������
�	�������	
������
������������
����������
����
����������
�����	���
#���	����
�
	
	��
���3�	�
����
���������#�
����3����
�	
�
���
	����
�
������"�<�=:>*>�:�?*�.���*(:@*":A*�:B>�3:C("��� �
�
	
�
���
	���
����	����
��
����
��&
( ) ( ) ptconitpptL �⋅−+=1;
�
�; ����������#�
����3����
� 3�
����1�2�
��@������@������
�:��
�$	�*�����3����
D3��
��	��
����	�1�2�
����
�����
�����
���������
��
��
������	�
�
�������	�����
��	� �
��E;�
D3��
��	��
����	�1�2�
����
�����
�������������
���
������	�
�����������
�����
�1�2��9�	��
����
	��E��
D3��
��	��
����	��; 
����
��
������� �
����
�����	�
��
�����
����;�
D3��
��	��
����	��� 
����
��
��������
������������������
�������
�	�����
��
�����
�������C������
�
www.clasesuniversitarias.com
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
( ) ( ) ( )[ ] ( ) nCinCitpCptLCptCL =⋅+⋅=⋅−+⋅=⋅= 11;;; 0000
( )inCC n ⋅+⋅= 10����*���
Ley homogénea de grado 1 t=0 p=n
.���
&
�� E��������
���E�
����������
���
��E��6��
��9�	��
	�
�
���
�
���
�����
��
����������)�
�����
�����
�	��������
���
��E��������
����
�$	�������	����
� �
��
��
	
����
�����
�$	� �
�
��
���
������������������
������������
�+��9�
�
�; ����������#�
����3����
�
Generalizando
��/����*����+*�%���*���*��4*��0��������
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
���
�����
��C������
���
��������
�������������
���
��(
����������� 	
�
��	��
��� �
�
��
������������
�����
����
�
	
	�
	����
��
��
�
��

����������
�����
	��

������	����
�
	
	����	
��
����������
�����������������
�
�����
������������
�
������	���
#����
�
	
	�
��
�
�����	�	�
	���	��*	%�����
��������; ���
�����
�����
�������
���
�����
�
����;F�� �����
��
��
�����
����
�
	
	�)��	%�

�����9�������������
�������
��	��
������
*��
����������
������	���	����
�
	
	�����
�������
��	�����
��� )�����
��
	
�����	������� 5��6 ,7�8����.
����
���&��	�������)


���������
�
����
����
�����������������
���
������1�2�����
����������
)������
�
����
�
�������#�
����	����
�
Gráficamente 
La característica de esta operación es que la variación del capital financiero para 
dos momentos de valoración consecutivos es constante y proporcional al valor inicial C0, es 
decir el rendimiento en cada período se mantiene constante. 
n 
C0
Cn 
0 1 2 n -1 n
:�E�����
�; �; G��; � GHG��; �E
E�; �+G���D+���
�; G��; � GHG��; �E
E�; �+G�����
:�E����� :�E�����:�E�����
�; G��; �
E��; �+�G����
�; G��; � G��; �
E��; �+�G�,����
www.clasesuniversitarias.com
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
:��
���
��
����

�����
���
��������
����
�$	����
(����
	�������������
���
��
����

�����
���
���������
����
�$	������	���
	�������
���������
��
�+������
��������������
�
��
����
� �G+
+�����
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) iiittttL
itpCptCL
+=+⋅=⋅−++=+
⋅−+=
1111111;;1
1;; 00
(���
��	��

������������� �
�����
	���������
����������������������
������
��������������
���
����
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
:��������
D 7�)� �
����
�
�
����
���
�
���9�����������8IJ��%�	��)�
��
9���������
��,:;6��<
�.& �������
�����
����	���
��
���
	�
�����
�
��	�	����
	������#��
��	�
���9��
��
�
����
D �����
��������)�
��������
����
�$	������
�
��
	�����
�
�
�
����	��������	�����������
��������3�������!���	�
����9�	��
�������
�
����
�$	���
�
� �
�	
���������	�������!���	�
���	
�
	��
	��
��������
����
�$	���
�
� �
�	
��	
�
	������
�
�
���
�����
��:>@�?K3
.
������	�
��:>@�?K3��:��
����������
�
�
���
���
�
���������
����
����������)�
��
����������
���������
����
��
���;��
( )
inCI
inC
CinCCCinCCCI n
⋅⋅=
⋅⋅=
=−⋅⋅+=−⋅+=−=
0
0
000000 1
www.clasesuniversitarias.com
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
"
)��
���������#�
����3����
�=��

������
*�� �
�
���9��
	�����
�������	������#��������
�������#�
����	����
�	
�����
��
��������
��
������
��
���
	���
��������#��
����
����
	��
	���
	
	H�(��������
�
������������������	��	
�
�����������������
��
������
����
����	
��
�
��������������
��
���������
�������
����
�$	�
 �����
��
� �
��
���������	����
�����
������
(���
!
����& C
	
	�HHHHHHHH�� �+,
�������
	��
	�HHHH �8
.%�	�HHHHHHHHH �8I;
L�
����HHHHHHHH �+/,
=�����������
�
������
���
�����������
�����������)�������
���������#'<�����������>���������#'�������� ����#�����������
9�?&
����������������)�����
����� �����������
����
�����<����=@?�!���������
����������=�@?&
0 1 n-1 n años
1 k kk 1 2 ……………….2 ……………….
C0 Cn
( ) ( ) ( )
( )
( )kn
kk
inkCC
InicialCapitalCañosnpytSi
itpkitkpkpktkL
⋅⋅+=
===
⋅−+=⋅−+=
1
0
11;
0
0
��������
��� �@ �

��
�
�������
��
��
�������
�����)���������@A)���
���	�
����M 
�����
����
�
�
�����	���
��	��
����
������9����	�
�������MD
$	���� �
��
	
����
���
�����
���� �
�������
�����
���
����
���� MD$	��� �
��9��
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
� �����
�
���
���
������	��
����
�$	
.��
��	� �
���	��
�������������)�������"#�$
������ 
����������
���	������	���
����������
����������
�
����	�����
��������������
���������
	������
	�
( )
( )kn
n
inkCC
inCC
⋅⋅+=
⋅+=
1
1
0
0
( ) ( )
k
i
iiki
inkCCinCC
inkCinC
kk
k
k
=⋅=
⋅⋅⋅+=⋅⋅+
⋅⋅+=⋅+
0000
00 11
����������
������
����=�@?�
���
������������)�������������������������
�#��@A)���� ���
9�&
� �����
�
���
���
����
�
��
	������	��
����
�$	�MD$	����
	
?
�
���
��	�
���������
�
	�	������	���	�����
�$	�������
 �����
��
�
"�
����������
��	�
���
�
���	�
k
k
ikikPeríodo
ikikPeríodo
⋅=
⋅= '''
kk ikik ⋅=⋅ ''
www.clasesuniversitarias.com
	
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
"���
)�=����
�
����
���������#�
����3����
��������������'���
N����
)������
�
���
	�
	
������
�	��������

������
���
�������
����
�	����
���������
����
�����
	�
����	���
"���
)������
�
����
�
�������#�
����	����
��������������'����
	��

����
���������
��
�������
�	�������%�����
	
������������
�	����
�������	����
�	���
	�	�
	���	��
�������
����
�����
#�
���������
���
�
��
�����
��������
��������#�
�������
�����
������
�
��!����"#��������
���
����"#���#����������"#�$
����������#�����������������������������������������������
��������&
C0 Ch Cn
+���3���
	
������������
�	����
���������
�	
�%�&������ E��; �+G�����
,���	
����
����������
�	����
����	&
�� E��; �+G�����
�� E��� �+G���D������E��; �+G��������+G���D������E��; O+G���D���� G���� G�����D����,P�E�
E��; O+G���� � ��� G���� G�����D����,P�E��; �+G������G��; �����D����,� 5��; �+G������E���
5;
0 h n 
(����
���
	��
����"
)�=����
�
����
���������#�
����3����
�����
������������������'�� BBBB��C�DDDDD
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
�!
������
�>Q��3�:>.:L:":.*.�.��"*�"�<�=:>*>�:�?*�.���*(:@*":A*�:B>�3:C("�&�
��E�+�;;;�R
��E�,��9�	
��E�ST�	����
������
C0 C1 C2
0 1 2 
�� 3�������������	�������
�	���&����E E�+�;;;�F��+�G�,�F�;�;S��E�7&7;6�F
���3��
	
������	�������
�	����
����	����
�	���
	�	�
	���	&
*9��+&��+ E�+�;;;�F��+�G�+�F�;�;S��E�+�;S;�R
*9��,&��E E�+�;S;�F��+�G�+�F�;�;S��E�7&7;;�G6F���U��7&7;6�F��)�� �
�����
)������
�
����
�
�������#�
����	����
����
	�
	
������
�
www.clasesuniversitarias.com
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
"���
)�=����
�
����
���������#�
����3����
�
	����
����
��
��
	��

�������"
)�	
�
����
�������
�%���	���	�����	��
���
�����
��� �
�

�
�����
��������	���
�����#���������������������������������!��
� ��
��(
�������������������
t pt+h p+h
( )( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( )itpCitipC
ihitihipCihthpC
ihthpCitpC
queocurrirDebe
⋅−+=⋅−⋅+
=⋅−⋅−⋅+⋅+=⋅+−++
⋅+−++=⋅−+
11
11
11
:
00
00
00
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 52 7
0 1 . 0 0 0 , 0 0 €
5 %
1 . 0 0 0 (1 ( 5 0 ) 0 , 0 5 ) 1 . 2 5 0 , 0 0 €
1 . 0 0 0 (1 ( 7 2 ) 0 , 0 5 ) 1 . 2 5 0 , 0 0 €
n
n
C
i
C
C
=
=
= + − • =
= + − • =
�
�
www.clasesuniversitarias.com
��
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3
�����
��
����
��������
�J�;;;�
���	������������
����
�$	��
��JT�������	����
�
�� Q��
�
��
���������
�)���	����
�
	
	����
�����
�V��9�	
�� Q��
����
���������
����
�����
�,J��
	
	

� W���������
��������
�
	�������
������
��
���������������
�
������������
��
�I�;;;�
���	X
�� W*� �$�������
����
�$	����
	����������
����
��
�������	��
���������
��	
�
��
���I�S;;�
���	����	�I��9�	X
(?QL"�C*�+&�
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
���� E��;��+G���
�� E�J�;;;�F��+�G�V�F�;�;J��E�I�;;;�����	
: E��� D �;�E�I�;;;�� J�;;;�E�+�;;;�����	
���� �� E��;��+G���
�� E�J�;;;�F��+�G�,J/+,�F�;�;J��E�J�J,;�S8�����	

��� �� E��;��+G���
I�;;;E�J�;;;�F��+�G���F�;�;J�
+�,�E�+�G���F�;�;J
;�,�E���F�;�;J
��E�V��9�	
���� �� E��;��+G���
I�S;;E�J�;;;�F��+�G�I�F���
+�8I�E�+�G�I�F��
;�8I�E�I�F��
��E�;�;I��IT�
3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�+&
www.clasesuniversitarias.com
��
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3
�����
��
����
��������
�+;�;;;�
���	������������
����
�$	��
��8T�������	����
�
�� Q��
�
��
���������
����
�����
�S��9�	
�� ���
�����
���������
�������	��	
��
���#����������
���
�������#�
����������
���	�����
��	�
�������9�	�)�
���
	�������	
�

�������#��������
���	�
������	����
��
	�

� Y�$����
�
�
��	����

��	�
���
���	��
	������	����)���
�� ���
�����
���������
����
�����
�S��9�	�	��
��������
����
�$	��������	���
	�������	��9�	����%���
��8T����VT
(?QL"�C*�,&
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
�� �� E��;��+G���
�� E�+;�;;;�F��+�G�S�F�;�;8��E�+,�V;;�����	
0 1 2
��E�8T
3 4 5 6 7 8
�Z�E�VT
C0 Cn
I = C0 n i I’ = C0 n’ i’
���� �V�E��;��+G���
�V�E�+;�;;;�F �+GVF;�;8��E�++�,;;�����	
�� E��V��+G���
�� E�++�,;;�F��+�G�V�F�;�;8��E�+,�JVV�����	

��� 3������
�
��
	���� �
����
��
�����
���������
����
��
����
��
���
������V�)������#���
	
��������
����
��
���������

��
�����
���������
���������
���
�����������	����
�
	
	����
����	�������
�
	�	�����
��	��
�����	������
��
�������	����
�
	
	 �
��	��
�����	�������	���	���������
������
�������	�
���
����"
)�=����
�
����
���������#�
����3����
�
��
:�E�+;�;;;�F�J�F�;�;8�E�+�J;;�
���	
:Z�E�+;�;;;�F�8�F�;�;V�E�+�,;;�
���	
�� E��; G�:�G�:Z�E�+;�;;;�G�+�J;;�G�+�,;;�E�+,�[;;�����	
3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�,&
www.clasesuniversitarias.com
��
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
(?QL"�C*�8&�
Q��
�
��
��������
����
�$	�����������	����
�)�
��������
����
�$	��
�	����	����
���+,��
 �����
��
	��&
�� :��
�$	�����
	�����	����
��
��8T
�� :��
�$	�	
�
	�����	����
��
��J�T

� :��
�$	�
������
	�����	����
��
��8�JT
�� :��
�$	���������	����
��
��ST
� :��
�$	����������	����
��
��++T
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�8&�
�� �V�E�;�;8
��E�M�F���M�E�V�F�;�;8�E�;�+,��+,T�
M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�V�F�;�;8 ��+,�E�V�F�;�;8�/�+,�E�;�;+��+T�
����,�E�;�;J
��E�M�F���M�E�,�F�;�;J�E�;�+;��+;T�
M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�,�F�;�;J� ��+,�E�,�F�;�;J�/�+,�E�;�;;S88��;�S8T�

���8�E�;�;8J
��E�M�F���M�E�8�F�;�;8J�E�;�+;J��+;�JT�
M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�8�F�;�;8J� ��+,�E�8�F�;�;8J�/�+,�E�;�;;S[J��;�S[JT�
����+/,�E�;�;S
��E�M�F���M�E�+/,�F�;�;S�E�;�;V��VT�
M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�+/,�F�;�;S����������+,�E�+/,�F�;�;S�/�+,�E�;�;;88��;�88T�
���+/8�E�;�++
��E�M�F���M�E�+/8�F�;�++�E�;�;8I[��8�I[T�
M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�+/8�F�;�++����������+,�E�+/8�F�;�++�/�+,�E�;�;;8;J��;�8;JT�
www.clasesuniversitarias.com
��
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
(?QL"�C*�V&�
3�����
�����	���)�8�;;;�
���	��,�J;;�
���	�����	�	
�	��
	
	�)�J�;;;�
���	�����	�+8��
	
	��Q��
�
��
���������
����
�������
��	���	��9�	��������	�	����
��
	�����	��
����
�$	&
�� N��[T�������
�� N��8T�����
	�����

� N��,T����
�	���
�� N��+,�JT��������
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�V&�
�� �� E 8�;;; F �+ G , F ;�;[� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/+, F ;�;[� G J�;;; F �+G �,VD+8�/+, F ;�;[�
�� E 8�V,; G ,�[I,�J; G J�8,;�S8 E ++�J;8�88 
���	
0 6 meses 2 años
3.000 2.500
13 meses
5.000
�� �� E 8�;;; F �+ G ,V/8 F ;�;8� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/8 F ;�;8� G J�;;; F �+G �,VD+8�/8 F ;�;8�
�� E 8�[,; G ,�\J; G J�JJ; E +,�,,;�;; 
���	

� �� E 8�;;; F �+ G ,V/, F ;�;,� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/, F ;�;,� G J�;;; F �+G �,VD+8�/, F ;�;,�
�� E 8�[,; G ,�\J; G J�JJ; E +,�,,;�;; 
���	
�� �� E 8�;;; F �+ G ,V/,V F ;�+,J� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/,V F ;�+,J� G J�;;; F �+G �,VD+8�/,V F ;�+,J�
�� E 8�8[J G ,�[8V�8S G J�,SI�VI E ++�8\J�SV 
���	
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�(�
�����
www.clasesuniversitarias.com
������������
�+�����
����������6��
)��6�������
��"��
��
(��6���
Profesor: Juan Antonio González Díaz
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
3�������
��	�	�
����
�
�������#�
����	����
������#���	������	����������
����
�$	�1�2��������������
��
����#���
����
�������	�������������
��
�������������
���
	
�
���������#��
��	������	���
��
	
�
����=�? �����
��������
����
�������
�����
������	�������������
��
�������)��
��
	
����
����������������"#���# ���#�
�
#���
�������
��
�$
���
�
�#�����<����
���������#�$�����������
������"
)�=����
�
����
�.
	
�
�������
�
����3����
 	
�
��	��
��� �
�
���

�

���
���� �
�	
������
�
	�

��	����
�
��
�����
�%����)�������
���������
������������
�
������
	
������
( ) ( ) ptcondptptA >⋅−−= 1;
��/����*����+*�%��%���1�����������
�
� 
���
�
�����
V= Proy p(C,t)
� 
�
 ���������
�
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
( )dnCC n ⋅−⋅= 103*��+�%������*%�,3*��+�*��1*�.
.���
&
�; E�-�������

������-�����.
	
��������-�����*
����
�� E�-�����>��������
�������������
	
�����
��E��6��
��9�	��
	�
�
���
�
���
�����
��
��������� )�
�����
�����
�	��������
���
��E��������
��
	
�
����������	����
� �
��
��
	
����
���

�
�
���� �
�
��
���
���������������
���
������������
�+��9�
3�
����1�2�
��@������@������
�
.
	
�
����*�����3����
( ) ( )[ ]
( ) ( )
0
1;;
1;;
0
==
=
⋅−==
⋅−−=
pnt
descontaraCapitalC
dnCCptCA
dptCptCA
n
nn
��/����*����+*�%��%���1�����������
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
���
�����
��-�����
�

��������
	
������
���
��������
����������������#����������� 	
�
��	��
��� �
�
��������
�	���
�
�� �
�	
�����
��
��
�
	
�
����
	�	�
���
�
�����������
��
����������
	
�������*	%�����
��������� �
	
�����������
�������
�
��
����	����
���F�� �����
��
��
�����
��
	
�
����)��	%�
�����9�������������
�������
��	��
������
*�����������
��
��������
��	���	��
	
�
���	�����
�������
��	�3
����%������
�� )�����
��
	
�����	����&
�6 5��� ,7�A ���.
 � � ���� �
����D�� �EE���+D��
�� � ��D+���� �E
E�� �+D ��D+����
�� D ���� �E
E�� �+D ����
���������������� ��� �
��D ,��� �E
E���+D,��
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
Gráficamente 
La característica de esta operación es que la variación del capital financiero para 
dos momentos de valoración consecutivos es constante y proporcional al valor nominal Cn,
es decir el decremento en cada período se mantiene constante. 
n 
C0
Cn 
3
����� ����$�&��	�������)


���������
�
����
����
�������������
����
���
������1;2�����
����������
)�
�����
�
����
��
	
�
����	����
�
���
�����
��-�����
�

��������
	
������
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
:��
���
��
����

�����
���
������	���
��
	
�
�������
(����
	�������������
���
��
����

�����
���
������	���
��
	
�
�������������	���
	�������
��
�

������
�+�
����������
�������	����	������������
��������������
���
����
t-1 t
+�����
( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( ) dddttttA
dptCptCA nn
−=−⋅=⋅−−−=−
⋅−+=
1111111;;1
1;;
��������������������
����"#��,�.��������������"#�������'���
�
�������������
��#�
�#���
��
�����
��
����#�
�#���
��������������������������"#��H
'�<
�"#���������
����
�7�#&�&��
�
�

���
��
���#��������'����
��7�
9�&
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
:��������
D 7�)� �
����
�
�
����
���
�
���9�����������8IJ��%�	��)�
��
9���������
��,:;6��<
�.& �����������������
��
����
������� ��
�����
����������#����(
���������
9���������
�&
D �����
��������)������	���
��
	
�
���������
�
��
	�����
�
�
�
����	��������	�����������
��������3��
�����!���	�
����9�	�������	���
��
	
�
������
�
� �
�	
���������	�������!���	�
���	
�
	��
	�������	���
�
�
	
�
������
�
� �
�	
��	
�
	������
�
�
����#�������%���1���������+��*�
.
������	�
��.�3�N�>@Q��QC�?�:*"��.
��
����������
�
�
���
���
�
��>��������
����������=����
�
��������)�
��-�����.
	
���������;��
( )
dnCD
dnC
dnCCCdnCCCCD
nC
n
nnnnnnC
⋅⋅=
⋅⋅=
=⋅⋅+−=⋅−−=−= 10
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
"
)��
�.
	
�
�������
�
����3����
�=��

������
*�� �
�
���9��
	�����
�������	������#�����
���
	
�
����	����
�	
�����
��
��������
��
������
��
���
	���
�����
���#��
��������
	��
	���
	
	H�(��������
�
������������������	��	
�
�����������������
��
������
����
����
	
��
�
��������������
��
������������	���
��
	
�
����
 �����
��
� �
��
���������	����
�����
������
(���
!
����& C
	
	�HHHHHHHHHH���+,
�������
	��
	�HHHHH�8
.%�	�HHHHHHHHHHHH�8I;
L�
����HHHHHHHHHH���+/,
1�	��

����������
����������
�����
������
���
	
�
��������
���	�
���	��%���
	�
�����
����
�	���
�����	�
��
�����	�
��
���9�2�
"����	���
��
	
�
����
	������
�
�������������������
�%����1M2�)�����
�����
��	�����1�M2�
www.clasesuniversitarias.com
�	
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
0 1 n-1 n años
1 k kk 1 2 ……………….2 ……………….
C0 Cn
( ) ( ) ( )
( )
( )kn
kk
dnkCC
EfectivoValorCañospyntSi
dptkdpktkpktkA
⋅⋅−=
===
⋅−−=⋅−−=
1
0
11;
0
0
��������
��� �@ �

��
�
�������
��
��
�����������#�����
�������
���������@A)���
���	�
����M 
�����
����
��
�����	���

��	��
����
������9����	�
�������MD$	������
��
	
����
��
�

�
�
���� �
�	���
����
����
���� MD$	�����
��9��
"
)��
�.
	
�
�������
�
����3����
�=��

������
www.clasesuniversitarias.com
0 2
+�;;;��;
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�;�E��� �+D ����
�;�E�+�;;;�F��+�� ,�F�;�;I��E�SS;�����	
��E�IT�
0 6 m
+�;;;��;
��E�IT�
�;�E��� �+D ����
�;�E�+�;;;�F��+�� I�F�;�;I��E�IV;�����	
�;�E��� �+D ����
�;�E�+�;;;�F��+�� I/+,�F�;�;I��E�\[;�����	
www.clasesuniversitarias.com
�
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
� �����
�
���
���
������	��
��
	
�
����
��
�
���
.��
��	� �
���	��
������������#����������"#�$
������ 
����������
���	������	���
�������������
�
����	���
��
����������������
�

����	������
	�
( )
( )kn
n
dnkCC
dnCC
⋅⋅−=
⋅−=
1
1
0
0
( ) ( )
k
d
ddkd
dnkCCdnCC
dnkCdnC
kk
knnnn
knn
=⋅=
⋅⋅⋅−=⋅⋅−
⋅⋅−=⋅− 11
3
��
�����������������1�M2�����������
��
	
�
����	����
�

���
	�����
��
������MD$	�����
��9��
� �����
�
���
���
����
�
��
	������	��
��
	
�
���	�MD$	����
	
?
�
���
��	�
���������
�
	�	������	���	����	���
��
	
�
����������
 �����
��
�
"�
����������
��	�
���
�
���	�
k
k
dkdkPeríodo
dkdkPeríodo
⋅=
⋅= '''
kk dkdk ⋅=⋅ ''
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
"���
)�=����
�
����
�.
	
�
�������
�
����3����
��������������'���
N����
)������
�
����
��
	
�
����
	�
	
������
�	��������

������
���
�������
��
	
�
����
��
�

�����
���
�����
	�
����	���
"���
)������
�
����
��
	
�
����
��
�
����	����
��������������'����
	��

����
��
�

������
������
��
����
�
��
	
�
�������%�����
	
�����������	���
�������	��
	
�
���	�	�
	���	��
�
	
��������
�����
#�
��
�

�������
�
��
�
���
��������
��������#�
�������
�����������
�
��!����"#��������
���
����"#���#���������
�"#�$
����������#�������������������������������������������������������&
(����
���
	��
����"
)�=����
�
����
�.
	
�
�������
�
����3����
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
+���3���
	
������
���
	
�
����
��
�

�����	
�%�&�����; E��� �+D ����
7
8
�� �� ��
 �� ��
,���	
����
����������
�	����
����	&
�� E��� �+D ��D�����
�; E��� �+D �����E��� �+D ���D��������+D �����E��� �+D ����G�������+D�����E�
E��� �+�� ����� ����G������,G�����D�, �,P�E��� �+D �����G��� ����, ����,��� 5��� �+D ����
�����
������������������'�� BBBB��C�DDDDD
(����
���
	��
����"
)�=����
�
����
�.
	
�
�������
�
����3����
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�!
������
�>Q��3�:>.:L:":.*.�.��"*�"�<�=:>*>�:�?*�.��.�3�N�>@Q�3:C("�&�
��E�+�;;;�R
��E�,��9�	
��E�ST�	����
������
 �� ��
�� �� ��
�� 3�������������	�
���
	
�
���&����6 E�+�;;;�F��+�D ,�F�;�;S��E�IG6�F
��� 3��
	
������	�
���
	
�
����
������	���	�	�
	���	&
*9��+&��+ E�+�;;;�F��+�D +�F�;�;S��E�\,;�R
*9��;&��6 E�\,;�F��+�D +�F�;�;S��E�IG;�G6�F���U��IG6�F
�
���!� ��
�����
��������#������������
����������������������'��&
(����
���
	��
����"
)�=����
�
����
�.
	
�
�������
�
����3����
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
����(	��!
�
��)
	�(
 �	����(
www.clasesuniversitarias.com
������������
�+�����
����������6��
)��6�������
��"��
��
(��6���
Profesor: Juan Antonio González Díaz
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
��!����
�����
����%���#������������+
����
�
"���
)�=����
�
����
�.
	
�
����3����
�?�
������
	�������
��
�����
�
�	���
��)���������������
��!�����
���
����
"
)�=����
�
����
���������#�
����3����
�
���
��.
	
�
����?�
�����������#��
��	�
����1��	���
��
	
�
���2�
����	���1������
����
�$	2� �
������#���	�
�����
��
��
�����
���������
�
�����"
)�=����
�
����
���������#�
����3����
��
	��

������� �
�	
�����	�
���
��

��
�����
��
	
�
���������
���
����
��
���
�
���
�����
����
��������������#���	������
�������������
����
�$	�
1�2��
 �
�
 ���������
�
 �
�
 ������
������� �
( )inCC n ⋅+⋅= 10
( )
( ) 10 1
1
−
⋅+⋅=
⋅+
= inC
in
C
C n
n
CQ>@*>@�
-*"Q?��=��@:-Q��>��"
.�3�N�>@Q�?*�:Q>*"
"��"
)�=����
�
����
�.
	
�
����3����
�?�
������
	����!�����
���
���
>Q��3� �3�:>.:L"��
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
���
�����
���
	
�
������!��.
	
�
����?�
�����
���.
	
�
����?�
��������C��
����
��������
�
��	�
����������
�
�
���
���
�
��-�����>�������)�
��-�����
��

�����
in
inC
in
CinCC
in
C
CCCD
nnnn
n
nnR
⋅+
⋅⋅
=
⋅+
−⋅⋅+
=
=
⋅+
−=−=
11
1
0
in
inC
D nR
⋅+
⋅⋅
=
1
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�������
����
���
���	��
)
	��
�.
	
�
�����
��
�
����)���
�����������
����
��
Equivalencia entre tasa de interés y tasa de descuento
Un tanto de descuento “d” será equivalente a un tanto de interés “i” si descontando el mismo Capital Nominal (Cn) durante el 
mismo período de tiempo (n) nos da el mismo Valor Efectivo (C0).
Efectivo del Descuento Comercial C0 =Cn (1- n d)
Efectivo del Descuento Racional
in
C
C n
⋅+
=
1
0
Serán equivalentes “d” e “i” si los Valores Efectivos son iguales:
in
C
dnC nn
⋅+
=⋅−⋅
1
)1(
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
ni
i
d
inid
nd
d
i
ndid
ndiid
dinnind
ndni
nd
ni
+
=
−+=
−
=
−+−=
−+−=
−+−=
−+=
−=
+
1
)1(0
d""común factor Sacando
1
)1(0
i""común factor Sacando
0
npor Dividiendo
0
)1)(1(1
1
1
1
2
��5��
��4��
in
C
dnC nn
⋅+
=⋅−⋅
1
)1(
�������
����
���
���	��
)
	��
�.
	
�
�����
��
�
����)���
�����������
����
��
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
(�������
���
���#������
������
����
���
����"
)��
�.
	
�
�������
�
����3����
�)����"
)��
�.
	
�
����
?�
������3����
���
�
��	� �
�
	����
��
������
��	�� �
������	���
��
	
�
����1�2�
	��������������	��
�
����
�$	�1�2 ��E��
.
	
�
�������
�
��� .� E��� ���
.
	
�
����?�
�����
in
niC
D nR
⋅+
⋅⋅
=
1
3���E�
.� E��� ���
in
niC
D nR
⋅+
⋅⋅
=
1
3��
��
�����	�������
�
�
���
���
�
��.
	
�
�������
�
����)�
��?�
��������
�
��	&
.
�� .��E
DrDc
ni
inC
ni
ni
niC
ni
niC
ni
inC
inC
n
nn
n
n
>
>
+
=
=
+
−+
=
+
−=
+
−
0
1
)
1
11
()
1
1
1(
1
22
�������
����
���
���	��
)
	��
�.
	
�
�����
��
�
����)���
�����������
����
��
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�������
����
���
���	��
)
	��
�.
	
�
�����
��
�
����)���
�����������
����
��
Q�����������
��
���#������
�����������
���
�����	��
	
�
���	�
	&
)1(
1
niDrDc
ni
Dc
Dr
+=
+
=
(����������������
��	��

��� �
�
��.
�
	
��C������
��
��.��
(���
	�
���������
��.
�	
�
���
������$�

����
��1.
	
�
����N	��
��2�
.
	
�
�������
�
��� .
E��� ���
.
	
�
����?�
�����
in
niC
D nR
⋅+
⋅⋅
=
1
3���E�
.
E��� ���
in
niC
D nR
⋅+
⋅⋅
=
1
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�
��)
	�(
 �	����(
El descuento bancario es una operación en la que la entidad financiera asume la posición acreedora al entregar su
cliente el valor descontado de un capital financiero futurodocumentado mediante un efecto de comercio.
Para la obtención del valor descontado que la entidad financiera entrega al cliente se aplica la ley financiera de
descuento comercial simple al tanto estipulado por la entidad, deduciéndose también las correspondientes
comisiones y gastos asociados a la operación.
Tipos de descuento bancario
• Descuento de efectos comerciales: cuando los efectos a descontar proceden de transacciones comerciales y el
objetivo del descuento es obtener liquidez. Estos efectos se conocen como papel comercial.
• Descuento financiero: cuando se trata de una operación de préstamo que concede la entidad financiera al cliente
que se formaliza a través de un efecto de comercio.
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
GgNd
n
NE −⋅−�
�
�
�
�
	
⋅−⋅=
360
1
Cálculo del Efectivo que entrega la entidad financiera:
E = Efectivo entregado por la entidad financiera
N = valor nominal del efecto descontado
d = tanto de descuento anual simple aplicado por la entidad
g = comisión de cobranza. Es una comisión destinada a compensar a la entidad financiera por realizar la gestión del 
cobro que se produce en el momento del vencimiento del efecto. La comisión se determina como un porcentaje del valor 
nominal.
G = otros gastos asociados a la operación por cuenta del cliente.
�
��)
	�(
 �	����(
0 n
E N
( )dnCC n ⋅−⋅= 10
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�
��)
	�(
 �	����(
El cliente debe presentar el efecto a descontar timbrado de acuerdo con la escala de gravamen que en vigor. Por lo tanto, la
cuantía neta o Líquido de la operación de descuento bancario es el siguiente:
TEL −=
Cálculo de la rentabilidad efectiva obtenida por la entidad financiera (ib)
Es el tanto de interés anual simple que mide la rentabilidad obtenida por la entidad financiera en la operación de
descuento. Este tanto efectivo viene dado por el tipo de interés que iguala financieramente las cantidades efectivas
entregadas y recibidas por la entidad financiera en la operación de descuento.
1
3 6 0
b
n
N E i
	 �
= ⋅ + ⋅� �
� �
0 n
E
0 n
N
Banco paga
Banco recibe
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�
��)
	�(
 �	����(
Cálculo del tanto efectivo para el cliente
Es el tanto de interés anual simple que mide el coste que supone para el cliente realizar la operación de descuento
bancario. Este tanto efectivo viene dado por el tanto de interés anual simple que iguala financieramente la cantidad
liquida recibida en el momento inicial y el nominal del efecto descontado.
1
3 6 0
c
n
L i N
	 �
⋅ + ⋅ =� �
� �
Efectos impagados. Letra de resaca.
Si llegado el momento del vencimiento del efecto el librado no paga la cantidad debida, la entidad financiera debe
presentar el efecto al protesto ante notario. Una vez realizado esto, carga al cliente el siguiente efectivo que desea
recuperar :
cppdR GGNccNNE ++⋅+⋅+=
0 n
L
0 n
N
Cliente recibe
Cliente paga
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
!
��( �
���
www.clasesuniversitarias.com
������������
�+�����
����������6��
)��6�������
��"��
��
(��6���
Profesor: Juan Antonio González Díaz
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�+�	���*�7J
3
��
	
���
	
���������
��������
�J�;;;�
���	�� �
��
�
��
������
�8��
	
	�������JT�������	����
�
�� Q��
�
��
��
�

�����	�����
������������
�
��������!��
������������
��
	
�
���
�� Q��
�
��
��
�

�����	�����
������������
�
��������!��
������������
����
�$	

� W���� �$�������
��
	
�
���������!������
������� �
��
�
���
������
�

������
�V�\J;�
���	X
�� W���� �$�������
����
�$	������!������
������� �
��
�
���
������
�

������
�V�\J;�
���	X
� WY�$��
��
����
��	�
�
���
�
��������
��
	
�
�����
��������������)�
��������
����
�$	��
�����������
�X
www.clasesuniversitarias.com
�	
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
���1�����*���+�	���*�7J�
�� �;�E��� �+D ����
�;�E�J�;;;�F��+�� 8/+,�F�;�;J��E�V�\8[�J;�����	
���� �;�E��� /��+�G�����
�;�E�J�;;;�/��+�G�8/+,�F�;�;J��E�V�\8S�,[�����	
��� ���������
��
	
�
�����
��VT�)�
��������
����
�$	��
��V�;VT�	���
 �����
��
	������
���
�
���
�����
�8�
�
	
	����
	��� �
�
�������	����
���!
	�	
�����
�
�
����	���
�

������
����
��������
�J�;;;�
���	��
�����#����
8��
	
	�
���� �;�E�����/��+�G�����
V\J; E�J�;;;�/��+�G�8/+,�F���� ��E�;�;V;V��V�;VT�

� �;�E��� �+D ����
V�\J; E�J�;;;�F��+�� 8/+,�F��� ��E�;�;V��VT�
0 3 m
5,000Co
d = 0,05
0 3 m
5,000Co
i = 0,05
0 3 m
5,0004,950
d 
0 3 m
5,0004,950
i 
nd
d
i
−
=
1 ni
i
d
+
=
1
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�+�	���*�EJ�
���������
��
�����
��
	
�
�����
����
�

����
�+;�;;;�
���	��
����������	
�����
������������
��
	
�
����������
�
��IT�����
����&
�� Q��
�
��
��
�

��������
�����)�
���
	
�
����	��
���
�
���
����
	�����	�+,;��%�	��7�������	���	���
��������
�
���
�$	�������
 �����
��
�
�� Q��
�
��
��
�

��������
�����	��
���
�
���
����
	�����	�8;;��%�	�����
�����
��������
����
�$	�������
 �����
��
�

� ������
���	���	�	��
����
�$	����
����	�
����	���������	����)����)���#��
���	��
	������	�
www.clasesuniversitarias.com
�
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
���1�����*���+�	���*�EJ�
�� �;�E��� �+D ����
�;�E�+;�;;;�F��+�� +,;/8I;�F�;�;I��E�\�S;;�����	
. E��� D �;�E�+;�;;;�� \�S;;�E�,;;�����	
��E���/��+�� �����E�;�;I�/��+�D +,;�/�8I;�F�;�;I��E�;�;I+,,VVS\��I�+,T�
���� �;�E�����+D ����
�;�E�+;�;;;�F��+�� 8;;/8I;�F�;�;I��E�\�J;;�����	
��E���/��+�� �����E�;�;I�/��+�D 8;;�/�8I;�F�;�;I��E�;�;I8+J[S\��I�8,T�

��� ���������)���
	�
���
�
���
�����
��
������� �
� �
�
��	��
�����#������
	
���������)���
	�
��������
�
���
�$	�
 �����
��
������	���������
��
	
�
������	��������
�� �
�����)����
�
���
�����1��	�
���2�
	�
��
.
	
�
�������
�
�����
	�

������.
	
�
����?�
�������(���
	�
���������
�����
�$	�
 �����
��
��
�
�	
����	�
�����
������ �
�	
��
 �����
��
����������
��
	
�
�����
0 120 d
10,000Co
d = 0,06
0 300 d
10,000Co
d = 0,06
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�+�	���*�:J�
N��
�

���
��
�
�����
���������I�;;;�
���	�	
������
	
����������
	
�
�������
��
�������
�

������
�J�SV;�
���	�����
��
�
����
���� �
� �
����������	���
�
���
���������#����������
)������
�
����
��
�����#�
����
	
������	�	����
��
	�
�	�	&
�� ����������	���
��
	
�
����	����
�����
	������
��,T
�� ����������	���
����
�$	�
������
	������
��8T

� ����������	���
��
	
�
�������
�	�����
��+T
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
���1�����*���+�	���*�:J�
�� �;�E��� �+D ��M��M�
J�SV; E�I�;;;�F��+�� ��F�V�F�;�;,� ��E�;�88888��9�	��V��
	
	�
���� �;�E����/��+�G���M��M�
J�SV; E�I�;;;�/��+�G���F�8�F�;�;8� ��E�;�8;VV+V��9�	��8��
	
	�)�,;��%�	�

� �;�E��� �+D ��M��M�
J�SV; E�I�;;;�F��+�� ��F�I�F�;�;+� ��E�;�VVVVVV��9�	��J��
	
	�)�+;��%�	�
www.clasesuniversitarias.com
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
�+�	���*�GJ�
N��
��
�
����
���
	
��������
	
�
�������
�

���
��
�
�����
�I�;;;�
���	�
����
�
���
�����
������
�\;��%�	��
������
������
������������
��
	
�
�����
��IT�������	����
�)�����
���	�����
�
�����#���
��;�JT���%�����,�
���	������
����&
�� ���
�

����� �
�
���
���
�����
�����
��
��
�� ����% ����� �
��

��
�
��
��
��
�	��
�������
��
��
�

���
	��
�I�
���	

� ����
�����
����
�

������
������
��
���������
�����
�
�� ���
�	�
�
�

������
������
��
�����
��
	
�
���������
��
��
��
www.clasesuniversitarias.com
��
�
5
��	�	��
��
�
�
��)
	�(
�����
���1�����*���+�	���*�GJ�
�� � E >�F��+D �/8I;����� ��>
��E�I�;;;�F��+D \;/8I;�;�;I��� ;�;;J�F�I�;;;�E�J�\+;�� 8;�E�J�SS;�
���	
���� "�E���D @
"�E�J�SS;�� I�E�J�S[V�
���	

� :��L��������������L��
�������&� J�SS;�
���	��
��
�����
����;�
L��
���

��
& I�;;;�
���	��
��
�����
����\;��%�	�
J�SS;�F���+�G�\;/8I;�F���E�I�;;; ��E�;�;S+I8,IJ8��S�+IT�
������:��������������������
��
��

��
�&� J�S[V�
���	��
��
�����
����;�
���
��
�����& I�;;;�
���	��
��
�����
����\;��%�	�
J�S[V�F���+�G�\;/8I;�F���E�I�;;; ��E�;�;SJS;+S8S��S�JST�
www.clasesuniversitarias.com
��
VENCIMIENTOCOMUN 
Y VENCIMIENTO MEDIO
www.jagonzalez.blogsgo.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
� �����
�
����
��������
	&�-
�
���
����������)�-
�
���
����C
���
@������	��
�	�	�������1�2�
������
	������
�
��	���+���+�����,���,�����������������������������
��
������������
�
���������
�
��������
��� �
�
	�
��������	
��
 �����
��
�������	���	�1�2�
������
	������
�
��	����
���
	�
*����
��������������
���������	
��
��
�������1��������]��
��� �����
��
2��)�������
�����
��
�
���
����1�2 	
��
�
������1-
�
���
���������2�
t1 t2 t3 tn
C1 C2 C3 Cn
C
3����
����:��
���
*
3����
����*��
�������
L t
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
� �����
�
����
��������
	&�-
�
���
����������)�-
�
���
����C
���
3������
���
�����������	����
�������
�����
��������	�
������
	����������	����
�������
������������	����

��������
����������	���
���
	�	
���
 �����
��
	
�	��

����	������
���	�	����������3����
����*��������3����
����L�	��	���
 �����
��
	
"��3����
����*�	
���
 �����
��
������3����
����L�	�����������	�
��
����	������
�����	��������
	���	�
�

����
*�,6.�5�	�,6.
t1 t2 t3 tn-1 tn
C1 C2 C3 Cn-1 Cn
0
. . . .
3����
����:��
���
*
3����
����*��
�������
L
t
C
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
� �����
�
����
��������
	&�-
�
���
����������)�-
�
���
����C
���
(������
��������	�	����
���
	�������
����;���
�
��	������#��������
)��
��
	
�
����	����
��7
��	���	���
��	��
)
	���	�����	�����"
)�=����
�
����
�.
	
�
�������
�
����)����"
)�=����
�
����
�.
	
�
����
?�
�������W
����	���
��	�
���������#��X
3��
��
���
�������	���
������������	���
��
	
�
������	��
��	����"=.�& �; E�� �+D ����
�����
	����
 �����
�
���	
�%�����	����
��
&
3��
��
���
�������	���
���������������
����
�$	���	��
��	����"=.?&
�����
	����
 �����
�
���	
�%�����	����
��
&
C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ]
(���
����	
�������
�������
���
�
���
����
�������������
����%���
��
����������
��������
���
�
���
������
����%��
�
�
��� ��
����
���	�
������
	�����������
	�
in
C
C n
⋅+
=
1
0
it
C
it
C
it
C
it
C
n
n
⋅+
=
⋅+
++
⋅+
+
⋅+ 1111 2
2
1
1
�
(���
����	
�������$�������
�������
���
�
���
����
�������������
����%���
��
����������
��������
���
�
���
������

����%���
�
��� ��
����
���	�
������
	�����������
	�
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
� �����
�
����
��������
	&�-
�
���
����������)�-
�
���
����C
���
3��
����������]��
��� �����
��
�������
������	�����
���
	����
���	�
������
	�
��E��+ G��, G�����G���
�����
	������
�
���
����1�2�����
��������	�-
�
���
����C
�����)�	
�
���
	��%�

����	���
&�
nn tCtCtCtC ⋅++⋅+⋅=⋅ �2211
��������
��	�
���������
���
��	����
��
��
	�������&
C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ]
C1 – C1 t1 d + C2 – C2 t2 d + ...+ Cn – Cn tn d = C - C t d 
?
���
������
C1 + C2 + ...+ Cn – C1 t1 d – C2 t2 d - ... – Cn tn d = C - C t d 
C – d (C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn) = C - C t d 
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t 
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
.
	�
!�����
���������
���
C
tCtCtC
t nn
⋅+⋅+⋅
=
�2211
Y�
�	����
� �
�
���
�
���
�����
��
����������
��	
�
���
	����
�
�������
���������$��
������
������
���	�
�
�
���
���	��
���	�
������
	�����������
	��.
���%�
�������
��
�-�>�:C:�>@Q�C�.:Q
N���
���
�
�%	��
�����������
�
	� �
�
��
��
�	���
��
�
���
�����
�����$	�
����	
��
�������
��������
�������
�
����
�$	���������
��
	
�
�����
������
��
������������ �
�	
��������
������������
�
����
���
�

��	��
�

��
�����
���
�
���
�����
���
� �����
�
����
��������
	&�-
�
���
����������)�-
�
���
����C
���
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
�+�	���*�7J�
���	��
�
���
	�
������
	��
�
����%�	��+���, )��8 
����
�
���
���	��
	�

����	��
��+���, )��8 ����
	��
	��3
�
�
	
���	�	�������
	��	�
������
	������������
��
���
����
�
����%����)��
�
���
�������
	
	�
�� .
�
����
�
���
�
���
�������
��	��
������ �
�	
���
��������������
��
	
�
�����
�	�����+,
�� .
�
����
����
����%���
��	
������
���������,��
��	��
������ �
�	
���
��������������
����
�$	��������

� 3��	����
��	� �
��+ G��, G��8�E�������
����
���
�
���
�����8��
���
�
��
������
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+�	���*�7J�
����
t1 t2 t3 trimestres
C1 C2 C3
0
. . . .
3����
����:��
���
*
3����
����*��
�������
L
t meses
C
( ) ( ) ( )
12
123312221211 3131311
d
C
dtCdtCdtC
t
⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅
−
=
3������
���
�����������	����
�������
�����

��������	�
������
	����������	����
����
���
������������	����
��������
������
����	���
���
	�	
���
 �����
��
	
�	��

����	������
���	�	����������
3����
����*��������3����
����L�	��	���
 �����
��
	
"��3����
����*�	
���
 �����
��
������
3����
����L�	�����������	�
��
����	���
���
�����	��������
	���	��

����
*�,6.�5�	�,6.
( ) ( ) ( ) ( )12123312221211 1313131 dtCdtCdtCdtC ⋅−⋅=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+�	���*�7J�
����
t1 t2 t3 trimestres
C1 C2 C3
0
. . . .
3����
����:��
���
*
3����
����*��
�������
L
t meses
C
3������
���
�����������	����
�������
�����

��������	�
������
	����������	����
����
���
������������	����
��������
������
����	���
���
	�	
���
 �����
��
	
�	��

����	������
���	�	����������
3����
����*��������3����
����L�	��	���
 �����
��
	
"��3����
����*�	
���
 �����
��
������
3����
����L�	�����������	�
��
����	���
���
�����	��������
	���	��

����
*�,6.�5�	�,6.
�
�
�
�
�
	
⋅+×
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
⋅+
−
⋅+
−
⋅+
= i
t
i
t
C
i
t
C
i
t
C
C
4
1
4
1
4
1
12
1
2
3
3
1
1
2
i
t
C
i
t
C
i
t
C
i
t
C
⋅+
=
⋅+
+
⋅+
+
⋅+
12
1
4
1
4
1
4
1 3
3
2
2
1
1
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+�	���*�7J�

���
t1 t2 t3 trimestres
C1 C2 C3
0
. . . .
3����
����:��
���
*
3����
����*��
�������
L
t meses
C
3�� �+ G��, G��8�E��
�	����	����
�3����������������
3
2211
3
3
C
tCtC
t
C
t
⋅−⋅−⋅
=
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t 
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
�+�	���*�EJ�
.
������������
��������
�
����%��,8�;;;�
���	��
������
�+J��
	
	��.
	
��	�	�������
	
������������
	�

������
	��.�	��
�S�;;;�
���	�
����
�
���
���	��
������
�V��
	
	�)�+;��
	
	��
	�

�����
��
��
���
��
�
�� "��
����%���
���
�
��
��������	���
�
��
������
�+S��
	
	�������#��������������
��
	
�
����
����
	�����	����
��
��,T
�� "��
����%���
���
�
��
��������	���
�
��
������
�+S��
	
	�������#��������������
����
�$	�������	����
�
�
��IT

� ���
�����
���
�
���
�����
���
�
��
�������	��	��������
��	
�
��
���[�J;;�
���	��(�������������
�
�
	
�
�������
�	�����
��+T
�� ���
�����
���
�
���
�����
���
�
��
�������	��	��������
��	
�
��
���[�;;;�
���	��WY�$�������
����
�$	�
	
���������#���X
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+�	���*�EJ�
����
4 10 18 meses
8.000 8.000 C3
0
. .
. .
3����
����:��
���
*
3����
����*��
�������
L
3������
���
�����������	����
�������
�����

��������	�
������
	����������	����
����
���
������������	����
��������
������
����	���
���
	�	
���
 �����
��
	
�	��

����	������
���	�	����������
3����
����*��������3����
����L�	��	���
 �����
��
	
"��3����
����*�	
���
 �����
��
������
3����
����L�	�����������	�
��
����	���
���
�����	��������
	���	��

����
*�,6.�5�	�,6.
15 meses
23,000
23.000 [ 1- 15/3 0,02 ] = 8.000 [1 – 4/3 0,02)] + 8.000 [1 – 10/3 0,02)] + C3 [1 – 18/3 0,02)]
20.700,00 = 7.786,67 + 7.466,67 + C3 [0,88]
C3 = 6.189,39 Euros
www.jagonzalez.blogsgo.com
�	
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+�	���*�EJ�
����
4 10 18 meses
8.000 8.000 C3
0
. .
. .
3����
����:��
���
*
3����
����*��
�������
L
3������
���
�����������	����
�������
�����

��������	�
������
	����������	����
����
���
������������	����
��������
������
����	���
���
	�	
���
 �����
��
	
�	��

����	������
���	�	����������
3����
����*��������3����
����L�	��	���
 �����
��
	
"��3����
����*�	
���
 �����
��
������
3����
����L�	������������
��
����	���
���
�����	��������
	���	��

����
*�,6.�5�	�,6.
15 meses
23,000
23.000 / ( 1+ 15/12 0,06 ) = 8.000 / (1 + 4/12 0,06) + 8.000 / (1 + 10/12 0,06) + C3 / (1 + 18/12 0,06)]
21.395,35 = 7.843,14 + 7.619,05 + C3 / 1,09
C3 = 6.467,15 Euros
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+�	���*�EJ�

���
4 10 t3 meses
8.000 8.000 7.500
0
. .
. .
3����
����:��
���
*
3����
����*��
�������
L
3������
���
�����������	����
�������
�����

��������	�
������
	����������	����
����
���
������������	����
��������
������
����	���
���
	�	
���
 �����
��
	
�	��

����	������
���	�	����������
3����
����*��������3����
����L�	��	���
 �����
��
	
"��3����
����*�	
���
 �����
��
������
3����
����L�	�����������	�
��
����	���
���
�����	��������
	���	��

����
*�,6.�5�	�,6.
15 meses
23,000
21.275 = 7.840 + 7.600 + 7.500 (1 - t3/2 0,01)
t3 = 44,4 meses (44 meses y 12 días)
23.000 (1- 15/2 0,01) = 8.000 (1 – 4/2 0,01) + 8.000 (1 – 10/2 0,01) + 7.500 (1 – t3/2 0,01)
www.jagonzalez.blogsgo.com
�
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+�	���*�EJ�
����
4 10 t3 meses
8.000 8.000 7.000
0
. .
. .
3����
����:��
���
*
3����
����*��
�������
L
15 meses
23,000
t3 = 33,28 meses (33 meses y 9 días)
23.000 * 15 = 8.000 * 4 + 8.000 * 10 + 7.000 * t3
3�� �+ G��, G��8�E��
�	��

����S�;;;�G�S�;;;�G�[�;;;�E�,8�;;;
�	����	����
�3����������������
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t 
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
LETRAS DEL TESORO
Aplicación de la Ley Financiera de 
Capitalización Simple
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
LETRAS DEL TESORO
Las Letras del Tesoro son títulos de deuda pública emitidos por el Estado como medio de financiación a
Corto Plazo.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Se trata de valores emitidos al descuento, lo que implica que el precio de adquisición es inferior al
nominal que recibirá el inversor a su vencimiento (VALOR NOMINAL = 1.000 EUROS)
La duración de la inversión es variable, pudiendo ser de 3, 6, 9 o 12 meses, aunque siempre se expresa
en días. De tal forma que…
Una duración de 3 meses equivale a 91 días
Una duración de 6 meses equivale a 182 días
Una duración de 12 meses equivale a 364 días
La diferencia entre el valor nominal que reciben y el precio de adquisición representa el beneficio de la
inversión.
��
El procedimiento normal de emisión de valores es a través de una subasta competitiva…
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Los inversores presentan al emisor sus peticiones en las que reflejan los valores que desean adquirir, así
como los precios que están dispuestos a pagar por dichos valores.
Recibidos todas las peticiones, el emisor decide el precio mínimo que acepta, rechazando las peticiones
recibidas con un precio inferior a este precio mínimo.
En las peticiones por vía no competitiva, sólo se indica el importe nominal que se desea adquirir, sin
especificar el precio, aceptándose todas las peticiones en su totalidad.
Precio Mínimo
Precio Medio
PMa
PMe
Peticiones por debajo del PMa, quedan fuera de la subasta
Peticiones al precio mínimo, compran a PMa
Peticiones a un precio entre PMa y PMe, al precio ofrecido
Peticiones a Pme o superior, compran a PMe
Cálculo del tanto efectivo de la emisión: interés marginal e interés medio
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Los tantos efectivos de la emisión se definen como los tantos de interés anuales simples que ofrecen una
medida de la rentabilidad efectiva que proporcionan las Letras del Tesoro en el momento de la emisión,
sin la intervención de la entidad financiera a través de la cuál se realiza la operación.
Según la normativa del Banco de España se calculan sin las comisiones asociadas a la operación y
utilizando el año comercial.
Para el interés marginal…
000.1
360
1 =�
�
�
�
�
	
⋅+⋅ mai
t
PMa
Para el interés medio…
000.1
360
1 =�
�
�
�
�
	
⋅+⋅ mei
t
PMe
��
Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
En este caso se ofrece una medida de la rentabilidad efectiva que proporcionan las Letras del Tesoro de
un inversor en concreto, que participa en la operación a través de una entidad financiera, que le cobra
comisiones por su intermediación, por la suscripción o compra y por la amortización o venta.
Un inversor puede participar en la operación en el mercado primario, suscribiendo los títulos en la
emisión de los mismos, y manteniéndolos hasta su vencimiento, en cuyo caso se aplicarían las
comisiones de suscripción y amortización.
Pero puede también participar en la operación en el mercado secundario, bien comprando las Letras del
Tesoro a otro inversor en un momento distinto a la emisión, vendiéndolas a otro inversor antes del
vencimiento, o ambas opciones, en cuyo caso se aplicarían comisiones de copra y venta. Además, la
duración de la inversión, en cualquiera de estos casos sería menor que en el mercado primario.
En este caso, la rentabilidad efectiva de la operación se obtendría planteando una equivalencia entre la
cantidad que paga el inversor, ya sea el precio de suscripción o de compra, más comisiones; y el nominal
o precio de venta, incluyendo también las comisiones. En este caso, además, se utiliza el año natural.
Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Por tanto, el procedimiento sería el siguiente:
Opción 1: el inversor adquiere títulos en la emisión y mantiene hasta su vencimiento.
El inversor paga:
0 364
..scPMa +
..scPMe +
El inversor recibe:
0 364
..000.1 ac−
( ) cicPMa ef −=�
�
�
�
�
	
⋅+⋅+ 000.1
365
364
1 ( ) cicPMe ef −=�
�
�
�
�
	
⋅+⋅+ 000.1
365
364
1
��
Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Opción 2: el inversor adquiere títulos en mercado secundario y mantiene hasta su vencimiento.
El inversor paga:
t 364
..ccPC +
El inversor recibe:
t 364
..000.1 ac−
( ) ci
t
cPC ef −=�
�
�
�
�
	
⋅
−
+⋅+ 000.1
365
)364(
1
Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Opción 3: el inversor adquiere títulos en la emisión y vende en el mercado secundario.
El inversor paga:
0 t
..scPMa +
..scPMe +
El inversor recibe:
0 t
..vcPV −
( ) cPVi
t
cPMa ef −=�
�
�
�
�
	
⋅+⋅+
365
1 ( ) cPVi
t
cPMe ef −=�
�
�
�
�
	
⋅+⋅+
365
1
��
Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Opción 4: el inversor compra y vende títulos en el mercado secundario.
El inversor paga:
t p
..ccPC +
El inversor recibe:
t p
..vcPV −
( ) cPVi
tp
cPC ef −=�
�
�
�
�
	
⋅
−
+⋅+
365
)(
1
EJERCICIO 1: 
En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio 
medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra 
unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%.
Calcule:
a) El interés marginal de la emisión
www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO
000.1
360
1 =�
�
�
�
�
	
⋅+⋅ mai
t
PMa
000.1
360
364
13,978 =�
�
�
�
�
	
⋅+⋅ mai %19,2021937584,0 ==mai
��
EJERCICIO 1: 
En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio 
medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra 
unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%. 
Calcule:
b) La rentabilidad del inversor, si compra a Precio Medio y mantiene las letras hasta su vencimiento
www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO
El inversor paga:
0 364
..scPMe +
El inversor recibe:
0 364
..000.1 ac−
50,9841000003,050,981.. =⋅+=+ scPMe
50,99710000025,000,000.1..000.1 =⋅−=− ac
( ) cicPMe ef −=�
�
�
�
�
	
⋅+⋅+000.1
365
364
1 50,997
365
364
150,984 =�
�
�
�
�
	
⋅+⋅ efi
%32,1013240949,0 ==efi
www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO
��
EJERCICIO 1: 
En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio 
medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra 
unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%. 
Calcule:
c) Si el inversor vende una Letra en el mercado secundario 150 días antes de su vencimiento, siendo la 
cotización del mercado de un 99,01%, ¿qué rentabilidad obtendría el inversor para esta letra?
www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO
El inversor paga:
0 364-150
..scPMe +
El inversor recibe:
0 214
..vcPV −
50,9841000003,050,981.. =⋅+=+ scPMe
60,98710000025,010,990..10,990 =⋅−=− vc
( ) cPVicPMe ef −=�
�
�
�
�
	
⋅+⋅+
365
214
1 60,987
365
214
150,984 =�
�
�
�
�
	
⋅+⋅ efi
%53,0005370628,0 ==efi
www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO
��
LEY FINANCIERA DE 
CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.
TEORÍA
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
��/����*����+*�%���*���*��4*��0������1���*
���
��3�	�
������	�
���
���������#�
���������
	���	
�
��	��
��� �
���	����
�
	
	� �
�	
��
�
����

�����9��	
��
����������
�������	
������
������������
����������
��������������
�����	���
#���	�
���
�
	
	��
���3�	�
����
���������#�
���������
	���	
�
���
	����
�
������"�<�=:>*>�:�?*�.��
�*(:@*":A*�:B>��QC(N�3@*�� �
�	
�
���
	���
����	����
��
����
��&
( ) ptconiptL tp �)()1(; −+=
�
�; ��
��������#�
���������
	���
� 3�
����1�2�
��@������@������
�:��
�$	�*����������
	��
D3��
��	��
����	�1�2�
����
�����
�����
���������
��
��
������	�
�
�������	�����
��	� �
��E;�
D3��
��	��
����	�1�2�
����
�����
�������������
���
������	�
�����������
�����
�1�2��9�	��
����
	�
�E��
D3��
��	��
����	��; 
����
��
������� �
����
�����	�
��
�����
����;�
D3��
��	��
����	��� 
����
��
��������
������������������
�������
�	�����
��
�����
�������C������
�
www.clasesuniversitarias.com
�	
( ) ( ) [ ] ( ) n
ntp
CiCiCptLCptCL =+⋅=+⋅=⋅=
−
11;;; 0
)(
000
( )nn iCC +⋅= 10����*���
Ley homogénea de grado 1 t=0 p=n
.���
&
�� E��������
���E�
����������
���
��E��6��
��9�	��
	�
�
���
�
���
�����
��
����������)�
�����
�����
�	��������
���
��E��������
����
�$	�������	����
� �
��
��
	
����
�����
�$	� �
�
��
���
������������������
������
������
�+��9�
�
�; ����������#�
���������
	��
�Generalizando
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
���
�����
��C������
���
��������
�������������
���
��(
����������� 	
�
��	��
��� �
�
��
������������
�����
����
�
	
	�
	�
��
����������
����
�������	���	����
�
	
	��
�������	��
	��

������	����
�
	
	�	%�	
��
����������
����������
�������
�
�����
������������
�
������	���
#����
�
	
	�
���
�����	�	�
	���	��
*��
����������
������	���	����
�
	
	�����
�������
��	�����
��� )�����
��
	
�����	������� 5��6 ,7�8��.
����
���&��	�������)


���������
�
����
����
�����������������
���
������1�2�����
����������
)������
�
����
�

�������#�
����	����
�
0 1 2 n -1 n:�E�����
�; �; G��; :�
E��; �+�G����
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
( )
2
00
00
)1()1()1(
)1(1
iCiiC
iiCiC
+⋅=+⋅+⋅=
⋅+⋅++⋅
:�E�����+G�����
( )
nn
nn
iCiiC
iiCiC
)1()1()1(
)1(1
0
1
0
1
0
1
0
+⋅=+⋅+⋅=
⋅+⋅++⋅
−
−−
1
0 )1(
−
+⋅
niC
iiCI n ⋅+⋅= − 10 )1(
Gráficamente, Cn
C0
n
La característica de la ley financiera de capitalización
compuesta es que los intereses se van acumulando al capital
en cada período para producir nuevos y mayores intereses en
el período siguiente, es decir el rendimiento en cada período
va aumentando
n
www.clasesuniversitarias.com
�
:��
���
��
����

�����
���
��������
����
�$	����
(����
	�������������
���
��
����

�����
���
���������
����
�$	������	���
	�������
���������
��
�+������
��������������
���
����
� �G+
+�����
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) iiittL
iCptCL
tt
tp
+=+⋅=+=+
+=
−+
−
111111;;1
1;;
1
)(
00
(���
��	��

������������� �
�
����
	���������
������������
����������
������
������
��������
���
����
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
:��������
�����
��������)�
��������
����
�$	������
�
��
	�����
�
�
�
����	��������	�����������
��������3��
�����!���	�
����9�	��
��������
����
�$	���
�
� �
�	
���������	�������!���	�
���	
�
	��
	��
��������
�
���
�$	���
�
� �
�	
��	
�
	������
�
�
���
�����
��:��
�$	
( ) [ ]
[ ]1)1(
1)1(1
0
0000
−+=
−+=−+=−=
n
nn
n
iCI
iCCiCCCI
www.clasesuniversitarias.com
"
)��
���������#�
���������
	���=��

������
El parámetro ik recibe el nombre de tanto de interés compuesto k-esimal, siendo k el número de periodos o 
fracciones a considerar que hay en un año. Este tanto k-esimal representa el rendimiento que proporciona un euro 
en un k-ésimo de año.
(���
!
����& C
	
	�HHHHHHHH�� �+,
�������
	��
	�HHHH������8
.%�	�HHHHHHHHH �8I;
L�
����HHHHHHHH �+/,
=�����������
�
������
���
�����������
�����������)�������
���������#'<�����������>���������#'��������
����#�����������
9�?&
����������������)�����
����� �����������
����
�����<����=@?�!���������
����������=�@?&
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
����
��� �� 5��6 ,7�8��@.
nk
���������
nk��5��� A �6�5��6�K,7�8��@.��L 7M
www.clasesuniversitarias.com
��
� �����
�
��	�
���
������	��
����
�$	�
����
	��	
Dado que dos leyes financieras son equivalentes cuando ofrecen la misma proyección financiera de un mismo 
capital financiero, se puede deducir la equivalencia entre dos tantos de interés:
%����
�������������)�������"#�$
��������#
����
����
����
���������
���
�������
����#�
�������������
��������������������
���#�
��
������������
���
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
�� E��; �+�G���
�� E��; �+�G��M�
n
nk
�+G���E��+�G��M�k
TANTO DE INTERÉS NOMINAL: Además del tanto de interés anual, i, y del fraccionado, ik, 
existe otro tanto en capitalización compuesta que se denota por Jk , cuya relación viene dada por
Jk= k.ik
y se nombra de distintas formas,
tanto nominal anual reembolsable k-esimalmente
tanto nominal anual acumulable k-esimalmente
tanto nominal anual amortizable k-esimalmente tanto nominal 
anual liquidable k-esimalmente
www.clasesuniversitarias.com
��/����*����+*�%��%���1���������1�����+*����*�
"���
)�=����
�
����
�.
	
�
��������
	�� ?�
������
	�������
��
�����
�
�	���
��)���������������
��!�����
���
�
���"
)�=����
�
����
���������#�
���������
	���
���
��.
	
�
����?�
�����������#��
��	�
����1��	���
��
	
�
���2�
����	���1������
����
�$	2� �
������#���	�
�����
��
��
�����
���������
�
�����"
)�=����
�
����
���������#�
���������
	����
	��

������� �
�	
�����	�
���
��
��
�����
��
	
�
���������
���
����
��
���
�
���
�����
����
��������������#���	������
�������������
����
�$	�
1�2��
0 n
C0 CnDescuento
0 n
C0 Cn
Capitalización
( )nn iCC +⋅= 10
( )
( ) nnn
n iC
i
C
C
−
+⋅=
+
= 1
1
0
CQ>@*>@�
-*"Q?��=��@:-Q
���
�����
���
	
�
������
�����
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
( ) [ ]nn
n
nnnR iCiCCCCD
−−
+−=+⋅−=−= )1(110
www.clasesuniversitarias.com
��
"���
)�=����
�
����
���������#�
���������
	����������������'���
N����
)������
�
���
	�
	
������
�	��������

������
���
�������
����
�	����
���������
����
�����
	�
����	���
"���
)������
�
����
�
�������#�
����
����
	����������������'����
	��

����
���������
��
�������
�	����������%�����
	
���������
���
�	����
�������	����
�	���
	�	�
	���	��
�������
����
�����
#�
���������
���
�
��
��
C0 Ch Cn
+���3���
	
������������
�	����
���������
�	
�%�&
,���	
����
����������
�	����
����	&
0 h n 
(����
���
	��
����"
)�=����
�
����
���������#�
���������
	��
�����
������N�����������'��
( )nn iCC +⋅= 10
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )nhnhn
hnh
n
h
h
hn
hn
iCiCC
iiCC
iCC
iCC
+⋅=+⋅=
+⋅+⋅=
+⋅=
+⋅=
−+
−
−
11
11
1
1
00
0
0
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
�!
��������3�:>.:L:":.*.�.��"*�"�<�=:>*>�:�?*�.���*(:@*":A*�:B>��QC(N�3@*&�
��E�+�;;;�R
��E�,��9�	
��E�ST�
����
	��������
C0 C1 C2
0 1 2 
�� 3�������������	�������
�	���&���
���3��
	
������	�������
�	����
����	����
�	���
	�	�
	���	&
*9��+&
*9��,&
( ) 40,166.108,01000.1 22 =+⋅=C
( ) 00,080.108,01000.1 11 =+⋅=C
( ) 40,166.108,01080.1 12 =+⋅=C
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
��
"���
)�=����
�
����
���������#�
���������
	���
	����
����
��
��
	��

�������"
)�	
�
����
�������
�%���	���	�����	��
���
�����
���
 �
�
�
�����
��������	���
�����#���������������������������������!��
� ��
��(
�������������������
t pt+h p+h
( ) ( )
( ) ( ) )(0
)(
0
))((
0
)(
0
11
11
:
tphthp
hthptp
iCiC
iCiC
queocurrirDebe
−−−+
+−+−
+=+
+=+
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
��
LEY FINANCIERA DE 
CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.
PROBLEMAS
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
�^�?�:�:Q�+&��
N����������������
��
�
������
�
�����
�������� �
��
����
�������
�$	��
��8T�������
����� ����
���
	�
����
	����
	���	�	����
��
	�������
	&
D 7�)������
���������
�,�;;;�R
D *���	�+8��
	
	��J�J;;�R
D *���	���	��9�	��[�;;;�R
W�����
	�
���������
� �
����
���������	���
	��9�	�)��
���X
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
��
<����
��	������!���
���
	�
�������
����
�$	�����
	�������
��	����
��
�����&
N��������
����
�$	�������
����� ����
���
	�����
	����
	���
��
�
�
�
���������^��
��
	�
�
�	���^V
*���������
�
	�
�������
��
�����	�
�����
�$	�MD
	���� 
 �����
��
��
��
	�
�
�	����V���
�����
����
 �����
�
��&
0075,0
4
03,0
4
4
4 ===
J
i
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
0 3,5 años
2.000
13 meses
i4 = 0,75%
Cn5.500
2 años
7.000
45,13
)1342(
45,3 )0075,01(7000)0075,01(5500)0075,01(2000 ⋅
−
⋅
+⋅++⋅++⋅=nC
∈=++= 48,453.1597,320.796,911.555,220.2nC
www.clasesuniversitarias.com
Q���
��������!���
���
��������
����
�$	�������
 �����
��
��������$	��
����
 �����
�
��H ( ) kkii )1(1 +=+
03033919,01)0075,01( 4 =−+=i
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
5,112
)1342(
5,3 )03033919,01(7000)03033919,01(5500)03033919,01(2000 +⋅++⋅++⋅=
−
nC
∈=++= 48,453.1597,320.796,911.555,220.2nC
0 3,5 años
2.000
13 meses
i = 3,03%
Cn5.500
2 años
7.000
www.clasesuniversitarias.com
��
�^�?�:�:Q�,&��
*��
�����
�
��������
�������
��������
�+,�;;;�
���	����
�����������������
����
�$	��������
��8T�������
����
	���
	
���
 �����
��
������
��������
�+;�;;;�
���	����
�����������������
����
�$	��
��VT�������
����� ����
���
	�
	
�
	����
	X
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
*���	�
������
	�	
����
 �����
��
	�
��� �
�����
��������
��
�� �
��������
��
���
��
��������
	��

����
��
�������
��
������
���
��
	
����
����	
������������������
��
��	
������
��
	
���	������
����
0 n años
12.000
i= 3%
Cn
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
0 n años
10.000
J2 = 4%
Cn
02,0
2
04,0
2
2
2 ===
J
i
nn 2)02,01(10000)03,01(12000 +⋅=+⋅
www.clasesuniversitarias.com
��
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
nn 2)02,01(10000)03,01(12000 +⋅=+⋅
n
n
)03,01(
)02,01(
10000
12000 2
+⋅
+
=
n)
03.1
02.1
(2,1
2
=
n)01009708,1(2,1 = n)01009708,1ln(2,1ln = )01009708,1ln(2,1ln ⋅= n
14786,18
)01009708,1ln(
2,1ln
==n +S��9�	��+��
	�)�,8����	
www.clasesuniversitarias.com
�^�?�:�:Q�8&��
N���
������������
�
������
��
��	���	��������	���������������JT��
����
�$	��������� ������
�	
�
	�����
��
��

�������
���	�����
���
�������
��;�+JT
W�����
	����@*���
���
��	���X
N��
��
��
��

��
�
���������
�������
����
���#���������
��	�����
�+;�;;;�
���	�������
�V��9�	��
.
�
����
�
���������
���������
����
�����
W�����
	�
��������
�

��������
���������
�����
�	���
�������
��
���X
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
��
�����	
��������
�������
��
����
����
�
���
�������
�����
��������	����
�����@*���
���
��	���������
�
��	�
��

�
������	�
���	���
	�
(���������������
��
��������@*����	���%��
���
��
�����
��������
����
�$	�������
 �����
��
����������
����
�$	� �
���	�
��
������
��
���
������
�������
���
<�������
��
����%���	�
�����
�$	�������
 �����
��
���
�����
����
 �����
�
��&
( ) kkii )1(1 +=+
N��������
����
�$	��������� ������
�
������
	�����
��
���
��
�
�
�
���������^��
��
	�
�
�	���^,
*���������
�
	�
�������
��
�����	�
�����
�$	�MD
	���� 
 �����
��
��
��
	�
�
�	����8���
�����
����
 �����
�
��&
025,0
2
05,0
2
2
2 ===
J
i
050625,01)025,01( 2 =−+=i
(�������������@*��	
�%�������������O�6;P
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
���
��
��
��
��	����+;�;;;�
���	�	���
���	� �
�	
�����
������
���	�����
���
�������
��;�+JT��
	��

����+J�
���	�
�+;�;;;���;�;;+J���(�������������
�������� �
�������
�
����
	����
�
	
	�	
���\�\SJ�
���	��+;�;;;�� +J�
<�������
��
����%���	�
���������
&
24
)025,01(9985
x
nC +×=
0 4 años
9.985
J2 = 5%
Cn
75,165.12=nC
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
025,0
2
05,0
2
2
2 ===
J
i
www.clasesuniversitarias.com
�	
10.000 12.165,75
4
(�������
��
��
�����
��������
�

��������
���������
�����
�	�����)� �
������
�������
 �����
�
���
���
����
��������
 �
�	
�����
��
�)���� �
�	
��

��
�
Y�$�	
�����
��
X����������
����������
�������	
�
��
���+;�;;;�
���	&
�������	
�����
��
X����
�����
����;
(������������

��
���� �
���%�&
( ) 75,12165110000 4 =+× i ��5�O�6EP�
Y�$��

���X�"��
���������
�+,�+IJ�[J�
���	
�����������

���X����
�����
����V��9�	
0
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
�^�?�:�:Q�V&��
N����
�	����
������������������
�+;��9�	��
�����
���������
	�����+J�;;;�
���	�������
����
������
��
����)�,8�;;;�
���	����������#���
�� �������9���"��
������������
�
��� �
��
	������
�����������
����IT�������
����� ����
���
	�
�
�	���
	���	���	�����
��	��9�	�����,T�
�

�����	
�
	�������	���
	��9�	�	����
��
	�����ST��������� ������
�
����
��
����������
���	���	�	����
��
	�)����VT�
������
	�����
�

�������	��
	����
	�
W�����
	�
���������
����
��������������#��������
��
���X
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332
1
233
2
1
223122
04,116,12300004,116,102,1005,115000
××××××
××+××××=Cn
0 2 años 10 años
15.000 23.000
7años5 años
i2 = 2% J1/2 = 8%J12 = 6% i3 = 4%
005,0
12
06,0
12 ==i
16,0
2
1
08,0
2/1 ==i
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
96,3793762,31436 +=nC
58,374.69=nC
www.clasesuniversitarias.com
��
TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS 1
Rentas Constantes (teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
���
����)�
��	���
�
���
����
�
����������
����
	����
��!������
�
������
	���������������
�����	�����	��
�
���
���	��-���	���
	�������
��
	�
��
���� �
���	�
����	� �
���	��
�
���
���	�	���
 ����	����
	�
t0 t1 t3t2 tk tn-1 tn
a1 a2 ak an
��
�
���	 �
 �
���
� �� �
���
• "�	�
������
	� �
�
��	����)
������
����	
��
���������)������&�
• *�����
�������
���
����
���
���	��
�
���
���	�
��	

�����	�	
�������������� �
�����
����
• 3
�
��	��
���������	��
�����	�
�����$�����	��
��������
�����
• 3
��
�����������
�����
�����
����������
����
��
�����	�����
��$�����	���
-������
�����
���
3
 �
������ ����� �
 �� �
��� 
� �� ���
��� �
� ��
��� � �� 	��� �
 ��	 �����
	 �
 
� 
	
 ���
���
��
�
� 	�	 �$�����	 �����#���� ��� �
) �����
�
���
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
���
����)�
��	���
�
���
3
��� *��#
� ,*.
�	 
� ����� �
 �� �
��� 
� 
� ����
� �
 �� ��	��� �� ����� �
���� 	
 
��
��� 	������ ��	 �����
	 �
	
������	 �
�
�����#���	� 
� 
� ���
��� ���
���� �
 ����	 ) 
��� ��� �
 ��	 ����	�

E
7 
�
6 7 E �
&&&&
&&&
3
��� ���
� ,�.
�	 
� ����� �
 �� �
��� �� ����� �
� ������ �
����� �
 �� ��	��� 3
 
��
��� �
�����
 �� 	��� �
 ��	 �����
	 �
����	 ��	 �$�����	 �
 �� �
��� 
�������#���	 ��	�� 
� ���
��� 
� �
 $	�� �
������
a2a1 an-1 an
0 1 2 n
.......
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
���
����)�
��	���
�
���
' 3
����� 
�����#� �� ��� ��������&
' %������
�& 
����� ��	 �
�����	 �
 �� �
��� 	�� ������	�
' ������#
�J 
����� ��	 �
�����	 �
 �� �
��� 	�� �������
	����
	� �����
�$���	
 �� ���!� 
������� �

������
	�
' 3
��� 	� �#�
����J
' ������#
�& 
��	��� �
 �� ���
�� �
 �$�����	 �
 ��
��
 � ���������
' ������
���& 
��	��� �
 �� ���
�� ������ �
 �$�����	�
'3
��� �� �#
��<
 �� ��� �)������&
' �����
����& 
����� ����	 ��	 �$�����	 	�� �����
	 
���
 	%�
' 3
��
'���J 
����� ����	 ��	 �$�����	 �
 �� �
��� ��
�
� ��� 
����%� ���
�
��
�
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
���
����)�
��	���
�
���
'3
��� 
� ������� ��� $����������&
' �����
�
'���& 	� ��	 �$�����	 ��
�
� 	�	 �
�
���
���	 �� ����� �
 
��� �
������
' ����
�
'���J 	� ��	 �
�
���
���	 �
 
��� �$����� 	�� �� ����
���� �
 
��� �
������
a2a1 an-1 an
0 1 2 n
.......
a2a1 an.......
0 1 2 nn-1
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
���
����)�
��	���
�
���
• 3
��� 
� ������� �� �$
�#
���� �� ���
��� �
 ���
�� ) ��� �
 ��	 �$�����	 �
	�

�� � �� ������
����&
�� ������
�
�& 
����� 
� ���
�� �
� ����
�� �
����� 
���
��
 
�� 
� ����
��
�� %� ����
�J 
����� 
���
 
� ���
�� �
 �� �
��� ) 
� ����
� �$������ ��) �� �
����� �
 ��
��� 1�2
a2a1 an-1 an.......
0 1 2 n
an-1 an
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a2a1
........
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor actual
���	��
�
��	 �
 ��	 ����	 �����
	 
��	����
	 	�� �
 
����%� 1�2� �
 	
 
�

���� �� ����� �
 
���
�9� ������
 � �9�	� �� ����� �
���� 	
 
��
��� 	������ ��	 �����
	 �
�����#���	 � �
	
������	� 
� 
�
���
��� ���
���� �
 ����	 ) 
��� ��� �
 ��	 ����	�
aa a
0 1 2 n
.......
[ ]n
n
iiiia
iaiaiaiaA
−−−−
−−−−
++++++++⋅=
=+⋅+++⋅++⋅++⋅=
)1()1()1()1(
)1()1()1()1(
321
321
�
�
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor actual
3
 ����� �
 ��� �����
	��� �
��$���
�� ���� 
�)� 	��� �
	�����	 
���
� ��	 	����
��
	 �����
	&
(���
� @$����� �(@�
]����� @$����� �N@�
?�#�� �?�
<� �
 �� 	��� �
 �� �����
	��� �
��$���
� 
	& 
−
−×
=
1R
PTRUT
PG
1)1( −+= iPT
niUT −+= )1(
1)1( −+= iR
=
−+
+−+×+
=
 −
−−−
1)1(
)1()1()1(
1
11
i
iii
PG
n
[ ] [ ] [ ]
[ ] i
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
ii nnnnn −−−−−−− +−
=
−
−+
=
+−
−+
=
+
+−
−+×+
=
−
+
−+×+
=
)1(11)1(
)1(1
1)1(
)1(
)1(1
1)1()1(
1
)1(
1
1)1()1( 11
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor actual
in
n
aa
i
i
aA ¬
−
×=
+−
×=
)1(1
�1/�����+�*���J
�� �#! ������
��� �'���$
� "#� ���� ���#
�� #� ������� 
���� "#� �� ������ �
��
��
��(
��&
ina ¬
:��
���
��
����

�����
���
�������
��� ina ¬
1€1€ 1€
0 1 2 n
[ ]
in
n
n
aiiii
iiiiA
⋅=++++++++⋅=
=+⋅+++⋅++⋅++⋅=
−−−−
−−−−
1)1()1()1()1(1
)1(1)1(1)1(1)1(1
321
321
�
�
?
��
	
��� 
� ����� �
���� �
#�
 ����
 #���
��
 ����
������ ���
������ �
 �
�$�����	 
��	����
	�
���
������ ��	������
 )
�
������ �������� � �� ����
�
 ���
�$	 ����� 
����
	���
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor final
*���� �
��	 �
 
��
���� 
� ����� ����� �
 �� �
���� �
 
��	�	�
 
� ������ �� 	��� �
 ��	 �����
	 �
 ����	 ��	
�$�����	 �
 �� �
��� ��
����	 �� ���
��� 
� �
 �
����� �� �
���� �
 
� 
	�
 
�	� 
	 
� ����� �
� �9� ��
aa a a
0 1 2 n
......
[ ]1.....)1()1()1(
.....)1()1()1(
)3()2(1
321
+++++++⋅=
=+++⋅++⋅++⋅=
−−−
−−−
nnn
nnn
iiia
aiaiaiaS
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor final
3
 ����� �
 ��� �����
	��� �
��$���
�� ���� 
�)� 	��� �
	�����	 
���
� ��	 	����
��
	 �����
	&
(���
� @$����� �(@�
]����� @$����� �N@�
?�#�� �?�
<� �
 �� 	��� �
 �� �����
	��� �
��$���
� 
	& 
−
−×
=
1R
PTRUT
PG
)1()1( −+= niPT
1=UT
1)1( −+= iR
=
−+
+−+
=
 −
−−
1)1(
)1()1(
1
)1(1
i
ii
PG
n
[ ] [ ] [ ]
[ ] i
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
ii nnnnn 1)1()1(1
)1(1
)1(1
)1(
)1(1
)1(1)1(
1
)1(
1
)1(1)1( 11 −+
=
−
+−
=
+−
+−
=
+
+−
+−×+
=
−
+
+−×+
=
−−
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor final
in
n
sa
i
i
aS ¬×=
−+
×=
1)1(
�1/�����+�*���J
�� �#! ������
��� �'���$
� "#� ���� ���#
�� Q#��� �� �� ������� �� �� "#� $����
�� >����� �)�����&
ins ¬
:��
���
��
����

�����
���
�������
���
ins ¬
1€1€ 1€
0 1 2 n
[ ]
in
nnn
nnn
Siii
iiiA
⋅=+++++++⋅=
=+++⋅++⋅++⋅=
−−−
−−−
11)1()1()1(1
1)1(1)1(1)1(1
321
321
�
�
?
��
	
��� 
� ����� ����� �
#�
 ����
 #���
��
 ����
������ ���
������ �
 �
�$�����	 
��	����
	�
���
������ ��	������
 )
�
������ �������� � �� ����
�
 ���
�$	 ����� 
����
	���
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*���+��*R*	���<�@�C(Q?*"
Valor actual
inaaA ¬⋅=
C��
���D+
)1( i+×
Valor final
insaS ¬⋅=
C��
�����D+
)1( i+×
aa a .......
0 1 2 nn-1
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��%���+�%*��(Q3@(*_*L"� <�@�C(Q?*"
Valor actual
inaaA ¬⋅=
C��
�����
di −+× )1(
Valor final
insaS ¬⋅=
C��
�����G�
a a
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
aa ........
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��%���+�%*���+��*R*	���<�@�C(Q?*"
Valor actual
inaaA ¬⋅=
C��
�����D+
)1()1( −−+× di
Valor final
insaS ¬⋅=
C��
�����G�D+
a
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
aa ........a
)1( i+×
www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1*
Valor actual
aa
0 1 2
.......
i
i
LimaaLimaA
n
ninn
−
∞→¬∞→∞
+−
⋅=⋅=
)1(1
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1
a
3
i
a
i
a
i
i
a
i
i
a
nnn
n =∞
−
⋅=
+
−
⋅=
+−
⋅=
∞→−
∞→
1
1
)1(
1
lim1
)1(lim1
i
a
A =∞
www.clasesuniversitarias.com
�	
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1*
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1
)1( i
i
a
A +×=∞
�1/�����+�*���J
�� �#! ������
��� �'���$
� "#� ���� ���#
�� Q#��� �� �� ������� �� �� "#� $����
�� >����� �)�����& i
a
< 	� �� �
��� 
��	����
 �
��
��� 
	HH�
����
�
'�� S
di
i
a
A −∞ +×= )1(%� ����
 S
)1()1( −−∞ +×=
di
i
a
A����
�
'�� ! �� ����
S
www.clasesuniversitarias.com
�
PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETAS
Rentas Constantes I
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EJERCICIO 1: 
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad 
financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta 
alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
a) ¿Qué cantidad podría obtener cada año?
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
��
0 3 18
120.000
2 1 17
a
4 5 6
a a aa
iaaA ¬×= 18
035,0
)035,01(1
120000
18−
+−
×= a
a = 9.098,02 Euros 
aaa
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
EJERCICIO 1: 
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad 
financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta 
alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
b) Si en lugar de recibir el importe obtenido en el apartado a), quisiera recibir una cantidad anual de 12,000 euros, con 
qué tipo de interés debería trabajar la entidad

Continuar navegando