Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Profesor: Juan Antonio González Díaz Departamento de Métodos Cuantitativos de la Universidad Pablo de Olavide � ������������� ����� ��� ���������� �� ��������� ������ ��������� ��� ���������� �� ��������� ������ �������� � ��������� ������� ��� ���������� �� ��������� ������! ���"����� #���������� ���$� � #���������� ����� ������ ��� ������ ��� ���������� �� ��������%���&� ���������! ����'� ��� ���������� �� ��������%���&� ���������! ���"����� ��� ���������� �� ��������%���&� ������ ������������� �(��) ��� ������ ����������! ������ #����"��� �� ���*����&� �����+���� ,����'�- ������ #����"��� �� ���*����&� .���+����� ,����'�- ���"����� �� ������ #����"��� ������ ������������ ,����'�- ���"����� �� ������ ������������ � ��� ����� ��� � ��+������ ��*� /���� �� ������� ���"����� �� ��+������ ��*� /���� �� ������� ��+������ 0�� �� ������%�� �������� ��������� ��������� ,������� �����+�- ���"����� �� ��+������ ��������� ��������� ��+������ 0�� �� ������%�� ��� ������ �� ������%���&� ��������� ,������� )��1����- ���"����� �� ��+������ ��� ����� �� ������%���&� ��������� ��2����(� ��( � ��� � � ���( ���"����� �� ������ 3 � 4 ���2����(� ���+����� ����� � ���� ���+����� ��� $���� �� ("��*������� ��������� ���+������ ��� ���&� ���� � ��������� ��������� ���+����� ��� �������&� �� ������ ���+����� ��� ����� �� ������%���&� ���+����� ��� �+����� ��� /����� ���&� ���+����� ��� ���&� ���������� � LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE www.clasesuniversitarias.com Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide Profesor: Juan Antonio González Díaz LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE ���������� ����� � ��� ������� ����� ����� �������� �� ������ ����� � ��������� ������ �!��"#�$ ����� ����� ��� ������������������������� ��� ��� �� ����� ��������� ���� ���� �������� ��� � �� ����������� ������ ������� ��� �� � ������������ ������������ ��� ��� ������������������������� �� ������ �������������� ���� �� ���������� ���� �� � �� � %��� ����� �� ��� �"#����� ��������#������ �� �� ����� � �� ��� ����#� �������� ������ ����������#������ ���$������ ��������!��# ����� �������� ������������� ��������#�����# �������& ��� � � ������ ������������'���������� ���� ������ ���� ��"#���( ���� � � ������������� � ���������� ��� � ��� � � ��� � �� ���� ���� ����� � ���� ����� ��� ������ � ����� ��� � �� �� !��� ��"����#��� � �� � ���� ���� �� �� ���� � � ���� ���� ������ ��� #� � ��! ���� � ��� ��� � ����� ���� ���� �� ����������������! �������!���������� ��������������� �� ���� � � ���������� �$ ����������)� ��� � �� ������ �������� ����� �������� ������#��� ���� �� ���� ����� �� �� ����� ��� �� �� �� ������� ���� ��� ����� ��� ����� ��������� ����� �%����� ��� ���� � ��� ��� � � ���� ����� �� � ��� �� ��� ����� �������� ���#�� ��� � � & '�(��� ���� �� � � �� �� �� '�(������������� ��� ����������� � � ���� �� �� �� � �� �� ������������� ������ ����� '�(������� �� �� ��� � ��������� ����� ��� �� ���� ������������� ����� "�� ������� � ����� � �� ��� � � ���� ����� ���� ��� ���� � ��� � �� �� ��� �������� & '�"�� ����%��� �� ���������� ������� '������ ���� � ����������� �� �����)� '����������� ���� �$ ���� � � �� � ��������� �� ����� www.clasesuniversitarias.com � * %�������� ��� � �� �� ����� ��*���*�����*����+��,�-��. ��� �� � ��� �� � ���� ������� ����%������� ������� � ��� ����� � ���� � � �#��������� �������� ������������ ,�.& � ����� ������ ����� � ���������� �� ����� ��� � �������� ��� ����� � ���� ��������������� � ��� ���� ( ) +∈∈ RC,Rtt,C �+���������%���+�/����0�����*����+*&� +��*��0��%���1����1��0�����*����+*&��� � ������ ������ � �� ���+��+��)���,��,�� ��� � ������� � ���� � ������� ��� ���) ���� �� ����� ������� �� ���� ���� � �� ���� ��� � ��������-��� C t p (V,p) (C,t) V= Proy p(C,t) ����������+*��0�����*����+* ����� � � �������������� �� ��� ������# ��� �� � ��� � ���� � � � ��� �� �� ����%� �)� � � ��� ��� ��� ���� � � � ��� � ��� �� �� ����$����� ����*���*�����21�3*�������� �� ����� � ��� ����� � � ��� �� ����� ������� �� ���������� � �� ���� ������� �� . �������� ����� �� � ������� � ������ � ��� �� �����+ ���� � ��� ���� ���+ )��, ���� � ��� ���� ���,�� ��� ����� �� � ������ � ���� �� � ���� ����� � �������������������� �������� �����#� ����� �������� ����� ������� � ������"#���#����#!��#����� ��� ���� �� ������������������������������ $����������& LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE ���������� ����� www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE ��/����*����+* (���� � ������� �� ��������� � ��� �� ��� � �� ����� � ����� � �! �� ���� ����� �� ��� � ����%� � � �����)�� �� ��� � ��� �� ����� �� ��� �� ����� � �� �����)�� � ���� ��������� �� � ���� �� ������� ����� � ������ �� ��� � � � ����� �)� ���� � � ������� �� � ��� ����� �������� �� � ��������$�������� ���� �� � �� �������� ��� � ���� ���&�#� ���!� �� ����� & "����!� �� ����� �� ��� � ���������� ������ ���� ����������������������$ �� �� ������� �� � ������� ����� ���� � ����� �� ����#��� ���� ������� ������������� �� ��������)/�� ��� � ��������������� ��� ����� ���� ������� �� ���� ���� "������ �� )������ � ������� ���� ��������� ��� ����� �� ��� ����� �(��) ��������� � ��� � ������������������ ���� ���� � ��-�� ��!������� t1 t2Capitalización t1 t2Descuento � � � > < === ptsiptCA ptsiptCL ptCFtCoyV p );,( );,( );,(),(Pr *�"����0��� �� �������1� )������ � ���� � �������#� ���� ���2�)���*����0���1� )������ � ���� * �����#� ������� �� � ���� ���2� 3���4���������) ����-� �� �������������� � ����� �� ���������� ������ ��� 3���5������(��) ����� �� � ������� �� �������� ���������������� ������ �� ����������� ������ � ���� ���� � ������ ���� � �� �� ) ������ � �� � � � �� � ��)� ������� ������ �������� � ���������� � ������ ��������� �� ����$��� ��������#����� ���� � �� ��� �� ��� ������ � �� �� www.clasesuniversitarias.com � LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE ���+*��0�����*����+* 3 � ��� �� ������� �� ��������� � �������#����#���� � ��������� �� ��� ��� ��������������� � ����� �� � ������������ ��������������������� ����� �������� � ����� �������!� �� ����� � ���� ���������� ��� �� ���� �� ��������� � ��� �� �� ������ ��!������ ����!� �� � �!��� ���� �)����� ��� � ����� ��� ���)��� ����� � ����%� � � � � � � �� �� ���� �����* %������ ! ��������� �� ����� ������$ ������������� �� � ���� ���������� ���������� �� �� � ���� ������ � ����������� �������� ����� �������� �� ����$ ������)���� ����� � � ����� � ���� � ���� �������� � ���� ���� � ���� ������ �� �����(������� �� ����� �������� �� ��������� ���������� ��� ������� ��)���� � ���� �� ����� � �� "��� ���#� ����� ������� �� ��������� � �������� �������������� � � ��#��� ��������#����&� +�6��#����#��������� ��� ���& 7��� � �� ���������� � ������� ����� �� ������� ����������� �� ,�6��"#�$ ����� ��"� � ������ ������ � �� ����� �� �� �� ����� � �� ������� �������� � ����� ������ )������ � ��� 8�6�*���� ��������#� ���!� �� ����� ��. � � �� ����� � ���� ��� ����������� �� � ������� �������� �� ����� �)� ��������� ��� � ������ � � � �������������� �� ������ �������� ���� �� �� �� ����� ��� ���� � �� � ���� �� www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE ��/����*����+*�%���*���*��4*��0�������� ��� ��3� � ������ � ��� ���������#� ����3���� � � �� �� ��� � ��� ���� � � � � �� � ���� �����9�� ��� � ��� � ����� �)� � �� ����� ��� � ����������:�� ��� � � ����� �� ��)� � �� ������� �� ��;�� �� ������ ���� � � � � � ����� � ������������������ ��� ��� ����� �� ����� � � � ������ � ������� � ������� ������ ������������ ���������� ���� ���������� ����� ��� #��� ���� � �� ���3� � ���� ���������#� ����3���� � � ��� ���� � ������"�<�=:>*>�:�?*�.���*(:@*":A*�:B>�3:C("��� � � � ��� ��� ���� ���� �� ���� ��& ( ) ( ) ptconitpptL �⋅−+=1; � �; ����������#� ����3���� � 3� ����1�2� ��@������@������ �:�� �$ �*�����3���� D3�� �� �� ���� �1�2� ���� ����� ����� ��������� �� �� ������ � � ������� ����� �� � � ��E;� D3�� �� �� ���� �1�2� ���� ����� ������������� ��� ������ � ����������� ����� �1�2��9� �� ���� ��E�� D3�� �� �� ���� ��; ���� �� ������� � ���� ����� � �� ����� ����;� D3�� �� �� ���� ��� ���� �� �������� ������������������ ������� � ����� �� ����� �������C������ � www.clasesuniversitarias.com � LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE ( ) ( ) ( )[ ] ( ) nCinCitpCptLCptCL =⋅+⋅=⋅−+⋅=⋅= 11;;; 0000 ( )inCC n ⋅+⋅= 10����*��� Ley homogénea de grado 1 t=0 p=n .��� & �� E�������� ���E� ���������� ��� ��E��6�� ��9� �� � � ��� � ��� ����� �� ����������)� ����� ����� � �������� ��� ��E�������� ���� �$ ������� ���� � � �� �� ���� ����� �$ � � � �� ��� ������������������ ������������ �+��9� � �; ����������#� ����3���� � Generalizando ��/����*����+*�%���*���*��4*��0�������� www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE ��� ����� ��C������ ��� �������� ������������� ��� ��( ����������� � �� �� ��� � � �� ������������ ����� ���� � � ���� �� �� � �� ���������� ����� �� ������ ���� � ���� �� ���������� ����������������� � ����� ������������ � ������ ��� #���� � � �� � ����� � � ��� ��* %����� ��������; ��� ����� ����� ������� ��� ����� � ����;F�� ����� �� �� ����� ���� � �)�� %� �����9������������� ������� �� �� ������ *�� ���������� ������ ��� ���� � ����� ������� �� ����� ��� )����� �� ����� ������� 5��6 ,7�8����. ���� ���&�� �������) ��������� � ���� ���� ����������������� ��� ������1�2����� ���������� )������ � ���� � �������#� ���� ���� � Gráficamente La característica de esta operación es que la variación del capital financiero para dos momentos de valoración consecutivos es constante y proporcional al valor inicial C0, es decir el rendimiento en cada período se mantiene constante. n C0 Cn 0 1 2 n -1 n :�E����� �; �; G��; � GHG��; �E E�; �+G���D+��� �; G��; � GHG��; �E E�; �+G����� :�E����� :�E�����:�E����� �; G��; � E��; �+�G���� �; G��; � G��; � E��; �+�G�,���� www.clasesuniversitarias.com � LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE :�� ��� �� ���� ����� ��� �������� ���� �$ ���� (���� ������������� ��� �� ���� ����� ��� ��������� ���� �$ ������ ��� ������� ��������� �� �+������ �������������� � �� ���� � �G+ +����� ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) iiittttL itpCptCL +=+⋅=⋅−++=+ ⋅−+= 1111111;;1 1;; 00 (��� �� �� ������������� � ����� ��������� ���������������������� ������ �������������� ��� ���� www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE :�������� D 7�)� � ���� � � ���� ��� � ���9�����������8IJ��%� ��)� �� 9��������� ��,:;6��< �.& ������� ����� ���� ��� �� ��� � ����� � �� � ���� ������#�� �� � ���9�� �� � ���� D ����� ��������)� �������� ���� �$ ������ � �� ����� � � � ���� �������� ����������� ��������3�������!��� � ����9� �� ������� � ���� �$ ��� � � � � ��������� �������!��� � ��� � �� �� �������� ���� �$ ��� � � � � �� � ������ � � ��� ����� ��:>@�?K3 . ������ � ��:>@�?K3��:�� ���������� � � ��� ��� � ��������� ���� ����������)� �� ���������� ��������� ���� �� ���;�� ( ) inCI inC CinCCCinCCCI n ⋅⋅= ⋅⋅= =−⋅⋅+=−⋅+=−= 0 0 000000 1 www.clasesuniversitarias.com � LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE " )�� ���������#� ����3���� �=�� ������ *�� � � ���9�� ����� ������� ������#�������� �������#� ���� ���� � ����� �� �������� �� ������ �� ��� ��� ��������#�� ���� ���� �� ��� H�(�������� � ������������������ �� � ����������������� �� ������ ���� ���� �� � �������������� �� ��������� ������� ���� �$ � ����� �� � � �� ��������� ���� ����� ������ (��� ! ����& C �HHHHHHHH�� �+, ������� �� �HHHH �8 .%� �HHHHHHHHH �8I; L� ����HHHHHHHH �+/, =����������� � ������ ��� ����������� �����������)������� ���������#'<�����������>���������#'�������� ����#����������� 9�?& ����������������)����� ����� ����������� ���� �����<����=@?�!��������� ����������=�@?& 0 1 n-1 n años 1 k kk 1 2 ……………….2 ………………. C0 Cn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kn kk inkCC InicialCapitalCañosnpytSi itpkitkpkpktkL ⋅⋅+= === ⋅−+=⋅−+= 1 0 11; 0 0 �������� ��� �@ � �� � ������� �� �� ������� �����)���������@A)��� ��� � ����M ����� ���� � � ����� ��� �� �� ���� ������9���� � �������MD $ ���� � �� ���� ��� ����� ���� � ������� ����� ��� ���� ���� MD$ ��� � ��9�� www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE � ����� � ��� ��� ������ �� ���� �$ .�� �� � � ��� �� �������������)�������"#�$ ������ ���������� ��� ������ ��� ���������� ���������� � ���� ����� �������������� ��������� ������ � ( ) ( )kn n inkCC inCC ⋅⋅+= ⋅+= 1 1 0 0 ( ) ( ) k i iiki inkCCinCC inkCinC kk k k =⋅= ⋅⋅⋅+=⋅⋅+ ⋅⋅+=⋅+ 0000 00 11 ���������� ������ ����=�@?� ��� ������������)������������������������� �#��@A)���� ��� 9�& � ����� � ��� ��� ���� � �� ������ �� ���� �$ �MD$ ���� ? � ��� �� � ��������� � � ������ ��� ����� �$ ������� ����� �� � "� ���������� �� � ��� � ��� � k k ikikPeríodo ikikPeríodo ⋅= ⋅= ''' kk ikik ⋅=⋅ '' www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE "��� )�=���� � ���� ���������#� ����3���� ��������������'��� N���� )������ � ��� � ������ � �������� ������ ��� ������� ���� � ���� ��������� ���� ����� � ���� ��� "��� )������ � ���� � �������#� ���� ���� ��������������'���� �� ���� ��������� �� ������� � �������%����� ������������ � ���� ������� ���� � ��� � � ��� �� ������� ���� ����� #� ��������� ��� � �� ����� �������� ��������#� ������� ����� ������ � ��!����"#�������� ��� ����"#���#����������"#�$ ����������#����������������������������������������������� ��������& C0 Ch Cn +���3��� ������������ � ���� ��������� � �%�&������ E��; �+G����� ,��� ���� ���������� � ���� ���� & �� E��; �+G����� �� E��� �+G���D������E��; �+G��������+G���D������E��; O+G���D���� G���� G�����D����,P�E� E��; O+G���� � ��� G���� G�����D����,P�E��; �+G������G��; �����D����,� 5��; �+G������E��� 5; 0 h n (���� ��� �� ����" )�=���� � ���� ���������#� ����3���� ����� ������������������'�� BBBB��C�DDDDD www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE �! ������ �>Q��3�:>.:L:":.*.�.��"*�"�<�=:>*>�:�?*�.���*(:@*":A*�:B>�3:C("�&� ��E�+�;;;�R ��E�,��9� ��E�ST� ���� ������ C0 C1 C2 0 1 2 �� 3������������� ������� � ���&����E E�+�;;;�F��+�G�,�F�;�;S��E�7&7;6�F ���3�� ������ ������� � ���� ���� ���� � ��� � � ��� & *9��+&��+ E�+�;;;�F��+�G�+�F�;�;S��E�+�;S;�R *9��,&��E E�+�;S;�F��+�G�+�F�;�;S��E�7&7;;�G6F���U��7&7;6�F��)�� � ����� )������ � ���� � �������#� ���� ���� ���� � ������ � www.clasesuniversitarias.com � LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE "��� )�=���� � ���� ���������#� ����3���� � ���� ���� �� �� �� �������" )� � ���� ������� �%��� ��� ����� �� ��� ����� ��� � � � ����� �������� ��� �����#���������������������������������!�� � �� ��( ������������������� t pt+h p+h ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )itpCitipC ihitihipCihthpC ihthpCitpC queocurrirDebe ⋅−+=⋅−⋅+ =⋅−⋅−⋅+⋅+=⋅+−++ ⋅+−++=⋅−+ 11 11 11 : 00 00 00 www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 0 52 7 0 1 . 0 0 0 , 0 0 € 5 % 1 . 0 0 0 (1 ( 5 0 ) 0 , 0 5 ) 1 . 2 5 0 , 0 0 € 1 . 0 0 0 (1 ( 7 2 ) 0 , 0 5 ) 1 . 2 5 0 , 0 0 € n n C i C C = = = + − • = = + − • = � � www.clasesuniversitarias.com �� LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 3 ����� �� ���� �������� �J�;;;� ��� ������������ ���� �$ �� ��JT������� ���� � �� Q�� � �� ��������� �)��� ���� � ���� ����� �V��9� �� Q�� ���� ��������� ���� ����� �,J�� � W��������� �������� � ������� ������ �� ��������������� � ������������ �� �I�;;;� ��� X �� W*� �$������� ���� �$ ���� ���������� ���� �� ������� �� ��������� �� � �� ���I�S;;� ��� ���� �I��9� X (?QL"�C*�+&� www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE ���� E��;��+G��� �� E�J�;;;�F��+�G�V�F�;�;J��E�I�;;;����� : E��� D �;�E�I�;;;�� J�;;;�E�+�;;;����� ���� �� E��;��+G��� �� E�J�;;;�F��+�G�,J/+,�F�;�;J��E�J�J,;�S8����� ��� �� E��;��+G��� I�;;;E�J�;;;�F��+�G���F�;�;J� +�,�E�+�G���F�;�;J ;�,�E���F�;�;J ��E�V��9� ���� �� E��;��+G��� I�S;;E�J�;;;�F��+�G�I�F��� +�8I�E�+�G�I�F�� ;�8I�E�I�F�� ��E�;�;I��IT� 3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�+& www.clasesuniversitarias.com �� LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 3 ����� �� ���� �������� �+;�;;;� ��� ������������ ���� �$ �� ��8T������� ���� � �� Q�� � �� ��������� ���� ����� �S��9� �� ��� ����� ��������� ������� �� �� ���#���������� ��� �������#� ���������� ��� ����� �� � �������9� �)� ��� ������� � �������#�������� ��� � ������ ���� �� � � Y�$���� � � �� ���� �� � ��� ��� �� ������ ����)��� �� ��� ����� ��������� ���� ����� �S��9� � �� �������� ���� �$ �������� ��� ������� ��9� ����%��� ��8T����VT (?QL"�C*�,& www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE �� �� E��;��+G��� �� E�+;�;;;�F��+�G�S�F�;�;8��E�+,�V;;����� 0 1 2 ��E�8T 3 4 5 6 7 8 �Z�E�VT C0 Cn I = C0 n i I’ = C0 n’ i’ ���� �V�E��;��+G��� �V�E�+;�;;;�F �+GVF;�;8��E�++�,;;����� �� E��V��+G��� �� E�++�,;;�F��+�G�V�F�;�;8��E�+,�JVV����� ��� 3������ � �� ���� � ���� �� ����� ��������� ���� �� ���� �� ��� ������V�)������#��� �������� ���� �� ��������� �� ����� ��������� ��������� ��� ����������� ���� � ���� ���� ������� � � ����� �� �� ����� ������ �� ������� ���� � � �� �� ����� ������� ��� ��������� ������ ������� � ��� ����" )�=���� � ���� ���������#� ����3���� � �� :�E�+;�;;;�F�J�F�;�;8�E�+�J;;� ��� :Z�E�+;�;;;�F�8�F�;�;V�E�+�,;;� ��� �� E��; G�:�G�:Z�E�+;�;;;�G�+�J;;�G�+�,;;�E�+,�[;;����� 3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�,& www.clasesuniversitarias.com �� LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE (?QL"�C*�8&� Q�� � �� �������� ���� �$ ����������� ���� �)� �������� ���� �$ �� � ���� ���� ���+,�� ����� �� ��& �� :�� �$ ����� ����� ���� �� ��8T �� :�� �$ � � ����� ���� �� ��J�T � :�� �$ � ������ ����� ���� �� ��8�JT �� :�� �$ ��������� ���� �� ��ST � :�� �$ ���������� ���� �� ��++T www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�8&� �� �V�E�;�;8 ��E�M�F���M�E�V�F�;�;8�E�;�+,��+,T� M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�V�F�;�;8 ��+,�E�V�F�;�;8�/�+,�E�;�;+��+T� ����,�E�;�;J ��E�M�F���M�E�,�F�;�;J�E�;�+;��+;T� M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�,�F�;�;J� ��+,�E�,�F�;�;J�/�+,�E�;�;;S88��;�S8T� ���8�E�;�;8J ��E�M�F���M�E�8�F�;�;8J�E�;�+;J��+;�JT� M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�8�F�;�;8J� ��+,�E�8�F�;�;8J�/�+,�E�;�;;S[J��;�S[JT� ����+/,�E�;�;S ��E�M�F���M�E�+/,�F�;�;S�E�;�;V��VT� M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�+/,�F�;�;S����������+,�E�+/,�F�;�;S�/�+,�E�;�;;88��;�88T� ���+/8�E�;�++ ��E�M�F���M�E�+/8�F�;�++�E�;�;8I[��8�I[T� M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�+/8�F�;�++����������+,�E�+/8�F�;�++�/�+,�E�;�;;8;J��;�8;JT� www.clasesuniversitarias.com �� LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE (?QL"�C*�V&� 3����� ����� ���)�8�;;;� ��� ��,�J;;� ��� ����� � � �� �)�J�;;;� ��� ����� �+8�� ��Q�� � �� ��������� ���� ������� �� ��� ��9� �������� � ���� �� ����� �� ���� �$ & �� N��[T������� �� N��8T����� ����� � N��,T���� � ��� �� N��+,�JT�������� www.clasesuniversitarias.com LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�V&� �� �� E 8�;;; F �+ G , F ;�;[� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/+, F ;�;[� G J�;;; F �+G �,VD+8�/+, F ;�;[� �� E 8�V,; G ,�[I,�J; G J�8,;�S8 E ++�J;8�88 ��� 0 6 meses 2 años 3.000 2.500 13 meses 5.000 �� �� E 8�;;; F �+ G ,V/8 F ;�;8� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/8 F ;�;8� G J�;;; F �+G �,VD+8�/8 F ;�;8� �� E 8�[,; G ,�\J; G J�JJ; E +,�,,;�;; ��� � �� E 8�;;; F �+ G ,V/, F ;�;,� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/, F ;�;,� G J�;;; F �+G �,VD+8�/, F ;�;,� �� E 8�[,; G ,�\J; G J�JJ; E +,�,,;�;; ��� �� �� E 8�;;; F �+ G ,V/,V F ;�+,J� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/,V F ;�+,J� G J�;;; F �+G �,VD+8�/,V F ;�+,J� �� E 8�8[J G ,�[8V�8S G J�,SI�VI E ++�8\J�SV ��� www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� �(� ����� www.clasesuniversitarias.com ������������ �+����� ����������6�� )��6������� ��"�� �� (��6��� Profesor: Juan Antonio González Díaz � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� 3������� �� � � ���� � �������#� ���� ���� ������#��� ������ ���������� ���� �$ �1�2�������������� �� ����#��� ���� ������� ������������� �� ������������� ��� � ���������#�� �� ������ ��� �� � ����=�? ����� �������� ���� ������� ����� ������ ������������� �� �������)�� �� ���� ����������������"#���# ���#� � #��� ������� �� �$ ��� � �#�����<���� ���������#�$����������� ������" )�=���� � ���� �. � ������� � ����3���� � �� �� ��� � � ��� � ��� ���� � � ������ � � �� ���� � �� ����� �%����)������� ��������� ������������ � ������ ������ ( ) ( ) ptcondptptA >⋅−−= 1; ��/����*����+*�%��%���1����������� � � ��� � ����� V= Proy p(C,t) � � ��������� � www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ( )dnCC n ⋅−⋅= 103*��+�%������*%�,3*��+�*��1*�. .��� & �; E�-������� ������-�����. ��������-�����* ���� �� E�-�����>�������� ������������� ����� ��E��6�� ��9� �� � � ��� � ��� ����� �� ��������� )� ����� ����� � �������� ��� ��E�������� �� � ���������� ���� � � �� �� ���� ��� � � ���� � � �� ��� ��������������� ��� ������������ �+��9� 3� ����1�2� ��@������@������ � . � ����*�����3���� ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0 1;; 1;; 0 == = ⋅−== ⋅−−= pnt descontaraCapitalC dnCCptCA dptCptCA n nn ��/����*����+*�%��%���1����������� www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ��� ����� ��-����� � �������� ������ ��� �������� ����������������#����������� � �� �� ��� � � �������� � ��� � �� � � ����� �� �� � � ���� � � ��� � ����������� �� ���������� �������* %����� ��������� � ����������� ������� � �� ���� ���� ���F�� ����� �� �� ����� �� � ����)�� %� �����9������������� ������� �� �� ������ *����������� �� �������� �� ��� �� � ��� ����� ������� �� �3 ����%������ �� )����� �� ����� ����& �6 5��� ,7�A ���. � � ���� � ����D�� �EE���+D�� �� � ��D+���� �E E�� �+D ��D+���� �� D ���� �E E�� �+D ���� ���������������� ��� � ��D ,��� �E E���+D,�� www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� Gráficamente La característica de esta operación es que la variación del capital financiero para dos momentos de valoración consecutivos es constante y proporcional al valor nominal Cn, es decir el decremento en cada período se mantiene constante. n C0 Cn 3 ����� ����$�&�� �������) ��������� � ���� ���� ������������� ���� ��� ������1;2����� ���������� )� ����� � ���� �� � ���� ���� � ��� ����� ��-����� � �������� ������ www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� :�� ��� �� ���� ����� ��� ������ ��� �� � ������� (���� ������������� ��� �� ���� ����� ��� ������ ��� �� � ������������� ��� ������� �� � ������ �+� ���������� ������� ���� ������������ �������������� ��� ���� t-1 t +����� ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) dddttttA dptCptCA nn −=−⋅=⋅−−−=− ⋅−+= 1111111;;1 1;; �������������������� ����"#��,�.��������������"#�������'��� � ������������� ��#� �#��� �� ����� �� ����#� �#��� ��������������������������"#��H '�< �"#��������� ���� �7�#&�&�� � � ��� �� ���#��������'���� ��7� 9�& www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� :�������� D 7�)� � ���� � � ���� ��� � ���9�����������8IJ��%� ��)� �� 9��������� ��,:;6��< �.& ����������������� �� ���� ������� �� ����� ����������#����( ��������� 9��������� �& D ����� ��������)������ ��� �� � ��������� � �� ����� � � � ���� �������� ����������� ��������3�� �����!��� � ����9� ������� ��� �� � ������ � � � � ��������� �������!��� � ��� � �� ������� ��� � � � ������ � � � � �� � ������ � � ����#�������%���1���������+��*� . ������ � ��.�3�N�>@Q��QC�?�:*"��. �� ���������� � � ��� ��� � ��>�������� ����������=���� � ��������)� ��-�����. ���������;�� ( ) dnCD dnC dnCCCdnCCCCD nC n nnnnnnC ⋅⋅= ⋅⋅= =⋅⋅+−=⋅−−=−= 10 www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� " )�� �. � ������� � ����3���� �=�� ������ *�� � � ���9�� ����� ������� ������#����� ��� � ���� ���� � ����� �� �������� �� ������ �� ��� ��� ����� ���#�� �������� �� ��� H�(�������� � ������������������ �� � ����������������� �� ������ ���� ���� �� � �������������� �� ������������ ��� �� � ���� ����� �� � � �� ��������� ���� ����� ������ (��� ! ����& C �HHHHHHHHHH���+, ������� �� �HHHHH�8 .%� �HHHHHHHHHHHH�8I; L� ����HHHHHHHHHH���+/, 1� �� ���������� ���������� ����� ������ ��� � �������� ��� � ��� ��%��� � ����� ���� � ��� ����� � �� ����� � �� ���9�2� "���� ��� �� � ���� ������ � ������������������� �%����1M2�)����� ����� �� �����1�M2� www.clasesuniversitarias.com � � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� 0 1 n-1 n años 1 k kk 1 2 ……………….2 ………………. C0 Cn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kn kk dnkCC EfectivoValorCañospyntSi dptkdpktkpktkA ⋅⋅−= === ⋅−−=⋅−−= 1 0 11; 0 0 �������� ��� �@ � �� � ������� �� �� �����������#����� ������� ���������@A)��� ��� � ����M ����� ���� �� ����� ��� �� �� ���� ������9���� � �������MD$ ������ �� ���� �� � � � ���� � � ��� ���� ���� ���� MD$ ����� ��9�� " )�� �. � ������� � ����3���� �=�� ������ www.clasesuniversitarias.com 0 2 +�;;;��; � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� �;�E��� �+D ���� �;�E�+�;;;�F��+�� ,�F�;�;I��E�SS;����� ��E�IT� 0 6 m +�;;;��; ��E�IT� �;�E��� �+D ���� �;�E�+�;;;�F��+�� I�F�;�;I��E�IV;����� �;�E��� �+D ���� �;�E�+�;;;�F��+�� I/+,�F�;�;I��E�\[;����� www.clasesuniversitarias.com � � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� � ����� � ��� ��� ������ �� �� � ���� �� � ��� .�� �� � � ��� �� ������������#����������"#�$ ������ ���������� ��� ������ ��� ������������� � ���� ��� �� ���������������� � ���� ������ � ( ) ( )kn n dnkCC dnCC ⋅⋅−= ⋅−= 1 1 0 0 ( ) ( ) k d ddkd dnkCCdnCC dnkCdnC kk knnnn knn =⋅= ⋅⋅⋅−=⋅⋅− ⋅⋅−=⋅− 11 3 �� �����������������1�M2����������� �� � ���� ���� � ��� ����� �� ������MD$ ����� ��9�� � ����� � ��� ��� ���� � �� ������ �� �� � ��� �MD$ ���� ? � ��� �� � ��������� � � ������ ��� ���� ��� �� � ���������� ����� �� � "� ���������� �� � ��� � ��� � k k dkdkPeríodo dkdkPeríodo ⋅= ⋅= ''' kk dkdk ⋅=⋅ '' www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� "��� )�=���� � ���� �. � ������� � ����3���� ��������������'��� N���� )������ � ���� �� � ���� � ������ � �������� ������ ��� ������� �� � ���� �� � ����� ��� ����� � ���� ��� "��� )������ � ���� �� � ���� �� � ���� ���� ��������������'���� �� ���� �� � ������ ������ �� ���� � �� � �������%����� ����������� ��� ������� �� � ��� � � ��� �� � �������� ����� #� �� � ������� � �� � ��� �������� ��������#� ������� ����������� � ��!����"#�������� ��� ����"#���#��������� �"#�$ ����������#�������������������������������������������������������& (���� ��� �� ����" )�=���� � ���� �. � ������� � ����3���� www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� +���3��� ������ ��� � ���� �� � ����� �%�&�����; E��� �+D ���� 7 8 �� �� �� �� �� ,��� ���� ���������� � ���� ���� & �� E��� �+D ��D����� �; E��� �+D �����E��� �+D ���D��������+D �����E��� �+D ����G�������+D�����E� E��� �+�� ����� ����G������,G�����D�, �,P�E��� �+D �����G��� ����, ����,��� 5��� �+D ���� ����� ������������������'�� BBBB��C�DDDDD (���� ��� �� ����" )�=���� � ���� �. � ������� � ����3���� www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� �! ������ �>Q��3�:>.:L:":.*.�.��"*�"�<�=:>*>�:�?*�.��.�3�N�>@Q�3:C("�&� ��E�+�;;;�R ��E�,��9� ��E�ST� ���� ������ �� �� �� �� �� �� 3������������� � ��� � ���&����6 E�+�;;;�F��+�D ,�F�;�;S��E�IG6�F ��� 3�� ������ � ��� � ���� ������ ��� � � ��� & *9��+&��+ E�+�;;;�F��+�D +�F�;�;S��E�\,;�R *9��;&��6 E�\,;�F��+�D +�F�;�;S��E�IG;�G6�F���U��IG6�F � ���!� �� ����� ��������#������������ ����������������������'��& (���� ��� �� ����" )�=���� � ���� �. � ������� � ����3���� www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ����( ��! � ��) �( � ����( www.clasesuniversitarias.com ������������ �+����� ����������6�� )��6������� ��"�� �� (��6��� Profesor: Juan Antonio González Díaz � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ��!���� ����� ����%���#������������+ ���� � "��� )�=���� � ���� �. � ����3���� �?� ������ ������� �� ����� � � ��� ��)��������������� ��!����� ��� ���� " )�=���� � ���� ���������#� ����3���� � ��� ��. � ����?� �����������#�� �� � ����1�� ��� �� � ���2� ���� ���1������ ���� �$ 2� � ������#��� � ����� �� �� ����� ��������� � �����" )�=���� � ���� ���������#� ����3���� �� �� ������� � � ����� � ��� �� �� ����� �� � ��������� ��� ���� �� ��� � ��� ����� ���� ��������������#��� ������ ������������� ���� �$ � 1�2�� � � ��������� � � � ������ ������� � ( )inCC n ⋅+⋅= 10 ( ) ( ) 10 1 1 − ⋅+⋅= ⋅+ = inC in C C n n CQ>@*>@� -*"Q?��=��@:-Q��>��" .�3�N�>@Q�?*�:Q>*" "��" )�=���� � ���� �. � ����3���� �?� ������ ����!����� ��� ��� >Q��3� �3�:>.:L"�� www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ��� ����� ��� � ������!��. � ����?� ����� ���. � ����?� ��������C�� ���� �������� � �� � ���������� � � ��� ��� � ��-�����>�������)� ��-����� �� ����� in inC in CinCC in C CCCD nnnn n nnR ⋅+ ⋅⋅ = ⋅+ −⋅⋅+ = = ⋅+ −=−= 11 1 0 in inC D nR ⋅+ ⋅⋅ = 1 www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ������� ���� ��� ��� �� ) �� �. � ����� �� � ����)��� ����������� ���� �� Equivalencia entre tasa de interés y tasa de descuento Un tanto de descuento “d” será equivalente a un tanto de interés “i” si descontando el mismo Capital Nominal (Cn) durante el mismo período de tiempo (n) nos da el mismo Valor Efectivo (C0). Efectivo del Descuento Comercial C0 =Cn (1- n d) Efectivo del Descuento Racional in C C n ⋅+ = 1 0 Serán equivalentes “d” e “i” si los Valores Efectivos son iguales: in C dnC nn ⋅+ =⋅−⋅ 1 )1( www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ni i d inid nd d i ndid ndiid dinnind ndni nd ni + = −+= − = −+−= −+−= −+−= −+= −= + 1 )1(0 d""común factor Sacando 1 )1(0 i""común factor Sacando 0 npor Dividiendo 0 )1)(1(1 1 1 1 2 ��5�� ��4�� in C dnC nn ⋅+ =⋅−⋅ 1 )1( ������� ���� ��� ��� �� ) �� �. � ����� �� � ����)��� ����������� ���� �� www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� (������� ��� ���#������ ������ ���� ��� ����" )�� �. � ������� � ����3���� �)����" )�� �. � ���� ?� ������3���� ��� � �� � � � ���� �� ������ �� �� � ������ ��� �� � ����1�2� �������������� �� � ���� �$ �1�2 ��E�� . � ������� � ��� .� E��� ��� . � ����?� ����� in niC D nR ⋅+ ⋅⋅ = 1 3���E� .� E��� ��� in niC D nR ⋅+ ⋅⋅ = 1 3�� �� ����� ������� � � ��� ��� � ��. � ������� � ����)� ��?� �������� � �� & . �� .��E DrDc ni inC ni ni niC ni niC ni inC inC n nn n n > > + = = + −+ = + −= + − 0 1 ) 1 11 () 1 1 1( 1 22 ������� ���� ��� ��� �� ) �� �. � ����� �� � ����)��� ����������� ���� �� www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ������� ���� ��� ��� �� ) �� �. � ����� �� � ����)��� ����������� ���� �� Q����������� �� ���#������ ����������� ��� ����� �� � ��� � & )1( 1 niDrDc ni Dc Dr += + = (���������������� �� �� ��� � � ��. � ��C������ �� ��.�� (��� � ��������� ��. � � ��� ������$� ���� ��1. � ����N �� ��2� . � ������� � ��� . E��� ��� . � ����?� ����� in niC D nR ⋅+ ⋅⋅ = 1 3���E� . E��� ��� in niC D nR ⋅+ ⋅⋅ = 1 www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� � ��) �( � ����( El descuento bancario es una operación en la que la entidad financiera asume la posición acreedora al entregar su cliente el valor descontado de un capital financiero futurodocumentado mediante un efecto de comercio. Para la obtención del valor descontado que la entidad financiera entrega al cliente se aplica la ley financiera de descuento comercial simple al tanto estipulado por la entidad, deduciéndose también las correspondientes comisiones y gastos asociados a la operación. Tipos de descuento bancario • Descuento de efectos comerciales: cuando los efectos a descontar proceden de transacciones comerciales y el objetivo del descuento es obtener liquidez. Estos efectos se conocen como papel comercial. • Descuento financiero: cuando se trata de una operación de préstamo que concede la entidad financiera al cliente que se formaliza a través de un efecto de comercio. www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� GgNd n NE −⋅−� � � � � ⋅−⋅= 360 1 Cálculo del Efectivo que entrega la entidad financiera: E = Efectivo entregado por la entidad financiera N = valor nominal del efecto descontado d = tanto de descuento anual simple aplicado por la entidad g = comisión de cobranza. Es una comisión destinada a compensar a la entidad financiera por realizar la gestión del cobro que se produce en el momento del vencimiento del efecto. La comisión se determina como un porcentaje del valor nominal. G = otros gastos asociados a la operación por cuenta del cliente. � ��) �( � ����( 0 n E N ( )dnCC n ⋅−⋅= 10 www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� � ��) �( � ����( El cliente debe presentar el efecto a descontar timbrado de acuerdo con la escala de gravamen que en vigor. Por lo tanto, la cuantía neta o Líquido de la operación de descuento bancario es el siguiente: TEL −= Cálculo de la rentabilidad efectiva obtenida por la entidad financiera (ib) Es el tanto de interés anual simple que mide la rentabilidad obtenida por la entidad financiera en la operación de descuento. Este tanto efectivo viene dado por el tipo de interés que iguala financieramente las cantidades efectivas entregadas y recibidas por la entidad financiera en la operación de descuento. 1 3 6 0 b n N E i � = ⋅ + ⋅� � � � 0 n E 0 n N Banco paga Banco recibe www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� � ��) �( � ����( Cálculo del tanto efectivo para el cliente Es el tanto de interés anual simple que mide el coste que supone para el cliente realizar la operación de descuento bancario. Este tanto efectivo viene dado por el tanto de interés anual simple que iguala financieramente la cantidad liquida recibida en el momento inicial y el nominal del efecto descontado. 1 3 6 0 c n L i N � ⋅ + ⋅ =� � � � Efectos impagados. Letra de resaca. Si llegado el momento del vencimiento del efecto el librado no paga la cantidad debida, la entidad financiera debe presentar el efecto al protesto ante notario. Una vez realizado esto, carga al cliente el siguiente efectivo que desea recuperar : cppdR GGNccNNE ++⋅+⋅+= 0 n L 0 n N Cliente recibe Cliente paga www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ! ��( � ��� www.clasesuniversitarias.com ������������ �+����� ����������6�� )��6������� ��"�� �� (��6��� Profesor: Juan Antonio González Díaz � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� �+� ���*�7J 3 �� ��� ��������� �������� �J�;;;� ��� �� � �� � �� ������ �8�� �������JT������� ���� � �� Q�� � �� �� � ����� ����� ������������ � ��������!�� ������������ �� � ��� �� Q�� � �� �� � ����� ����� ������������ � ��������!�� ������������ ���� �$ � W���� �$������� �� � ���������!������ ������� � �� � ��� ������ � ������ �V�\J;� ��� X �� W���� �$������� ���� �$ ������!������ ������� � �� � ��� ������ � ������ �V�\J;� ��� X � WY�$�� �� ���� �� � � ��� � �������� �� � ����� ��������������)� �������� ���� �$ �� ����������� �X www.clasesuniversitarias.com � � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ���1�����*���+� ���*�7J� �� �;�E��� �+D ���� �;�E�J�;;;�F��+�� 8/+,�F�;�;J��E�V�\8[�J;����� ���� �;�E��� /��+�G����� �;�E�J�;;;�/��+�G�8/+,�F�;�;J��E�V�\8S�,[����� ��� ��������� �� � ����� ��VT�)� �������� ���� �$ �� ��V�;VT� ��� ����� �� ������ ��� � ��� ����� �8� � ���� ��� � � ������� ���� ���! � ����� � � ���� ��� � ������ ���� �������� �J�;;;� ��� �� �����#���� 8�� � ���� �;�E�����/��+�G����� V\J; E�J�;;;�/��+�G�8/+,�F���� ��E�;�;V;V��V�;VT� � �;�E��� �+D ���� V�\J; E�J�;;;�F��+�� 8/+,�F��� ��E�;�;V��VT� 0 3 m 5,000Co d = 0,05 0 3 m 5,000Co i = 0,05 0 3 m 5,0004,950 d 0 3 m 5,0004,950 i nd d i − = 1 ni i d + = 1 www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� �+� ���*�EJ� ��������� �� ����� �� � ����� ���� � ���� �+;�;;;� ��� �� ���������� ����� ������������ �� � ���������� � ��IT����� ����& �� Q�� � �� �� � �������� �����)� ��� � ���� �� ��� � ��� ���� ����� �+,;��%� ��7������� ��� ��� �������� � ��� �$ ������� ����� �� � �� Q�� � �� �� � �������� ����� �� ��� � ��� ���� ����� �8;;��%� ����� ����� �������� ���� �$ ������� ����� �� � � ������ ��� ��� � �� ���� �$ ���� ���� � ���� ��������� ����)����)���#�� ��� �� ������ � www.clasesuniversitarias.com � � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ���1�����*���+� ���*�EJ� �� �;�E��� �+D ���� �;�E�+;�;;;�F��+�� +,;/8I;�F�;�;I��E�\�S;;����� . E��� D �;�E�+;�;;;�� \�S;;�E�,;;����� ��E���/��+�� �����E�;�;I�/��+�D +,;�/�8I;�F�;�;I��E�;�;I+,,VVS\��I�+,T� ���� �;�E�����+D ���� �;�E�+;�;;;�F��+�� 8;;/8I;�F�;�;I��E�\�J;;����� ��E���/��+�� �����E�;�;I�/��+�D 8;;�/�8I;�F�;�;I��E�;�;I8+J[S\��I�8,T� ��� ���������)��� � ��� � ��� ����� �� ������� � � � � �� �� �����#������ ���������)��� � �������� � ��� �$ � ����� �� ������ ��������� �� � ������ �������� �� � �����)���� � ��� �����1�� � ���2� � �� . � ������� � ����� � ������. � ����?� �������(��� � ��������� ����� �$ � ����� �� �� � � ���� � ����� ������ � � �� ����� �� ���������� �� � ����� 0 120 d 10,000Co d = 0,06 0 300 d 10,000Co d = 0,06 www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� �+� ���*�:J� N�� � ��� �� � ����� ���������I�;;;� ��� � ������ ���������� � ������� �� ������� � ������ �J�SV;� ��� ����� �� � ���� ���� � � � ���������� ��� � ��� ���������#���������� )������ � ���� �� �����#� ���� ������ � ���� �� � � � & �� ���������� ��� �� � ���� ���� ����� ������ ��,T �� ���������� ��� ���� �$ � ������ ������ ��8T � ���������� ��� �� � ������� � ����� ��+T www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ���1�����*���+� ���*�:J� �� �;�E��� �+D ��M��M� J�SV; E�I�;;;�F��+�� ��F�V�F�;�;,� ��E�;�88888��9� ��V�� � ���� �;�E����/��+�G���M��M� J�SV; E�I�;;;�/��+�G���F�8�F�;�;8� ��E�;�8;VV+V��9� ��8�� �)�,;��%� � � �;�E��� �+D ��M��M� J�SV; E�I�;;;�F��+�� ��F�I�F�;�;+� ��E�;�VVVVVV��9� ��J�� �)�+;��%� � www.clasesuniversitarias.com � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� �+� ���*�GJ� N�� �� � ���� ��� �������� � ������� � ��� �� � ����� �I�;;;� ��� � ���� � ��� ����� ������ �\;��%� �� ������ ������ ������������ �� � ����� ��IT������� ���� �)����� ��� ����� � �����#��� ��;�JT���%�����,� ��� ������ ����& �� ��� � ����� � � ��� ��� ����� ����� �� �� �� ����% ����� � �� �� � �� �� �� � �� ������� �� �� � ��� �� �I� ��� � ���� ����� ���� � ������ ������ �� ��������� ����� � �� ��� � � � � ������ ������ �� ����� �� � ��������� �� �� �� www.clasesuniversitarias.com �� � 5 �� � �� �� � � ��) �( ����� ���1�����*���+� ���*�GJ� �� � E >�F��+D �/8I;����� ��> ��E�I�;;;�F��+D \;/8I;�;�;I��� ;�;;J�F�I�;;;�E�J�\+;�� 8;�E�J�SS;� ��� ���� "�E���D @ "�E�J�SS;�� I�E�J�S[V� ��� � :��L��������������L�� �������&� J�SS;� ��� �� �� ����� ����;� L�� ��� �� & I�;;;� ��� �� �� ����� ����\;��%� � J�SS;�F���+�G�\;/8I;�F���E�I�;;; ��E�;�;S+I8,IJ8��S�+IT� ������:�������������������� �� �� �� �&� J�S[V� ��� �� �� ����� ����;� ��� �� �����& I�;;;� ��� �� �� ����� ����\;��%� � J�S[V�F���+�G�\;/8I;�F���E�I�;;; ��E�;�;SJS;+S8S��S�JST� www.clasesuniversitarias.com �� VENCIMIENTOCOMUN Y VENCIMIENTO MEDIO www.jagonzalez.blogsgo.com Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide Profesor: Juan Antonio González Díaz VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO � ����� � ���� �������� &�- � ��� ����������)�- � ��� ����C ��� @������ �� � � �������1�2� ������ ������ � �� ���+���+�����,���,����������������������������� �� ������������ � ��������� � �������� ��� � � � �������� �� ����� �� ������� ��� �1�2� ������ ������ � �� ���� ��� � *���� �������������� ��������� �� �� �������1��������]�� ��� ����� �� 2��)������� ����� �� � ��� ����1�2 �� � ������1- � ��� ���������2� t1 t2 t3 tn C1 C2 C3 Cn C 3���� ����:�� ��� * 3���� ����*�� ������� L t www.jagonzalez.blogsgo.com �� VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO � ����� � ���� �������� &�- � ��� ����������)�- � ��� ����C ��� 3������ ��� ����������� ���� ������� ����� �������� � ������ ���������� ���� ������� ������������ ���� �������� ���������� ��� ��� � ��� ����� �� � �� ���� ������ ��� � ����������3���� ����*��������3���� ����L� �� ��� ����� �� "��3���� ����*� ��� ����� �� ������3���� ����L� ����������� � �� ���� ������ ����� �������� ��� � � ���� *�,6.�5� �,6. t1 t2 t3 tn-1 tn C1 C2 C3 Cn-1 Cn 0 . . . . 3���� ����:�� ��� * 3���� ����*�� ������� L t C www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO � ����� � ���� �������� &�- � ��� ����������)�- � ��� ����C ��� (������ �������� � ���� ��� ������� ����;��� � �� ������#�������� )�� �� � ���� ���� ��7 �� ��� ��� �� �� ) ��� ����� �����" )�=���� � ���� �. � ������� � ����)����" )�=���� � ���� �. � ���� ?� �������W ���� ��� �� � ���������#��X 3�� �� ��� ������� ��� ������������ ��� �� � ������ �� �� ����"=.�& �; E�� �+D ���� ����� ���� ����� � ��� �%����� ���� �� & 3�� �� ��� ������� ��� ��������������� ���� �$ ��� �� �� ����"=.?& ����� ���� ����� � ��� �%����� ���� �� & C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ] (��� ���� ������� ������� ��� � ��� ���� ������������� ����%��� �� ���������� �������� ��� � ��� ������ ����%�� � � ��� �� ���� ��� � ������ ����������� � in C C n ⋅+ = 1 0 it C it C it C it C n n ⋅+ = ⋅+ ++ ⋅+ + ⋅+ 1111 2 2 1 1 � (��� ���� �������$������� ������� ��� � ��� ���� ������������� ����%��� �� ���������� �������� ��� � ��� ������ ����%��� � ��� �� ���� ��� � ������ ����������� � www.jagonzalez.blogsgo.com �� VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO � ����� � ���� �������� &�- � ��� ����������)�- � ��� ����C ��� 3�� ����������]�� ��� ����� �� ������� ������ ����� ��� ���� ��� � ������ � ��E��+ G��, G�����G��� ����� ������ � ��� ����1�2����� �������� �- � ��� ����C �����)� � ��� ��%� ���� ��� &� nn tCtCtCtC ⋅++⋅+⋅=⋅ �2211 �������� �� � ��������� ��� �� ���� �� �� �������& C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ] C1 – C1 t1 d + C2 – C2 t2 d + ...+ Cn – Cn tn d = C - C t d ? ��� ������ C1 + C2 + ...+ Cn – C1 t1 d – C2 t2 d - ... – Cn tn d = C - C t d C – d (C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn) = C - C t d C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO . � !����� ��������� ��� C tCtCtC t nn ⋅+⋅+⋅ = �2211 Y� � ���� � � � ��� � ��� ����� �� ���������� �� � ��� ���� � ������� ���������$�� ������ ������ ��� � � � ��� ��� �� ��� � ������ ����������� ��. ���%� ������� �� �-�>�:C:�>@Q�C�.:Q N��� ��� � �% �� ����������� � � � � �� �� � ��� �� � ��� ����� �����$ � ���� �� ������� �������� ������� � ���� �$ ��������� �� � ����� ������ �� ������������ � � �������� ������������ � ���� ��� � �� �� � �� ����� ��� � ��� ����� ��� � ����� � ���� �������� &�- � ��� ����������)�- � ��� ����C ��� www.jagonzalez.blogsgo.com �� VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO �+� ���*�7J� ��� �� � ��� � ������ �� � ����%� ��+���, )��8 ���� � ��� ��� �� � ���� �� ��+���, )��8 ���� �� ��3 � � ��� � ������� �� � ������ ������������ �� ��� ���� � ����%����)�� � ��� ������� � �� . � ���� � ��� � ��� ������� �� �� ������ � � ��� �������������� �� � ����� � �����+, �� . � ���� ���� ����%��� �� ������ ���������,�� �� �� ������ � � ��� �������������� ���� �$ �������� � 3�� ���� �� � � ��+ G��, G��8�E������� ���� ��� � ��� �����8�� ��� � �� ������ www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO ���1�����*���+� ���*�7J� ���� t1 t2 t3 trimestres C1 C2 C3 0 . . . . 3���� ����:�� ��� * 3���� ����*�� ������� L t meses C ( ) ( ) ( ) 12 123312221211 3131311 d C dtCdtCdtC t ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅ − = 3������ ��� ����������� ���� ������� ����� �������� � ������ ���������� ���� ���� ��� ������������ ���� �������� ������ ���� ��� ��� � ��� ����� �� � �� ���� ������ ��� � ���������� 3���� ����*��������3���� ����L� �� ��� ����� �� "��3���� ����*� ��� ����� �� ������ 3���� ����L� ����������� � �� ���� ��� ��� ����� �������� ��� �� ���� *�,6.�5� �,6. ( ) ( ) ( ) ( )12123312221211 1313131 dtCdtCdtCdtC ⋅−⋅=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅ www.jagonzalez.blogsgo.com �� VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO ���1�����*���+� ���*�7J� ���� t1 t2 t3 trimestres C1 C2 C3 0 . . . . 3���� ����:�� ��� * 3���� ����*�� ������� L t meses C 3������ ��� ����������� ���� ������� ����� �������� � ������ ���������� ���� ���� ��� ������������ ���� �������� ������ ���� ��� ��� � ��� ����� �� � �� ���� ������ ��� � ���������� 3���� ����*��������3���� ����L� �� ��� ����� �� "��3���� ����*� ��� ����� �� ������ 3���� ����L� ����������� � �� ���� ��� ��� ����� �������� ��� �� ���� *�,6.�5� �,6. � � � � � ⋅+× � � � � � � � � � � � ⋅+ − ⋅+ − ⋅+ = i t i t C i t C i t C C 4 1 4 1 4 1 12 1 2 3 3 1 1 2 i t C i t C i t C i t C ⋅+ = ⋅+ + ⋅+ + ⋅+ 12 1 4 1 4 1 4 1 3 3 2 2 1 1 www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO ���1�����*���+� ���*�7J� ��� t1 t2 t3 trimestres C1 C2 C3 0 . . . . 3���� ����:�� ��� * 3���� ����*�� ������� L t meses C 3�� �+ G��, G��8�E�� � ���� ���� �3���������������� 3 2211 3 3 C tCtC t C t ⋅−⋅−⋅ = C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t www.jagonzalez.blogsgo.com �� VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO �+� ���*�EJ� . ������������ �������� � ����%��,8�;;;� ��� �� ������ �+J�� ��. �� � ������� ������������ � ������ ��.� �� �S�;;;� ��� � ���� � ��� ��� �� ������ �V�� �)�+;�� �� � ����� �� �� ��� �� � �� "�� ����%��� ��� � �� �������� ��� � �� ������ �+S�� �������#�������������� �� � ���� ���� ����� ���� �� ��,T �� "�� ����%��� ��� � �� �������� ��� � �� ������ �+S�� �������#�������������� ���� �$ ������� ���� � � ��IT � ��� ����� ��� � ��� ����� ��� � �� ������� �� �������� �� � �� ���[�J;;� ��� ��(������������� � � � ������� � ����� ��+T �� ��� ����� ��� � ��� ����� ��� � �� ������� �� �������� �� � �� ���[�;;;� ��� ��WY�$������� ���� �$ � ���������#���X www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO ���1�����*���+� ���*�EJ� ���� 4 10 18 meses 8.000 8.000 C3 0 . . . . 3���� ����:�� ��� * 3���� ����*�� ������� L 3������ ��� ����������� ���� ������� ����� �������� � ������ ���������� ���� ���� ��� ������������ ���� �������� ������ ���� ��� ��� � ��� ����� �� � �� ���� ������ ��� � ���������� 3���� ����*��������3���� ����L� �� ��� ����� �� "��3���� ����*� ��� ����� �� ������ 3���� ����L� ����������� � �� ���� ��� ��� ����� �������� ��� �� ���� *�,6.�5� �,6. 15 meses 23,000 23.000 [ 1- 15/3 0,02 ] = 8.000 [1 – 4/3 0,02)] + 8.000 [1 – 10/3 0,02)] + C3 [1 – 18/3 0,02)] 20.700,00 = 7.786,67 + 7.466,67 + C3 [0,88] C3 = 6.189,39 Euros www.jagonzalez.blogsgo.com � VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO ���1�����*���+� ���*�EJ� ���� 4 10 18 meses 8.000 8.000 C3 0 . . . . 3���� ����:�� ��� * 3���� ����*�� ������� L 3������ ��� ����������� ���� ������� ����� �������� � ������ ���������� ���� ���� ��� ������������ ���� �������� ������ ���� ��� ��� � ��� ����� �� � �� ���� ������ ��� � ���������� 3���� ����*��������3���� ����L� �� ��� ����� �� "��3���� ����*� ��� ����� �� ������ 3���� ����L� ������������ �� ���� ��� ��� ����� �������� ��� �� ���� *�,6.�5� �,6. 15 meses 23,000 23.000 / ( 1+ 15/12 0,06 ) = 8.000 / (1 + 4/12 0,06) + 8.000 / (1 + 10/12 0,06) + C3 / (1 + 18/12 0,06)] 21.395,35 = 7.843,14 + 7.619,05 + C3 / 1,09 C3 = 6.467,15 Euros www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO ���1�����*���+� ���*�EJ� ��� 4 10 t3 meses 8.000 8.000 7.500 0 . . . . 3���� ����:�� ��� * 3���� ����*�� ������� L 3������ ��� ����������� ���� ������� ����� �������� � ������ ���������� ���� ���� ��� ������������ ���� �������� ������ ���� ��� ��� � ��� ����� �� � �� ���� ������ ��� � ���������� 3���� ����*��������3���� ����L� �� ��� ����� �� "��3���� ����*� ��� ����� �� ������ 3���� ����L� ����������� � �� ���� ��� ��� ����� �������� ��� �� ���� *�,6.�5� �,6. 15 meses 23,000 21.275 = 7.840 + 7.600 + 7.500 (1 - t3/2 0,01) t3 = 44,4 meses (44 meses y 12 días) 23.000 (1- 15/2 0,01) = 8.000 (1 – 4/2 0,01) + 8.000 (1 – 10/2 0,01) + 7.500 (1 – t3/2 0,01) www.jagonzalez.blogsgo.com � VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO ���1�����*���+� ���*�EJ� ���� 4 10 t3 meses 8.000 8.000 7.000 0 . . . . 3���� ����:�� ��� * 3���� ����*�� ������� L 15 meses 23,000 t3 = 33,28 meses (33 meses y 9 días) 23.000 * 15 = 8.000 * 4 + 8.000 * 10 + 7.000 * t3 3�� �+ G��, G��8�E�� � �� ����S�;;;�G�S�;;;�G�[�;;;�E�,8�;;; � ���� ���� �3���������������� C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t www.jagonzalez.blogsgo.com �� LETRAS DEL TESORO Aplicación de la Ley Financiera de Capitalización Simple www.clasesuniversitarias.com Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide Profesor: Juan Antonio González Díaz LETRAS DEL TESORO Las Letras del Tesoro son títulos de deuda pública emitidos por el Estado como medio de financiación a Corto Plazo. LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com Se trata de valores emitidos al descuento, lo que implica que el precio de adquisición es inferior al nominal que recibirá el inversor a su vencimiento (VALOR NOMINAL = 1.000 EUROS) La duración de la inversión es variable, pudiendo ser de 3, 6, 9 o 12 meses, aunque siempre se expresa en días. De tal forma que… Una duración de 3 meses equivale a 91 días Una duración de 6 meses equivale a 182 días Una duración de 12 meses equivale a 364 días La diferencia entre el valor nominal que reciben y el precio de adquisición representa el beneficio de la inversión. �� El procedimiento normal de emisión de valores es a través de una subasta competitiva… LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com Los inversores presentan al emisor sus peticiones en las que reflejan los valores que desean adquirir, así como los precios que están dispuestos a pagar por dichos valores. Recibidos todas las peticiones, el emisor decide el precio mínimo que acepta, rechazando las peticiones recibidas con un precio inferior a este precio mínimo. En las peticiones por vía no competitiva, sólo se indica el importe nominal que se desea adquirir, sin especificar el precio, aceptándose todas las peticiones en su totalidad. Precio Mínimo Precio Medio PMa PMe Peticiones por debajo del PMa, quedan fuera de la subasta Peticiones al precio mínimo, compran a PMa Peticiones a un precio entre PMa y PMe, al precio ofrecido Peticiones a Pme o superior, compran a PMe Cálculo del tanto efectivo de la emisión: interés marginal e interés medio LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com Los tantos efectivos de la emisión se definen como los tantos de interés anuales simples que ofrecen una medida de la rentabilidad efectiva que proporcionan las Letras del Tesoro en el momento de la emisión, sin la intervención de la entidad financiera a través de la cuál se realiza la operación. Según la normativa del Banco de España se calculan sin las comisiones asociadas a la operación y utilizando el año comercial. Para el interés marginal… 000.1 360 1 =� � � � � ⋅+⋅ mai t PMa Para el interés medio… 000.1 360 1 =� � � � � ⋅+⋅ mei t PMe �� Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro. LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com En este caso se ofrece una medida de la rentabilidad efectiva que proporcionan las Letras del Tesoro de un inversor en concreto, que participa en la operación a través de una entidad financiera, que le cobra comisiones por su intermediación, por la suscripción o compra y por la amortización o venta. Un inversor puede participar en la operación en el mercado primario, suscribiendo los títulos en la emisión de los mismos, y manteniéndolos hasta su vencimiento, en cuyo caso se aplicarían las comisiones de suscripción y amortización. Pero puede también participar en la operación en el mercado secundario, bien comprando las Letras del Tesoro a otro inversor en un momento distinto a la emisión, vendiéndolas a otro inversor antes del vencimiento, o ambas opciones, en cuyo caso se aplicarían comisiones de copra y venta. Además, la duración de la inversión, en cualquiera de estos casos sería menor que en el mercado primario. En este caso, la rentabilidad efectiva de la operación se obtendría planteando una equivalencia entre la cantidad que paga el inversor, ya sea el precio de suscripción o de compra, más comisiones; y el nominal o precio de venta, incluyendo también las comisiones. En este caso, además, se utiliza el año natural. Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro. LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com Por tanto, el procedimiento sería el siguiente: Opción 1: el inversor adquiere títulos en la emisión y mantiene hasta su vencimiento. El inversor paga: 0 364 ..scPMa + ..scPMe + El inversor recibe: 0 364 ..000.1 ac− ( ) cicPMa ef −=� � � � � ⋅+⋅+ 000.1 365 364 1 ( ) cicPMe ef −=� � � � � ⋅+⋅+ 000.1 365 364 1 �� Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro. LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com Opción 2: el inversor adquiere títulos en mercado secundario y mantiene hasta su vencimiento. El inversor paga: t 364 ..ccPC + El inversor recibe: t 364 ..000.1 ac− ( ) ci t cPC ef −=� � � � � ⋅ − +⋅+ 000.1 365 )364( 1 Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro. LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com Opción 3: el inversor adquiere títulos en la emisión y vende en el mercado secundario. El inversor paga: 0 t ..scPMa + ..scPMe + El inversor recibe: 0 t ..vcPV − ( ) cPVi t cPMa ef −=� � � � � ⋅+⋅+ 365 1 ( ) cPVi t cPMe ef −=� � � � � ⋅+⋅+ 365 1 �� Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro. LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com Opción 4: el inversor compra y vende títulos en el mercado secundario. El inversor paga: t p ..ccPC + El inversor recibe: t p ..vcPV − ( ) cPVi tp cPC ef −=� � � � � ⋅ − +⋅+ 365 )( 1 EJERCICIO 1: En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%. Calcule: a) El interés marginal de la emisión www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO 000.1 360 1 =� � � � � ⋅+⋅ mai t PMa 000.1 360 364 13,978 =� � � � � ⋅+⋅ mai %19,2021937584,0 ==mai �� EJERCICIO 1: En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%. Calcule: b) La rentabilidad del inversor, si compra a Precio Medio y mantiene las letras hasta su vencimiento www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO El inversor paga: 0 364 ..scPMe + El inversor recibe: 0 364 ..000.1 ac− 50,9841000003,050,981.. =⋅+=+ scPMe 50,99710000025,000,000.1..000.1 =⋅−=− ac ( ) cicPMe ef −=� � � � � ⋅+⋅+000.1 365 364 1 50,997 365 364 150,984 =� � � � � ⋅+⋅ efi %32,1013240949,0 ==efi www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO �� EJERCICIO 1: En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%. Calcule: c) Si el inversor vende una Letra en el mercado secundario 150 días antes de su vencimiento, siendo la cotización del mercado de un 99,01%, ¿qué rentabilidad obtendría el inversor para esta letra? www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO El inversor paga: 0 364-150 ..scPMe + El inversor recibe: 0 214 ..vcPV − 50,9841000003,050,981.. =⋅+=+ scPMe 60,98710000025,010,990..10,990 =⋅−=− vc ( ) cPVicPMe ef −=� � � � � ⋅+⋅+ 365 214 1 60,987 365 214 150,984 =� � � � � ⋅+⋅ efi %53,0005370628,0 ==efi www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO �� LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. TEORÍA www.clasesuniversitarias.com Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide Profesor: Juan Antonio González Díaz LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA ��/����*����+*�%���*���*��4*��0������1���* ��� ��3� � ������ � ��� ���������#� ��������� ��� � �� �� ��� � ��� ���� � � � � �� � ���� �����9�� �� ���������� ������� ������ ������������ ���������� �������������� ����� ��� #��� � ��� � �� ���3� � ���� ���������#� ��������� ��� � ��� ���� � ������"�<�=:>*>�:�?*�.�� �*(:@*":A*�:B>��QC(N�3@*�� � � � ��� ��� ���� ���� �� ���� ��& ( ) ptconiptL tp �)()1(; −+= � �; �� ��������#� ��������� ��� � 3� ����1�2� ��@������@������ �:�� �$ �*���������� �� D3�� �� �� ���� �1�2� ���� ����� ����� ��������� �� �� ������ � � ������� ����� �� � � ��E;� D3�� �� �� ���� �1�2� ���� ����� ������������� ��� ������ � ����������� ����� �1�2��9� �� ���� � �E�� D3�� �� �� ���� ��; ���� �� ������� � ���� ����� � �� ����� ����;� D3�� �� �� ���� ��� ���� �� �������� ������������������ ������� � ����� �� ����� �������C������ � www.clasesuniversitarias.com � ( ) ( ) [ ] ( ) n ntp CiCiCptLCptCL =+⋅=+⋅=⋅= − 11;;; 0 )( 000 ( )nn iCC +⋅= 10����*��� Ley homogénea de grado 1 t=0 p=n .��� & �� E�������� ���E� ���������� ��� ��E��6�� ��9� �� � � ��� � ��� ����� �� ����������)� ����� ����� � �������� ��� ��E�������� ���� �$ ������� ���� � � �� �� ���� ����� �$ � � � �� ��� ������������������ ������ ������ �+��9� � �; ����������#� ��������� �� �Generalizando LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com ��� ����� ��C������ ��� �������� ������������� ��� ��( ����������� � �� �� ��� � � �� ������������ ����� ���� � � � �� ���������� ���� ������� ��� ���� � �� ������� �� �� ������ ���� � � %� �� ���������� ���������� ������� � ����� ������������ � ������ ��� #���� � � ��� ����� � � ��� �� *�� ���������� ������ ��� ���� � ����� ������� �� ����� ��� )����� �� ����� ������� 5��6 ,7�8��. ���� ���&�� �������) ��������� � ���� ���� ����������������� ��� ������1�2����� ���������� )������ � ���� � �������#� ���� ���� � 0 1 2 n -1 n:�E����� �; �; G��; :� E��; �+�G���� LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA ( ) 2 00 00 )1()1()1( )1(1 iCiiC iiCiC +⋅=+⋅+⋅= ⋅+⋅++⋅ :�E�����+G����� ( ) nn nn iCiiC iiCiC )1()1()1( )1(1 0 1 0 1 0 1 0 +⋅=+⋅+⋅= ⋅+⋅++⋅ − −− 1 0 )1( − +⋅ niC iiCI n ⋅+⋅= − 10 )1( Gráficamente, Cn C0 n La característica de la ley financiera de capitalización compuesta es que los intereses se van acumulando al capital en cada período para producir nuevos y mayores intereses en el período siguiente, es decir el rendimiento en cada período va aumentando n www.clasesuniversitarias.com � :�� ��� �� ���� ����� ��� �������� ���� �$ ���� (���� ������������� ��� �� ���� ����� ��� ��������� ���� �$ ������ ��� ������� ��������� �� �+������ �������������� ��� ���� � �G+ +����� ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) iiittL iCptCL tt tp +=+⋅=+=+ += −+ − 111111;;1 1;; 1 )( 00 (��� �� �� ������������� � � ���� ��������� ������������ ���������� ������ ������ �������� ��� ���� LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA :�������� ����� ��������)� �������� ���� �$ ������ � �� ����� � � � ���� �������� ����������� ��������3�� �����!��� � ����9� �� �������� ���� �$ ��� � � � � ��������� �������!��� � ��� � �� �� �������� � ��� �$ ��� � � � � �� � ������ � � ��� ����� ��:�� �$ ( ) [ ] [ ]1)1( 1)1(1 0 0000 −+= −+=−+=−= n nn n iCI iCCiCCCI www.clasesuniversitarias.com " )�� ���������#� ��������� ���=�� ������ El parámetro ik recibe el nombre de tanto de interés compuesto k-esimal, siendo k el número de periodos o fracciones a considerar que hay en un año. Este tanto k-esimal representa el rendimiento que proporciona un euro en un k-ésimo de año. (��� ! ����& C �HHHHHHHH�� �+, ������� �� �HHHH������8 .%� �HHHHHHHHH �8I; L� ����HHHHHHHH �+/, =����������� � ������ ��� ����������� �����������)������� ���������#'<�����������>���������#'�������� ����#����������� 9�?& ����������������)����� ����� ����������� ���� �����<����=@?�!��������� ����������=�@?& LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA ���� ��� �� 5��6 ,7�8��@. nk ��������� nk��5��� A �6�5��6�K,7�8��@.��L 7M www.clasesuniversitarias.com �� � ����� � �� � ��� ������ �� ���� �$ � ���� �� Dado que dos leyes financieras son equivalentes cuando ofrecen la misma proyección financiera de un mismo capital financiero, se puede deducir la equivalencia entre dos tantos de interés: %���� �������������)�������"#�$ ��������# ���� ���� ���� ��������� ��� ������� ����#� ������������� �������������������� ���#� �� ������������ ��� LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA �� E��; �+�G��� �� E��; �+�G��M� n nk �+G���E��+�G��M�k TANTO DE INTERÉS NOMINAL: Además del tanto de interés anual, i, y del fraccionado, ik, existe otro tanto en capitalización compuesta que se denota por Jk , cuya relación viene dada por Jk= k.ik y se nombra de distintas formas, tanto nominal anual reembolsable k-esimalmente tanto nominal anual acumulable k-esimalmente tanto nominal anual amortizable k-esimalmente tanto nominal anual liquidable k-esimalmente www.clasesuniversitarias.com ��/����*����+*�%��%���1���������1�����+*����*� "��� )�=���� � ���� �. � �������� �� ?� ������ ������� �� ����� � � ��� ��)��������������� ��!����� ��� � ���" )�=���� � ���� ���������#� ��������� ��� ��� ��. � ����?� �����������#�� �� � ����1�� ��� �� � ���2� ���� ���1������ ���� �$ 2� � ������#��� � ����� �� �� ����� ��������� � �����" )�=���� � ���� ���������#� ��������� ���� �� ������� � � ����� � ��� �� �� ����� �� � ��������� ��� ���� �� ��� � ��� ����� ���� ��������������#��� ������ ������������� ���� �$ � 1�2�� 0 n C0 CnDescuento 0 n C0 Cn Capitalización ( )nn iCC +⋅= 10 ( ) ( ) nnn n iC i C C − +⋅= + = 1 1 0 CQ>@*>@� -*"Q?��=��@:-Q ��� ����� ��� � ������ ����� LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA ( ) [ ]nn n nnnR iCiCCCCD −− +−=+⋅−=−= )1(110 www.clasesuniversitarias.com �� "��� )�=���� � ���� ���������#� ��������� ����������������'��� N���� )������ � ��� � ������ � �������� ������ ��� ������� ���� � ���� ��������� ���� ����� � ���� ��� "��� )������ � ���� � �������#� ���� ���� ����������������'���� �� ���� ��������� �� ������� � ����������%����� ��������� ��� � ���� ������� ���� � ��� � � ��� �� ������� ���� ����� #� ��������� ��� � �� �� C0 Ch Cn +���3��� ������������ � ���� ��������� � �%�& ,��� ���� ���������� � ���� ���� & 0 h n (���� ��� �� ����" )�=���� � ���� ���������#� ��������� �� ����� ������N�����������'�� ( )nn iCC +⋅= 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nhnhn hnh n h h hn hn iCiCC iiCC iCC iCC +⋅=+⋅= +⋅+⋅= +⋅= +⋅= −+ − − 11 11 1 1 00 0 0 LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com �! ��������3�:>.:L:":.*.�.��"*�"�<�=:>*>�:�?*�.���*(:@*":A*�:B>��QC(N�3@*&� ��E�+�;;;�R ��E�,��9� ��E�ST� ���� �������� C0 C1 C2 0 1 2 �� 3������������� ������� � ���&��� ���3�� ������ ������� � ���� ���� ���� � ��� � � ��� & *9��+& *9��,& ( ) 40,166.108,01000.1 22 =+⋅=C ( ) 00,080.108,01000.1 11 =+⋅=C ( ) 40,166.108,01080.1 12 =+⋅=C LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com �� "��� )�=���� � ���� ���������#� ��������� ��� ���� ���� �� �� �� �������" )� � ���� ������� �%��� ��� ����� �� ��� ����� ��� � � � ����� �������� ��� �����#���������������������������������!�� � �� ��( ������������������� t pt+h p+h ( ) ( ) ( ) ( ) )(0 )( 0 ))(( 0 )( 0 11 11 : tphthp hthptp iCiC iCiC queocurrirDebe −−−+ +−+− +=+ +=+ LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com �� LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. PROBLEMAS www.clasesuniversitarias.com Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide Profesor: Juan Antonio González Díaz �^�?�:�:Q�+&�� N���������������� �� � ������ � ����� �������� � �� ���� ������� �$ �� ��8T������� ����� ���� ��� � ���� ���� ��� � ���� �� ������� & D 7�)������ ��������� �,�;;;�R D *��� �+8�� ��J�J;;�R D *��� ��� ��9� ��[�;;;�R W����� � ��������� � � ���� ��������� ��� ��9� �)�� ���X PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com �� <���� �� ������!��� ��� � ������� ���� �$ ����� ������� �� ���� �� �����& N�������� ���� �$ ������� ����� ���� ��� ����� ���� ��� �� � � � ���������^�� �� � � � ���^V *��������� � � ������� �� ����� � ����� �$ �MD ���� ����� �� �� �� � � � ����V��� ����� ���� ����� � ��& 0075,0 4 03,0 4 4 4 === J i PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA 0 3,5 años 2.000 13 meses i4 = 0,75% Cn5.500 2 años 7.000 45,13 )1342( 45,3 )0075,01(7000)0075,01(5500)0075,01(2000 ⋅ − ⋅ +⋅++⋅++⋅=nC ∈=++= 48,453.1597,320.796,911.555,220.2nC www.clasesuniversitarias.com Q��� ��������!��� ��� �������� ���� �$ ������� ����� �� ��������$ �� ���� ����� � ��H ( ) kkii )1(1 +=+ 03033919,01)0075,01( 4 =−+=i PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA 5,112 )1342( 5,3 )03033919,01(7000)03033919,01(5500)03033919,01(2000 +⋅++⋅++⋅= − nC ∈=++= 48,453.1597,320.796,911.555,220.2nC 0 3,5 años 2.000 13 meses i = 3,03% Cn5.500 2 años 7.000 www.clasesuniversitarias.com �� �^�?�:�:Q�,&�� *�� ����� � �������� ������� �������� �+,�;;;� ��� ���� ����������������� ���� �$ �������� ��8T������� ���� ��� ��� ����� �� ������ �������� �+;�;;;� ��� ���� ����������������� ���� �$ �� ��VT������� ����� ���� ��� � � ���� X PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com *��� � ������ � ���� ����� �� � ��� � ����� �������� �� �� � �������� �� ��� �� �������� �� ���� �� ������� �� ������ ��� �� ���� ���� ������������������ �� �� ������ �� ��� ������ ���� 0 n años 12.000 i= 3% Cn PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA 0 n años 10.000 J2 = 4% Cn 02,0 2 04,0 2 2 2 === J i nn 2)02,01(10000)03,01(12000 +⋅=+⋅ www.clasesuniversitarias.com �� PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA nn 2)02,01(10000)03,01(12000 +⋅=+⋅ n n )03,01( )02,01( 10000 12000 2 +⋅ + = n) 03.1 02.1 (2,1 2 = n)01009708,1(2,1 = n)01009708,1ln(2,1ln = )01009708,1ln(2,1ln ⋅= n 14786,18 )01009708,1ln( 2,1ln ==n +S��9� ��+�� �)�,8���� www.clasesuniversitarias.com �^�?�:�:Q�8&�� N��� ������������ � ������ �� �� ��� �������� ���������������JT�� ���� �$ ��������� ������ � � ����� �� �� ������� ��� ����� ��� ������� ��;�+JT W����� ����@*��� ��� �� ���X N�� �� �� �� �� � ��������� ������� ���� ���#��������� �� ����� �+;�;;;� ��� ������� �V��9� �� . � ���� � ��������� ��������� ���� ����� W����� � �������� � �������� ��������� ����� � ��� ������� �� ���X PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com �� ����� �������� ������� �� ���� ���� � ��� ������� ����� �������� ���� �����@*��� ��� �� ��������� � �� � �� � ������ � ��� ��� � (��������������� �� ��������@*���� ���%�� ��� �� ����� �������� ���� �$ ������� ����� �� ���������� ���� �$ � � ��� � �� ������ �� ��� ������ ������� ��� <������� �� ����%��� � ����� �$ ������� ����� �� ��� ����� ���� ����� � ��& ( ) kkii )1(1 +=+ N�������� ���� �$ ��������� ������ � ������ ����� �� ��� �� � � � ���������^�� �� � � � ���^, *��������� � � ������� �� ����� � ����� �$ �MD ���� ����� �� �� �� � � � ����8��� ����� ���� ����� � ��& 025,0 2 05,0 2 2 2 === J i 050625,01)025,01( 2 =−+=i (�������������@*�� �%�������������O�6;P PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com ��� �� �� �� �� ����+;�;;;� ��� � ��� ��� � � � ����� ������ ��� ����� ��� ������� ��;�+JT�� �� ����+J� ��� � �+;�;;;���;�;;+J���(������������� �������� � ������� � ���� ���� � � ���\�\SJ� ��� ��+;�;;;�� +J� <������� �� ����%��� � ��������� & 24 )025,01(9985 x nC +×= 0 4 años 9.985 J2 = 5% Cn 75,165.12=nC PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA 025,0 2 05,0 2 2 2 === J i www.clasesuniversitarias.com � 10.000 12.165,75 4 (������� �� �� ����� �������� � �������� ��������� ����� � �����)� � ������ ������� ����� � ��� ��� ���� �������� � � ����� �� �)���� � � �� �� � Y�$� ����� �� X���������� ���������� ������� � �� ���+;�;;;� ��� & ������� ����� �� X���� ����� ����; (������������ �� ���� � ���%�& ( ) 75,12165110000 4 =+× i ��5�O�6EP� Y�$�� ���X�"�� ��������� �+,�+IJ�[J� ��� ����������� ���X���� ����� ����V��9� 0 PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com �^�?�:�:Q�V&�� N���� � ���� ������������������ �+;��9� �� ����� ��������� �����+J�;;;� ��� ������� ���� ������ �� ����)�,8�;;;� ��� ����������#��� �� �������9���"�� ������������ � ��� � �� ������ ����������� ����IT������� ����� ���� ��� � � � ��� ��� ��� ����� �� ��9� �����,T� � ����� � ������� ��� ��9� � ���� �� �����ST��������� ������ � ���� �� ���������� ��� ��� � ���� �� �)����VT� ������ ����� � ������� �� ���� � W����� � ��������� ���� ��������������#�������� �� ���X PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332 1 233 2 1 223122 04,116,12300004,116,102,1005,115000 ×××××× ××+××××=Cn 0 2 años 10 años 15.000 23.000 7años5 años i2 = 2% J1/2 = 8%J12 = 6% i3 = 4% 005,0 12 06,0 12 ==i 16,0 2 1 08,0 2/1 ==i PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA 96,3793762,31436 +=nC 58,374.69=nC www.clasesuniversitarias.com �� TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS 1 Rentas Constantes (teoría) www.clasesuniversitarias.com Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide Profesor: Juan Antonio González Díaz ��� ����)� �� ��� � ��� ���� � ���������� ���� ���� ��!������ � ������ ��������������� ����� ����� �� � ��� ��� ��-��� ��� ������� �� � �� ���� � ��� � ���� � � ��� �� � ��� ��� � ��� ���� ���� � t0 t1 t3t2 tk tn-1 tn a1 a2 ak an �� � ��� � � ��� � �� � ��� • "� � ������ � � � �� ����) ������ ���� �� ���������)������&� • *����� ������� ��� ���� ��� ��� �� � ��� ��� � �� ����� � �������������� � ����� ���� • 3 � �� �� ��������� �� ����� � �����$����� �� �������� ����� • 3 �� ����������� ����� ����� ���������� ���� �� ����� ����� ��$����� ��� -������ ����� ��� 3 � ������ ����� � �� � ��� � �� ��� ��� � � �� ��� � �� ��� � �� ����� � � ��� ��� �� � � � �$����� �����#���� ��� � ) ����� � ��� TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com �� ��� ����)� �� ��� � ��� 3 ��� *��# � ,*. � � ����� � �� � ��� � � ���� � � �� �� ��� �� ����� � ���� �� ��� ������ �� ����� � ������ � � �����#��� � � � ��� ��� ��� ���� � ���� ) ��� ��� � �� ���� � E 7 � 6 7 E � &&&& &&& 3 ��� ��� � ,�. � � ����� � �� � ��� �� ����� � � ������ � ����� � �� �� ��� 3 �� ��� � ����� �� ��� � �� ����� � ���� �� �$����� � �� � ��� �������#��� �� �� � ��� ��� � � $ �� � ������ a2a1 an-1 an 0 1 2 n ....... TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com ��� ����)� �� ��� � ��� ' 3 ����� �����#� �� ��� ��������& ' %������ �& ����� �� � ����� � �� � ��� �� ������ � ' ������# �J ����� �� � ����� � �� � ��� �� ������� ���� � ����� �$��� �� ���!� ������� � ������ � ' 3 ��� � �#� ����J ' ������# �& �� ��� � �� ��� �� � �$����� � �� �� � ��������� ' ������ ���& �� ��� � �� ��� �� ������ � �$����� � '3 ��� �� �# ��< �� ��� �)������& ' ����� ����& ����� ���� �� �$����� �� ����� ��� %� ' 3 �� '���J ����� ���� �� �$����� � �� � ��� �� � � ��� ����%� ��� � �� � TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com �� ��� ����)� �� ��� � ��� '3 ��� � ������� ��� $����������& ' ����� � '���& � �� �$����� �� � � � � � ��� ��� �� ����� � ��� � ������ ' ���� � '���J � �� � � ��� ��� � ��� �$����� �� �� ���� ���� � ��� � ������ a2a1 an-1 an 0 1 2 n ....... a2a1 an....... 0 1 2 nn-1 TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com ��� ����)� �� ��� � ��� • 3 ��� � ������� �� �$ �# ���� �� ��� ��� � ��� �� ) ��� � �� �$����� � � �� � �� ������ ����& �� ������ � �& ����� � ��� �� � � ���� �� � ����� ��� �� �� � ���� �� �� %� ���� �J ����� ��� � ��� �� � �� � ��� ) � ���� � �$������ ��) �� � ����� � �� ��� 1�2 a2a1 an-1 an....... 0 1 2 n an-1 an d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1 a2a1 ........ TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com �� -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*" Valor actual ��� �� � �� � �� ���� ����� �� ���� �� � ����%� 1�2� � � ���� �� ����� � ��� �9� ������ � �9� � �� ����� � ���� �� ��� ������ �� ����� � �����#��� � � ������ � � � ��� ��� ��� ���� � ���� ) ��� ��� � �� ���� � aa a 0 1 2 n ....... [ ]n n iiiia iaiaiaiaA −−−− −−−− ++++++++⋅= =+⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1( )1()1()1()1( 321 321 � � TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*" Valor actual 3 ����� � ��� ����� ��� � ��$��� �� ���� �)� ��� � ����� ��� � �� ���� �� ����� & (��� � @$����� �(@� ]����� @$����� �N@� ?�#�� �?� <� � �� ��� � �� ����� ��� � ��$��� � & − −× = 1R PTRUT PG 1)1( −+= iPT niUT −+= )1( 1)1( −+= iR = −+ +−+×+ = − −−− 1)1( )1()1()1( 1 11 i iii PG n [ ] [ ] [ ] [ ] i i i i i i i i ii i ii nnnnn −−−−−−− +− = − −+ = +− −+ = + +− −+×+ = − + −+×+ = )1(11)1( )1(1 1)1( )1( )1(1 1)1()1( 1 )1( 1 1)1()1( 11 TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com �� -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*" Valor actual in n aa i i aA ¬ − ×= +− ×= )1(1 �1/�����+�*���J �� �#! ������ ��� �'���$ � "#� ���� ���# �� #� ������� ���� "#� �� ������ � �� �� ��( ��& ina ¬ :�� ��� �� ���� ����� ��� ������� ��� ina ¬ 1€1€ 1€ 0 1 2 n [ ] in n n aiiii iiiiA ⋅=++++++++⋅= =+⋅+++⋅++⋅++⋅= −−−− −−−− 1)1()1()1()1(1 )1(1)1(1)1(1)1(1 321 321 � � ? �� ��� � ����� � ���� � #� ���� #��� �� ���� ������ ��� ������ � � �$����� �� ���� � ��� ������ �� ������ ) � ������ �������� � �� ���� � ��� �$ ����� ���� ��� TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*" Valor final *���� � �� � �� ���� � ����� ����� � �� � ���� � �� � � � ������ �� ��� � �� ����� � ���� �� �$����� � �� � ��� �� ���� �� ��� ��� � � � ����� �� � ���� � � � � � � ����� � � �9� �� aa a a 0 1 2 n ...... [ ]1.....)1()1()1( .....)1()1()1( )3()2(1 321 +++++++⋅= =+++⋅++⋅++⋅= −−− −−− nnn nnn iiia aiaiaiaS TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com �� -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*" Valor final 3 ����� � ��� ����� ��� � ��$��� �� ���� �)� ��� � ����� ��� � �� ���� �� ����� & (��� � @$����� �(@� ]����� @$����� �N@� ?�#�� �?� <� � �� ��� � �� ����� ��� � ��$��� � & − −× = 1R PTRUT PG )1()1( −+= niPT 1=UT 1)1( −+= iR = −+ +−+ = − −− 1)1( )1()1( 1 )1(1 i ii PG n [ ] [ ] [ ] [ ] i i i i i i i i ii i ii nnnnn 1)1()1(1 )1(1 )1(1 )1( )1(1 )1(1)1( 1 )1( 1 )1(1)1( 11 −+ = − +− = +− +− = + +− +−×+ = − + +−×+ = −− TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*" Valor final in n sa i i aS ¬×= −+ ×= 1)1( �1/�����+�*���J �� �#! ������ ��� �'���$ � "#� ���� ���# �� Q#��� �� �� ������� �� �� "#� $���� �� >����� �)�����& ins ¬ :�� ��� �� ���� ����� ��� ������� ��� ins ¬ 1€1€ 1€ 0 1 2 n [ ] in nnn nnn Siii iiiA ⋅=+++++++⋅= =+++⋅++⋅++⋅= −−− −−− 11)1()1()1(1 1)1(1)1(1)1(1 321 321 � � ? �� ��� � ����� ����� � #� ���� #��� �� ���� ������ ��� ������ � � �$����� �� ���� � ��� ������ �� ������ ) � ������ �������� � �� ���� � ��� �$ ����� ���� ��� TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com �� -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*���+��*R* ���<�@�C(Q?*" Valor actual inaaA ¬⋅= C�� ���D+ )1( i+× Valor final insaS ¬⋅= C�� �����D+ )1( i+× aa a ....... 0 1 2 nn-1 TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��%���+�%*��(Q3@(*_*L"� <�@�C(Q?*" Valor actual inaaA ¬⋅= C�� ����� di −+× )1( Valor final insaS ¬⋅= C�� �����G� a a d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1 aa ........ TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com �� TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1 -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��%���+�%*���+��*R* ���<�@�C(Q?*" Valor actual inaaA ¬⋅= C�� �����D+ )1()1( −−+× di Valor final insaS ¬⋅= C�� �����G�D+ a d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1 aa ........a )1( i+× www.clasesuniversitarias.com -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1* Valor actual aa 0 1 2 ....... i i LimaaLimaA n ninn − ∞→¬∞→∞ +− ⋅=⋅= )1(1 TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1 a 3 i a i a i i a i i a nnn n =∞ − ⋅= + − ⋅= +− ⋅= ∞→− ∞→ 1 1 )1( 1 lim1 )1(lim1 i a A =∞ www.clasesuniversitarias.com � -*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1* TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1 )1( i i a A +×=∞ �1/�����+�*���J �� �#! ������ ��� �'���$ � "#� ���� ���# �� Q#��� �� �� ������� �� �� "#� $���� �� >����� �)�����& i a < � �� � ��� �� ���� � �� ��� HH� ���� � '�� S di i a A −∞ +×= )1(%� ���� S )1()1( −−∞ +×= di i a A���� � '�� ! �� ���� S www.clasesuniversitarias.com � PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETAS Rentas Constantes I www.clasesuniversitarias.com Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide Profesor: Juan Antonio González Díaz EJERCICIO 1: El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual. a) ¿Qué cantidad podría obtener cada año? www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS �� 0 3 18 120.000 2 1 17 a 4 5 6 a a aa iaaA ¬×= 18 035,0 )035,01(1 120000 18− +− ×= a a = 9.098,02 Euros aaa www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS EJERCICIO 1: El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual. b) Si en lugar de recibir el importe obtenido en el apartado a), quisiera recibir una cantidad anual de 12,000 euros, con qué tipo de interés debería trabajar la entidad
Compartir