U1 pp 20 proyeccion isometrica

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Proyección isométrica
Una proyección isométrica es un método de representación
gráfica, más específicamente una axonométrica1 cilíndrica2 
ortogonal.3 Constituye en una representación visual de un objeto
tridimensional que se reduce en dos dimensiones, en la que los
tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos
de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en
una misma escala.
El término isométrico proviene del idioma griego: "igual al
tiempo", y al castellano "igual medida" ya que la escala de
medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).
La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en
dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a
escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de
tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.
Historia
Visualización
Dibujo isométrico
Aplicaciones
En el diseño y el dibujo técnico
En Arquitectura
En videojuegos
Aspectos matemáticos
Factor de reducción sobre los ejes
Transformación de coordenadas
Transformación de un círculo del plano
conteniendo dos ejes
Notas
Véase también
Bibliografía
Enlaces externos
Formalizado en primer lugar en 1822 por el profesor William Farish (1759-1837), el concepto de isometría había existido en una
forma empírica más o menos aproximada desde siglos antes.5 6 Desde mediados del siglo XIX, la isometría se convirtió en una
"«herramienta inestimable para los ingenieros, y poco después la axonometría y la isometría fueron incorporadas en el plan de
estudios de los cursos de formación de arquitectura en Europa y los EE.UU.»"7 Según Jan Krikke (2000),8 sin embargo," «la
Figuras en proyección isométrica
Índice
Historia
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Axonometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_paralela
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_ortogonal
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griego
https://es.wikipedia.org/wiki/Isometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Dibujo_t%C3%A9cnico
https://es.wikipedia.org/wiki/Ojo
https://es.wikipedia.org/wiki/William_Farish_(qu%C3%ADmico)
https://es.wikipedia.org/wiki/Isometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:3D_shapes_in_isometric_projection.svg
axonometría se originó en China. Su función en el arte chino fue
similar al de la perspectiva lineal en el arte europeo. La
axonometría, y la gramática pictórica que va con ella, ha
adquirido una nueva significación con el advenimiento de la computación visual».8 
Como todos los tipos de proyección paralela, los objetos
dibujados con proyección isométrica no aparecen mayores o
menores a medida que se alejen o acerquen al espectador.
Mientras es ventajosa para los dibujos arquitectónicos, en los
que las mediciones deben ser tomadas directamente, el resultado
es una distorsión de la percepción, ya que a diferencia de la
proyección de perspectiva, no es cómo funciona normalmente la
visión humana o la fotografía. También puede dar lugar
fácilmente a situaciones en las que la profundidad y la altura son
difíciles de medir, como se muestra en la imagen de la derecha.
Esto puede parecer paradójico o crear formas imposibles, como
las escalera de Penrose.
La isometría determina una dirección de visualización en la que la proyección
de los ejes coordenados x, y, z conforman el mismo ángulo, es decir, 120º
entre sí. Los objetos se muestran con una rotación del punto de vista de 30º en
las tres direcciones principales (x, y, z).
Esta perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista situado en
el vértice superior de una habitación cúbica, mirando hacia el vértice opuesto.
los ejes x e y son las rectas de encuentro de las paredes con el suelo, y el eje z,
el vertical, el encuentro de las paredes. En el dibujo, los ejes (y sus líneas
paralelas), mantienen 120º entre ellos.
Dentro del conjunto de proyecciones axonométricas o cilíndricas, existen
otros tipos de perspectiva, que difieren por la posición de los ejes principales, y el uso de diferentes coeficientes de reducción
para compensar las distorsiones visuales.
Proyección isométrica. Modelo de motor de
molienda (1822),
dibujado en una
isométrica a 30°.4 
Ejemplo de arte chino en
una edición ilustrada del
Romance de los Tres
Reinos, China, ca. siglo
XV.
Un ejemplo de las
limitaciones de la
proyección isométria: la
diferencia de altura entre
las bolas azul y roja no
se puede determinar.
La escalera de Penrose
representa una escalera
que parece subir
(sentido antihorario) o
descender (en sentido
horario) ya que forma un
bucle continuo.
Visualización
Dibujo isométrico
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_paralela
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva
https://es.wikipedia.org/wiki/Objeto_imposible
https://es.wikipedia.org/wiki/Escalera_de_Penrose
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Bayer_pattern_on_sensor.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Optical-grinding_engine_model.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Sanguo2.PNG
https://es.wikipedia.org/wiki/Romance_de_los_Tres_Reinos
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:IsometricFlaw_2.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Impossible_staircase.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Escalera_de_Penrose
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspectiva_08.svg
Una variedad muy utilizada de la perspectiva isométrica es el dibujo
isométrico. En la isométrica el coeficiente de reducción de las
dimensiones . Al ser la reducción idéntica en los tres ejes el dibujo
isométrico se realiza sin reducción, con las dimensiones paralelas a los ejes
a escala 1:1 o escala natural, sin que cambie la apariencia del dibujo salvo
en su tamaño. Esto permite tanto dibujar directamente estas dimensiones
en el papel lo que facilita el dibujo por coordenadas cartesianas como
medir directamente en el dibujo las de un objeto. La apariencia del dibujo
es idéntica aunque más grande, y las dimensiones que en la perspectiva
correcta serían iguales a las reales (las paralelas al plano de proyección)
son mayores.
La escala en que es mayor el dibujo isométrico respecto a la perspectiva
isométrica es aproximadamente 1,22.
En diseño industrial se representa una pieza desde diferentes
puntos de vista, perpendicular a los ejes coordenados naturales.
Una pieza con movimiento mecánico presenta en general formas
con ejes de simetría o caras planas. Tales ejes, o las aristas de las
caras, permiten definir una proyección ortogonal.
A estas vistas generalmente se les denomina como: planta,
elevación y perfil.
Siendo planta la vista desde arriba, (vista de pájaro); elevación, la
vista frontal y perfil, la vista lateral. En otras palabras, si nos
referimos al plano cartesiano de 3D, X, Y y Z, las vistas serían:
Planta - eje Z; Elevación - eje Y; y Perfil - eje X.
Se puede fácilmente dibujar una perspectiva isométrica de la
pieza a partir de tales vistas, lo que permite mejorar la comprensión de la forma del objeto.
La utilización de la proyección isométrica es útil para visualizar de forma sencilla conjuntos de edificios relativamente pequeños,
produciendo imágenes que recuerdan a fotografías oblicuas tomadas a vista de pájaro, en las que la gran distancia entre el
observador y el modelo representado tiende a atenuar el efecto de convergencia de las líneas paralelas propia de la perspectiva
real.
Desde un concepto más práctico, también son habituales los dibujos en sección, que permiten hacerse una idea de la distribución
del volumen de las habitaciones de una casa mucho mejor que un simple plano de la distribución en planta de la vivienda.
Las figuras de la izquierda son las vistas
en sistema diédrico, mientras que a la
derecha se ve una proyección isométrica
con una sección parcial.
Aplicaciones
Dibujo técnico isométrico de la distribución de una
vivienda
En el diseño y el dibujo técnico
En Arquitectura
En videojuegos
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Dise%C3%B1o_industrial
https://es.wikipedia.org/wiki/Vista_de_p%C3%A1jaro
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspective_isometrique_exemple_piece_revolution.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:4_Aces_Brochure_April_1952_30M_Pg07-08_Veranda_Illustration.jpg
Cierto número de videojuegos pone en acción a sus personajes
utilizando un punto de vista en perspectiva isométrica o mejor
dicho, en la jerga usual, en "perspectiva 3/4". Desde un ángulo
práctico, ello permite desplazar los elementos gráficos sin
modificar el tamaño, limitación inevitable para ordenadores con
baja capacidad gráfica.
A fin de evitar el pixelado, en algunos casos se llevó la
proyección a un sistema 2:1, vale decir a una inclinación de 26,6º
(arctan 0,5) en lugar de 30º, que no corresponde a una proyección
isométrica propiamente dicha, sino "dimétrica".
El progresivo incremento en las capacidades gráficas de los
ordenadores ha posibilitado el uso cada vez más generalizado de
sistemas de proyección más realistas, basados en la perspectiva
naturalmente percibida por el ojo humano: la perspectiva cónica.
Siendo la perspectiva isométrica una proyección geométrica
sobre un plano según un eje perpendicular al mismo, sus
características y relaciones pueden ser calculadas analíticamente
mediante la trigonometría.
Considerando la arista de un cubo que va desde el origen al punto (0,0,1), si su
intersección con el plano de proyección define un ángulo α, la proyección tendrá una
longitud equivalente al coseno de α.
α es también el ángulo entre la perpendicular al plano de proyección
que pasa por el origen y por el punto (1,1,1) y la bisectriz de los ejes x e
y que pasan por (1,1,0).
el triángulo formado por los puntos (0,0,0), (1,1,0) y (1,1,1) es
rectángulo, por lo que el segmento [(0,0,0),(1,1,0)] tiene una longitud
equivalente a √2 (diagonal del cuadrado), el segmento [(1,1,0),(1,1,1)]
tiene una longitud igual a 1, y la hipotenusa [(0,0,0),(1,1,1)] tiene una
longitud √3.
En consecuencia:
.
Puede deducirse que α ≈ 35,26 °.
Es posible también utilizar el producto escalar:
el vector unitario definido por la diagonal mayor es (1/√3, 1/√3, 1/√3);
la arista [(0,0,0),(0,0,1)] se proyecta sobre la diagonal mayor en un segmento de longitud k1, y sobre el plano
normal a la misma en un segmento de longitud k2
Vista de un conjunto de edificios
Imagen isométrica del juego Goodgame Empire
Aspectos matemáticos
Factor de reducción sobre los ejes
Ilustración de la proyección del
eje "z" sobre el plano de
representación.
https://es.wikipedia.org/wiki/Videojuego
https://es.wikipedia.org/wiki/Ordenador
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_c%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Proyecci%C3%B3n_geom%C3%A9trica&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Coseno
https://es.wikipedia.org/wiki/Bisectriz
https://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar
https://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:3_%D1%8D%D1%82%D0%B0%D0%BF.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Goodgame_Empire_Screenshot_Burg.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Goodgame_Empire
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspective_isometrique_proportions.svg
k1 es el producto escalar de y de , y se puede calcular mediante las coordenadas: 
el teorema de Pitágoras nos indica que k1² + k2² = 1 (longitud de las aristas de un cubo)
En consecuencia:
.
La longitud de los segmentos sobre los ejes de representación se proyectan con un factor de 0.82.
Se llega igualmente a esta conclusión utilizando la fórmula general de proyecciones ortogonales.
Por otro lado, si se considera el círculo unitario del plano (x,y), el rayo se proyecta según la línea de mayor pendiente, que es la
primera bisectriz del plano, con un factor de proyección equivalente a sin α = k1 = 1/√3 ≈ 0,58, que corresponde al eje menor de
la elipse.
La transformación de coordenadas cartesianas se utiliza para calcular las vistas a
partir de las coordenadas de los puntos, por ejemplo en el caso de un juego de vídeo,
o de simulación 3D.
Suponiendo un espacio provisto de una base ortonormal directa . La
proyección P se realiza según el vector de componentes (1,1,1), es decir el vector 
, según el plano representado por ese mismo vector.
Como toda aplicación lineal, puede estar representado por la transformación de los
vectores de la base, más un vector
que se transforma según
Sea . Llamamos a la base ortonormal directa sobre el plano de proyección.
Elegimos arbitrariamente que hace un ángulo de -π/6 con .
La aplicación particular del cálculo a las proyecciones ortogonales en la perspectiva isométrica resulta:
; 
; 
Transformación de coordenadas
Proyección de la base ortonormal
del espacio.
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
https://es.wikipedia.org/wiki/Base_ortonormal
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspective_isometrique_transformation_coordonnees.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Base_ortonormal
; 
La matriz de la proyección MP es en consecuencia:
Considerando un punto (x, y, z) del espacio que se proyecta en (x', y'), su proyección será:
Si consideramos el círculo trigonométrico del plano , las coordenadas paramétricas de sus puntos serán:
Las coordenadas de los puntos proyectados en la base serán:
La distancia al origen es , siendo
Esta distancia varia en consecuencia entre 1 y 
1. Axonometría (axo=eje): basada en ejes de proyección.
2. Proyección cilíndrica, es decir, cuyos rayos proyectantes son paralelos entre sí, poniendo el punto de vista en el
infinito. Un punto de vista "real" genera una proyección cónica, como en el cine o en una perspectiva a puntos de
fuga.
3. Proyección ortogonal se refiere a su perpendicularidad respecto del plano de proyección
4. William Farish (1822) "On Isometrical Perspective". En: Cambridge Philosophical Transactions. 1 (1822).
5. Barclay G. Jones (1986). Protecting historic architecture and museum collections from natural disasters.
University of Michigan. ISBN 0-409-90035-4. p.243.
6. Charles Edmund Moorhouse (1974). Visual messages: graphic communication for senior students.
7. J. Krikke (1996). "A Chinese perspective for cyberspace? (http://www.iias.nl/iiasn/iiasn9/eastasia/krikke.html)". In:
International Institute for Asian Studies Newsletter, 9, Summer 1996.
Transformación de un círculo del plano conteniendo dos ejes
Notas
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0409900354
http://www.iias.nl/iiasn/iiasn9/eastasia/krikke.html
8. Jan Krikke (2000). "Axonometry: a matter of perspective". In: Computer Graphics and Applications, IEEE Jul/Aug
2000. Vol 20 (4), pp. 7–11.
Perspectiva
 Cónica
 
Axonométrica
Ortogonal
 Isométrica
 
 Dimétrica
 
 Trimétrica
 
 
Oblicua
 Caballera
 
 Militar
 
 
 
 
Proyección gráfica
Proyección cónica
 
Proyección paralela
 Proyección ortogonal
 
 Proyección oblicua
 
 
 
1. Rodríguez de Abajo, F. Javier (2004). Tratado de perspectiva (5 edición). Editorial Donostiarra, S.A. ISBN 978-84-
7063-048-4.
Ejercicios de perspectiva isométrica resueltos en Trazoide (http://trazoide.com/isometrica/)
Explicación de una proyección isométrica (http://www.ul.ie/~rynnet/keanea/isometri.htm) (en inglés)
 
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Véase también
Bibliografía
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_c%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_axonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_ortogonal
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_dim%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_trim%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_oblicua
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_caballera
https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_militar
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_gr%C3%A1fica
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_c%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_paralela
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_ortogonal
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_oblicua
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-84-7063-048-4
http://trazoide.com/isometrica/
http://www.ul.ie/~rynnet/keanea/isometri.htm
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Proyecci%C3%B3n_isom%C3%A9trica&oldid=117255281
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