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2º BACH. TEMA 7: CURVAS TÉCNICAS
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CURVAS CÍCLICAS:
Son curvas planas que se obtienen por el movimiento de un punto de una 
circunferencia o de una recta que rueda sin resbalar sobre otra circunferencia o 
sobre otra recta.
La recta o circunferencia móvil se llama ruleta o generatriz, y la línea o circunferencia 
sobre la que se mueve se denomina base o directriz.
La aplicación más importante de estas curvas la tenemos en el dibujo de engranajes.
CICLOIDES
Se llama cicloide a la curva que describe un punto P de una circunferencia llamada 
ruleta que rueda sin resbalar sobre una recta llamada base.
CICLOIDE NORMAL
1. Se ha de rectificar la ruleta, obteniendo 2πr, y se sitúa sobre la
 base a partir de P.
2. Se divide ese segmento 0 8, en un número de partes iguales,
 en la figura se hace en 8.
3. Por las divisiones realizadas en el paso 2, se trazan
 perpendiculares a la base, que cortan en O1, O2... a la paralela
 a la base por O0. Serán centros de circas.
P=
Sea un punto generador P que se encuentra en la circa ruleta de centro O0.
2
4. Con centro en O1, O2... se trazan circunferencias del radio de la ruleta. Se dibuja así la ruleta en
 distintas posiciones que adopta al formar la cicloide.
5. Se divide a la circunferencia en tantas partes como dividimos a 2πr (en este caso en 8),
 y tendremos 8 radios.
6. Trazamos paralelas a la base por los radios que acabamos se señalar.
7. Llega el momento de buscar los puntos:
Donde la circunferencia de centro O0, corta a la paralela por 0 ----> P0
 “ “ “ “ “ O1, “ “ “ “ “ 1 ----> P1
 “ “ “ “ “ O2, “ “ “ “ “ 2 ----> P2
Y así sucesivamente
8. Se unen los puntos a mano. Primero fino a lápiz.
Cicloide alargada
Sea ahora un punto generador P´ que se encuentra en el exterior de la ruleta, y ligada 
solidariamente a ella.
1. Se construye, sin trazarla la cicloide normal, tal como se ha explicado anteriormente.
 (pasos 1 a 7 de la cicloide normal)
2. Sobre cada uno de los segmentos: O0 P0, O1P1..., 
y a partir de los centros O0, O1... se lleva la distancia 
fija O0P´, obteniendo así los puntos P´0, P´1...
3. Se unen los puntos a mano. Primero fino a lápiz.
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Cicloide acortada
Sea ahora un punto generador P´0 que se encuentra en el interior de la ruleta, y ligada 
solidariamente a ella.
1. Se construye, sin trazarla la cicloide normal, tal como se ha explicado anteriormente.
 (pasos 1 a 7 de la cicioide normal)
2. Sobre cada uno de los segmentos: O0 P0, O1P1..., y a partir de los centros O0, O1... se 
lleva la distancia fija O0P´, obteniendo así los puntos P´0, P´1...
3. Se unen los puntos a mano. Primero fino a lápiz.
Otro ejemplo de cicloide alargada, en la que se ha variado la distancia O0 P´0 con respecto a la 
anterior (ahora menor longitud)
P`0
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epiCICLOIDE NORMAL
EPICICLOIDES
Se llama epicicloide a la curva que describe un punto P de una circunferencia 
llamada ruleta que rueda sin resbalar sobre el exterior de otra circunferencia que es 
la base.
Sea la circunferencia de centro O0 y radio O0P la ruleta, y la circunferencia de centro C y radio CP la 
base. El punto generador es el P.
1. Se divide la ruleta en un número de partes iguales (en la figura se ha hecho en ocho)
2. Las divisiones de la ruleta se han de llevar sobre la base, para ello se calcula el ángulo central 
 que abarca la longitud 2πr (siendo r el radio de la ruleta), curvificada sobre la base. 
Esto se puede calcular con una regla de tres como aparece en la figura. 
Como norma general podemos aplicar la fórmula: nº = 360º · r (siendo r el radio de la ruleta
 R y R el radio de la base)
Tenemos así el punto 8'. 
3. Se divide el ángulo central que abarca (PC8'), en el mismo número de partes en que dividimos a la 
ruleta en el paso 1 (en este caso eran ocho), teniendo: 1', 2', 3'........ Y unimos esos puntos con C.
O0 =0'
O0
=0'
4. Con centro en C se trazan los arcos que pasan por los puntos 1, 2, 3... de la ruleta
5. Se traza el arco R= C O0, con centro en C, que , al cortarse con los radios C 1', C 2', C 3'...
 se obtienen los puntos O1, O2, O3... que son centros de las sucesivas posiciones que va
 adoptando la ruleta al rodar .
6. Llega el momento de buscar los puntos:
Donde la circunferencia de centro O0, corta al arco que pasa por 0 ----> P0
 “ “ “ “ “ O1, “ “ “ “ “ “ 1 ----> P1
 “ “ “ “ “ O2, “ “ “ “ “ “ 2 ----> P2
Y así sucesivamente
7. Se unen los puntos a mano. 
O0 =0'0=8
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EPICICLOIDE alargada
Sea ahora un punto generador P que se encuentra en el exterior de la ruleta, y ligada solidariamente a ella.
1. Se construye, sin trazarla la hipocicloide normal, tal como se ha explicado anteriormente.
 (pasos 1 a 5 de la epicicloide normal)
2. Sobre cada uno de los segmentos: O0 P0, O1P1..., y a partir de los centros O0, O1... se lleva la 
distancia fija O0 P´0, obteniendo así los puntos P´1, P´2...
3. Se unen los puntos a mano.
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EPICICLOIDE acortada
Sea ahora un punto generador P que se encuentra en el exterior de la ruleta, y ligada 
solidariamente a ella.
1. Se construye, sin trazarla la hipocicloide normal, tal como se ha explicado anteriormente.
 (pasos 1 a 5 de la epicicloide normal)
2. Sobre cada uno de los segmentos: O0 P0, O1P1..., y a partir de los centros O0, O1... se lleva la 
distancia fija O0 P´0, obteniendo así los puntos P`1, P´2...
3. Se unen los puntos a mano.
HIPOCICLOIDES
Se llama hipocicloide a la curva plana que describe un punto P de una circunferencia 
llamada ruleta que rueda sin resbalar sobre el interior de otra circunferencia que es la base.
hipocICLOIDE NORMAL
Su construcción es análoga a la epicicloide normal, la única diferencia es que ahora la 
ruleta se sitúa por dentro de la circa base. Seguir los mismos pasos.
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hipocICLOIDE alargada
Su construcción es análoga a la epicicloide alargadal, la única diferencia es que ahora la 
ruleta se sitúa por dentro de la circa base. Seguir los mismos pasos.
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hipocICLOIDE acortada
Su construcción es análoga a la epicicloide acortada, la única diferencia es que ahora la 
ruleta se sitúa por dentro de la circa base. Seguir los mismos pasos.
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CARDIOIDE O CARACOL DE PASCAL:
LEMNISCIATA DE GERONO:
Esta curva es una epicicloide, y como tal se puede dibujar.
 No obstante, se indica un método específico:
 1. Se divide la circunferencia base en un número cualquiera
 de partes iguales (en la figura, en 12)
 2. Unir las divisiones anteriores con A,
 prolongando las cuerdas en los dos sentidos.
 3. Con centro en 1, 2,3..., se llevan sobre las
 cuerdas, en los dos sentidos,
 segmentos iguales al diámetro de la circa base
 (el mismo de la ruleta)
 Así: 1M=1N=AB
 4. Igual que se han obtenido los puntos M y N,
 a partir de 1, se opera con los demás
Esta curva se denomina así porque tiene forma de corazón, y es una curva plana que se 
genera por el movimiento de una circunferencia llamada ruleta de centro P1, que gira sin 
resbalar exteriormente sobre otra circunferencia de centro P y del mismo radio.
El punto generador es el punto A.
Tiene forma de 8.
1. Trazar las tangentes a la circa por A y B
2. Trazar una recta cualquiera, r, que pase por O.
 En el corte de rcon la tg por B--> C
3. Por C se traza una paralela al diámetro AB,
 hasta cortar a la circa en el punto D.
4. Por el punto D se traza la perpendicular a AB.
 Ésta corta a “r” en el punto P1, punto de la
 lemniscata.
5. Repitiendo los mismos pasos se obtienen
 más puntos de la curva.
Sea el diámetro AB de una circunferencia de centro O
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ENVOLVENTE DEL CÍRCULO:
Es la trayectoria plana que describe un punto fijo, P, de una 
recta, la cual se desplaza sin resbalar, manteniéndose 
tangente a una circunferencia, llamada evoluta.
La longitud de la tangente entre T12 y P12, en una vuelta 
entera, o paso, es igual a a la longitud de la circunferencia.
1- Rectificar la circunferencia, y dividir dicha longitud en un número de partes iguales. por ejemplo, 12.
 (Cuantas más partes sean, más preciso será el trazado)
2- Dividimos la circunferencia en el mismo número de partes iguales. Tenemos así T1, T2, T3 ...
3- Por T1, T2... trazamos las rectas tangentes a la circunferencia.
4- En la tangente por T1, se lleva la distancia P A1 (una doceava parte del perímetro de la circa.) ---> P1 
 En la tangente por T2 " " " " P A2 (dos doceavas partes " " " " " ) ---> P2
 Y así sucesivamente.
5- Se unen los puntos a mano
SENOIDE:
1. Sin trazarla, se construye la envolvente normal, 
tal como se ha explicado en el punto anterior, y se 
obtienen los puntos A, B, C, D, E, F, G y H.
envolvente alargada
3. Desde los puntos A, B, C... y sobre las 
perpendiculares anteriores, se llevan las 
distancias A A1, B B1, C C1...=A0 8, 
obteniendo de esta forma los puntos A1, 
B1, C1...
4. Se unen a mano.
1. Sin trazarla, se construye la evolvente normal,
 ya explicada.
2. Por los puntos A, A1, A2... se trazan las
 perpendiculares a las tangentes,
 
3. Para la acortada se llevan a cada lado las
 distancias: A1 A´1 = A2 A´2 = A3 A´3=....= A A´
 y se obtienen: A´1, A´2 A´3...
 Para la alargada: A1 A´´1 = A2 A´´2 = ... = A A´´
 y se obtienen: A´´1, A´´2, A ´´3...
4. Se unen los puntos a mano.
Sean los puntos A´ y A´´ ligados solidariamente a la tangente y situados
sobre la perpendicular a la misma por el punto A,
uno a cada lado de la tangente.
2. Se trazan las perpendiculares a las 
tangentes a la envolvente en los puntos 
anteriores A, B...
envolvente acortada y alargada
La senoide es la representación gráfica del “seno” 
en trigonometría. Es una curva plana, lugar 
geométrico se los puntos de intersección de dos 
rectas perpendiculares; una horizontal y otra vertical, 
que se mueven sobre una circunferencia y sobre 
una recta respectivamente.
1. Se divide la circa en un número de partes iguales (aquí en ocho)
2. Se toma el segmento AL igual a la circa rectificada, y se divide en el mismo número de partes iguales (ocho)
3. Por los puntos 1, 2, 3... de la circa, se trazan paralelas a AL
4. Por 1´, 2´, 3´... se trazan verticales. 
5. Del corte de las rectas de los pasos 3 y 4, tenemos A, B, C.... puntos de la senoide normal.
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REPASO DE LOS TRAZADOS VISTOS EN 1º BACHILLERATO:
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