AGA Resumen Superficies

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Álgebra y Geometría Analítica FI-UNJu 
 
 by LGN 
RESÚMEN de Superficies, Cilíndricas y Cónicas 
ESFERA: 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 + (𝑧 − 𝑗)2 = 𝑟2 
 
Centro: 𝐶(ℎ, 𝑘, 𝑗) 
Radio: 𝑟 
 
 
 
 
ELIPSOIDE: 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
+
(𝑧 − 𝑗)2
𝑐2
= 1 
 
Centro: 𝐶(ℎ, 𝑘, 𝑗) 
 
𝑐 > 𝑎 ∧ 𝑏 
 
 
𝑏 > 𝑎 ∧ 𝑐 
 
 
 
HIPERBOLOIDE de 1 hoja: 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1 
 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1 
 
 
 
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HIPERBOLOIDE de 2 hojas: 
−
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1 
 
 
−
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1 
 
 
 
 
 
PARABOLOIDE elíptico: 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 𝑧 
 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= −𝑧 
 
 
 
 
 
PARABOLOIDE hiperbólico: 
−
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 𝑧 
 
 
 
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CILÍNDRICAS: Sus ecuaciones son como las curvas en R2 (circunferencia, parábola, elipse o hipérbola que se conoce 
como directriz del cilindro), pero al saber que es una ecuación en R3 el eje de la variable faltante es paralelo a las 
generatrices del cilindro. 
 
CÓNICAS: 
𝐴 · 𝑥2 + 𝐵 · 𝑦2 − 𝑧2 = 0 
 
 
𝐴 · 𝑥2 − 𝑦2 + 𝐶 · 𝑧2 = 0 
 
 
 
 
Los pasos indicados para representar cualquier superficie mencionada son: 
1) Identificar la superficie: Acomodar la ecuación si fuera necesario e identificar a que tipo de superficie 
representa y datos relevantes de la misma. 
2) Figura de Análisis: Un bosquejo básico de la forma de la superficie. 
3) Intersecciones con los ejes coordenados: Sí por ejemplo se quiere la intersección con el eje “z”, se anulan las 
variables x,y (x=y=0) y se despeja el valor de z; para la intersección con el eje “y” se anulan x,z; y para la 
intersección con el eje “x” se anulan y,z. 
4) Trazas sobre los planos coordenados: Sí por ejemplo se quiere la traza sobre el plano πy,z se anula la variable 
x (x=0) y se identifica la ecuación resultante; para la traza en el plano πx,z se anula la variable y (y=0) y se 
identifica la ecuación resultante; para la traza en el plano πx,y se anula la variable z (z=0) y se identifica la 
ecuación resultante. 
5) Secciones con planos paralelos a los coordenados: Por ejemplo un plano paralelo al plano πy,z es “x = k”, se 
reemplaza el valor de x por el valor k en la ecuación y se identifica la ecuación resultante; de igual manera un 
plano paralelo al plano πx,z es “y = k”; y un plano paralelo al plano πx,y es “z = k”; y en ambos casos se procede 
como en el primero. 
6) Representación gráfica: Las intersecciones, trazas y secciones identificadas en los puntos anteriores se 
grafican en un sistema de ejes coordenados y se los une para darle la forma a la superficie.