Clase 16 MAS

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Movimientos periódicos
Movimiento oscilatorio armónico
Oscilador armónico simple
Consideraciones energéticas en el MAS
Relación entre el movimiento circular y el MAS
Integración de la ecuación del movimiento
Representación gráfica de las variables
Péndulo simple y compuesto
Masa reducida
Movimiento armónico amortiguado
Oscilaciones forzadas resonancia 
UNIDAD 10 
OSCILACIONES
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Muchos tipos de movimientos se repiten una y otra vez
Ejemplos :
péndulo, vibraciones sonoras de un tubo de órgano, movimiento de los pistones de un auto
Estos movimientos se llaman movimientos 
periódicos u oscilatorios 
Un cuerpo que tiene un movimiento 
periódico se caracteriza por una posición
de equilibrio estable.
Cuando se lo aleja de esa posición y se 
suelta entra en acción una fuerza o un 
momento de torsión para volverlo al 
equilibrio. 
Sin embargo cuando llega ahí, ya ha adqui-
rido cierta energía cinética que lo hace
Pasarse hasta detenerse del otro lado, de
donde será impulsado otra vez hacia 
el equilibrio
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 x=0
 
 
 MOVIMIENTOS PERIÓDICOS
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Ejemplos 
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Movimiento oscilatorio
Un sistema que puede tener movimiento periódico es un cuerpo con masa “m” que se mueve sobre una guía horizontal sin fricción, solo se desplaza en el eje x
El cuerpo esta conectado a un resorte de masa despreciable
que puede estirarse o comprimirse.
El extremo izquierdo del resorte está fijo y el derecho 
unido al cuerpo
Se define el sistema de coordenadas con el origen O en la
posición de equilibrio, en donde el resorte no está estirado
ni comprimido.
La componente del desplazamiento del cuerpo respecto
al equilibrio es “x” y también del cambio de longitud
Solo puede haber oscilación si hay una fuerza de 
restitución que tiende a regresar al sistema al equilibrio
Si desplazamos el cuerpo a la derecha hasta x= A y se lo
suelta la fuerza neta y la aceleración son hacia la izquierda. La rapidez aumenta al aproximarse el cuerpo a la posición de equilibrio
Cuando el cuerpo está en O la fuerza neta es cero, pero a causa de su movimiento (velocidad) rebasa esta posición.
A la izquierda de O la velocidad es a la izquierda pero la aceleración a la derecha 
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La rapidez disminuye hasta que el cuerpo se detiene. Ahora el cuerpo acelera hacia la derecha rebasa el punto de equilibrio y se detiene en el punto inicial x=A listo para repetir el todo el proceso
Términos de movimientos periódicos:
Amplitud del movimiento, se denota con A es 
la magnitud máxima del desplazamiento 
respecto al equilibrio es decir es siempre 
es positiva. El rango global del movimiento 
es 2ª.
Una vibración completa o ciclo es un viaje 
redondo de A a –A y de vuelta a A
Período T es el tiempo que tarda un ciclo y 
siempre es positivo, la unidad es el segundo
Frecuencia f es el número de ciclos en la 
unidad de tiempo y siempre es positiva, la unidad en el sistema internacional 
es el HERTZ 1 Hz = 1 ciclo/s = 1 
La frecuencia angular  es igual a  = 2 unidades (radianes/s)
Relaciones: 
	T = 			  = 
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Movimiento Armónico Simple (MAS)
Si la fuerza de restitución es directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio, la oscilación se denomina Movimiento Armónico Simple
El movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uniforme sobre un diámetro
 = - K x fuerza restauradora lineal
Aplicamos la segunda Ley de Newton
 = m 
 - k x = m el signo menos indica
que la aceleración y el desplazamiento 
siempre tienen signos opuestos(sentido)
 + = 0 
 Ecuación de movimiento del oscilador armónico simple
Su solución es una función de x(t)que describe la posición del oscilador en función del tiempo
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ECUACIONES DEL M.A.S.
Se debe resolver la ecuación del movimiento del oscilador armónico
 + = 0 (1)
Se trata de encontrar expresiones para para la elongación o desplazamiento, velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico simple.
Se debe destacar que en este caso de movimiento la aceleración varia constantemente por lo que no se pueden aplicar las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. 
La ecuación incluye una relación entre una función del tiempo x(t) y su segunda derivada temporal 
Escribiendo la ecuación (1) de la siguiente forma:
	 = - 
La solución requiere que x(t) sea una función cuya segunda derivada sea negativa de la misma función, exceptuando un factor constante k/m 
Se conoce por el cálculo que las funciones seno y coseno poseen esa propiedad. Ejemplo
 x= = =  
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Considerando el movimiento del cuerpo representado por el punto Q que se mueve en una circunferencia de radio “A” con velocidad angular constante “” y “P” la proyección de ortogonal de Q sobre el diámetro horizontal
 Q
 P
La elongación para cualquier instante t es la distancia OP o distancia x
y el ángulo que forma OQ con el diámetro horizontal
Entonces x = A siendo = fase = 
reemplazando x = A 
Que es la solución de la ecuación del movimiento armónico simple
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Si consideramos la proyección sobre el diámetro vertical se puede observar 
Por lo tanto la elongación x para cualquier tiempo t, utilizando la proyección sobre el diámetro vertical se tiene: x = A siendo = fase = 
Y denominando la fase inicial, 
Reemplazando:
		 x = A expresión para la elongación
Expresión de la solución de la ecuación del movimiento armónico simple
Siendo A = Amplitud (máxima elongación) = frecuencia angular= 2 
 = fase inicial = frecuencia angular= 2 
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Las ecuaciones de la velocidad y aceleración se obtienen:
 = = = A 
 = = = =  A =  . 
Los valores máximos se obtienen cuando la función trigonométrica es = 1
Por lo tanto: = A y = A 
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 Grafica de comparación entre
 posición, velocidad y aceleración
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Interpretación Geométrica del MAS
a
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ENERGÍA EN EL MAS
Integración de la ecuación del movimiento armónico simple:
Partimos de la ecuación
		 + = 0 
	 + = 0  + = 0  + = 0 
  m + = 0 
Resolvemos como ecuación diferencial de primer orden
 + = 0 
 m + k = = 
 Energía Cinética + Energía Potencial de la fuerza restitución = 
Como no actúan fuerzas disipatívas la energía mecánica total es E ( K +U)K + U = 
 U
 
 0
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Si se alcanza el punto donde la velocidad es máxima se tendrá
 	 E = m  = 
Para un extremo x = = A Tenemos E = K  A = 
Para un punto intermedio v = reemplazamos 2E = 
Resolvemos v = . si = entonces
		 v = . Ecuación para calcular la velocidad
 en cualquier punto 
El período puede calcularse de 
		 = y como = 
Por lo tanto = 2 (s) también f = (1/s)
APLICACIONES DEL MAS
Péndulo SIMPLE:
Consideramos un péndulo donde oscila una
masa m soportada por un hilo inextensible L L
de masa despreciable
Fuerza restauradora = m . 
 
Si = . R = . L = L 
Y = mg 
Por lo tanto: - mg = m L 
 - g = L entonces L + g =0
entonces + = 0
El movimiento no es armónico simple, debido a la presencia del , sin embargo si el ángulo es pequeño lo que es cierto si la amplitud de las oscilaciones es pequeña, se puede aproximar en radianes y el movimiento es aproximadamente armónico simple, reemplazando se obtiene:
	 + = 0 ecuación de MAS referida al movimiento angular
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L
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La solución de la ecuación es :
	 = 
Donde es el desplazamiento angular máximo, la amplitud de la oscilación.
En este caso denota la frecuencia angular y no la velocidad angular 
Para el movimiento MAS angular del péndulo = g/L entonces usando la ecuación que relaciona con el período T = 2 /
El período de la oscilación estará dado por la expresión:
	T = 2 
Se observa que el período es independiente de la masa del péndulo
Para mayores amplitudes la aproximación no es válida. En tal caso la fórmula del período depende de la amplitud, pudiéndose expresar por la serie:
	 T = 2 ( 1 + ) + ) + …
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En el siguiente gráfico se observa la variación del período de un péndulo en función de la amplitud 
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Péndulo Compuesto (Físico)
Es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la gravedad.
La esquematización del péndulo es la siguiente: Z’
Donde ZZ’ eje horizontal 
“C” centro de masa Z
Cuando la línea OC hace un ángulo con la 
Vertical, la componente del torque actuante sobre
 el cuerpo es = - mgb 
Además = I 
 = I = - mgb 
 I + mgb = 0
Suponiendo pequeñas oscilaciones y I = m k radio de giro
	 + = 0
Comparamos la ecuación obtenida y demostramos el movimiento es MAS
Con = g b/ por consiguiente el período de las oscilaciones 
Es T = 2 cantidad L = longitud equivalente del péndulo simple
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Ejemplos de problemas de aplicación:
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Ejemplo de aplicación del libro ALONSO - FINN
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Superposición de dos MAS 
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Superposición de dos MAS 
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Dos MAS con
MISMA DIRECCION Y FRECUENCIA
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Consideramos 2 movimientos MAS en direcciones perpendiculares. Los movimientos son en un plano de modo que:
Escogemos para t=0 =0 de modo que x = A 
El movimiento a lo largo del eje Y es descripto por la ecuación
 y = B 
La trayectoria de la partícula obviamente esta limitada por las lineas:
 	x = A y = B
CONSIDERAMOS los siguientes casos:
Los dos MAS están en fase : =0  x = A 
 y= B
Que combinados obtenemos:
	 = =  y = () x esta es la ecuación de la línea recta PQ de la figura
Debido a que el desplazamiento es a lo 
Largo de la línea PQ la amplitud del MAS
resultante es A’’ = + 
La ecuación del MAS resultante es:
	r = + 
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Si los movimientos están en oposición = e y= B 
Combinando con la ecuación x = A 
Nos da: y = ( ) x la cual es la ecuación de la línea recta RS
Cuando = los movimientos están en cuadratura y = B 
 y = B 
Combinando con la ecuación x = A 
Se obtiene:
		 + = 1 que es la ecuación de la elipse de la figura, que es recorrida en el sentido de giro de las agujas de un reloj
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OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Consideramos el movimiento de un resorte con 
una parte dentro de un recipiente con líquido 
viscoso (glicerina)
Entonces en adición a la fuerza restauradora 
o elástica actúa otra fuerza opuesta a la velocidad
es la fuerza viscosa o amortiguadora
F= - Kx fuerza elástica
F’ = - b v fuerza amortiguadora
La fuerza resultante sobre el cuerpo es F + F’ y
 la ecuación de movimiento es:
 = m.a
F + F’ = m.a
-Kx  b v = m.a recordando
 que: v = a = 
Tenemos: m + b + Kx = 0
Es una ecuación diferencial, cuya solución para 
el caso de pequeño amortiguamiento x = A 
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Donde 
La amplitud de las oscilaciones no es constante y está dado por A’ = A 
la amplitud decrece a medida que el tiempo aumenta resultando un movimiento amortiguado
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sentido
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Oscilaciones Forzadas
Se refiere cuando se aplica una fuerza oscilatoria externa a una partícula sometida a una fuerza elástica.
	F = .t) esta fuerza externa compensa el amortiguamiento
	F= - Kx fuerza elástica
	F’ = - b v fuerza amortiguadora
Aplicamos = m.a
	 .t)  Kx  b v = m.a 
	m + b + Kx = .t) 
 + + x = .t) Ecuación diferencial de segundo orden
Suponemos como solución una expresión de la forma x = A 
La sustitución directa en la ecuación demuestra que será satisfecha si la amplitud esta dada por: 
	
Y la fase inicial del desplazamiento = 
Tanto la amplitud como la fase inicial no son constante
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	El fenómeno de resonancia se manifiesta en la mayoría de los sistemas naturales. Es bien conocido que cuando una formación de soldados cruza un puente, rompe el paso, para evitar que la frecuencia de la marcha sea próxima a la frecuencia natural de la estructura. La resonancia es observada con frecuencia en maquinaria rotatoria. Un circuito receptor de radio o TV sintoniza en una frecuencia específica ajustando la frecuencia natural del circuito receptor para que sea exactamente igual a la frecuencia del transmisor. Y sistemas atómicos o nucleares exhiben fenómenos de resonancia cuando son excitados con luz o partículas.
El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural de oscilación delsistema, con un aumento de la amplitud.
Ejemplos de esto son un muelle que haces oscilar moviendo la mano de arriba hacia abajo y consigues que oscile con gran amplitud, o el hecho de empujar el columpio que consigues que se mueva con gran amplitud
Se destaca que la resonancia no se produce porque la fuerza externa sea muy grande sino porque coinciden las frecuencias.
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AMPLITUD DE UN OSCILADOR FORZADO
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AMPLITUD DE UN OSCILADOR FORZADO
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