Guía N9 ANÁLISIS 1 - 2021

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Razón de cambio – Interpretación física de la derivada 
 
Cuestionario 
a) ¿Además de la interpretación geométrica, de qué otra forma se puede interpretar la derivada de una 
función? 
b) ¿Cómo calcula la velocidad de un móvil?, y su aceleración? 
 
Ejercicios Resueltos 
 
1.- El consumo de combustible ( medido en litros por hora ) de un automóvil que viaja a una velocidad 
v ( en Km/h ) es C = f (v) 
a) ¿ Cuál es el significado de la derivada f ' ( v ) ? ¿Cuáles son sus unidades? 
b) Escribir una oración (en términos corrientes) para explicar el significado de la ecuación: 
f ' ( 20 ) = − 0,05 
 
Cómo encarar la resolución de problemas 
No existen reglas firmes y rápidas que garanticen el éxito en la resolución de los problemas. Sin 
embargo, es posible delinear algunos pasos generales del proceso de solución y dar algunos principios 
que pueden resultar útiles. Estos pasos no son más que la aplicación del sentido común. 
− El primer paso es leer el problema y asegurarse de entenderlo con claridad. Hágase las preguntas 
siguientes : ¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son las cantidades dadas?, ¿Cuáles son las condiciones 
dadas?. 
Para muchos problemas, resulta útil dibujar un diagrama e identificar las cantidades dadas y 
requeridas en el diagrama. 
Por lo común, es necesario introducir una notación apropiada. 
− Al elegir los símbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos letras como a , b, c, x , y 
, pero en algunos casos, ayuda usar iniciales como los símbolos sugeridos; por ejemplo, V para el 
volumen, t para el tiempo, etc. 
− Encontrar una relación entre la información dada y lo que se desconoce de manera que permita 
calcular la incógnita. Con frecuencia ayuda preguntarse: ¿Cómo se puede relacionar lo dado con lo 
desconocido?. 
− Si no ve una relación inmediata, intente reconocer algo familiar, relacionando la situación dada con 
sus conocimientos , Por ejemplo si en el esquema armado existe un triángulo rectángulo, piense en el 
Teorema de Pitágoras. 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 9 
 
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− Intente reconocer patrones, algunos problemas se resuelven al reconocer que se presenta algún tipo 
de patrón. Este puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si reconoce regularidad o repetición en 
un problema, quizás sea capaz de conjeturar cual es el patrón y probarlo. 
− Intente pensar en un problema análogo, es decir, un problema semejante o relacionado, pero mas 
fácil que el original, entonces éste le podría dar los indicios que necesita para resolver el problema 
original. Por ejemplo, si en un problema intervienen números muy grandes, podría intentar primero 
un caso semejante con números más pequeños. 
− Introduzca algo adicional , a veces puede ser necesario introducir algo nuevo, algo auxiliar, para 
ayudar a establecer la conexión entre lo dado y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema donde un 
diagrama es útil, lo auxiliar podría ser una nueva recta trazada en el diagrama. En un problema 
algebraico lo auxiliar podría ser una nueva fórmula que relacione la incógnita original con una nueva 
− En los problemas de razones de cambio y derivada es útil además: 
 Expresar la información dada (el dato) y lo que queremos averiguar (la incógnita) en términos 
de derivada (razón de cambio) 
 Escribir una ecuación que relacione las diversas cantidades del problema. Si es necesario, 
aplicar los aspectos geométricos de la situación para eliminar una de las variables por 
sustitución 
 En el caso que sea necesario, usar la regla de la cadena para derivar los dos miembros de la 
ecuación respecto del tiempo t 
 Sustituir la información dada en la ecuación resultante y resolver para la razón de cambio 
desconocida 
 
Nota: La derivada de cualquier función (la función no siempre depende del tiempo), puede 
interpretarse como la razón de cambio puntual( instantánea) de la variable dependiente con respecto 
de la variable independiente. 
Si y = f(x), entonces la “la razón de cambio promedio” de y ( por un cambio unitario en x ) es el 
cociente incremental 
Δx
Δy
 = 
f (x x) f (x)
x
  

 
La razón de cambio puntual (instantánea) de y con respecto a x es el límite cuando x 0  , de la 
razón de cambio promedio. Así 
x 0
y
lim
x 


 = 
Δx 0
f (x x) f (x)
lim
x
  

 = f ' (x) 
 
La derivada, como una razón de cambio, tiene aplicaciones en las distintas ciencias: Los físicos se 
interesan por ejemplo, en la razón de cambio del trabajo con respecto al tiempo (lo que se conoce 
como potencia). Los químicos , que estudian una reacción química , se interesan en la razón de 
cambio de la concentración de un reactivo con respecto al tiempo ( llamada velocidad de reacción). 
Un fabricante de acero se interesa en la razón de cambio del costo de producir x toneladas de acero 
por día con respecto a x (lo que se conoce como costo marginal). Un biólogo se interesa en la razón de 
cambio de la población de una colonia de bacterias con respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de las 
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razones de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería e, incluso, en las 
ciencias sociales. 
 
Solución 
a) En nuestro caso la derivada C ' ( v ) = f ' ( v ) es la razón de cambio instantánea del consumo de 
combustible con respecto a la velocidad del automóvil , es decir , indica la variación en el consumo de 
combustible por cada unidad de variación en la velocidad. 
Debido a que f '( v ) = 
v 0
C
lim
v 


 las unidades de f ' ( v ) son las mismas que las del cociente 
incremental 
Δv
ΔC
 . Puesto que C se mide en litros por hora y v en Km./h se deduce que las 
unidades de f ' ( v ) son las de litros por hora y por Km. por hora 
 
b) Cuando la velocidad del automóvil es de 20 Km./h el consumo de combustible esta decreciendo a 
razón de 0,05 
h
Km
h
litros
 (el signo negativo indica que decrece) 
 
 
2.-) Suponer que C( x ) es el costo total en que una compañía incurre al producir x unidades de un 
articulo. La función C se llama función de costo . Si el número de artículos se incrementa de x1 hasta 
x2 , el costo adicional es  C = C(x2)  C(x1 ) y la razón promedio de cambio del costo es 
2 1
2 1
C(x ) C(x )C
x x x


 
 = 1 1
C(x x) C(x )
x
  

 
Los economistas llaman costo marginal al límite de este cociente incremental, cuando x 0  , es 
decir la razón instantánea de cambio del costo con respecto al número de artículos producidos 
Costo Marginal = 
x 0
C dC
lim
x dx 



 ; Como x suele tomar solo valores enteros, quizás no tenga 
sentido hacer que x  0. 
Pero siempre podremos reemplazar a C(x) con una función (de variable x continua) suave de 
aproximación 
Suponga que una compañía ha estimado que el costo ( en dólares ) de producir x artículos es: 
C( x ) = 10.000 + 5x + 0,01x
2
 
Entonces la función costo marginal es C ' ( x ) = 5 + 0,02 x 
El costo marginal en el nivel de producción de 500 artículos es C ' (500) = 5 + 0,02.500 = 15$/art. 
Esto da la razón a la cual se incrementa los costos con respecto al nivel de producción, cuando 
x = 500 y predice el costo del 501 iésimo artículo 
 
3.- Un móvil recorre en línea recta la distancia s (en metros) según la ley s = t
2
 6 t + 4. Determinar 
a ) La velocidad y aceleración a los 5 seg 
b) La aceleración y la velocidad inicial 
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c) El momento en que le móvil está en reposo 
 
Solución 
a) La función velocidad es la derivada de la función posición : s = s(t) = t
2
 6 t + 4 
Es decirv(t) = s' (t) =
dt
ds
 = 2t  6 
Por lo tanto la velocidad después de 5 seg. significa la velocidad instantánea cuando t = 5 seg. 
 v ( 5 ) = 2 . 5  6 = 4 m/seg. 
La aceleración es la derivada de la función velocidad: a (t) = 
2
2
dv d s
dt dt
 = 2  a (5) = 2 m/seg
2
 
Esto significa que el móvil se esta moviendo con aceleración constante igual a 2 m/seg
2
 
 
b) Teniendo ya la fórmula de a ( t ) y de v ( t ) , la aceleración y la velocidad en el instante inicial se 
calcula para t = 0 , esto es : 
v(0) = 2.0  6 =  6 m/seg ; a(0) = 2 m/seg
2
 
 
c) El móvil está en reposo cuando v ( t ) = 0 , esto es : v ( t ) = 2 t  6 = 0  t = 3 seg. 
 
 
Ejercicios del TP Nº 9 para resolver en clase 
 
Nota: En las aplicaciones, la derivada se puede interpretar como razón de cambio (cambio positivo 
que equivale a crecimiento y cambio negativo que equivale a decrecimiento) 
Las razones de cambio se pueden visualizar como pendientes de rectas tangentes. Esto da un 
significado adicional a la solución del problema de la recta tangente. Siempre que resolvemos 
problemas en que intervienen rectas tangentes, no resolvemos sólo un problema de geometría, 
también resolvemos implícitamente una gran variedad de problemas de la ciencia y la ingeniería en 
que intervienen razones de cambio. 
Además de Razón de cambio, la derivada puede reconocerse en los problemas con otros términos 
equivalentes como: Tasa de crecimiento, coeficiente de variación, cambio instantáneo, velocidad 
(indica que la variable independiente es el tiempo), rapidez (valor absoluto de la velocidad),… 
En Economía, las razones de cambio del costo reciben el nombre de “marginal”. 
 
1.-) Completar la tabla de interpretaciones de la derivada, en distintas aplicaciones 
Ecuación empleando derivadas Aplicación 
 
 
A los 7 segundos, el móvil se detiene. 
t 4s
d V
3
d t

 
siendo V:velocidad en m/s  t: tiempo en s 
 
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d 
 
10 m 
 La rapidez de un automóvil es proporcional a la 
distancia que ha recorrido. 
2
2
dx d x
0 0
dt dt
   
 
 El costo de un terreno está creciendo en forma 
directamente proporcional a la Inflación. 
 
2.-) Cuando se agregó un bactericida a un cultivo de nutrientes en donde estaban creciendo bacterias, 
la población de éstas continuó aumentando durante un tiempo, pero después el crecimiento se 
interrumpió y la población empezó a declinar. El tamaño de la población en el tiempo t (horas) está 
dado por la ecuación:   6 4 3 2b t 10 10 t 10 t 0 t 35     
Encuentre las razones de crecimiento en: 
a) t=0 horas b) t= 5 horas c) t= 10 horas 
 
3.-) El ingreso semanal en dólares por la venta de x escritorios del diseño más económico, es 
I(x) = 
1
2000 1
x 1
  
 
 
a) Si bien la variable independiente pertenece al conjunto de números naturales, es posible graficar la 
función continua que interpreta el enunciado. Representar esta función, considerando escalas 
convenientes en cada eje coordenado, de modo de visualizar la función I para 
 
 x 1,10,20,...,100
 
b) Determinar el ingreso marginal 
dI
dx
 cuando se venden x escritorios 
c) Hallar e interpretar  
x
lim I x


x
dI
lim
dx
 
 
4.-) Una persona ilumina una pared con una linterna en forma ascendente, desde una posición inicial 
horizontal, como muestra el siguiente gráfico 
 
Completar la línea de puntos: 
a) La fórmula de “” en función de “d” es: ………….………..…… 
 
b) La razón de cambio del ángulo  cuando d = 4m 
es: …………..…………………………….. 
(Indicar las unidades correspondientes) 
 
5.-) Se derrama petróleo de un tanque roto formando una mancha circular. Si el radio del círculo 
aumenta a razón constante de 1,5 pies/min, ¿con qué rapidez aumenta el área contaminada por el 
aceite, en el instante en el que el radio del círculo mide 80 pies? 
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6.-) La cinta transportadora de una draga (*) echa sobre el suelo agua con ripio y éste se acomoda 
formando conos en los que la altura es siempre un tercio del 
diámetro. 
Hallar la razón de cambio del volumen del ripio con respecto a la 
altura cuando ésta vale medio metro, sabiendo que la altura crece 
en forma constante de 3 cm/min. 
 
(*) Draga: Máquina que se emplea para limpiar y ahondar los lechos de los ríos, canales,... extrayendo 
de ellos barro, ripio, fango, arena, etc. 
El ripio es un conjunto de piedras o guijarros que quedan de un lecho después del pasaje del agua. 
 
Aplicaciones físicas de la derivada 
7.-) Un móvil se desplaza de acuerdo a la ecuación 2S 2t 6 t  , donde S es la distancia recorrida en 
el tiempo t.    S m (metro) t s (segundo)   
 a) Encuentre la velocidad en el instante t 
 b) ¿Cuál es su velocidad y aceleración a los cinco segundos? 
 c) ¿En algún momento la partícula está en reposo? 
 
8.-) Las ecuaciones de caída libre (s en metros, t en segundos) para un cuerpo que se deja caer desde el 
reposo son:   2s t 1,86 t    2s t 11, 44 t en la superficie de Marte y de Júpiter, respectivamente. 
a) ¿Cuánto tiempo tarda una roca en alcanzar una velocidad de 100 Km/h en cada planeta, si cae desde 
el reposo? 
b) ¿Cuánto tarda, en la Tierra donde   2s t 9,8 t ? 
 
9.-) Una partícula P se mueve sobre la recta numérica como se muestra en el gráfico 
 
 
El siguiente es el gráfico de la posición de P como una función del tiempo t. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Dar los intervalos de tiempo en los que P se mueve hacia izquierda. También, hacia la derecha. Y 
los momentos en que P está inmóvil. 
b) Graficar la Velocidad y la Rapidez de la partícula (donde están definidas). 
 
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10.-) Complete de forma que el enunciado sea verdadero 
La ecuación que determina la velocidad v de un cuerpo en función del tiempo t, está dada por la 
ecuación   2v t t b t 180   . (t esta en seg y v en m/seg). 
Si se sabe que el cuerpo a los 20 segundos alcanza una aceleración de 24 m/s
2
 El valor de b es 
………. 
En base a los datos obtenidos en el punto a, el valor de t donde la aceleración vale 0 es t ............... 
 
11.-) Las gráficas A, B y C muestran la posición s, la velocidad 
ds
v
dt
 , 
y la aceleración 
2
2
d s
a
dt
 de un cuerpo que se mueve sobre a lo largo de 
una recta coordenada, como funciones del tiempo. ¿Qué gráfica 
corresponde a cada función? Justificar la respuesta. 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS ADICIONALES DEL TP N° 9 
 
1.-) Debido a las altas temperaturas, el radio de una bola de nieve que al principio era de 6 cm, 
disminuye a razón de 0,25 cm/hora. Hallar la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo. 
34Volumen de la esfera : V r
3
 
  
  
 
2.-) Se lanza un objeto directamente hacia abajo desde lo alto de un acantilado, con una velocidad 
inicial V0 = 5 m/s. La función que describe la caída del objeto está dada por la ecuación
0
2S V t 4,9 t  (S está dada en metros). Se sabe que al momento de caer al océano la velocidad es 
de 18 metros por segundo, ¿Cuál es la altura del acantilado?