Guía N13 ANÁLISIS 1 - 2021

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UNJu – Facultad de Ingeniería ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
 
 
 
 
Concavidad. Puntos de inflexión. Asíntotas – 
Estudio completo de una función y su representación gráfica 
 
Cuestionario 
a) Defina concavidad de una curva e indíquelos pasos a seguir para obtener los intervalos de 
concavidad 
b) ¿Qué son las asíntotas de una curva? Cuántas clases de asíntotas conoce y cómo se determina su 
ecuación? 
c) ¿Cuáles son los elementos que se debe tener en cuenta para trazar el gráfico de una función?. 
Describa brevemente cómo obtenerlos 
 
Ejercicios Resueltos 
1.-) Encontrar la ecuación de las asíntotas de la siguiente función: 
3
2
x 1
f (x)
x 1



 
Determinamos primero las asíntotas verticales: Los puntos donde es posible que existan asíntotas 
verticales se encuentran donde la función no está definida. 
El dominio de la función es R – { – 1 , 1 }, por lo tanto analizaremos si esos valores corresponden a 
asíntotas o no. 
 
En x = – 1 
  
  
 
 
2 2
3
2
x 1 x 1 x 1
x 1 x x 1 x x 1
x 1
lim lim lim
x 1 x 1 x 1x 1       
    

    
  
 
 
  
  
 
 
2 2
3
2
x 1 x 1 x 1
x 1 x x 1 x x 1
x 1
lim lim lim
x 1 x 1 x 1x 1       
    

    
  
 
 
Como puede verse, si bien no existe el límite para x − 1, los límites laterales son infinitos, por lo 
tanto en x = – 1 hay una asíntota vertical. 
En x = 1. 
  
  
 
 
2 2
3
2
x 1 x 1 x 1
x 1 x x 1 x x 1
x 1 3
lim lim lim
2x 1 x 1 x 1x 1    
    

  
  
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 13 
 
UNJu – Facultad de Ingeniería ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
 
 
 
 
  
  
 
 
2 2
3
2
x 1 x 1 x 1
x 1 x x 1 x x 1
x 1 3
lim lim lim
2x 1 x 1 x 1x 1    
    

  
  
 
 
Como el limite para x  1 es un valor finito, en x = 1 no hay asíntota vertical. 
Asíntotas oblicuas: Puede ser asíntota oblicua por la izquierda y asíntota oblicua por la derecha, 
según que se estudie el límite para x tendiendo a infinito o menos infinito, respectivamente. Las 
asíntotas oblicuas tienen la forma y= a x+ b, donde para: 
la asíntota oblicua derecha: 
x
f (x)
a lim
x
 ;  
x
b lim f (x) ax

  , 
y para la asíntota oblicua izquierda 
x
f (x)
a lim
x 
 ;  
x
b lim f (x) ax
 
  . 
En nuestro caso: 
3
3 22
3 2
x x x x
x 1
6xx 1 3xx 1a lim lim lim lim
x x x 3x 1   

   
  6x
1  a = 1 
 
(1) l límite es indeterminado de la forma  /   se aplica la regla de L'Hopital 
 
3 3 3
2 2
x x x
x 1x 1 x 1 x x
b lim x lim lim
x 1 x 1  
       
         
     (x 1) (x 1)
= 
x
1
lim
(x 1) 
 = 0  b = 0 
Si se calcula el límite cuando x −, el resultado sería el mismo, por lo tanto hay una única asíntota 
oblicua ( derecha e izquierda) cuya ecuación es y = x 
 
2.- Grafique la función f /
3
2
x 1
f (x)
x 1



, realizando el estudio completo. 
Solución 
a) Dominio: R – { – 1 , 1 } 
 
b) Continuidad: Por ser cociente de polinomios, la función es continua en su dominio, 
c) Paridad:
3 3
2 2
( x) 1 x 1
f ( x)
( x) 1 x 1
   
  
  
 f ( x ) 
−f ( x ) = 
3
2
x 1
x 1



 = 
3
2
x 1
x 1
 

 f ( − x )  No tiene paridad. 
d) Intervalos de monotonía: Se necesita determinar la derivada primera. 
(1) (1) 
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f ' ( x ) = 
3
2 2
x 3x 2
(x 1)
 

 = 
2
x(x 2)
(x 1)


. 
Para determinar los puntos críticos vemos donde  f ' (x )  f ' ( x ) = 0 
 f ' ( x ) si x = – 1 ; x = 1 f ' ( x ) = 0  x = 0 ; x = −2 
Los intervalos de monotonía, vendrán dados por: 
 
 ( −∞, − 2 ) (− 2 , −1) ( −1, 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1, ∞ ) 
Signo de f '( x ) + − − + + 
f Creciente Decreciente Decreciente Creciente Creciente 
 
e) Extremos relativos: En base al cuadro anterior podemos obtener los extremos relativos 
 
x −2 −1 0 1 
Extremos relativos Máximo No es extremo Mínimo No es extremo 
 
f) Concavidad: se debe ver donde  f '' (x )  f '' ( x ) = 0 
f '' ( x ) = 
     
 
2
4
2x 2 x 1 x x 2 2x 2
x 1
    

 
f '' ( x ) = 
  
 
 
   
2 2
4 4 3
2x 2 x 2x 1 x 2x 2 x 1 2
x 1 x 1 x 1
     
 
  
 
En x = – 1 y x = 1 la derivada segunda no existe ( tener presente que aunque x = 1 no surja de este 
análisis, también se debe incluir su valor pues 1  Dom ( f ) y 1  Dom ( f ' ). 
Los intervalos donde analizaremos la concavidad son: (– ∞ , – 1 ) , (– 1 , 1 ) , (1 , ∞ ) y analizando 
el signo de la derivada segunda se tendrá: 
 
Intervalos (– ∞, – 1) ( −1, 1 ) (1, ∞ ) 
Signo de f ' ' ( x ) Negativa Positiva Positiva 
Concavidad C. hacia Abajo C. hacia Arriba C. hacia Arriba 
 
g) Punto de inflexión: En x = – 1 hay un cambio en la concavidad, pero como para ese valor no está 
definida la función, entonces no hay punto de inflexión. 
h) Asíntotas: Ya fueron calculadas en el ejercicio anterior. 
Corresponden a x = – 1 , asíntota vertical y como asíntota oblicua tanto derecha como izquierda: 
y = x 
i) Intersección con los ejes: 
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Con el eje x: y = 
3
2
x 1
0
x 1



, no hay intersección (tener presente que 1  Dom ( f ) ) 
Con el eje y: x = 0  y = 1 
j) Tabla de valores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios del TP Nº 13 para resolver en clase 
 
 
1.-) Determinar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión (si los tuviera) de las funciones 
f, cuyas fórmulas son: 
 a) 
4 2
y x x 1   b) 
2
x 2x 4
y
x 2
 


 
 c)   xf x e ch x  
 
 
 
2.-) Hallar las asíntotas de las funciones cuyas fórmulas se indican a continuación: 
 a)
2
3x 2x
y
x 1



 b) y =
2
x
x 25
 c) 
x
y xe

 
 
3.-) Realizar el gráfico de una función que cumpla con todas las siguientes condiciones: 
 a)            Dom f R ; f 5 3 , f 3 5 , f 1 f 5 0 , f 1 3          , 
         f ' x 0 en , 3 y en 1, , f ' x 0 en 3 , 1      ;    f ' 3 f ' 1 0   ,   f ' 1 ; 
         f ' ' x 0 en , 5 y en 1, , f ' ' x 0 en 5 , 1        ;  f ' ' 5 0  ,   f ' ' 1 ; 
La recta y = 1 es Asíntota Horizontal a Izquierda,  
x
lím f x

 
 b) Con los siguientes datos graficar f para x  0 y luego completar el gráfico sabiendo que la 
función es impar y que tiene      Dom f , 1 1,     
     f 1 0 , f 2 1 , f 3 2   ;      f ' x 0 en 1, ; f ' 2 0   ; 
         f ' ' x 0 en 2,3 , f ' ' x 0 en 1,2 y en 3,   ;    f ' ' 2 f ' ' 3 0  
La recta y = x es Asíntota Oblicua a Derecha. 
 
4.-) Realizar el estudio completo para obtener los gráficos de las funciones cuyas fórmulas se indican 
a continuación. 
x y 
−2 −3 ( Mr ) 
0 1 ( mr ) 
2 7 / 3 
−3 −7 / 2 
−1 / 2 3 / 2 
−3/ 2 −7 / 2 
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a) 
4 2
y x x 1   b) 
2
x 2x 4
y
x 2
 


 
c)
2
9x
y
x 3


 d) 
5x 1
y
2x x


