S9700590_es

Vista previa del material en texto

I N T - 1 7 4 0 
/ c < 5 ¿ A 2> V o J 
NACIONES UNIDAS 
CENTRO LATINOAMERICANO DE DEMOGRAFÍA (CELADE) 
XX CURSO REGIONAL INTENSIVO 
DE ANÁLISIS DEMOGRÁFICO 
1 9 9 7 
1. MÉTODOS CUANTITATIVOS 
MATEMÁTICAS: MATERIAL DOCENTE 
MATERIAL DOCENTE 
(Para uso exclusivo de los alumnos) 
Santiago de Chite 
CUFT^O INTERNACIONAL INTENSIVO DE 
D E M O G R A F I A 
- f 
£ 
i 
* 
'•1 ̂ T — 
" 'A ! i ; t ^ 
Organiza: Facultad de Ciencias Básicas 
Universidad de Antofa^asta. 
Patrocinan : 
\ 
L. m e 
£ 
REPUBLICA DE CHILE 
UMYERSIOAD DE AKT0fA6ASTA 
FACULTAD OE C IE ICIA S__B AS ICA S 
IHSTITU10 IACIONAL OE ESTADISTICA 
i n s 
HACIOAES iims 
CEUTRO LATUOAKERICAIO OE OE«0SÍAFH 
- . •••." " 
. V 
''" -i • y C>-K- - r ' 
CURSO INTERNACIONAL INTENSIVO DE 
O E M O G R A F I A 
•APUNTES DE 
t* 
M A T E M A T I C A S 
Or. Héctor Rojo Jeraldo 
Departamento de Matemáticas 
Facultad de Ciencias Básicas 
U n i v e r s i d a d de A n t o f a g c s t a J _ f t - S y . = < V j A D O C P Á l 
ftg. Pedro Huert2 Xarír 
Departamento de te tendeas 
Facultad de Ciencias Básicas 
<s n 
sbolw <: 
'' A ü :: (Q) 'M 
I. FUNCIONES Y GRAFICAS 
Definición: 
Sean X e Y dos conjuntos de números reales. Una función, f 
os una regla que asigna a cada número x en X un único valor f (x) en Y. 
El conjunto X es llamado el dominio de f. El conjunto de imágenes de 
elementos de X es llamado el rango de f. 
En otras palabras, una función e3 una regla que asigna a ca-
da x en el dominio de f un único número y en el rango de f. Usualmente 
este se escribe como 
y = f (x) (1) 
Cuando el dominio de una función no es dado, el dominio debe 
tomarse como el conjunto de valores para los cuales la ecuación (1) tiene 
sentido. Por ejemplo, sea f la función dada por f (x) = 1 Puesto 
x-1 
que la expresión 1 no está definida para x = 1, el número uno no 
x-1 
está en el dominio de f". Sin embargo, 1 está definida para todo 
x-1 
x £ 1 , de tal forma que el dominio de f es el conjunto de todos los nú-
meros reales excepto el uno. Por otra parte, ^ ^ — puede tomar cualquier 
valor real, excepto el cero. Esto indica que el rango de f es el conjun 
to de los números reales excepto el cero. Podemos resumir ésto anotando: 
Dominio de f = Dom f = R - ^1^ 
Rango de f s Rang f = ft -
ejemplo: Sea f (x) = 3x +• 4 
a) Encontrar el dominio de f 
b) Evaluar f(o), f(-l), f(10) , f (-2) 
c) Encontrar el rango de f. 
Solución: 
a) Para que la imagen f (x) sea un número real, la cantidad subradical 
3x + 4 no debe ser negativa, de tal forma que debe cumplirse 
3x + 4 ^ O ó 
3x yy -4 
x - 4 
3 
Asi entonces, Dom f = - , 00) 
L 3 
b) f(0) = \J 3 . 0 + 4' = \j ín= 2 
f(-D =V3(-D + 4 ' = y P = 1 
fUO) =\/3 . 10 + 4* = ^ 34 ' 
f(-2) no está definido, pues 4 , 00) 
3 
c) \J 3x + 4 * denota una raíz cuadrada positiva, de tal manera que 
f(x) = v/ 3x + 4 ' 0 , V x fe Dom f , y así entonces 
Rang f = [o,00 ) = R + U [o] 
Definición: La gráfica de una función f es el conjunto de pares ordenados 
Ejemplo. 
Una función lineal tiene la forma 
y = m x •¥ b 
con Dom f = Rang f = R 
• La gráfica de una función lineal corresponde a una línea recta en el 
plano cartesiano y luce como 
En la ecuación y = >i • ' b, el parámetro m representa la pendiente de 
la recta. Si ( x 0>y Q) • y^ ) s o n puntos distintos sobre la recta, en 
tonces e3ta pendiente m se puede calcular mediante la expresión 
\(X , f(x) ) : x £ Dom f J . 
x 
-3-
- Si m^o , la gráfica de la linea recta es oblicua hacia arriba cuando nos 
movemos de izquierda a derecha a lo largo de eje x. 
- S i m <Co , la gráfica de la línea recta es oblicua hacia abajo cuando nos 
movemos de izquierda a derecha a lo largo del eje x . 
- La pendiente de una línea recta vertical no está definida (esta gráfica n= 
corresponde a una función). 
- Si L^ y L^ son dos líneas rectas no paralelas a los ejes coordenados, con 
pendientes m^, y m^ respectivamente, entonces 
a) L^ paralela a L^ si y sólo si m̂ = m^ 
b) L perpendicular a L si y sólo si m = 1 
- Si se conocen un punto ( Xq , y Q ) sobre una recta L y la pendiente ra 
de ella, es posible encontrar la función que define a la recta mediante la 
fórmula: 
y - y o = m ( x - x q ). 
- Si (xq , y^) , (x1 , y^) son dos puntos sobre una recta L , entonces la 
distancia d entre (x , y ) y (x_ , y,) está dada por : 
o o í x 
d = N/ ( V xx ) 2 + ( y Q - yx ) 2 ' 
Ejemplo: La función y = a x + b x + c , a ^ o , tiene cooo gráfica una 
parábola con eje de simetría paralelo al eje y. La parábola se abre hacia 
arriba si a y o se abre hacia abajo si a •< o . Tal vez el punto más 
significativo sobre la parábola es su vértice. La abscisa del vértice está 
dada por : 
y su correspondiente ordenada y^ se obtiene reemplazando esta valor de x 
en la ecuación dada. Con esta información, más el cómputo de algunos punccs 
sobre la parábola permiten dibujar su gráfica. Así entonces, si la ecuaciór. 
de una parábola es: 
-4-
y = - x + 6x 
tene»os que a = — 1 , b = S , c o . Como a -<C, o , la parábola ae abre 
hacia abajo (es decir, e3 cóncava hacia abajo). Para encontrar el vértice de 
ella, hacenos 
b 
2a 
= 3. 
2 (-1) 
Luego calculamos 
yv = - 3 + 6 (3) = - 9 + 1 8 = 9 
Adeaáa podemos calcular algunos otros puntos, asignando valores a x, de pre-
far«ncia simétricos al eje de simetría de la parábola que es x = 3. 
A R 
x y 
2 3 
4 8 
1 5 
5 5 
0 0 
6 0 
* 7 5 Eje di simstr la 
Las funciones pueden ser sumadas, multiplicadas ó divididas, de acuerdo 
a las siguientes definiciones: sean f, g dos funciones, entonces 
a) la su-Tia f + g se define por 
( f «• g ) (x) = f (x) + g (x). 
b) II producto f g se define por 
; f g ) (x) = f (x) g (x). 
c) II cociente f se define por g 
(_f ) (x) = f (x) 
& S (*) 
-5-
« ' 
Además f + g , f g están definidas para todo x para el cual f y g 
eatán definidas, y f está definida donde f y g lo están y además 
S 
g (x) T 0 ( así no dividimos por cero). 
£jespío Sea f (x) = J x + 1 y g (x) =\J 4 - x2* 
Se tiene que Dom f = £-1 , oo ) y 
Dom g = [-2 , 2 ] 
Entonces 
Doo. (f + g) = Do« fg = [ - 1 , oo ) H [-2 , 2] = [ - 1 , 2] 
_£_ = [ - 1 , 2] - { - 2 , 2 ^ . [ - 1 . 2 ) . 
7 
Do« 
g 
Estas funciones son 
(f + g) (x) = f (x) + g (x) = v/ x + 1 + 7 4 - x 2' 
(f g) (x) = f (x) g (x) = \/ x + 1 ' 7 4 - x 2 ' = J (x + 1) (4 - x 2 / 
( f ) (x) = f (x) = sj T 1 ! T-^ 
X + 1 = / X + 1 « « r r r - ^ v 4 - x2 
A menudo es necesario trabajar con funciones de funciones. Si f y g 
son funciones, entonces su composición, f o g , se define por 
( f o g ) (x) = f ( g (x) ) 
y el dominio d e f o g = | x : x £ dom g g (x)édom f 
Esto es, (f o g) (x) está definida para todo x tal que g (x) y f (g (x)) estén 
cef i.ttido3. 
í jerr.plo: Sea f (x) = Nj~x ' y g(x) = x 2 + 1 
En-cr.ces (f o g) (x) = f ( g (x) ) = f (x2 + 1) = j x T T 1 
v a-emas 
(g o f) (x) = g ( f(X) ) = g (jm ) = ( J T ) 2 + 1 = x - 1 
ahora, dom f = ÍH+ U o^ , dom g = (R entonces 
dom ( f o g ) = { x : g (x) = x 2 + 1 é-dom f j 
-6-
2 2 ccflTO x + 1 >o , entonces x + 1 pertenece a dora f para todo x real, de 
forma que 
dom (f o g) = 5 1 
Para encontrar el dominio de g o f , tenemos que 
dom ( g o f ) = | x £ dom f A. f (X) 6- dom g ̂ , 
pero f está definida sólo para x )>, o , luego 
dom ( g o f ) 
La función exDonencial. 
Sea a un número real positivo (a > o). 
La función 
x • y = f (x) = a' 
es llamada función exponencial con base a , con Dom f R y Rang f = IR 
Esta función exponencial posee las siguientes propiedades: 
x x + 
a) a >o (Es decir Rang a = (R ) 
, , -x 
b) a = 
:) a x+y 
1 
x 
x y = a - ar 
d) x-y 
e) a = 1 
f) < a V = a X y 
g) si a y 1 , a es creciente 
h) si o < a < 1, a es decreciente. 
y= a , 3 > 1 
1 = , o <. a < 1 
(0,1) (0,1) 
x X 
- 7 -
3 
7 = 2 x 
> 2 - 1 1 2 x 
Una función expponencial es particularmente importante. Esta es la función 
exponencial cuya base es el número e. La letra e es usada para denotar el 
número irracional 
Ejemplo. La poblaciónde cierta ciudad crece continuamente a una razón de 
6% anual. Si la población en 1980 fue de 250.000 habitantes, cuál será la po-
blación en 1990? ¿ En 2010 ? 
Solución 
Las palabras "razón de 67. anual" significan que el crecimiento de la 
población es igual a 6% de la población. Si P (t) denota la población en t 
años después del año inicial 1980, entonces podemos escribir 
e = 2.71828128 
d P = 0.06 P (t) 
d t 
( no justificamos lo anterior por ahora ). Al resolver esta ecuación diferen-
cial (que más tarde analizaremos) , resulta que 
P (t) = 250.000 e c 
Puesto que 1990 es 10 años después de 1980, tenemos que 
0.06 t 
P (10) = 250.C00 = 250.000 ( 1.8221188 ) 
P (10) - 455530. 
Similarmente 
- 8 -
o.06(3o) < 3 
población en 2010 = P (30) - 250.000 e - 250.000e 
P (30) ° 250.000 ( 6.049647464 ) - 1512412 
En ambas respuestas se ha redondeado al entero más cercano. 
La función logarítmica 
Si x - a^ , entonces el logaritmo en la base a del número x es y. 
Esto se escribe como 
y - loga X ( a > 0, a f 1 ) 
La relación entre la función exponencial y la función logarítmica es 
son llamadas funciones inversas. 
Entonces podemos escribir 
y •* 1 0§ a x e s equivalente a x = a? 
y además 
y = a es equivalente a x = logQy 
Si pensamos en y = log x y nos preguntamos ¿a qué potencia debe ele-
a 
varse a para obtener el número x ? La respuesta es inmediata, 
log x 
a • x , para todo real positivo x . 
-9-
además 
log a x - x , para todo real x 
y Dan (log x) •= 
] x: X > o \ 
Rang(log x) = jR 
<3 
En la función logarítmica y - log x pueden distinguirse las siguien-
Aunque todo entero positivo distinto de uno puede ser usado como base 
para un logaritmo, dos basas son las más frecuentes. Si la base 10 es usada, 
entonces se habla de logaritmo común y 3 e denota por 
y - ioglQ x 
La segunda y más importante base para logaritmos es la base e ; se habla 
ahora de logaritmos naturales y se denotan por 
y - loge x •* In x. 
Ejemplo 
Resolver para x 
a) e2(x-5) = 3 0 y b ) 3 ln x + ln 5 = 4 
Solución 
to que < 
2(x-5) - ln 30 , 
2(k-5) 
a) Puesto que e =30 , entonces 
ln e 
2(x-5) ln e = ln 30 
2 (x-5) - ln 30 
2x - ln 30 + 10 
x = 1 (ln 30 + 10) = 6.7 
1 
b) cerno 3 ln x + ln 5 = 4 , entonces 
ln x3 + ln 5 = 4 
ln 5 x3 = 4 
, 3 4 
-11-
r 4 ] 1 / 3 
x - [1 e J ~ 2.2186. 
Ejercicios. 
1) Encontrar La ecuación de la línea recta que pasa por los puntos 
a) ( 1,2 ) , ( 3,6 ) b) (-2,3) , (4,-1) c) (o,a) , (a,o) , a ¿ o 
Respuestas 
a) y - 2x b) 2x + 3y - 5 c) x + y - a 
2) Determinar sí Las rectas determinadas por cada par de puntos son paralelas, 
perpendiculares ó ninguna condición anterior. 
a) (3, -1) , (2, 4) ; (2, 0) , (5, 7) b) (o,5),(2,-1) ; (o,o) ; (-1,3) 
c) (1, -2) , (2, 4) ; (4, 1) , (-8,2) d) (3,1),(3,7) ; (2,4) , (-1,4) 
Respuestas 
a) nada b) paralelas 
c) nada d) perpendiculares. 
3. Determinar el punto de intersección de las líneas rectas (si existe) 
a) x - y = 7 ; 2x + 3y = 1 b) 4x -6y - 7 ; 6x - 9y = 12 
c) 3x + y - 4 ; y - 5x - 2 d) x - 3y - 1 ; 2x - 6y = 2 
Respuestas 
a) / 22 , -13 \ b) no intersección 
3 J 
c) / 1 , 13 \ d) infinitas soluciones 
W 4 / 
4. Evaluar las siguientes funciones en los puntos dados: 
a) f(x) - 1 ; f(o) , f(l) , f(-2) , f(-5) 
1+x 
b) f(z) - 1 + z + z2 ; f(o) , f(2) , f(2) , f(l ) , f( -1 ) 
1 
Respuestas 
a) 1 ; 1 ; -1 ; - 1 b) 1 ; 7 ; 13 ; 3 
2 4 T 4 
5. Encontrar deminio y rango da las siguientes funciones: 
a) s « 4 t - 5 b) v - 1 
^ 
c) y = _1_ d) y - fie3 - 1 
x+1 
-12-
x , x o 
e) y - f) y -x| , -x , x < o 
Resixiestas 
a) dcminio = rango = R 
b) dominio R - i O1] , rango R + 
c) dcminio R - , rango IR - { o\ 
d) dominio | |l,oo ) , rango [o,oo) 
e) dominio R - \ô J , rango 
f) dominio R , rango R U M 
6. Graficar 
a) y (x - D 2 b) y = - 2x2 
c) y - 1 + 2x2 d) y -
e) 4 y = x f) y = 1x1 
8) y - e*"1 h) y - 10x 
i) y - In ( x-1) j) y - ln (x+2) 
k) y - e~x 1) y = 10 e"x 
m) ¿ Cuál es el dcminio y rango de las seis últimas funciones ? 
7. Para los siguientes pares de funciones, determinar f+g ; fg y sus respec-
tivos dominios. 
a) f(x) - 2x-5 ; g(x) = -4x b) f(x) - ( x+2 v ; g (x) - {x-2 v 
c) f(x) = 1+ x5 ; g(x) = 1 - \ x \ 
Respuestas 
a) (f+g) (x) - -2x + 5 ; dominio R 
(fg) (x) = -8x2 + 20x ; dominio R 
b) (f + g) (x) =Jx + 2 v + Jx - 2 ) dominio [-2, 2^ 
(fg) (x) » -/4 - x2 , dominio [-2, 
o) (f + g) (x) = 2 - lx| + x^ ; dominio IR 
(fg) (x) = 1 - 1 x l + x"* - 1 x 1 x5 , dominio (R 
8. Para los pares de funciones del problema 7, determinar f/g y sus respec-
tivos dominios. 
-13-
Respues tas 
a) (f/g) (x) = 2x - 5 , dominio R -
-4x 
b) (f/g) (x) -1< x+2 x , dominio [-2 , 2^ 
« x-2 
c) (f/g) (x) - 1+x5 , dominio R - j-1 , l̂J 
l-|x| 
9. Cambiar a forma exponencial 
a) log15 4 - 1 b) log1/2 8 - -3 
c) log12 1 - 0 d) log10 10 - 1 
Respuestas 
a) 16 1 / 2 - 4 b) ( 1 )"3 - 8 
1 _ n 1 
d ) 101 - 10 
c ) 12X - 0 
10. Cambiar a forma logarítmica 
a) 3 4 - 81 b) (1 ) 3 = 1 
7 I 
c ) 4"2 - 1 d) 2 1 / 2 - Y T 
I5~ 
Resrxies tas 
a) log3 8 1 - 4 b) log1/2 1 - 3 
IT 
b ) lo§4 " ~ 2 d) log2 { 7 - 1 
11. Resolver 
a) lo^ 6 4 - 3 b) logx 32 = -5 
b) 2 e x - 8 d) e x e x + 1 - 2 
e) 3 ln 2x - 1 f) 2 ln x + 3 - 0 
2 
g) ex + 2 x " 8 - 1 , x > o h) ln x - ln (x-1) - 2 
i) ln (x+3) = ln (2x -5) j) 1 lnx - 3 
4 
Respues tas 
a) 4 b) 1/2 c) ln 4 d) (ln2 - l)/ 2 
s , 1/3 P\ -3/2 V , , v 2 e) 1 e f) e g) 2 h) 
e -1 
-14-
I I LA FORMULA DEL BIiNCMIO 
Por multiplicación directa, pueden obtenerse las siguientes fórmulas: 
( u + v = u + v 
2 
( u + v ) = 
2 
u + 2uv + v
2 
(u + V ) 3 = 3 u + 
•j 2 , 2 , 3 3u v + 3 uv + v 
(u + V ) 4 - 4 u + 
,3 c 2 2 , , 3 , 4 4u v + 6 u v + 4 u v + v 
(u + V ) 5 - 5 u + 5U
4V + 10 u 3v 2 + 10 u2v3 + 5 uv¿ + v5 
Una inspección de estos desarrollos revela ciertas propiedades que pueden 
aplicarse al desarrollarse de (u .+ v)n , donde n es un entero positivo. 
ELstas propiedades son: 
1. El primer término del desarrollo es un. 
2. El segundo término del desarrollo es n u n * v. 
3. ELI exponente de u decrece una unidad término a término, el exponente 
de v aunen ta una unidad término a término, y la susa de los exponentes de 
u y v en cada término del desarrollo es a. 
4. Si se multiplica el coeficiente de cualquier término por el exponente de 
u en ese término y si se divide este producto por el número de orden del 
término, el cociente da el coeficiente del término siguiente. 
5. Hay n + 1 términos en el desarrollo de (u + v)n 
6. Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos del desa-
rrollo son iguales. 
Estas observaciones nos permiten escribir el desarrollo de (u + v)n , 
para n entero positivo como: 
f ' ,n n , n-1 • / n-2 2 , n(n-l) (n-2) n-3 3 (u + v ) « u + n u + n (n-1; u v + _________ u v 
2 2 . 3 
+ n (n-1) (n-2) (n-3) un-4 + + %n 
2.3.4 
E i espío 
' 8 
El desarrollo de (2x + y) corresponde a 
-15-
(2x +y)8 = (2x)8 + 8(2x)7 y + 8^7 (2x)6 y 2 + 8.7.6 (2x)5 y 3 
2 2.3 
+ 8.7.6.5 (2x)4 y 4 + 8.7.6 (2x)3 y 5 + 8 ^ (2x)2 y 6 
2.3.4 2.3 2 
+ 8C2X)1 y 7 + y 8 
256x8 + 1024x7y + 1792x5y2 + 1792x5y3 + 1120x4y4 
+ 448x3y5 + 112x2y6 + 16xy7 + y8. 
Notar que los coeficientes en la forma final de este desarrollo no corres-
ponden a los coeficientes del binomio, en realidad corresponden a los produc-
tos de los coeficientes del binomio por las potencias de los coeficientes de 
u y v. 
Ejemplo 
El desarrollo de ( ax - by ) 7 corresponde a 
(ax - by)7 = (ax)7 + 7(ax)6 (-by)1 + 7^6 (ax)5 (by)2 
2 
7.6.5 (ax)4 (by)3 + 7.6.5 (ax)3 (by)4 + 7^6 (ax)2 (-by)5 
2.3 2.3 2 
+ 7 (ax)1 (by)6 + (by)7 
- a 7 x7 - 7 a 6 b x 6 y + 21 a 5 b 2 x 5 y 2 - 35 a 4 b 3 x 4 y 3 
^ , , 3,4 3 4 2 .5 2 5 . , .6 6 .7 7 + 3 5 a b x y - 2 1 a b x y + 7 a b x y - b y . 
Ejercicios 
Desarrollar los siguientes binomios 
a) ( a + b ) 7 b) (2x2 + y 3) 5 
c) (-x + 2y2)4 d) ( a x"1 - b y"2 ) 5 
Respues tas 
a) a7 + 7 a 6 b + 21a5 b 2 + 35a4 b 3 + 35a3 b 4 + 21a2 b 5 + 7a b 6 + b7 
-16-
b) 32x10 + 30x8 y 3 + 80x6 y 6 +• 40x4y9 + 10x2 y 1 2 + y 1 5 
c) x4 - 8 x3 y 2 + 24 x2 y 4 - 32 xy6 + 16 y 8 
d) a5 x"5 - s.S x"4 y"2 + 10aV x"3 y"4 - 10a2 b 3 x"2 y"6 + 5ab4 x ' V ^ b V 1 0 
Los coeficientes en el desarrollo de (u + v) n pueden obtenerse a través 
del triángulo de Pascal 
1 
1 
1 6 
1 7 
etc. 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 
4 6 4 
5 10 10 
15 20 15 
21 25 25 21 
En el desarrollo del binomio (u + v) n, el término que contiene a vr 
tiene como coeficiente a la expresión 
n (n-1) (n-2) (n-3) (n-r + 1) (l) 
r i 
donde r ! = 1 . 2 . 3 . 4 ( r - 2 ) ( r - l ) r y o ! - 1 
por definición. 
Podemos airplificar por (n-r) ! la expresión (l) para obtener 
n ( n-1 ) ( n - 2 ) ... ( n-r + 1) . ( n-r ) 1 - n¡ 
r: ( n-r ) I r ! (n-r) 
expresión que es el coeficiente del término que contiene a un r vr en el 
desarrollo de (u + v)n , que corresponde al término de orden (r + 1). 
Entonces, el (r + 1) -ésimo término del desarrollo de ( u + v ) n es 
n '. n-r r u v 
rl (n-r) ! 
y en forma compacta, (u + v^ puede escribirse como 
( u + v ) n = H 
f = o 
n: n-r r u v 
r ! (n-r) ! 
-17-
Ejemplo r 
Encontrar el término que contiene a y en el desarrollo de 
e o 2 -L. ( 2x + y ) 
Solución En este caso r = 5 y corresponde al sexto término del desarro-
llo que es 
10 ! (2x2) 5 y 5 - 10! 2 5 x 1 0 y 5 
5! ( 10-5 ) ! 5! 5! 
- 10. 9 . 8 . 7 . 6 . 5! 2 5 x 1 0 y 5 - 8064 x 1 0 y 5 
5 ! 5 ! 
Ejercicios 
Encontrar el término especificando en cada caso. 
3 2 9 
1. El término que contiene y en (x + y) 
18 1/2 3 15 
2. El término que contiene y en (a x - b y ) 
3. El quinto término de ( 3x - ̂ ) ̂ 
2 8 
4. El término central de ( x + y ) 
* 2 9 
5. El séptimo término de ( x - ̂ ) 
f f 2 0 
6. El término decimoséptimo de de (x - 1 ) 
x 
* 2 12 
7. El término independiente de x en (x - 1 ) " 
x 
Respuestas 
9 
1. - 84 x 1 2 y 3 2. 5005 a 9 b 6 x2 y 1 8 
3. 945 x 3 y 4 4. 70 x4 y 8 
16 
5. 21 x3 y 1 2 6. 4845 ' 
16 x 
7. 495. 
Cuando n es cualquier real, entonces puede demostrarse que 
-18-
( a + x ) n - a n + n a n _ 1 x + n(n-l) an'2 x2 + n (n-l)(n-2) an"3 x3 
~Jl 31 
+ n (n-1) (n-2) (n-3) an~4 x 4 + 
4! 
2 2 
y esta suma tiene un valor finito cuando x < a . Puede usarse un 
número finito de sumandos en este desarrollo para aproximar el valor de 
( a + x ) n y , en general, mientras mayor sea el número de términos que 
se usan, mejor será la aproximación. 
-19-
III LIMITES Y CONTINUIDAD 
Definición 
Sea L un número real y supongamos que f(x) está definida en un 
intervalo abierto que contiene a x , pero no necesariam.8<it« en Xq. Deci-
mos que el límite de f(x) cuando x tiende a Xq es L , denotado por 
lim f (x) •= L f 
x — xQ 
si ii tender x a xq , por la izquierda o por la derecha,con x £ X q , 
c (x) tiende a L. 
E i espío 
Analizamos los siguientes casos. 
a) b) 
-20-
E1 límite existe en X q en las figuras a y b porque f (x) se aproxima 
al mismo valor cuando x se aproxima a X q por la izquierda o por la dere-
cha. El límite no existe en x^ en la figura c porque se obtienen distin-
tos valores al tender x a xQ por la izquierda o por la derecha. En la fi. 
gura d, el límite en Xq no existe pues f (x) llega a ser infinitamente 
grande cuando x tiende a XQ. 
Ejemplo Consideremos la función 
f (*) =* x (x + 1) 
Puesto que no podemos dividir por cero, esta función está definida para 
todo número real, excepto para x » o. Puesto que x. = 1, para x £ o, en-
tonces f (x) = x + 1 para x / o 
a continuación. 
El gráfico de esta función se muestra 
l Qué sucede cuando x tienda a xQ 1 
Ilustramos este hecho con la siguien-
te tabla. Notar que cuando x / o, en 
tonces f (x) = x + 1. 
f ( x ) no d e f i n i d a a n 
x = o 
X f(x) - (x + 1) X - X+1 
X 
X f(x) - (x + l)x - x + 1 
X 
1 2 -1 0 
0.5 1.5 -0.5 0.5 
0.1 1.1 -0.1 0.9 
0.05 1.05 -0.05 0.95 
0.01 1.01 -0.01 0.99 
0.001 1.001 -0.001 0.999 
Es claro que cuando x tiende a o , f(x) se aproxima al valor 1. En nota-
ción matemática 
lim x( x + 1) - 1 
X—V O X 
Es claro también en este ejemplo que el valor del límite no se obtiene eva-
luando la función en x = o. 
El cálculo de límites frecuentemente es tedioso. Afortunada-
mente, hay un número de teoremas que hacen los cálculos mucho más simples. 
-21-
Algunos de estos teoremas son: 
1) Sea p(x) =• a Q + a1 x + a 2 x 2 + + a n xn un polinomio. 
Entonces 
lim p(x) - p (x ) - a + a., x + a- x2 + + a o x" 
o l o ¿ o n o 
x-»x 
o 
2) Sea c un número real y supongamos que lim f(x) existe. Entonces 
lim c £(x) existe y además x-*"xo 
x —»• x„ o 
lim c f(x) = c lim f (x) 
x —• x x 
o o 
3) Si lim f (x).. existe y lim g (x) exi3te, entonces existe 
X—•x x-»x 
o o 
lim ( f (x) + g (x) ) y además 
x-»-x 
o 
lim ( f(x) + g (x) ) - lim f (x) + lim g (x) 
X-»-X X - + X x-»x 
o o o 
4) Si lim £ (x) y lim g (x) existen, entonces lim f (x) g (x) 
x-*x " ~ o 
existe y además 
x-*x X-»X X—»x 
o o o 
lim f (x) g (x) =• lim f (x) . lim g (x) 
X-»X X-VX X-VX 
O 0 0 
5) Si lim f(x) existe y <í , entonces lim ĵ f (x)j n 
X-V X 
existe y además lim^f (x)J=> £ lim f (x)J n 
X-VX X—«- X 
o o 
6) Si lim £ (x) existe y lim g (x) existe y es distinto de cero, 
o o 
entonces existe lim fCx) y además lim f(x) - f ^ 
x-»-x g(x) / N o 0 * lim g (x) 
-22-
Eiernplos 
Calcular lim [ x (x+l) + 4x3 + 3I 
X —*• 9 L x i 
Solución 
Por el ejemplo anterior tenemos que 
lim x (x+l) - 1 ; además por el teorema 1 se tiene 
x-»' a * 
lim ( 4 X 3 + 3 ) - 4 . O 3 + 3 - 3 ; luego 
t -r 0 
-5 2 
lim x(x+l) + 4x + 3 = lim x(x+l) + lim ( J,x + 3) 
x -> o x x -*• 0 x x-*:o 
- 1 + 3 - 4 
2 \4 
Ejemplo Calcular lim ( x + 1 ) 
x —• 2 
Solución 
lim (x2 + l)4 = [ lim (x2 + 1)] 4 = ( 2 2 + 1 ) 4 = 625 
x-v2 x ->-2 
3 2 
Ejemplo Calcular lim x - x - 3 
Solución 
x —*• 4 
x—*-4 2 . c x - 3x + 5 
lim ( x 3 - x2 - 3 ) = 6 4 - 1 6 - 3 - 45 
lim ( x 2 - 3 + 5 ) = 16-12 + 5 = 9 { 0 
x -v4 
luego , 2 
i™ x3 - x 2 - 3 = ( x - x - 3 } - 4 5 - 5 
x x2-3x + 5 lim ( x2 - 3x +5) 9 
x ->-4 
Definición 
El limite cuando x tiende a infinito de f (x) es L , denotado por, 
lim f(x) = L 
X —voo 
si f (x) está definida para grandes valores de x y si f (x) se aproxima 
a L cuando x crecj-sin cota superior. 
-?3-
Ejemplo Calcular lim 1 
x-*oo 
Solución 
Cuando x crece, x crece y 1 decrece, lo que hace que 
2 
x 
lim 
x-»-oo 
= 0 
Nota Cuando £ (x) es de la forma racional f (x) x) donde 
P (x) y r (x) son polinomios, una técnica de uso frecuente en el cál-
culo de límites de f (x) cuando x tienda a infinito es dividir el 
numerador y el donominador de f(x) por la máxima potencia de x que apa-
rezca en la expresión para f (x) ; luego aplicar límite cuando x-»-oo. 
Ejemplo Calcular lim 
x—»• oo 
3x3 + 5x2 - 9 
4x3 - 3x + 16 
Solución Simplificando la fracción por x , tenemos 
luego 
lim 
oo 
3x3 + 5x2 - 9 
4x3 - 3x + 16 
3x3 + 5x2 
- I 9_ 3 
4 - + * 2 3 x x 
4x - 3x + 16 
lim 
X-»-00 
3 + 5 - 9 
/ 3 • 16 
4 " 1 + " I 
x x 
3 
2T 
Ejercicios 
En los ejercicios siguientes calcular cada uno de los límites (si exi¿ 
ten) ; en caso contrario explicar por qué no existen. 
lim ( x + 17x + 45 ) 
x-»o 
2. lim __1 
x5 + 6x + 2 
-24-
3. lim ( 25 - x 2 ) 3 
x —»• 4 
4. lim J P - 1 
x - 1 
5. lim ^ x + l' - 1 
x o 
6. lim f(x) , si f(x) 
x —*• o 
x + 3 , x 7/ O 
x - 3 , x < 0 
7. lim f (x) , si f(x) 
x —vo 
0 , x < 0 
x 2 , 0 < x ^ 2 
4 , x > 2 
8. lim X x 2 - 3 
x-»--2 1 + x + x 2 + x3 
9. lim 1 
x-*o x - 4 
10. lim _1_ 
X O X 
11. lim 2x 
3x3 + 4 
12. lim x° - 2xJ + 3 
5xa + 3x + 1 
«isouestas 
1. 
3. J^ 
2 
2- _I_ 
2 
6. No existe. 
3. 729 
7. 0 
1 
2 
- JL_ 
5 
9. CO 10. No existe. 11. 0 12. CO 
-25-
Ejercicio. 
2 a) Grafique la curva y = 5 - x 
b) Dibuje (en su gráfico) la recta que une los puntos ( -3, -4) 
y (-4, -11). 
c) Dibuje (en su gráfico) la recta que une los puntos (-3, -4) y 
(-3, -7.25) 
•y 
d) Si Ax 4 0 ¿ qué representa el cociente 5 - (-3 - ¿x)~ + 4 ? 
- Ax 
e) Calcular lim 5 - ( -3 - Ax ) 2 + 4 
Ax-»o . 
- Ax 
2 
f) i Cuál es la pendiente de la rectatangente a la curva y = 5 - x 
en el punto (-3, -4) 7 
Veamos ahora el concepto de continuidad. El concepto de 
continuidad es una de las nociones de mayor relevancia en matemáticas. 
Intuitivamente, una función es continuar en un punto si está definida 
en este punto y si su gráfico no presenta una "rotura" en ese punto. 
Ejemplos 
-26-
Definición 
Sea f (x) definida para todo x en un intervalo abierto que 
contiene a x . Entonces f es continua en x si se cumplen las tres o o r 
condiciones siguientes: 
1. f (x ) existe 
2. lim £(x) existe 
X—*~ X 
o 
3. lim f (x) - f (x ) 
X—*- X 
o 
Nota : La condición (3) nos dice que si una función f es continua en x , 
entonces podemos calcular lim f(x) por simple evaluación. 
x-*-x 
o 
Definición Una función f es continua en el intervalo abierto ( a, b ) 
si f es continua en cada punto del intervalo ( a, b ). 
Ejemplo 
f (x) = •/ x es continua en el intervalo ( o,oo ) 
Ejemplo 
f (x) = a* ( a > o ) es continua en R 
E jaro lo 
f (x) = In x es continua en ( o,oo ) 
Ejesrplo 
F (x) = Ix l es continua en R 
Ejercicios 
En los problemas siguientes, encontrar los puntos (si existen) donde la 
función dada es discontinua. Indicar el mayor intervalo ó intervalos sobre 
los cuales es continua. 
1. c (x) = x2 - 3 2. f (x) 
6-x 
-27-
3. f (x) = x 
x+1 
4. f (x) - x 1 7 - 3x15 + 2 
5. £ (x) = x 1/4 6. f (x) -17x 
7 7 7 
7. e (x) 2x 3 x -
8. f (x) x - 1 x - 1 
3 
, x ¿ 1 
, X - 1 
9. Dada la función definida por 
(x) = x , x no entero 2 
j_ x , x entero 
l Para qué valores enteros de x la función f es continua ? 
-28-
IV LA FUNCION DERIVADA 
Consideramos ahora una función f , y una parte de su gráfica represen-
tada en la siguiente figura: 
l ínea secante 
pequeño (positivo ó negativo), entonces xQ + Ax está cerca de Xq . Al 
movernos de x a x:+Ax , el valor de f se moverá de f(x ) a f (x„ + Ax). 
O » 0 0 
La línea que une los puntos (xQ , f (Xq) ) y ( xQ+ Ax, f(xQ+ Ax) ) se 
llama línea secante. ¿ Cuál es su pendiente ? Si definimos Ay= f(xQ+Ax) 
- f(x ) y si usamos la notación m para denotar tal pendiente, tenemos o s 
que 
ms = cambio en y 
cambio en x 
f (x + Ax) - f (x ) . „ a o o = Ay = tg 15 
<• x0 + V - *o ^ 1 
l Qué tiene que ver esta pendiente con la pendiente de la línea tangente ? 
Incuicipamente, pedemos observar que cuando Ax se hace pequeño, La línea 
secance se acerca más y más a la línea tangente, de tal forma que 
m = tg =< = lim m = lim Ay = 
S Ax -»• o S kx - * - o Ax 
lim f(x +Ax) - f(x ) . 0 v Ax-»o 
Así entonces Dodemos definir: 
-29-
O e f l n l c l ó f » S I e l 1 ( n i t » s i g u i e n t e e x i s t e , l a d e r i v a d a de l a f u n c i ó n f an 
a l p u n t o i e s t á d a d a p o r 
d ; r i v a d 3 de f en x = f ' (x ) = 1 i.n f (x - i x ) - f ( x ) o o . o o ix ->o 
i x 
S i e s t e l í . n i t e e x i s t e , f se d i c e d i f e r e n c l a b l e an x . 
o 
í n l a d e f i n i c i ó n a n t e r i o r , e s t a m o s t r a b a j a n d o c o n un p u n t o f i j o , x ^ . 
S i n s . n b a r g o , l a d e f i n i c i ó n se p u e d e g e n e r a l i z a r p a r a un p u n t o c u a l q u i e r a x , 
o b t e n i e n d o una n u e v a f u n c i ó n , l l a n a d a f u n c i ó n d e r i v a d a . A s i e n t o n c e s l a f u n -
c i ó n d e r i v a d a da f es l a f u n c i ó n d e f i n i d a p o r 
f (x) lio f (x - ix) f (x) 
i X -*-0 ix ix 
E l d o « i n i o da f 1 es un c o n j u n t o de p u n t o s p a r a l o s c u a l e s e l l í m i t e a n t e -
r i o r e x i s t e . A d « « á s f ' ( x ) no e s t á d e f i n i d o s i f ( x ) no e s t á d e f i n i d o . 
IIQ U S 1) La d e f i n i c i ó n de d e r i v a d a en un p u n t o p u e d a u s a r s e p a r a d e f i n i r l a 
l í n e a t a n g e n t e de l a s i g u i e n t e f o r m a : 
S i f ' ( * g ) e x i s t e , e n t o n c e s l a l i n e a t a n g e n t e a l a c u r v a 
y = f ( x ) en e l p u n t o ( x , f ( x ) ) es l a ú n i c a r e c t a q u e p a s a p o r 
o o 
( x , f ( x ) ) de p e n d i e n t e f ' ( x ) . o o o 
2 ) l a d e r i v a d a f 1 ( x ) r e p r e s e n t a l a r a z ó n de c a m b i o I n s t a n t á n e a da o 
y c o n r e s p e c t o a x en e l p u n t o x = x . 
o 
í l s i g u i e n t e e j e m p l o i l u s t r a l a n o t a 1 . 
£ j j'01 o 
[ • i c o n t r a r l a e c u a c i ó n de l a r e c t a t a n g e n t e a l a g r á f i c a de y = ^[x^ e n 
el ( 9,3 )• 
S z ! j c i ó -i 
Si f(x) = {7 , e n t o n c e s f(x • ix) = \ x • ix; 
l u; 3 o 
I \ j n n l 
f ' ( i ) = l i .n \ x + i x - ^ x ; a m p l i f i c a n d o p o r ( x <• i x * \ x ) 
ix 
fcsníJios 3 u • 
-30-
f • (X) = lim ( ix - ix - (~T) (.{ X - i x en toncas 
i* (Cx TTT * /T1) 
f ( x ) = l i m i x 
ix O 
= l i a 1 = 1 
ix c f7r¡7 { r r ? x . r r 2 r r 
I tone as F'(9) 
La e c u a c i ó n de l a l í n e a t a n g e n t e p e d i d a as p o r t a n t o 
1 - 3 = l ( x - 9 ) 
6 
6 y - 13 = x - 9 x - * 9 = o 
E l s i g u i e n t e e j e m p l o i l u s t r a l a n o t a 2 
Ejemplo 
S i ? ( t ) r e p r e s e n t a l a p o b l a c i ó n de c i e r t a c i u d a d d e s p u é s de t 
años , ¿ Cuán r á p i d o c r e c a l a p o b l a c i ó n da l a c i u d a d d e s p u é s de 3 a ñ o s , 
s i f ( t ) = 150 . 0 0 0 * "i t Z ? 
S o l u c i ó n 
Se p r e g u n t a p o r l a r a z ó n i n s t a n t á n e a de c r e c i m i e n t o de l a p o b l a c i o n 
c u a n d o t = 3 a ñ o s . E s t a e s t á d a d a p o r 
P ' ( 3 ) = l i m ? (3 « A t ) - P ( 3 ) = l i m 150 . 000 • ¡t ( 3 » l t ) - 1 50 . 000 -
í t -*o i t 
i t - » o it 
l i m b ( 9 * 6 41 * i t 2 ) - 36 = l i m (6 i t * i t 2 ) 
it-»o it i t 
1 i m ¡t i t (6 * i t ) = l i m <t ( 6 - i t ) = 2't 
i t ->, o i t o i t 
¿ s í e n t o n c e s , i a p o b l a c i ó n e s t á c r e c i e n d o a r i z ó n de 2 4 i n d i v i d u o s 
par a ñ o , c u a n d o t = 3 3 ñ o s . 
-31-
Se p u e d e d e m o s t r a r s i n m u c h a d i f i c u l t a d a l s i g u i e n t e h e c h o de r e l e -
f u n c i o n e s d i f e r e n c i a l e s s o n c o n t i n u a s 
S i n • » b a r g o , f u n c i o n e s que s o n c o n t i n u a s no s o n n e c e s a r i a m e n t e d i f e -
r ; i ; i a l s s , co.no l o i l u s t r a e l s i g u i e n t e e j e m p l o : 
y = ¡ » | i de g r á f i c a 
Esta función es continua an x = O ; pero si calculamos 
lii f ( 0 + 4 x ) - f ( Q ) = lim I AxI 
7 o c u r r e q»e 
i x ix o Ax 
lí» 
il -» o < 
i x 
i x 
1 J lim 
¿x o 
i e g o f 1 ( 0 ) no e x i s t a p a r a y = 1 * 1 -
; ; r c i c i o s 
ín ¡ a s s i g u i e n t e s p r o b l e m a s , e n c o n t r a r l a e c u a c i ó n de l a l í n e a t a n g e n t e 
i la c u r v a ciada en e l p u n t o i n d i c a d o : 
í(i) = . 6 ; (3, -6) 
J . f ( . ) 2; (1, 2) 
2. y = x3 ; (2, 3) 
A. f(x) = 1 ; (1 , 3) 
7 3 
S i ? ( i ) d e n o t a l a p o b l a c i ó n de una c o l o n i a de b a c t e r i a s d e s p u é s es t 
<i 
h o r a s , i C u a n r á p i d o c r e c e l a p o b l a c i ó n da b a c t e r i a s , s i P ( t ) = 10 C - t 
c u a n d o t = 3 a ñ o s ? 
-32-
R e s o u e s t a s 
1 . y = -<i x • 6 
3. y = x • 1 
5 . 108 b a c t e r i a s p o r h o r a . 
2 - 1 
y 
12x - 16 
•9 x • 6 
E l p r o c e s a d9 c a l c u l a r d e r i v a d a s u s a n d o l a d e f i n i c i ó n I n v o l u c r a a y a c e s 
un a l g e b r a t e d i o s a a n t e s de a p l i c a r l í m i t e s . A f o r t u n a d a m e n t e , e x i s t e n f ó r -
m u l a s que p e r m i t e n e l c á l c u l o de d e r i v a d a s d i r e c t a m e n t e ; e l p r e c i o que d e b e 
p a g a r s e p a r a u t i l i z a r l a s d i r e c t a m e n t e , as q u e h a y que men o r 1 z a r 1 a s . A l g u n a s 
de e s t a s f ó r m u l a s s o n : 
1 . S i r es un r e a l c u a l q u i e r a , e n t o n c e s 
f ' ( x ) = ii d ( x f ) 
r - 1 
r x 
dx dx 
Ejemplo 2/3 
x , e n t o n c e s 
!l = L_ X 
dx 3 
-T3 
2 . S i c es una c o n s t a n t e y fes d l f e r e n c i a b 1 « , e n t o n c e s 
d ( c f ) c d f 
dx d x 
E j e m p l o d ( 3 x ) 
dx 
21 x 
3 . S i f y g s o n d i f e r e n c i a l e s , e n t o n c e s 
d ( f - g ) 
dx 
d f 
dx la dx 
Ejemplo 
a ( <¡ x3 - 20 x ' Z ) 
dx 
4 (xJ) 
dx 
20 d ( x 
dx 
- 2 , 
12 x2 * 1,0 x~3 = 12 x2 * 1,0 
-33-
ii . S i f y g s o n d t f a r nc 1 a 1 s s , s o t a n e a s 
( fg ) ( x ) = f ( x ) g ' ( x ) . f ' ( x ) g ( x ) 
Ejemplo 
d ( { ~ T ( x1* . 3 )) = d { T 
dx d x 
( x * * 3 ) * ( P . _ ± _ ( 
dx 
1 * 
2 
-12 , << , / 1 , , 3, 
(x * 3 ; * \ x ( W ) 
1 I 
2 
* 3 * " t x 3 - ( T * = 9X1* • 3 
2 ^ 
5 . S i f y g s o n d i f e r e n c i a l e s y g ( x ) , e n t o n c e s 
Ejemplo 
dx 
d f(x) = g(x) f (x) - f(x) 9' ( x ) 
dx g(x) ( 9 (x) )2 
3 , 
X * X + 1 - (x
2 - 5) (3xz * 1) - (x3 * 
X 2 - 5 ( X 2 - 5 ) 2 
11 
= X - 16x2 - Zx - 5 
x - 1 0 - x * 25 
6 . ( R e g l a de l a c a d e n a ) 
S i y = f ( u ) c o n u = f ( x ) , e n t o n c e s 
d y = d y d u 
d x d u d x 
Ejemplo 
d ( J x ¿ * x ' ) 
dx ^ 
d J u ' , c o n u 
d7~ 
. u e g o 
d x 
dx 
1 ( Zx «• 1 ) = 2 X * 1 
2 < u J-l , \ X * X 
-S V" ̂ n -,p A © 3 @ ^ 
AtWj^íCA LATfMA 
S i g es d i f e r » c i a 61e , e n t o n c e s p a r a t o d o r e a l r se t i e n e 
d 
d s { (
 1 i n d ( x - x ) 
dx 
1 ( X Z + X ) ( 2x * 1 ) = 2 x •»• 1 
, 1 
2 \ x • x 
S i u ; s una f u n c i ó n d i f a r e n c i a b l s de x , 
• a t o n c s s 
/ u . 
d ( a ) = u s du 
dx dx 
( En p a r t i c u l a r d 
dx 
í i a m p l o 
1 2 , 
d ( 9 ) = e . 2x = 2x e 
dx 
S i ¡i es una f u n c i ó n d i f a r e n c i a b l e de x , 
j n t o n c t s 
d ( l n u ) 1 du 
dx u dx 
( En particular d 
d x 
( l n x ) 
silo 
(Ir . 2; 2_x 
2 
Para e x p r e s i o n e s de l a f o r m a v , c o n u y y f u n c i o n e s d e x , es n s c ? s a 
r i o l a a ; L i c a c i ó n de l a f u n c i ó n l o g a r í t m i c a : 
-55-
u V 
l n y = 1" v 
u 3 u U v 
1 dy = du Inv * u dĵ 
^0 -y- di" oí v dx 
y SÍ despeja dy 
dx 
Ejemplo y - xX , luego 
l n ¡i = x l n x , l u e g o 
1 dy = l n x 1 , l u e g o 
y dx 
1 ) 
X ( 1 • l n x ) . 
d ¿ = y ( ln x + 
dx 
i jarcíelos 
C a l c u l a r l a s d e r i v a d a s d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s . 
51 1 
1 . y = 3x - 6 x • 2 2 . y = x 
3. y = ( 1 * (T) ( 1-X2) Y = 8 
5. y ln (1 * "tx) 
3x 
6 . y = ( 1* e X ) / ( l 
2 
t . 5 .3/* 8. y = (1 • x * x 
9. y = ( 1 * X) (1 -X ) 
R e s p u e s t a s 
1 . &x - 6 
- 72 
3 . I x 
Z 
5. i, / ( 1 • ) 
7 . 3 <1 * x * x V ^ ( 1 * 5X1* ) 
i. 
2 
x 
1 0 . y = x 
2 
-7 2. 5 x 
7 
<t . 3 e 
6. 2 e X / ( 1 - e ) 
-56-
« . \ C 1 - X - X 3 ) ( 1 . Z t ) - ( 1 * X * X 2 ) ( 1 * 3 x 2 ) ¡ j / ( 1 * x * x V 
I 
9 . - 1 0 x ( 1 * x / ( 1 - x 2 ) . <- ( 1 * x ) 3 ( 1 - x 2 ) 7 
7 
2 
1 0 . < " ( < » 2 x l n x ) 
O a r i v a d a s de O r d e n S u p e r i o r 
Sea y = f ( x ) u n a f u n c i ó n d i f e r e n c i ab 1 e . E n t o n c e s l a 
d e r i v a d a 
y ' = f ' = dj_ 
dx 
es t a m b i é n una f u n c i ó n de x . E s t a n u e v a f u n c i ó n de x , f 1 , p u e d e o no s e r 
una f u n c i ó n d i f e r e n c i ab 1 e de x . S í l o e s , l a d e r i v a d a de f es l l a m a d a l a 
s e g u n d a d e r i v a d a de f ( e s d e c i r , l a d e r i v a d a de l a d e r i v a d a ) y se d e n o t a 
p o r f ' 1 . O t r a s n o t a c i o n e s u s u a l e s p a r a l a s e g u n d a d e r i v a d a s o n : 
y " • _ ! _ ( É l ) ' ¿ 1 
dx ' dx ' 2 
dx 
En f o r m a s i m i l a r , s i f ' r es d i f e r a n c i ab 1 e , e n t o n c e s se p u e d e c a l c u -
l a r f 1 ' ' , c o n n o t a c i o n e s 
y " ' , ¿ 
d x 3 
y se p u e d e c o n t i n u a r i n d e f i n i d a m e n t a , t a n t o como l a s d e r i v a d a s s u c e s i v a s 
s e a n d i f e r e n c i a b l e s . 
Ejemplo . , 
Sea y = , e n t o n c e s 
x 
y 1 = - ; y " = J _ ; y ( 3 ) = - 6 y ( ! , ) = 21. ; es d e c i r 
2 5 ~ V ~ 
X X X X 
( -1 ) ( 
d x 
-57-
: tjrci ciis 
í n l o s p r o t ¡ l ) » a s 31 g u 1 j n t e s , d e t e r m i n a r y ' ' , y (3). 
2- 1 
h. y = (x > 1) 2/3 
r = £ 
7. 7 = 3 X - S X * C 
6. y = »r (r nal) 
8. y = C x* 1 )"5 
9. !Jnj p a r t í c u l a s ) « m » ; a l o l a r g o da una l í n e a da t a l f o r m a q u a su p o s i -
c i ó n en e l t i e a p o t e s t á d a d a p o r 
s r 2 t 5 - I > t 2 » 2 t > 3 
l a p o s i c i ó n i n i c i a l o c u r r e c u a n d o t = 0 
3} i C a á l es l a p o s i c i ó n i n i c i a l ? 
l ) £ C u á l ss su v e l o c i d a d i n i c i a l ? 
c ) l C u á l es su a c e l e r a c i ó n i n i c i a l ? 
d) i En qué t i e » p o l a p a r t í c u l a d e j a de d e s a c e l a r a r y e m p i e z a a a a c e l e r a r ? 
«eso a e s t a s 
C ; 0 
3/2 5/2 
• 1 i I x~ 
V 3 
2. 3 ; 0 
1/3 
<». 2 (x * 1)" ; - _ ! _ ( * • 1) 
9 27 
2 n V 3 / 2 r 1 2 W 2 T 3 M . 2,-5/2 2,-5/2 
X (1 - X ) - ( 1 - X ) ; - 3 X (1 - X ) - 3x (1 - X ) 
( r - 1) , r " Z ; r ( r - 1) ( r - 2 ) x " " 3 
: a ; 0 • 30 (x * 1)"7 ; -210 (x , 1)' 
s) 3 ; b) 2 c) ; d ) 2 
3 
-.3 8 -
diferenciación Implícita. 
En t o d o s l o s e j e m p l o s i l u s t r a d o s h a s t a a h o r a , l a v a r i a b l e y ha s i d o 
d a d a como una f u n c i ó n e x p l í c i t a de l a v a r i a b l e x . Como p o r e j e m p l o : 
/ 1 2 3 
y = 3 * * 6 ;' y : X x . 1 ; y = x ( x • 1 ) ; e t c . 
S i n e m b a r g o , f r e c u e n t e m e n t e l a s v a r i a b l e s x , y e s t á n d a d a s i mp l í c i• 
t a m e n t e p o r d e t e r m i n a d a s e c u a c i o n e s , p o r e j e m p l o : 
3 3 ^ / / 2 2 5 x - y = 6 x y : x y = 1 ; ( x * y ) / X x - y = l 6 y : e t c . 
Si se s u p o n e q u e y es una f u n c i ó n d i f e r e n c i a b 1 e de x , una t é c n i c a u s u a l 
en e l c á l c u l o de dy , c o n s i s t e en d e r i v a r ambos m i e m b r o s de l a e c u a c i ó n q u e 
r e l a c i o n a x e y ; * f i n a l m e n t e se d e s p e j a a l g e b r a i c a m e n t e p a r a dj_ . 
dx 
2 3 <i 
E | emp 1 o • Sea x • x = y * y 
E n t o n c e s , p o r r e g l a de l a c a d e n a , a l d e r i v a r ambos m i e m b r o s se t i e n e 
2 x i, 
_ d _ ( x + x ' ) = _ d _ ( y * y ) 
dx dx 
2 3 
2 x 3 x = + í L l 
dx dx 
y e n t o n c e s r e s o l v i e n d o p a r a se t i e n e 
dx 
d y = 2 x <• 3 x 2 
d* i 3 1 • <t y 
Ejercicios 
En l o s s i g u i e n t e s e j e r c i c i o s , c a l c u l a r d j . . e m p l e a n d o l a d i f e r e n c i a c i ó n 
, i i d x implícita. 
1. * y 3 = 3 2 . f T • f T = 2 
3. i * 1 " 1 <•• ( x * y ) 7 2 = ( x 2 . y ) T 3 
* y 
5 . ( x 2 . y 2 ) " 7 2 = <, 6 . ( 3 x y * 1 ) 5 s x 2 
7 . E n c o n t r a r l a e c u a c i ó n de l a l í n e a t a n g e n t e a l a c u r v a ( x • y ) / ( x - y ) =5 
en e l p u n t o ( 3 , 2 ) . 
-39-
Sispu i St 3 S 
1 2 / 2 1. - x / 7 
<>. [(2. / 3) ( x2 - y 
5 . - x / y 
7 . 7 = 2» / 3 . 
2. -<y x 2 / 2 3- - y / * 
-2/3, 
) 2 / 3 - C - y r T V z ] / ( W T 2 2 - C>2 • , V 7 ?] 
6 . 2 / [ i 5 ( 3x7 - 1 J 1 * ] - y [ x 
O e r i v í d a s de f u n c i o n e s T r i g o n a a é t r i e 3 s 
Es p o s i b l e d e m o s t r a r q u e 
l í o san x = 1 ; l i m e o s x - 1 
X X 
L u e g o , a p l i c a n d o l a d e f i n i c i ó n de d e r i v a d a , p o d e m o s « s c r i b i r 
d sen x = l i m s e n ( x * h ) - s e n x 
dx h —*• o . 
: l i m e o s h - 1 * e o s x l i m s e n ¡i 
h —* a . h ~*o 
n n 
i s e n x . 0 • e o s x . 1 = 1 
A s í e n t o n c e s 
a d e • á s , p u e s t o q u e 
Ú C 0 S X 
lúe:-: 
d 
dx 
(senx ) s COS X 
X = sen ( \i x ) , t e n e m o s 
2 
- d s e n (-cr x ) 
dx 2 
= ( -1 ) e o s - x ) = - e o s 
2 
- x ) = - s e n x 
d eos X - sen x 
dx 
A p l i c a n d o l a s r e g l a s h a s t a a h o r a c o n o c i d a s , es p o s i b l e p r o b a r q u e 
- ir O -
4, 
d t g x = s e c 2 x 
d cotg x = cosee2 r 
dx 
d secx = seoxtgx 
dx 
d c o s e c x = - c o s e c x c o t g x 
tí x 
l j;a;l:sa) _d_ cos5x = 3 cos2x d_ eos x ) 
dx d x 
= - 3 c o s 2 x s e n x 
b ) - J 7 7 T 7 = d ( s e n x ) T 2 -- 1 ( s e . x ) _ í 2 J _ s e n x 
7T v I T 2 d* 
-12 
- 1 ( s e n x ) e o s x = e o s x 
c ) : ( c o t g x ) - J L c ° s * 
2 \(senx 
2 2 s e n x - e o s x 
dx s e n x s e n 2 x 
2 
c o s e c x 
2 
s e n x 
£ j » r : i : i o s 
Calcular djr. paf3 
dx 
1 . . = t g 2 \HT 2. 1 = s a c ( l n x ) 
= l n ( s e c x * t g x ) << • 1 = s e n .( x - y ) 
) - -
8»s: n 3 í a s 
1. : : n r s e c 2 ' T p 2 . s e c ( l n x ) tg ( l n x ) 
x 
). ; e c x <t. eos (x * y) 1 - eos (x - y) 
V. MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES 
Oos de l a s más i m p o r t a n t e s a p l i c a c i o n e s da l a d e r i v a d a de u n a f u n -
c i ó n s o n : l a o b t e n c i ó n d e l g r á f i c o de l a f u n c i ó n y l o s v a l o r e s m á x i m o s y 
m í n i m o s de l a f u n c i ó n . E s t a s d o s a p l i c a c i o n e s e s t á n e s t r e c h a m e n t e r e l a c i o 
n a d a s como l o v a r e m o s a c o n t i n u a c i ó n . P a r a e s t o n e c e s i t a m o s de a l g u n a s d 
f í n i c i o n s s p r e v i a s . 
f u n c i ó n c r e c i e n t e : 
c l e n t e en (a , b ) . 
f ' ( x ) > 0 p a r a x £ ( a , b ) s i y s ó l o s i f e s e r e 
f u n c i ó n d e c r e c i e n t e : 
f ' ( x ) < 0 p a r a x £ ( a , b ) s i y s ó l o s i f es d e c r e -
c i e n t e en ( a , b ) . 
P u n t o c r í t i í t i co : 
S i f e s t á d e f i n i d a en un p u n t o x , e n t o n c e s x es un p u n t o 
o o L c r í t i c o de f s i 
f ( x ) o f ' ( x ) no e x i s t e , o 
E j e m p l o 
( - 7 , - 2 ) 
( 7 , - 3 ) 
(H,-2) 
La f u n c i ó n f g r a f i c a d a en l a f i g u r a a n t e r i o r es c r e c i e n t e en l o s 
i n t e r v a l o s ( - 7 , - 5 ) , ( - 1 , 3 ) y (7 , 1 1 ) . Es d e c r e c i e n t e en l o s i n t e r -
v a l o s ( - 5 . - 1 ) . (3 , 7 ) , ( 1 1 , I 1 " ) . L o s p u n t o s c r í t i c o s s o n - 5 , - 1 . 3 , 
7 y 11 p u e s f ' en e s t o s p u n t o s es c e r o . 
Ejemplo : Sea y 3 2 
x » 3x - 9x - 1 0 . G r a f i c a r l a c u r v a . 
• S o l u c i ó n : t í i í n o s 
dy =: U Z <• 5x - 9 = 3 ( x 2 « 2x - 3 ) = 3 ( x - 3 ) ( x - 1 ) 
dx 
! " l í ' 1 c : > — = 0 p a r a t = - 5 , x = 1 ( p u n t o s c r í t i c o s ) 
d < 
'or o;n tí»i>os (|ij! 
- 0 0 - 3 1 00 
X - 3 
X - 1 - - -
( x - 3 ) ( < - " ) - - -
Coao ( x « 3 ) ( » - 1 ) «s p o s i t i v o en ( - 0 0 , - 3 ) y ( 1 , 0 0 ) , l a f u n c i ó n es 
c r e c i e n t e s i e s t o s I n t e r v a l o s . £ 1 p r o d u c t o ( x • 3) ( x - 1 ) es n e g a t i v o en 
( - 3 , 1) , l u e g o es d e c r e c i e n t e e ti ( - 3 , 1)-
'Ade.ás f ( - 3 ) = 1 7 ; f ( 1 ) = - 1 5 
l a g r á f i c a l a c e cono 
0-f 
? : u : l ó n f t i e n e 
a) -.'••. \ z l c : j i en x s i f c a m b i a de c r e c i e n t e a d e c r e c i e n t e en x . o o 
b) t : - i ti u l : : ? l en x s i f c a m b i a de d e c r e c i e n t e a c r e c i e n t e en x . o o 
c ) 'j .i z í x i m o g I : j a 1 a n x s i f ( x ) y , f ( x ) p a r a t o d a x en e l d o m i n i o de f 
-í.3-
d ) Un m í n i m o g l o b a l en x^ s i f ( * 0 ) ^ f ( * ) P a r « * e n e l d o m i n i o de f . 
3 2 
E j e m p l o . En e l e j e m p l o a n t e r i o r , l a f u n c i ó n y =. x *Jx - 9 x - 1 Q = O t i e n e un 
m á x i m o l o c a l en x = -3 y un m í n i m o l o c a l en x = 1 . No t i e n e n i m á x i m a g l o -
b a l n i m í n i m o g l o b a l . 
Un h e c h o de I m p o r t a n c i a r e l a t i v o a l a t e o r í a de m á x i m o s y m í n i m o s es e l 
s i g u i e n t e : 
S i f t i e n e un m á x i m o o m í n i m o l o c a l en x , entonces x . es un p u n t o . 
o o \f 
c r í t i c o de f . 
S i n e m b a r g o , e l r e c í p r o c o de e s t a a f i r m a c i ó n no es s i e m p r e c i e r t a , c o n o 
l o i l u s t r a e l s i g u i e n t e e j e m p l o . 
3 2 
E j e m p l o Sea y = x ; e n t o n c e s y ' = 3x , l a c u a l es s i e m p r e p o s i t i v a 
e x c e p t o en e l p u n t o c r í t i c o x = 0 . S i x < O , e n t o n c e s f ( x ) <C. O y s i x > O 
e n t o n c e s f ( x ) > O p o r l o q u e l a g r á f i c a de f l u c e como 
•f 1 
y = x 
A s í , e s t e e j e m p l o m u e s t r a q u e en e l p u n t o c r í t i c o x i O , l a f u n c i ó n no p o -
s e e n i m á x i m a n i m í n i m o . 
E j e m p l o . P a r a y = | x j , s a b e m o s que f ( o ) no e s t á d e f i n i d a , l u e g o x = O 
es un p u n t o c r í t i c o de f . O b s e r v a n d o l a g r á f i c a de y = | x| , v e m o s que 
x = O es un m í n i m o ( g l o b a l ) de f . 
Una p r e g u n t a r e s u l t a en f o r m a n a t u r a l : 
l Cómo d e t e r m i n a r s i un p u n t o c r í t i c o de f e s un v a l o r e x t r e m o de f 
-<•5 
E j e m p l o Sea y = x^ 
y ' = 3 x 2 ; l u e g o y ' ( 0 ) = 0 , y " ( 0 ) = 0 
Y f no t i e n e n i m á x i m o n i m í n i m o en x = x 
o 
¿ 
E j e m p l o f ( x ) = x ; se t i e n e f ' ( 0 ) = 0 , f • • ( O ) = O y f t i e n e un 
m í n i m o da en x = 0 . 
E j e m p l o f ( x ) = - *^ ; s e t i e n e q u e f ' ( 0 ) = O , f " ( D ) = 0 y f t i e n e 
un m á x i m o en x = 0 . 
3 2 
E j e m p l o G r a f i c a r f ( x ) = 2x - 3x - 1 2 x * 5 
S o l u c i ó n 
a) C a l c u l a m o s f ' ( x ) = 6 x 2 - 6x - 12 = 6 ( x - 2 ) ( x - 1 ) l a s p u n t o s . c r í t i c o s de f s o n x = 2 , x a - 1 . 
Además 
-00 -1 2 +00 
X • 1 * * 
X - 2 _ -
(X-2)(X*1) - • 
Luego f es creciente en ( -00, -1 ) , ( 2,00 ) 
f as decreciente »n ( -1, 2 ). 
b ) C a l c u l a m o s f ' ' ( x ) = 6 ( 2 x - 1 ) , l u e g o 
f " ( x ) > 0 p a r a x > T2 
f" ( x ) < 0 p a r a x < 72 ; f " ( x ) = 0 ^ a r a x = 1 
2 
P o r l o t a n t o l a c u r v a es 
c ó n c a v a h a c i a a r r i b a p a r a x > T 2 
c ó n c a v a h a c i a a b a j o p a r a x < 72 
y t i e n e un p u n t o de i n f l e x i ó n en x = K 2 . 
c ) E v a l u a m o s f ' ' ( x ) en l o s p u n t o s c r í t i c o s 
f * ( - 1 ) = - 1 8 < 0 , l u e g o x = - 1 es un m S x i m o l o c a l p a r a f . 
f ' ' ( 2 ) = 18 y 0 , l u e g o x = 2 as un m í n i m o l o c a l p a r a f . 
P o r l o s p u n t a s a ) , b ) , c ) a n t e r i o r e s , l a g r á f i c a l u c e c o m o : 
V I . I N T E G R A C I O N 
D e f i n i c i ó n . Sea f d e f i n i d a en [ j í . b J . S u p o n g a m o s q u e e x i s t e u n a f u n c i ó n 
d i f e r e n c i a d l e f d e f i n i d a en [ a , b ] t a i q u e 
f ' ( x ) = f ( x ) , X é [ a , b ] 
e n t o n c e s f e s l l a m a d a u n a a n t i d e r i v a d a 5 i n t e g r a l i n d e f i n i d a d e f en e l 
i n t e r v a l o [ 3 , & J 1 a s c r i b irnos 
f ( x ) i x 
E j e m p l o E n c o n t r a r 
S o l u c i ó n 
3 x d x 
3 2 
P u e s t o q u e d ( x ) = 3x , t e n s a o s q u a 
í 
d x 
— 2 , 3 
3 x d x = x 
3 
P e r o l a d e r i v a d a de u n a c o n s t a n t e e s c e r o , l u e g o x • C es t a m b i é n una 
2 
i n t e g r a l i n d e f i n i d a de 3 x , p a r a c u a l q u i e r v a l o r de l a c o n s t a n t e C -
P o r t a n t o , p o d e m o s e s c r i b i r 
/ 3 x 2 d x = x 3 * C 
M o s t r a m o s a h o r a c o m o c i e r t a s i n t e g r a l e s p u e d e n s e r c a l c u l a d a s . 
/ r s r-1 
Carao d { x ) = r x 
dx 
e n t o n c e s d 
dx 
r í ^ 
L r • 1 
s i g n i f i c a q u e s i r ^ - 1 
x , l o q u e 
/ r * 1 r x d x = x + C r * 1 
E j e m p l o C a l c u l a d t 
-49-
A l g u n a s de l a s t é c n i c a s a n a l í t i c a s p a r a e n c o n t r a r a n t i d e r i v 3 d a s 
se d a n a c o n t i n u a c i ó n . 
1) S i f y g s o n i n t e g r a b l e s y s i k es una c o n s t a n t e , e n t o n c e s k f y 
f * g s o n i n t e g r a b l e s y se t i e n e q u e 
i ) j k f ( * ) d x r k j f ( x ) dx 
ü ) | ( f ( x ) • g ( x ) ) d x z J f ( x ) d x . j g ( x ) d x 
Ejemplo 
J [ J _ * 6 * 2 ] d x = J 3 ó x * j S x z ó x 
J x " 2 d X • 6 J 3 I X - d X • 6 j X 2d X = 3 X - 1 • 6 x ? • C 
5 2 x 3 * C 
2 ) I n t e g r a c i ó n p o r s u s t i t u c i ó n : en g e n e r a l , p a r a c a l c u l a r ^ f ( x ) dx 
p o r s u s t i t u c i ó n , c o n v i e n e , s i es p o s i b l e , r e a l i z a r l o s s i g u i e n t e s 
pasos: 
3 ) H a c e r una s u s t i t u c i ó n u = 9 ( x ) de t a l f o r m a q u e e l i n t e g r a n d o 
p u e d a e x p r e s a r s e en l a f o r o s u""du 
b ) C a l c u l a r du = g ' ( x ) i x 
c ) E s c r i b i r ff(.x) d x como j \¡r du 
d) I n t e g r a r 
e ) S u s t i t u i r g ( x ) p o r u p a r a o b t e n e r l a r e s p u e s t a en t é r m i n o s de * • 
E j e m p l o 
C a 1 c u l a r x . 1 * x" d x 
S o l u c i ó n 
S e 3 « = 1 * * Z , e n t o n c e s du = 2 x d x y a s í x d x = 1 d u . 
2 
P o r t a n t o 
J x 3 v J ~ í I ü 7 " 1 dx = [ V T 1 ^ = 1 T " 7 3 
J / 2 2 ) 
du 
1 U * / 3 • C = 3 ( 1 » x 2 * C 
2 -m a 
» ¡ 
-51-
/ 5 .x x e 2 *' d x = x e 2 / x e d x = x 
2 x e • c 
2 
( x - 1 ) * C , 
d o n d e l a i n t e g r a l j x e * ' d x ha s i d o c a l c u l a d a p o r s u s t i t u c i ó n . 
E j e r c i c i o s 
C a l c u l a r l a s s i g u i e n t e s i n t e g r a l e s i n d e f i n i d a s . 
9 * x dx 
7 . 
J-r?. 
ÍTT 
2 
21' 
? r d t 
3"* 
dx 
3x 
1 0 . J x e " dx 
R e s p u e s t a s 
1 . 2 ( 9 * x ) 3 / Z 
3 
3 . 3 ( 1 * x 2 ) * / J * C 
2) J ( 1 • 2 X ) 5 / 2 dx 3 ) | 
2 - t 
1 • x dx 
( P 2 I , > - P J ' d p 6 . [ 
' ' 5 • X 
I f e 2 x 
* ) 7 T V 
X 
, ( 2 A 
l . ! X e 
dx 
dx 12. 
í 
J 
dx 
1 n x d x 
5/2 
2 . 1 ( 1 * 2x ) 
5 
A. ( t 2 • 2 t V 2 * c 
5 . - 2 ( a ' - p J ) 5 / 2 
9 
7. 1 ln ( 1 • x ) * C 
2 
2 
X 
9 . - • + c 
i . l n j x + 5 
2 x. 
8 . l n ( 1 • « ) + c 
2 
1 0 . x 
3x ' 3x 
11. I . X 2 - 32x * 128 • c 
1 2 . x** ( •> l n x - 1 ) * C 
16 
í X d X 1 x 3 
1 X 
3 
2 - o = 2 
3 3 
X = 1 
N o t a c i ó n 
F ( x ) r (b) - r ( a ) . 
P o r t a n t o , en e l e j e m p l o a n t e r i o r t e n e m o s q u e 
1 
í 
2 w ' x d x = x 
3 
1 - 0 
3 
! Hay que s e r c u i d a d o s o s a l h a c e r s u s t i t u c i o n e s en l a s i n t e g r a l e s 
d e f i n i d a s ! A l h a c e r u n a s u s t i t u c i ó n en u n a i n t e g r a l d e f i n i d a , l o s l í m i t e s 
de i n t e g r a c i ó n d e b e n s e r c a m b i a d o s t a m b i é n . 
k 
E j e m p l o C a l c u l a r j x 1 + x d x 
i i 2 — 1 
S o l u c i ó n a ) t)na a n t i d e r i v a d a p a r a f ( x ) = x ,j 1 • x 
F ( x ) = 3 ( 1 • x X ) í ' / 3 . l u e g o 
J 
x d x 
3 ( 1 . 
- 1 
3 ( 1? V3 . 2 W 3 , 
- 1 
b ) S i en l a s u s t i t u c i ó n u = 1 • x , du = 2x d x , d e j a m o s 
l a i n t e g r a l d e f i n i d a en f u n c i ó n de l a v a r i a b l e u , t e n e m o s q u e 
h 17 
j - >f T~1 1 • x dx 
-.1 
V A u d u 
p u e s c u a n d o x = - 1 , e n t o n c e s u = 2 
c u a n d o x = 4 , e n t o n c e s u = 17 , p o r t a n t o 
b 17 
d x = 1 . 3 u 
2 7 
3 ( 1 7 W 3 - z ' 1 ' ) 
E j e r c i c i o s C a l c u l a r 
1) 
A V T ] 
dx R e s p . 63 1 
I 
-55-
En e l c a s o de no e x i g i r q u e f s e a no n e g a t i v a , e l á r e a a c o t a d a p o r l a 
g r á f i c a de f y e l e j e x e s t á d a d a p o r 
E j e m p l o C a l c u l a r e l á r e a a c o t a d a p o r l a s c u r v a s y - x , e l e j e 
y l a s l í n e a s x = - 1 , x = 1 . 
S o l u c i ó n 
P u e s t o q u e |f ( x ) | = | x 3 | e s t á 
d a d o p o r 
3 
3 
, x > , 0 
3 - x , x < 0 
se t i e n e q u e 
c 
í -.1 ( - x M d x 
E j e r c i c i o s 
1 ) C a l c u l a r e l á r e a l i m i t a d a p o r l a c u r v a 
y = v/T"1 , y e l e j e x , d e s d e x = o a x = 5 
R e s p . 10 f? 
3 
2 ) C a l c u l a r e l á r e a a c o t a d a p o r l a c u r v a 
3 2 
y = x - 6 x * 1 1 x - 6 y e l e j e x . 
R e sp . 2 _ 
2 
3 ) C a l c u l a r e l á r e a e n t r e l a c u r v a y = e~* , y e l e j e x p a r a x e n t r e 
0 y 1 0 0 . 
R e s p . . 
Se - p u e d e g e n e r a l i z a r l o s r e s u l t d o s a n t e r i o r e s p a r a c a l c u l a r e l 
á r e a e n t r e l a s c u r v a s y = f ( x ) e y = g ( x ) , e n t r e x = a y x = b 
( a < b ) , o b t e n i é n d o s e l a f ó r m u l a : 
-57-
f u e s t o que - x 2 * 5 * • 9 x 2 • 3x • 5 , V « 6 [ - 1 , j ] 
t e n e m o s q u e 
2 
A = [ ( - X 2 * 5* - 9 ) - ( x 2 * 3x - 5 ) ] dx = 9 , 
- 1 i 2 
d o n d e f ( x ) - - x ••• 5x •>• 9 ; g ( x ) = x • 3x • 5 -
[ i e r c i c1 o s En l o s p r o b l e m a s s i g u i e n t e s , c a l c u l a r e l á r e a a c o t a d a p o r 
l a s c u r v a s y l í n e a s d a d a s . 
2 
1 . y r x ; y = x R e s p . : 1 
F 
2 . y = 3 x 2 - 6x * 8 ; y = 2 x 2 • 9x 18 R e s p . : 3_j¡2 
6 
L 
3 . y = x ; y = x * x - 8 1 R e s p . : 388 'i 
5 
i . . y = x 2 ; y = x J ; x = 3 R e s p . : 137 
12 
I n t e g r a c i ó n N u m é r i c a 
C o n s i d e r e m o s e l p r o b l e m a de e v a l u a r l a s i n t e g r a l e s 
1 1 
(JTTT^ dx ó J 
2 
e d x . 
P u e s t o q u e a m b o s i n t e g r a n d o s s o n c o n t i n u o s en o , 1 J , s a b e m o s que 
arabas i n t e g r a l e s d e f i n i d a s e x i s t e n . E l l a s r e p r e s e n t a n l a s á r e a s b a j o l a s 
I J - 1 x 
c u r v a s y = N 1 • x e y = e , p a r a x e n t r e 0 y 1 . E l p r o b l e -
ma q u e se p r e s e n t a e s q u e n i n g ú n método e s t u d i a d o n o s p e r m i t e 
I x 
e n c o n t r a r u n a a n t i d e r i v a d a de s 1 * x ó e . D e h e c h o , e x i s t e un 
g r a n n ú m e r o de f u n c i o n e s c o n t i n u a s p a r a l a s c u a l e s e s i m p o s i b l e c a l c u l a r 
una a n t i d e r i v a d a y a s í e n t o n c e s no p o d e m o s e v a l u a r l a s p a r a c o n o c e r e l v a -
l o r de l a i n t e g r a l d e f i n i d a . P o r e s t a r a z ó n , m u c h o s m é t o d o s n u m é r i c o s han 
s i d o d e s a r r o l l a d o s p a r a a p r o x i m a r e l v a l o r de u n a i n t e g r a l d e f i n i d a ; é s t a s 
t é c n i c a s se c o n o c e n c o n e l n o m b r e de i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a . P r e s e n t a r e m o s 
s ó l o d o s de e s t a s t é c n i c a s : l a r e g l a d e l t r a p e c i o y l a r e g l a de S l m p s o n . 
-59-
£1 e r r o r en l a f ó r m u l a d e l t r a p e c i o se d e f i n e como l a d i f e r e n c i a 
e n t r e e i v a l o r e x a c t o de l a i n t e g r a l y su v a l o r a p r o x i m a d o da do p o r l a r e g l a 
d e l t r a p e c i o ; s e p u e d e d e m o s t r a r q u e e s t e e r r o r , d e n o t a d o p o r E^ , e s t é 
a c o t a d o p o r 
U ' l < H ( b - a ) 3 
12 n 2 
d o n d e H e s t a l q u e ¡ f " ( x ) ¡ ^ M , V x £ Q a , b J 
E i e a p i o E n c o n t r a r una c o t a p a r a e l e r r o r en e l c á l c u l o de f 1 dx 
u t i l i ; : n d o l a r e g l a d e l t r a p e c i o p a r a n = 1 0 . -j 
S o l u c i ó n 
1 , e n t o n c e s f ' 1 ( x ) S i f C x ) Z . Luego 
3 
f ( x ) e s t á a c o t a d a p o r 2 en ^ 1 , 2 J . E m p l e a n d o l a e s t i m a c i ó n d e l e r r o r , 
t e n e m o s q u e 
2 ( 2 - 1 ) 3 
12 6 n 
luego, para n = 10 , una cota del error es 
.2 
A 1 
6.100 
1 0 . 0 0 1 7 
600 
Reo l a de S i s i p s o n 
í' 
I f ( x ) d x h 
a 5 
f f * k í * 2 f . 
L o 1 2 ^ V " — * 2 f , - k i , • f 1 n - 2 n - 1 n j 
¿ o n d e .i es p a r . 
Una c o t a p a r a e l e r r o r en l a r e c i a de S i m p s o n es 
- 61 -
VII INTERPOIACICN 
Podemos resumir la idea de Interpolación en los siguientes términos 
En un intervalo [a, b J se hallan especificados ( n+1 ) valores dis 
tintos de un argumento : Xq, X̂ , . x n , además se conocen los valores corres 
pondientes de una función y = f ( x ), es decir, y^ = f (x^ , y^ = f (x̂ ),.., 
y = f (x ). Se requiere construir una función F (x) ( función de interpola-Jn n ^ 
dón ) que pertenezca a una clase conocida ( polinomios, funciones trigonomé-
tricas, e>poner¡ciales, racionales ) que temelos mismos valores que f (x) en 
los puntos de interpolación, esto es : F (x̂ ) = y^, F (x̂ ) = y^, F (xn) 
= V 
En este trabajo se pretende desarrollar rápidamente el concepto de 
interpolación polinómica, es decir, encontrar un pal 1 nonio P (x), tal que: 
i) gr [ P <x) ] < n 
ü) P (xi) - f (x±) , i = 0, 1, ... , n 
Gearétricamente, esto significa que la gráfica del polinomio P (x) 
debe coincidir con la gráfica de la función y = f (x) en los puntos 
Mi = (x., f (x.)), i = 0, 1, ... , n; caro lo ilustra la siguiente figura : 
Xq, X̂ , ..., xn existe exactamente un polinomio L (x) tal que 
i) gr [ L (x) ] <_n 
ii) L (x ) = f (x.); j = 0, 1, 2, .. ., n 
- 63 -
i) gr [ Q (x) ] <_ n 
ii) Q (x̂ ) = f (x..), j = O, 1, 2, 
Si consideraros H (x) = L (x) - Q (x) entonces también el grado de 
Q (x) es irenor o igual que n y además H (x̂ ) = L (x̂ ) - Q (x̂ ) = f(x̂ )-f (x̂ ) = 
0,j=0, 1, n, es decir el polinomio H (x) tiene (n+1) ceros y su grado no 
excede n, por lo tanto H (x) E 0 (x), donde 0 (x) es el polinomio cero. 
Luego L (x) Q (x) es decir L (x) es tínico, con lo que queda pro -
bado el teoraria. 
La fórmula 
se conoce cano la FORMA DE LAGRANGE del polinanio interpolante y los polino -
mios definidos por 
n 
n 
(x-x̂ ) 
i=0 (xk"xi) 
( i y k ) 
= \ ( x ) 
son los PQLPOUQS DE L&SRANGE para los puntos XQ, X^, X^. 
Consideraremos el caso particular en que n = 1, es decir, se conoce 
f (x) en dos puntos distintos Xq y x^. La forma de Lagrange es entonces la 
ecuación de la recta y = L (x) que pasa por dichos puntos. Luego : 
x-x̂ x-xo (x-xi) 
L { x ) = L f ( V * n — 
k=0 i=0 (xk~xi) ( ) 
- f • 
V x i 
+ f (x1) xrxo 
f (Xq ) (x—X^) + f (x1) (X—Xq ) f ( J + f (x1) -f (Xq) 
V * ! xrx0 
(X-XJJ) 
La fórmula ( 1.2) 
t 
- 65 -
Cbserve que los datos de la tabla corresponden a la función f (x) = 
- 2 2 
e X -x sen x y que f (2.5) = -3.7385 redondeado a cuatro cifras 
decimales, lo que•se puede considerar cczro una aproximación defi -
ciente. 
EJERCICIOS 
1.- Encontrar el polinomio de interpolación en su forma de Lagrange 
a partir de la siguiente tabla 
X -2 0 1 2 
y 4 10 10 16 
Respuesta : x^ - x + 10 
2.- A partir de la tabla de valores 
X i 3 4 6 
y -7 5 8 14 
Calcular y (0) 
Respuesta : - 18.4 
B. FOFMA. DE NEWICN 
DEFINICION Se llaman DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE ORDEN n a los cocientes 
f £ xi+l' •*•' xi+J~ f lx±>-" xi+nJ-f £ xi' xi+l'. *•*' xi+nl: X-, -Aifn x 
(n= 1, 2, ..., i = 0, 1, ... ) 
Conveniendo que f[ x^ ]= : f (x̂ ) entonces tenemos 
f(xi+l) " f (xi) 
en particular que f [ x., x . . ]» ( i = 0, 1, ... ) 
xi+l " Xi 
definen las DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE PRIMER ORDEN.' . 
La definición anterior nos permite generar todas las diferencias di 
- 67 -
Luego la tabla de diferencias divididas es : 
X . 1 f [ * ± 1 f [ , J f [ ] 
0 1 
-2.3094 
2 -3.6188 . 2.3488 1.5527 
3 -1.27 
LEMA Si P (x) es un polinomio de grado n, su diferencia dividida de orden 
(n+1) es idénticamente cero, esto es 
P [ x, xQ/ x1# xn ] = 0 
para cualquier conjunto de números distintos x, Xg, x^, — , x^ 
La utilización de este lena permite encontrar el polinomio interpo 
lante en su forma de Newton, el cual es : 
_ j j - J 
L (x) = l f | x^x., ...» x I n (x-x.) 
k = 0 1 1 3 1 K j = 0 3 
doíde' 
i) gr [ L(x) ] <_n 
ii) L(x̂ ) Ck=0, 1, n) 
EJEMPLO ' Si considéranos la tabla de diferencias divididas del ejnplo ante -
rior, tenemos 
2 k-1 -i 
L (2.5) = l f [ XQ, x1, ..., j^]' n (2.5-Xj) 
k=0 j=0 
= f(x¿) + f [ x Q /x 1 ] (2.5-Xq) + f [ XQ,x1,x2 ] 
{2.5-Xq) (2.5-x1) 
= 1 + (-2.3094) (2.5-0) + 1.5527 (2.5-0) (2.5-2) 
= -2.8326; lo que está de acuerdo con el resultado antes ob 
tenido. 
- 69 -
Haciendo uso de este lana, el polinomio Newton tema ahora la forma 
n  fn i-1 
p (x) = l — - n (x-x.) n i D i=o i : h j=o 
En término s, tenemos : 
X-Xj = (s-j) • h, luego 
n Alf0 i-1 
Pn (x) = Pn (Xq+ s.h) = l n (s-j) . h 
i=0 ilh1 j=0 
n 
P (xo) = n s I 
i=0 
TABIA DE DIFERENCIAS FINITAS O PROGRESIVAS 
X - 2 f - 2 
X-1 f-l 
* f - 2 
x 0 f 0 A f-2 
v 2 
V A f _ i 
\ 
f 
4 
A f 
^ ' \ 
v 
s 
Af0- ' -2 
v A3f ± 
A . 
" i 
V 4 , 
X - f, i f , 2 2 \ -1 
A , 
Af, A2f. \ 
X3 3 N 4 
3 
2 A £ 1 
Af. * f2 "3 
X 4 f 4 
- 71 -
, s ( s - 1 ) ( s - 2 ) . 3 
+ l - V ' • 
x - x 0 2 5 - - Ó -r ' 
h a c i e n d o x n = O y s = = 2 . 5 e n t o n c e s u h . "' ' 1 ' •^""'r • 
P ( 2 . 5 ) = 1 + 2 . 5 ( - 1 . 4 7 3 6 ) + . 2 , 5 * 1 , 5 ( - 1 . 6 7 1 5 ) + 2 > S ' 1 , 5 * 0 , 5 ( 7 . 1 6 5 6 ) 
• 2 ; ,. 6 
= 1 - 3 . 684 - 3 .13425 + 2 .23925 
= - 3 . 5 7 9 ' 
B. OIROS PQLBOHOS DE INTERPCEACICN 
Existe una gran variedad' de fórmulas de interpolación además 
de las que se han mencionado, todas las cuales difieren sólo en el or 
den en que aparecen los puntos de interpolación y en las trayectorias 
seguidas en las tablas de .diferencias, ün esquena práctico que sinte-
tiza esta situación es el D I A G R A M A D I M 4 S N T E cuya tabla mostramos ense-
guida: . 
D I A G R A M A . D I A M A N T E PARA. P C E J N C M I 0 6 D E I N E E R P C Z A 2 I C W 
s 
/ 5 
<-1 ' I 1 ' / U <932> A - 3 < t > 
/ 
1 Af , ( 0 ) ¿ £ , ( , ) A f o 
f ' (®) » * t 2 £ , ft1) A4f ^ (8+2) 
. U 1 - J —X J <3 —¿ 
1 * •*• Af0 •*• (2) •* * A f^* • ( -4'J* * A -2 " 
1 Af, C3"1) ^ A3f0 
f 2 (s-2) a \ < S " / N A . ^ 
+ ( 4 ) ¿ f _ 2 + 
_ + { s+ In/2]] , An 
f - U ( n f l ) / 2 I 
STTKUN3 ( ajusta desde x_ JJ ̂ ^ x [[n/2 J 
F „ W - £ 0 + ( l ' ; 2 
si n es par ): 
< f > ^ L . L . i i z L . + . . . 
n / 2 J j + J £ ( n - l ) / 2 J ) n 
V n 2 A f_ [[n/2 H si n es par 
2 
( S + I (n-l)/2 3) 1 ) / 2 H* A"£- t1""721 si n 
es irtpar 
B E S S E L ( a j u s t a d e s d e x _ Q y 2 J t ^ t a x j £ ( n + 1 / 2 U 
s i n e s i m p a r ) ; 
* 0 + f i 
(s,) + ( T J .3 
u 0 ' + i - A f n + ( 2 } 
p (x) = + _ O 
n 2 ^ 
,s. . ,s+l 
+ • ( 3 i f - 1 + 
I V C (n-2)/2l, ^zJjn=V2jL 
S + i f + K S 
+ ( 4) A - 1 h - 2 _¡_ _ 
n 
. +Anf - IT n/2]] si n es par 
( s + ffn-2 .1 , + J W 2 3 ) „ 
{ " - ± * f - [ [ n / 2 ] n 
si n es inpar 
- 75 -
La fórmula para el polincmio de Stirüng nos dice : 
Pn (x) = fQ + (J, 
Af-1 + A-0 + ( S2 1 ) + (2} ¿2 f 
-1 
cano Xq = 0.2, entonces 
Luego 
0.24 - 0.2 _ . s = = 0.2 
0.2 
P (0.2) = 1987 + 0.2 1987 + 1907 + j O ^ (_ 8 Q ) 
= 1987 + 389.4 - 1.6 = 2375 
EJERCICIOS 
1) Para la tabla 
X 0.0 0.2 0.4 0.6 
y 0 1987 1907 1752 
Encontrar y (0.3) con ayuda del polinomio de Bssel 
RESPUESTA 2955.18 
2) Para la tabla 
X 0 i 2 3 4 
y 5 8 17 44 101 
Encontrar el polinomio de interpolación de Newton-Gregory hacia adelan-
te. 
3 2 
RESPUESTA. y = 2 x - 3 x + 4 x + 5 
- 77 -
Ir) h.¿-p 
I t ü Á í ^ n x n r r j i ^ J x Q ~ ) n u s r u x s ¿ o 
K ) \ t " ) = W c Q - / b e ^ t " . ¿ O t ^ r j j y v u t f i ^ C O . . I j L L A v Z L O i C C L U A J ¿ A J ^ C U $ S L 
U ¿ ) Í X M ^ K o ) (Z^t - O * 
t ^ + C D 
t o ñ ; W f o " ) = W í o " ) i J . . . 
i í ^ v W(o") e ^ = + - c o 
t - ^ - C D • 
u r } N f t - ) = M t o " ) 
fT. © > 0 C O í o <i&*A£LAf~OL, c i n / i i l / v ^ 
fcl)d>0 yfcO/ , . 
<oU/ c y - o J ^ u e c i ¿ U t a , c U x x ü i f u r r - « . M * 
ge" q--o 
¿ ¿ J h t a u ) W C - b " ) = W C c O ¿ j ( u J z K ] ( - f c " ) = * N ( b ) C 
t u y * . - ( l o ^ - t ü ^ L ") . . ' : : . . 
4 J O 
N P ) 
A e e ^ J l a y u i o u 
• • < * I / - - • • 
W a d h ( j d u > & j l ^ A j ^ u ^ Í o d i c b & W j - u w t t L A > £ ¿ A s r o l < A ^ x e t c ^ 
. Q c b r a j Ufo, ü v J b i A A r c J L o dJL JiL- o m o < t i u J U ^ u ¿ ú r < o * , ' k ü A ^ r x í 
*/v\, j J L b u r v j j h ? h o ^ u n ^ u y r y ^ r o a v c£&£L 
a L ^ L A U X O ? t t W e ; 
- 79 -
• CO T A - O - + C O fltli^VbfO L r w U C t " ) o 
cLl leu o^ój^dx NO) v c^f 
hi(aí) 
¿ o : 
E l tA DERIVADA 
( Q t Ni C R E M E N T O A N Ü A i . Q g L A F 0 6 t A & 0 N B M £ 
N C * r ) d t M o t b u l a , ^ u ^ e x o ^ i . s ^ A & c u u o - C l t o t a l l * . u / w / T n o ^ ^ J ^ £ ^ 
A N ( t ^ N(£t) - N C M 
y ^ v ^ ^ / ^ o ^ v t í U í r > c r em e ^ i h > c ( a t a . t¡> fcj & L í m x > c ¿ ü * ¿ £ l 
• A N f r ) = N C f c t " ) - N C t b } 
A f c * k - t 0 
d a , d i n c ^ x m e n h ) m g x t ü o c u n u e d l a p j b l g c w ) d m K o L A < t ¿ w o J - o . 
Qonr Lo tosJu) ? : 
dt ¿k+o Afe-»o t 0 
d i / m ^ r t v ^ e - a / n ^ ^ a n u a l d z I a , f c t í c v c u > n « * - £ . 
c ü u a m x xL o / m , o ü ^ í m v w v a , : de.r\<&i d c u L a n o e d da mcre-me*-^ ^ . 
e g g M P t - O '• Q l a o L a - L a -
<J~ l A M J L t w ü l y X o CLavCCQJI Í A s ^ J o L l C U O n , 0 * - J L / Y K ¿ m ^ t o ¿ o = < . 
(lu^ M7 CO = <e = 
^ A M U / 4 . P E C g g C l M t E m t ) P S L A P P S l A & l O K l 
f i a C u t M M J L fwJbcUjOu ÓJL b \ j u ¿ y r r u J ) » j L b &¡LÍQJ ^ U Á O Í C U U O ^ 
b L 
CL. L M v ^ ^ v t í A V t x í ^ ) t o — t ¿ Oo .' 
- 81 -
PgjSUfto pe osnei supon por eoAPes . 
^ e / r v o t U / v v e t o ) L o . o U . j U ^ & ^ y u x ^ t x w , ¿ ¿ L c u L u > t o v . -
|vv£AvcUcla<) c^Le, -¡(o ̂ 7 d i j Á L a . der>&cUul de oLt'slrr(bâ ¿>n por ¿a -
d a d e _ 5 , j ^ r ' . 
C < X > * t J m . CfetZ*} 
' ' I - - -
"^OawICU^K' A t tcrAX>1JL t o r r e o - d e o O ' s ^ ' b u c l o K f f e T Ó j L o j i ^ o . 
anMij^^to • c^ut ¿A* a, uaux naxuxoMXni txyvJXsvüjxx, du. Ho. ddxuL f 
t a , . (Lcu c t u J / u . b u & i c y y ^ f ^ j r r - o j W - ^ U K d U ¿ x L c u L i ^ Q ^ -
C Í L V K . -
c L t ^ X i A i L t b • . 
f " ) T A S A " t N S T f t N T f r j N E A Q 6 F g t W P I P f t P 
focuta/ t C u cíe- c y u t j u b o t a ( L d o A j L v 
p . 
d r m ^ t 0 4 A n u / ü / u o exLa¿ho u ^ r 
Ó j l d S L i (yrJSÍL t ^ hJ£.9C,9C+-/>0 io lo- CÍ£ ¿ ¿ t 
opxtjvo di. í Á O J M ^ ; £>u- L ú r n L t l 
c ü ^ w i ^ a ; ~Vae>g. ahuaj msWi^ctn&i, d e fecundidad.. ¿Att 
B(.%)' (w (La/ dl^JuicxJi du. mix̂ /̂YvvuKií̂ oU. nvux/jjea-o da, exLouL ? f\J(?c) co íq. 
¿ L o A \ ^ o t o u i d L f j i i i A ^ O T v a o o L t >%,, 
U f 
l I t o j ^ ^ o CUA>(MJ~O . 
© & P A R C A D E P U N C I O N E S 
ÓJL L a ^ ' C ^ i i ^ ^ - y J í o dÜL ¿ a , d £ A J A r O u L c u C C ^ i j J t L QM, t c o ( h J j U A ^ ^ U V U ^ 
OÜL IxA 'wJLcifio £j¿t\jlrrrvo (jrrJx^ÚTvuy^, ^ ) CÍjl Uyruo -^ufA/luyv^ ? 
düyv^t ¿o CAi^t^wCt o ¿iLGÂ ê evJÍl' , 
U n ¿ U x v u U , L x - ^ n a ^ c A / d i ^ u v u u o ^ v £<5 t o ^ i M M ^ j o Q j y K ^ y j x , ) c ü z c o A ^ 
n ^ u k j X v X j ü L e u d U U Y V t f L a s (¡A ^ U ^ l d U O ^ J U ^ WrUX- ¡ ^ J U X r ^ d o ^ U A K . 
a l t ó opcuio d j L ^ ¿ d j L Í i d o ^ . h y ^ J M ^ u Á ^ ¿a. t a í ^ u í a ^ , 
l i a ¿ a - o ^ a ^ j í j x , c h a J L c ^ u ^ x x s ) A T V A A M M I A ~ 
- 83 -
U m o p - 1 L ^ < Í > - Q S 3 } ¿ O C . ^ c ú r ^ ) 
f = c í m ' - w C ) y o •) 
f CH>) - t C% - = O. 
a v j t t v w C M 1 & , ^ u ^ e u y í v ' 
. ' b \ í £ ? c | V > o CM. ¿ I 
- m / n í m ó 
P ^ C T : * ) - & C £> t v J x m ^ j l c x ) j a o A ú ^ - f c á - a ^ / p j u r J j b d x U^LL^uo^Í 
C l G " ) 
d x . Q o w A X ñ r l d > o a L , qm. i J ^ c J u o : 
¿ o 
~oo 4 - c o - f • 
l a v a , ' ) 
¥ 4 * 4 : < b t M h w i t i ¡ ¡ ¡ " t o e ) > o . c 
Q r r l o t a r r t o J c ^ v J / U O k ft, t ü A > ' ; i f l / . 
P j r t í ^ L - ' a c u e U . - f í i O • " • • . • . 
j j Ü A y C u y v v 
CWs - \ 0 
I r t 
cLcmdt: An, to teu tóLoa, /rvvoa-t^t¿cto-oü dx two cU W A A Í ^ U W X O 
fc £/> G/L t u j A ^ ^ V O 
0 . ^ I r ^ X L r á ^ v j ^ t T n ^ 
KA, Ú Ú X ) bJCol^üjitx> ^ X A * ^ h x s > t z u U b / t ^ l Í c l -
luL&dL* ^ v e r r t l L i X j L (X, Í J T C ^ X j d ü ü L S o C a ^ y ^ O foxnrvJxtíAv ¿JlUXACL j t O / v t f c , O^-U AICL^ 
-85 -
A 
ft ¿~o 
l r = o 
i •ir 
; f i a , . | ¿ > V r r v Q _ I X J X j J u d ^ dUL L o o Q j U U W O l * , ( U ^ W ^ J j , d j L í o \ A r o X o ^ i f r u L r r s ^ u J e c ^ o i t 
Q , ^ t " , 
t L 
Í D ] 1 N T E 6 ^ L E S 
a d t u l o ú ^ t u y - o J L te. Itxiao, A to*<Mp£c> d t i ^ t c -
O ^ r c J Í • R - A , 1 s r J t & O f v J L C ¿ L ^ ¿ y i M ¿ Ú , é j L U A U * , C Í M . U M , L ^ t t ^ v x d c 
A X d £ < K C t a , |ajo-T ^ ^ t d . a / u x c i ^ A J u ^ x , -
d c u J ' v ^ t a d a / w t v aj — p . c x ) , « i . ^ c£¿ t a ^ ¿ j tao p r t U n X u L c u ¡ 
J^-1%1 } o - . fémAt^uáia, ^ a i í j ^ r ^ ú y j Q ^ Í A ^ t ^ u c x a v i ^ p • c t e . a o v u u ^ j t o 
a i e/wv-jao ¿¿u • • 
T l g M P Q V i v i P O • • . -
' ' ' ^ 
SOcuux/ . < c o 
Ux) - < 0 0 - O Í 
( ^ u Ae. t a y ^ o n t t o m o t a i ' e y d e ' m o ^ y ^ a á c U D g M o l e r á } 
O j U £ / J t j v u ^ v b x , ¿ ¿ m - t V m É ^ o C¿£ CX, < U U U ^ U A r O y O & C L C U Í M ) C U . U S ^ A . 
L e o ) - l o o , ¿ a X c ^ x L a a . v : 
1-) ^ ^ t¿C/>v\|LO s v W i c L o ^ i o r ¡LtJjO, O ^ ^ T O j t J L o C ^ i o * > l o M5 ojrCoTS 
t C d m r J ^ o « r w C d o <SM>d& taó a Á í í ? ^ U c u d b á . o ^ u a 
d a . C u t a , e x L c u L ¿ j c o ^ Í a , l o . 
Í Í M . V7. -
cíe- " t ¿ Q ^ v p o * J ~ w ¿ c L o fio d ü Ü/VMD^-
/ u w r i c l c ^ í ^ t O ^ r ^ r c u t x o ^ 1 ( 0 " ) C¿ci> ( b c i t x d a ? ^ , 
m ( L c / k X Ó o L í i a c m - ¿JL d m v t ^ - j - j f o d l c . . c i - L ^ u r u , 
5 L 
10 
ris 
V h r t c f y = \ C * o o - % ) á ) c = 
<0 b 
<9 
<D 
a ) U fcC 
/ v v w d o ^ v c T r Í X L i ^ e A A j ^ a ^ c o v w d J ^ d J - CX¡L ( í d j x d L ' O K a o f a - M T } ^ AJ^ • 
- 87 -
<= -i- 6 9 + < ó w + - <2)2- 0 S 6 «= 2 . é > 6 a ^ b - j o t / ú ^ a . 
Q c r o t ^ ^ V Í A Í L 7 ¿ e , O f l i t C ü t i n r * t Í j o < L o d u i S e í r n j i m , <i¿U/ja '• 
A - Í T 
A O j o ^ 
Oj 
al /j\Ci/ra, d i ' i r r u & r r u ) ( X ^ t i i u r - ' , •. , 
4 t ^ = ^ d * . fe ± C ^ ^ U ) v i W") 
= 1 ( Q 2 . A 0 9 - ± 4 ' < & K \ O + < ó 2 > 0 i 4 * r ) * - L ( 8 6 9 4 4 + 4 - f c f c í W - 9 + fc} 
3 
— O Í » ^ - i jstA^CTf^ . 
Í K d j x r - o^ul a l n U h x L o d U . Q i C ^ ^ a w , / n o / j M A ^ o t l qzJUmÍo^ t i i Z a ^ ^ o < v \ / v C d o 
d j s r J Z r o d j L t o u c L o u { M h i v & t A A r o J U c - . 
'r 
*