Guía N11 ANÁLISIS 1 - 2021

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UNJu – Facultad de Ingeniería ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
 
 
 
 
Ecuaciones paramétricas y Coordenadas polares: Definición, 
representación gráfica. Cambio de coordenadas – derivada 
 
Cuestionario 
 
a) Indique las ecuaciones paramétricas correspondientes a una curva. 
b) ¿Cómo calcula el dominio y la imagen cuando la curva está dada por ecuaciones paramétricas? 
c) ¿Qué método conoce para obtener la ecuación cartesiana de una curva dada por sus ecuaciones 
paramétricas? 
d) Indique la fórmula para calcular la derivada de una función dada mediante ecuaciones paramétricas? 
e) ¿Cuáles son los elementos que conforman un sistema de coordenadas polares?. 
f) ¿Cómo hace para representar el punto P(,  ) en un sistema de coordenadas polares?. 
g) ¿Qué ecuaciones utiliza para transformar una ecuación cartesiana en una ecuación polar?. ¿ Yuna 
ecuación polar en una ecuación cartesiana? 
h) ¿Qué ecuaciones utiliza para obtener las coordenadas polares de un punto dado en coordenadas 
cartesianas?. ¿ Las coordenadas cartesianas de un punto dado en coordenadas polares?. 
i) ¿Cómo obtiene los puntos de intersección de dos curvas definidas por medio de una ecuación polar? 
i) Indique la fórmula para calcular la derivada de una función dada en coordenadas polares 
 
Ejercicios Resueltos 
1.- Dadas las curvas definidas por las siguientes ecuaciones paramétricas, determinar su dominio y la 
ecuación cartesiana correspondiente 
a) 






52ty
2tx
 i) t R ii) t  [ 0, 4 ]. Representar gráficamente 
 
b) 
x 3senθ
y 2 cosθ



 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en θ = 
4
π
 
 
Solución 
Para encontrar el dominio debemos determinar el conjunto de números que puede tomar la variable x, 
para ello partimos de la condición impuesta al parámetro t y a partir de allí reconstruimos la ecuación 
paramétrica correspondiente x = x ( t ) 
 
 
En el caso a) i) 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 11 
 
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 Si t R (luego sumamos 2 ) t + 2  R, pero x = t + 2  x R y Dom = R 
 
En el caso ii) 0 4t  , sumamos 2 en ambos miembros 
 0 + 2 t 2 4 2     2 t 2 6   Entonces Dominio = [ 2, 6 ] 
Para encontrar la ecuación cartesiana correspondiente debemos despejar el parámetro t de una de las 
ecuaciones paramétricas y reemplazarlo en la otra ecuación . En este ejemplo despejamos t de la 
ecuación x = x ( t ) , es decir t = x – 2 
Reemplazando en la segunda ecuación queda y = ( x – 2 )2 + 5 que es la ecuación cartesiana 
buscada. 
Para representar gráficamente una curva definida por sus ecuaciones paramétricas debemos 
confeccionar una tabla de valores, dando valores a t y obteniendo los correspondientes valores de x e 
y. 
 
 
Tabla Luego representamos los puntos P(x, y) en un par de ejes cartesianos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) para encontrar el dominio (Conjunto al que pertenece x) partimos de que: 1 sen 1 , R     
Luego multiplicamos ambos miembros por 3, tenemos −3  3 senθ  3 y teniendo en cuenta que: 
x 3 sen  −3  x  3 y  Dominio = [ −3, 3 ] 
La ecuación cartesiana correspondiente se encuentra efectuando los siguientes pasos: 
En ambas ecuaciones se despeja la función trigonométrica 
 
2x xsen elevando al cuadrado ambos miembros sen
3 3
 
    
 
 
 
2y ycos elevando al cuadrado ambos miembros cos
2 2
 
    
 
 
 Sumamos miembro a miembro 
22 yx 2 2
sen θ cos θ
9 4
   
t x Y 
−3 −1 14 
− 2 0 9 
− 1 1 6 
0 2 5 
1 3 6 
2 4 9 
 
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
 
22 yx
1
9 4
  (Tener en cuenta que 
2 2
sen θ cos θ = 1). 
Esta es la ecuación cartesiana correspondiente 
 
Para encontrar la ecuación de la recta tangente usamos, como siempre, la ecuación general 
y – yo = f '(xo )( x – xo ). Es decir debemos encontrar primero las coordenadas del punto P (xo , yo), para 
ello reemplazamos el valor del parámetro 
4
π
θ  en cada una de las ecuaciones paramétricas 
xo = 3 sen
4
π
 = 2
2
3
 
yo = 2cos 
4
π
 = 2 
Para determinar la pendiente debemos hallar primero 
dx
dy
 y luego reemplazar el valor de θ por 
π
4
 
dx
dy
= 
dθ
dx
dθ
dy
= 
3cosθ
2senθ
 , luego como 
4
π
θ  , entonces m =
2sen (π/4)
3cos (π/4)

 = −
3
2
 
Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y − 2 = −
3
2
( x− 2
2
3
) 
 
2.- Dada la siguiente curva en coordenadas polares: 2cosθρ  
a) Representar gráficamente 
b) Encontrar la ecuación cartesiana correspondiente 
c) Encontrar 
dx
dy
 
θ 2cosθρ  
0 2 
π /6 3 
π /4 2 
π /3 1 
π /2 0 
2 π /3 −1 
π −2 
5  / 4 − 2 
3 / 2 0 
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Solución 
 
En esta ecuación  puede toma cualquier valor real, pero como cos  es una 
función periódica de período 2 , bastará darle a  valores entre 0 y 2 . Construimos una tabla de 
valores dándole valores a θ y obteniendo los valores de ρ 
 
 
coordenadas polares (, ), se tiene b) Si un punto P tiene coordenadas cartesianas ( x , y ) y 
que: 
x = ρ cosθ ; y = ρ senθ 
2
ρ = x 2 + y2 ; tgθ = 
x
y
 
= 
2 2
y
x y 
 cos = 
2 2
x
x y 
 ; sen 
Por lo tanto la ecuación cartesiana correspondiente se obtiene reemplazando el valor de ρ y el de 
cosθ en la ecuación dada:ρ = 2 
ρ
x

2
ρ = 2x  x 2 + y 2 = 2x 
c) Para encontrar 
dx
dy
 , consideramos a θ como parámetro y escribimos sus ecuaciones paramétricas 
correspondientes, es decir 
2x cos x 2 cos cos x 2 cos
y sen y 2 cos sen y sen(2 )
         
   
         
 
Luego usamos la regla de derivación para ecuaciones paramétricas: 
dx
dy
 = 
dθ
dx
dθ
dy
 = 
senθ4cosθ
2cos2θ

 = −
sen2θ
cos2θ
 = − cotg2θ 
 
Ejercicios del TP Nº 11 para resolver en clase 
7 / 4 2 
2  0 
 
 
 
 
 
 
 
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Ecuaciones Paramétricas 
1.-) Considerando las siguientes curvas dadas por sus ecuaciones paramétricas 
 I) 
x 2t 1
y ln t
 


 II) 
2x t 2t
y t 1
  

 
 
Se pide: 
a) Indicar la variación del parámetro 
b) Dar el dominio de la curva 
c) Representar gráficamente. 
d) Determinar la ecuación cartesiana correspondiente. 
 
2.-) La curva 
x sen(2t)
y 3cos t



, es una de las llamadas “figuras de LISSAJOUS”. 
Se pide: a) Graficar la curva, completando previamente la tabla siguiente para t  [ /2 , 2 ] 
t x y 
 
 
 
 
 b) Indicar Dominio e Imagen de la curva 
 c) Sobre el gráfico, llamar A al punto de la curva correspondiente a t=0, y B al punto 
correspondiente a t = . 
 
 
3.-) Encontrar la ecuación cartesiana correspondiente a las siguientes ecuaciones paramétricas 
a) 
3
x 3t 1
y t t
  

 
 b) 
x 1 4sen
y 2 5cos
   

  
 c)
 
p
p
x 2
y 2 
 


 
 
4.-) Parametrización de la Elipse 
Una elipse puede trazarse recurriendo al siguiente método 
constructivo: Se toma como centro elorigen de coordenadas 
y se trazan dos circunferencias de radios a y b ( a > b ) ; cada 
semirrecta que parte del origen O intersecta a las 
circunferencias en los puntos P1 y P2 respectivamente. Si se 
traza por P2 una paralela al eje de absisas y por P1 una paralela 
al eje Y, la intersección de estas rectas determina un punto P 
que pertenece a la elipse. 
a) Teniendo en cuenta el método constructivo descripto, 
obtener las ecuaciones paramétricas de la elipse, si toma como 
parámetro el angulo  que forma la semirrecta que parte del 
origen con el eje de absisas 
b) Obtener luego la ecuación cartesiana de la elipse. 
 
5.-) Derivadas en Ecuaciones Paramétricas 
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Hallar si: 
a) 
2
5 2
x 3t 5
y t 4 t
  

 
 b) 
x ln t
y t



 
 
6.-) Encontrar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva 
x sec t
y tg t



correspondiente al 
punto que se obtienen cuando t
4

 
 
7.-) La trayectoria de cualquier cuerpo lanzado hacia arriba, con ángulo  respecto de la horizontal, 
está dada por las ecuaciones paramétricas: 
 
 
 
0 0
2
0 0
x x v cos t
y y v sen t 4,9t
   

   
 
Donde v0 (en m/s) es la velocidad inicial,  es el ángulo de elevación, t es el tiempo en segundos y 
 0 0x , y es la posición inicial del cuerpo (para t = 0). 
 
Considere que durante una explosión con dinamita una roca es lanzada verticalmente hacia arriba con 
velocidad inicial de 180 Km/h. 
 
a) Indicar los valores de v0 (en metros sobre segundos) y de  (en radianes). 
b) Sabiendo que la posición inicial es (0,0). ¿Cuál es la altura cuando han transcurrido 2 segundos? 
c) ¿Cuánto tiempo tarda en volver al suelo la roca? 
d) Hallar la mayor altura alcanzada por la piedra. 
e) ¿Cuál hubiese sido el desplazamiento horizontal máximo (alcance) de la roca si el ángulo de 
elevación hubiese sido de 60°? ¿Y la altura máxima? 
 
8.-) Coordenadas Polares 
a) Representar los puntos A, B y C en un sistema de 
coordenadas polares: 
 
7
A 1, , B 2, , C 3,
6 4 2
       
      
     
 
 
b) En el siguiente diagrama las circunferencias son 
concéntricas de radios 1, 2 y 3 respectivamente y los 
ángulos marcados son los correspondientes a los 
ángulos especiales (30°, 45° y 60°) y sus simétricos. 
Indicar las coordenadas polares de los puntos D, E, F y 
G, con: 
Valores positivos del módulo y ángulo para E y F 
Valores negativos del ángulo para D y G. 
(Los ángulos deben expresarse en radianes) 
 
9.-) Representar gráficamente las siguientes curvas dadas en coordenadas polares. 
2
2
dx dy dy d y
, , y
dt dt dx dx
D 
G 
E 
F 
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a)  = 2 /3 b)  = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 2   d) 𝜌 = 1 + cos 𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e)  2sen 2   f) 3 sen   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.-) Realizar los pasajes de las ecuaciones cartesianas a polares o viceversa, y luego completar: 
 
a) Dada la ecuación x 2y 16  , su ecuación en coordenadas polares es:………………….. 
b) La curva en coordenadas polares 
6
cos
 

es equivalente a la curva en coordenadas 
cartesianas:…………………………… 
 
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11.-) Intersección de curvas en Coordenadas Polares 
 
a) Hallar la intersección de las curvas dadas por las siguientes ecuaciones polares: 
 𝜌 = 1 + cos 𝜃 ∧ 𝜌 = 3/2 
(Emplear el gráfico realizado en el ejercicio 9 d) para superponer las curvas y visualizar los puntos 
de intersección) 
 
 
b) En el siguiente gráfico están representadas las curvas 
1 23cos 3 sen       . 
i) Identificar las curvas 
ii) Dar las coordenadas polares de los puntos de 
intersección. 
 
 
 
12.-) Derivadas en Coordenadas Polares 
Hallar      
d y
' , x ' , y ' y '
d x
      , en los siguientes casos: 
a)   cot g    b)  
6
d y
2sen hallar también
d x 

    
 
13.-) Dada la curva en coordenadas polares   4cos    , encontrar el punto del primer cuadrante 
donde la recta tangente es horizontal. 
 
 
 
 
EJERCICIOS ADICIONALES DEL TP N° 11 
 
1.-) Sea 
 A ) 
t
x sent
y e



 B) 
 
2
x t 1
y t
  


 
a) Indicar la variación del parámetro b) Dar el dominio 
c) Representar gráficamente. 
d) encuentre la ecuación cartesiana equivalente 
 
2.-) El punto equivalente en polares A (-2, /3) es : 
 
B = (-2 ,-8 /3 ) ; C= ( 2 , 4/3) ; D= (2 ,-4/3) ; E= (-2 , 8/6 )