TP 18 TEORIA 2021

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24/8/2021
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Análisis Matemático I 
• Ing. Roberto Lamas
• Prof. Adjunto Análisis Matemático I
Trabajo Practico N° 18
Aplicaciones de la integral definida:
Longitud de arco, volumen de sólidos de revolución 
y área de una superficie de revolución.
Integrales Impropias
𝑎 = 𝑥 < 𝑥 < 𝑥 < . . . . . . . < 𝑥 < 𝑥 = 𝑏
Longitud de arco
𝐿 = 𝑃 𝑃 + 𝑃 𝑃 + 𝑃 𝑃 + 𝑃 𝑃 +. . 𝑃 𝑃 = 𝑃 𝑃 
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L𝑜𝑛𝑔 𝑃 𝑃 = 𝑓 − 𝑓 + 𝑥 − 𝑥
Por el Teorema del Valor Medio de Lagrange aplicado en [ 𝑥 , 𝑥 ]
∃ 𝑓 𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
∃ 𝛾 ∈ [ 𝑥 , 𝑥 /𝑓 𝛾 =
𝑓 − 𝑓
𝑥 − 𝑥
𝑓 − 𝑓 = 𝑓 𝛾 𝑥 − 𝑥
𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑃 𝑃 = 𝑓 𝛾 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 =
= 𝑓 𝛾 + 1 𝑥 − 𝑥 =
𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑃 𝑃 . . 𝑃 = 𝑓 𝛾 + 1 𝑥 − 𝑥
Donde ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥
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Como aproximo mas ?
∆𝑥 → 0 ⇔ 𝜇 𝑃 → 0
lim
 →
𝑓 𝛾 + 1 ∆𝑥 = 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝐴𝐵) 
Si el limite existe sin depender ni de P , ni de T, entonces:
𝐿 = 1 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Ejemplo: Hallar la longitud de la gráfica de y = 4 x(3/2) desde el 
origen hasta el punto ( 1,4) 
𝑦 = 6 𝑥 / ⇒ 𝐿 = 1 + 𝑥 / 𝑑𝑥 =
= 1 + 36𝑥 𝑑𝑥 = 
1
54
1 + 36𝑥 /
1
0
= 
=
1
54
37 / − 1 ≅ 4.1493
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Area de una superficie de revolución
Es la superficie que se genera al hacer girar un arco de curva alrededor de 
una recta.
Ecuación de la curva y = f(x) entre A y B.
Condición f(x) ≥ 0 en [ a , b].
Partimos de conocer la superficie de 
un cono truncado.
𝑆𝐶𝑇 = 𝜋 𝑟 + 𝑅 𝑔
r : radio menor, R : radio mayor, g : 
generatriz.
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Particionamos [ a ,b ]
Marcamos los puntos 𝑃 𝑥 , 𝑓(𝑥 )
El arco 𝐴𝐵 queda dividido en n subarcos
𝑃 𝑃
A(SR) Area de superficie de revolución.
A(SRi)Area de superficie de revolución 
individual.
𝐴 𝑆𝑅 = ∑ 𝐴(𝑆𝑅 )
Aproximamos cada A(SRi) mediante el A(CTi) ( Area de cono 
truncado i)
A SRi ≅ A CTi = π 𝑓(𝑥 + 𝑓(𝑥 )) 𝑥 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑦
f es derivable en [ a, b] , entonces lo es en cada subintervalo, puedo 
aplicar el Teorema del Valor Medio de Lagrange en cada subintervalo.
∴ ∃ 𝑡 ∈ 𝑥 , 𝑥 / 𝑓′ 𝑡 =
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑥 − 𝑥
⇔ 𝑓 𝑡 𝑥 − 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 ⇒
A SRi ≅ π 𝑓(𝑥 + f(𝑥 )) 1 + 𝑓′(𝑡 ) ∆𝑥
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∴ 𝐴 𝑆𝑅 ≅ π 𝑓(𝑥 + f(𝑥 )) 1 + 𝑓′(𝑡 ) ∆𝑥 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛
Esta aproximación se mejora tomando ∆𝑥 → 0 ⇔ 𝜇 𝑃 → 0
Si este límite existe sin depender ni de P ni de T.
𝐴 𝑆𝑅 = ∫ π 𝑓(𝑥 + f(x)) 1 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ⇒
𝐴 𝑆𝑅 = 2𝜋 ∫ f x 1 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝐴 𝑆𝑅 = 2𝜋 ∫ y 1 + 𝑦 𝑑𝑥
Ejemplo:
Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer girar 
alrededor del eje x el arco de la parábola de ecuación y2 = 4 – x , que está 
por encima de la recta de ecuación y = 1 y a la derecha del eje y.
𝑦 = 4 − 𝑥 ⇒ 𝑦 = − 
1
2 4 − 𝑥
𝑦′ + 1 = 
1
4 4 − 𝑥
+ 1 = 
17 − 4𝑥
4 4 − 𝑥
𝑦 1 + 𝑦′ = 4 − 𝑥
17 − 4𝑥
2 4 − 𝑥
= 
17 − 4𝑥
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𝐴 𝑆𝑅 = 
2𝜋
2
17 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋
2
3
17 − 4𝑥 /
−4
3
0
=
= −
𝜋
6
5 − 17 ≅ 9,8187 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝.
Volumen de solidos de revolución
Es el cuerpo que se genera al hacer girar una región plana 
alrededor de una recta.
Vamos a utilizar el volumen de un cilindro.
𝑉 = 𝜋 𝑟 ℎ
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Sea P una partición del intervalo [ a , b]
V(SR) : Volumen del solido de revolución.
𝑉 𝑆𝑅 = 𝑉(𝑆𝐹 )
Sea T un aumento de P.
𝑇 = 𝑡 , 𝑡 , 𝑡 , . . , 𝑡
El radio del cilindro será 𝑓(𝑡 ) y la altura ∆𝑥
𝑉 𝑆𝐹 ≅ 𝑉 𝐶 = 𝜋 𝑓 𝑡 ∆𝑥
𝑉 𝑆𝑅 = 𝑉 𝑆𝐹 ≅ 𝜋 𝑓 𝑡 ∆𝑥
Como mejora la aproximación? ∆𝑥 → 0 ⇔ 𝜇 𝑃 → 0
Se define 𝑉 𝑆𝑅 = lim
→
∑ 𝜋 𝑓 𝑡 ∆𝑥
Si este límite no depende ni de P ni de T.
𝑉 𝑆𝑅 = 𝜋 𝑓 𝑡 𝑑𝑥 = 𝜋 𝑦 𝑑𝑥
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Ejemplo: Calcular el volumen del solido de revolución que se obtiene cuando la región limitada por la curva 
y = x3 , y = 8 , x = 0 :
i) Gira alrededor del eje y:
𝑉 = 𝜋 𝑦 / 𝑑𝑦 = 𝜋
3
5
𝑦 /
8
0
= 
3
5
𝜋32 = 
96
5
𝜋
ii) Gira alrededor del eje x:
𝑉 = 𝜋 8 − 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑉 = 𝜋 8 − 𝑥 𝑑𝑥 = 
= 𝜋 64𝑥 − 
𝑥
7
2
0
= 𝜋 128 −
128
7
= 𝜋
768
7
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Integral impropia
Veamos un ejemplo.
Tenemos la función f / delimitada por 
el eje x y a la derecha de la ecuación x = 2 y queremos 
calcular el área, la región debe ser acotada por lo tanto 
calcularemos el área de la región que llega hasta la recta 
de ecuación x = t con t ≥2.
= −
1
𝑡 − 1
+ 1
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Ahora 𝐴 𝑅 ≅ 𝐴(𝑅 ) y esta aproximación se mejora cuanto mayor 
sea el valor de t , es decir 𝑡 → ∞
𝐴 𝑅 = lim
 → 
𝐴 𝑅 = lim
 → 
1
𝑥 − 1
 𝑑𝑥 = lim
 → 
 −
1
𝑥 − 1
=
=
 → 
1
𝑥 − 1
 𝑑𝑥 = lim
 → 
1
𝑥 − 1
 𝑑𝑥
Integral 
generalizada de 1°
especie.
Definicion1: Sea f integrable en [ a , t ] con t ≥ a , a ∊ R . Se define 
integral impropia:
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim
 → 
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Definicion2: Sea f integrable en [ p , b ] con b ≥ p , p R . 
Se define integral impropia:
 → 
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Nota: En cada caso si el límite es finito se dice que la integral 
converge, en caso contrario se dice que diverge.
Definicion3: Sea f integrable en [ a , b ] ∀ 𝑎, 𝑏 ∊ R . Se define integral 
impropia:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 
= lim
 → 
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + lim
 → 
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Nota: La integral dada converge cuando convergen las dos integrales en las que se separo.
Ejemplo1: ∫ 𝑑𝑥 Converge a 1.
Ejemplo2: ∫ 𝑑𝑥 = lim
 → 
∫ 𝑑𝑥 = lim
 → 
𝑙𝑛 𝑥 =
lim
 → 
𝑙𝑛 −1 − 𝑙𝑛 𝑝 = lim
 → 
− 𝑙𝑛 𝑝 = −∞
La integral diverge.
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Integral generalizada de 2° especie.
Definicion1: Sea f definida en (a,b] e integrable en [ c ,b] con 
a < c ≤ b y en x = a presenta una discontinuidad infinita. Se 
define 
→ 
Definicion2: Sea f definida en [a,b) e 
integrable en [ a ,d] con a ≤ d < b y en x = b 
presenta una discontinuidad infinita. Se 
define 
→ 
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Nota: En ambos casos si el limite es finito se dice que la 
integral converge, en caso contrario diverge.
Definicion3: Sea f definida en [a,b] – {d} e integrable en 
cualquier intervalo cerrado contenido en [ a , b] – { d } y en 
x = d presenta una discontinuidad infinita. Se define :
La integral dada converge cuando convergen las dos 
integrales en las que quedo separada.
Ejemplo: ∫ = ∫ + ∫
Vamos a resolver la primera integral en la que la dividimos.
lim
→ 
𝑑𝑥
𝑥 − 5
 𝑑𝑥 = lim
→ 
𝑥 − 5
−3
= lim
→ 
−
1
𝑡 − 5
+
1
3
1
(−27)
= ∞
La integral diverge , entonces la dada también diverge.
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Integrales de 1° y 2° especie.
Se descompone en tantas integrales como es necesario para que 
cada una de las integrales sea de 1° o de 2° especie ( pero no 
ambas) y donde la discontinuidad infinita esté en uno solo de los 
extremos.
∫ = ∫ + ∫ + ∫ + ∫ +
∫