TP 14 TEORIA 2021

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5/7/2021
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Análisis Matemático I 
• Ing. Roberto Lamas
• Prof. Adjunto Análisis Matemático I
Trabajo Practico N° 14
Primitivas
Métodos de Integración: Descomposición
Sustitución. Por partes 
Integral indefinida
Disponíamos de f y obteníamos f ´ , ahora disponemos de f ´y 
queremos hallar f.
Llamaremos f a nuestra función y F a la función resultante.
Definición: Dada f definida en I , se llama primitiva o 
antiderivada de f en I a la función F / F´(x) = f(x) I
Ej: f1(x) = 4x3 F1(x) = x4 pues ( x4)´= 4x3
f2(x) = ex F2(x) = ex pues ( ex ) ´= ex
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Pero F1(x) = x4 +5 o F1(x) = x4 + 20 cuantas primitivas 
habrá? 
F1(x) = x4 + C y habrá alguna primitiva que tenga una forma 
distinta a F1(x) ?
Teorema: Si una función f tiene una primitiva F en I f tiene 
infinitas primitivas y todas de la forma F(x) + C.
Hipótesis: F es primitiva de f F´(x) = f(x)
Tesis1: f tiene infinitas primitivas.
Sea G(x) = F(x) + C , C R. 
Veamos si G es primitiva de f entonces G´(x) = ( F(x) + C)´ = 
F´(x) + C´
G´(x) = F´(x) , pero por hipótesis F´(x) = f(x) , por lo tanto 
G´(x) = f(x) en consecuencia G también es una primitiva de f, 
y hay infinitas funciones G , tantas como constantes reales 
existan.
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Tesis2: todas de la forma F(x) + C.
Sea H otra primitiva de f H´(x) = f(x) pero por hipótesis 
F´(x) = f(x) , entonces por el Teorema Fundamental del 
Calculo Integral ( Corolario del TVML) , H y F difieren en una 
constante ,en consecuencia H(x) = F(x) + C, en consecuencia 
cualquier otra primitiva tiene la forma F(x) + C.
Nota: Si bien hay infinitas primitivas, si conozco una puedo 
conocer todas.
Notación: Para indicar que F es primitiva de f utilizamos la 
siguiente notación:
F(x) + C F´(x) = f(x) 
Ejemplo:
pues 
pues 
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Tabla de primitivas inmediatas.
f(x) F(x)+C f(x) F(x)+C
k K x + C sec(x) tg(x) sec(x)+C
𝑥 r ∈ 𝑅, 𝑟 ≠ −1 𝑥
𝑟 + 1
+ 𝐶
cosec(x) cotg(x) – cosec (x) + C
1
𝑥
ln|x| +C 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝑥) – cotg(x) + C 
𝑒 𝑒 + 𝐶 sh(x) ch(x) + C
𝑎 𝑎
𝑙𝑛 𝑎
+ 𝐶
ch(x) sh(x) + C
sen(x) – cos(x) 1
1 − 𝑥
arcsen(x) + C
cos(x) sen(x) +C 1
1 − 𝑥
– arccos(x) + C 
𝑠𝑒𝑐 (𝑥) tg(x) +C 1
1 + 𝑥
arctg(x) + C
Ecuación diferencial: Una ecuación diferencial es una 
ecuación de la forma: G(x,y,y´,y´´, …., y(n) ) = 0.
Resolver la ecuación diferencial es encontrar una función F / 
y = F(x) que al reemplazarla en la ecuación diferencial la 
satisfaga.
Al mayor orden de la derivada se le llama orden de la 
ecuación diferencial.
y´= f(x) ED de 1° orden
y´´ = cos(x) + ex ED de 2° orden
yiv + 3x2y – y´= 0 ED de 4° orden.
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Ej. Resolver la ecuación diferencial: y´´ = cos(x) + ex
y´= sen(x) +ex +C
y = – cos(x) + ex + Cx + D 
Solución general: la solución es una familia de funciones 
que dependen de las constantes C y D.
y´´ = cos(x) + ex y´(0) = 5 ; y(0) = 3
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Cuando se establecen condiciones sobre la derivada y la 
función, de tal manera que permitan determinar el valor de 
las constantes, se le llama solución particular.
Ej: y´´ = cos(x) + ex y´(0) = 5 ; y(0) = 3
Solución particular y = – cos(x) +ex +4x + 3 
Ej. Resolver y ´(x) = 4x3y P(2,1)
Ej. Resolver y ´(x) = 4x3y P(2,1)
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Integración y derivación son procesos inversos.
1° Integré.
1° Derivé.
Propiedad de linealidad.
Sean f ˄ g funciones con primi va en I ˄ k ≠ 0 entonces:
Métodos de integración:
Método de descomposición: Se basa en aplicar la propiedad 
de linealidad.
Ejemplo:
1) 2)
3) 4) 
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II ) Método de sustitución: 
Teorema: Sea g una función derivable 
donde 
Demostración: Por 
aplicación de la regla de la cadena
Este método se utiliza cuando en el integrando hay una 
función compuesta.
Ejemplos:
1) 2) 
3) 4) ( )
5)
 ( )
6) ( )
 ( )
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1) ∫ 𝑥 + 1 𝑑𝑥 2) ∫ 3𝑥 + 1 𝑑𝑥
3)∫ 𝑠𝑒𝑐 1 + 𝑥 𝑑𝑥 4) ∫ cos 𝑥 𝑒 ( )𝑑𝑥
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5)∫
 ( )
6) ∫
( )
 ( )
Método de integración por partes.
Sean f y g funciones derivables 
Demostración: 
Integrando m.a.m.
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En consecuencia:
Regla práctica:
u = f(x) du = f´(x) dx dv = g’(x)dx v = g(x)
Ejemplos:
2)
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3)∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 4)∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥