Aritmética

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El Gran Paso – Matemáticas / Aritmética 2020 
 
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 Aritmética 
UNIDAD III 
NÚMEROS RACIONALES 
El conjunto que abarca todos aquellos números que pueden ser expresados 
en forma de fracción, es decir, como cociente de dos números enteros, con 
denominador distinto de cero, es el conjunto de los números racionales. 
Son números racionales: 
Las fracciones positivas y negativas que representan cocientes de números 
enteros. 
Ejemplo: 
5
8
; −
1
2
 
Las expresiones decimales, 
positivas y negativas, que 
pueden pasarse a fracciones. 
Por ejemplo: 2,5 = −
25
10
; −3,76 =
376
100
; 0,666 … =
6
9
 
Los números enteros que pueden ser expresados como fracciones de 
denominador igual a 1. 
Ejemplo: 11 =
11
1
; −7 = −
7
1
; 0 =
0
1
 
Entonces, todos los números enteros son también racionales y, por lo tanto, 
todos los números naturales también 
lo son. 
El conjunto ℕ está incluido en el 
conjunto ℤ, el conjunto ℤ está 
incluido en el conjunto ℚ . 
El conjunto ℚ no tiene primer ni 
último elemento. 
El conjunto ℚ es denso, porque 
entre dos números racionales existen 
infinitos números racionales. 
 
 
 
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Operaciones con números racionales. 
La ampliación del conjunto numérico garantiza que las propiedades de las 
operaciones básicas con números naturales y enteros se mantienen para los 
números racionales y, además, se amplían las posibilidades de operar. 
Por ejemplo, ciertas divisiones que no pueden realizarse en ℤ, como 2 ÷ 3, sí 
puede resolverse en ℚ. 
El resultado es 
2
3
, que también puede expresarse como número decimal: 
0,666… 
Operaciones combinadas. 
Cuando una expresión tiene sumas, restas, multiplicaciones y divisiones: 
1.° Se resuelven las multiplicaciones y las divisiones. 
2.° Se suman y restan los términos. 
Cuando hay paréntesis, primero se hacen las operaciones que están dentro 
de los ( ), siguiendo el orden establecido. 
Por ejemplo: 
Efectuar: 
 
3
4 +
5
6 ∙
3
5
1
2 −
2
7 ∙
7
5
 
Solución: 
Numerador: 
3
4
+
5
6
∙
3
5
=
3
4
+ (
5
6
∙
3
5
) =
3
4
+
1
2
=
5
4
 
Denominador: 
1
2
−
2
7
∙
7
5
 =
1
2
− (
2
7
∙
7
5
) =
1
2
−
2
5
=
1
10
 
 
3
4 +
5
6 ∙
3
5
1
2 −
2
7 ∙
7
5
=
5
4
1
10
=
5 ∙ 10
4
=
25
2
= 12
1
2
 
Fracciones Decimales 
Los números decimales que pueden escribirse como fracciones son los 
números decimales exactos; los números decimales periódicos puros y los 
números decimales periódicos mixtos. 
 
 
 
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Número decimal exacto: son aquellos que tienen una cantidad definida de 
números en su parte decimal. 
 Ejemplos: 0,5; 0.27; 2,35. 
Número decimal periódico puro: son aquellos que tienen en su parte 
decimal, una o más cifras que se repiten de manera periódica e 
indefinidamente; la repetición indefinida se indica con puntos suspensivos. 
Ejemplos: 0,333…. (la cifra que se repite periódicamente es el 3); 
0,234234234… (la cifra que se repite periódicamente es el 234); 5,878787… 
(la cifra que se repite periódicamente es el 87). 
Número decimal periódico mixto: el período no comienza inmediatamente 
después de la coma. 
Ejemplo: 0,431818… 
Regla para obtener la fracción generatriz de un número decimal exacto: 
Para obtener la fracción generatriz de un número decimal exacto, se escribe 
la fracción; en el numerador se escribe la parte decimal y en el denominador, 
la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. 
Ejemplos: 
✓ 0,25 =
25
100
=
1
4
 
✓ 2,275 = 2
275
1000
= 2
11
40
=
91
40
 
Regla para obtener la fracción generatriz de un número decimal 
periódico puro: Para obtener la facción generatriz de un número decimal 
periódico puro, se escribe la fracción; en el numerador se escribe un periodo 
y en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo. 
Ejemplos: 
✓ 0,3333. . . =
3
9
=
1
3
 
✓ 1,353535. . . = 1
35
99
=
134
99
 
Regla para obtener la fracción generatriz de un número decimal 
periódico mixto: Para obtener la fracción generatriz de un número decimal 
periódico mixto, se escribe la fracción; en el numerador se escribe la parte no 
periódica seguida de un periodo menos la parte no periódica y en el 
denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de tantos 
ceros como cifras tenga la parte no periódica. 
Ejemplos: 
✓ 0,4222. . . =
42−4
90
=
38
90
=
19
45
 
✓ 5,4252525. . . = 5
425−4
990
= 5
421
990
=
5371
990
 
 
 
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ACTIVIDADES 
Resuelve y marca la respuesta correcta en cada caso. 
1) Reducir 
4343
9999
 a su más simple expresión (fracción irreducible). 
Solución: 
1 2 3 3 4
9999 4343 1313 404 101
1313 404 101 0 1
 MCD (4343; 9999) = 101 
4343
9999
= 
4343 ÷ 101
9999 ÷ 101
= 
43
99
 
4343
9999
= 
𝟒𝟑
𝟗𝟗
 
 
𝐴)
1
3
 𝐵)
43
9
 𝐶)
1
9
 𝑫)
𝟒𝟑
𝟗𝟗
 𝐸)
34
99
 
 
2) Efectuar: 
6
17
+
1
34
+
1
51
+
4
3
 
 
Solución: 
6
17
+
1
34
+
1
51
+
4
3
= 
36 + 3 + 2 + 136
102
=
177
102
= 𝟏
𝟐𝟓
𝟑𝟒
 
 
𝐴)
25
34
 𝐵)
34
43
 𝑪)𝟏
𝟐𝟓
𝟑𝟒
 𝐷)1 𝐸)
77
102
 
 
 
3) Efectuar: 
1
1
2
+ 2
1
3
+ 1
1
6
 
 
𝐴)
1
5
 𝐵) 6 𝐶)
1
6
 
𝑫)𝟓 𝐸)4
1
6
 
 
 
 
 
 
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4) Efectuar: 
9
7
8
− 2
5
24
− 7
2
3
 
 
𝑨) 𝟎 𝐵)
1
24
 𝐶)
7
24
 𝐷) 24 𝐸) 1 
 
5) Efectuar: 
3
5
8
− (2
3
4
+
1
8
) 
 
𝐴)1
1
3
 𝑩)
𝟑
𝟒
 𝐶)
1
4
 𝐷)1 𝐸)
5
8
 
 
6) Efectuar: 
2 +
571428
999999
−
19
21
 
 
𝐴) 
3
5
 𝑩)𝟏
𝟐
𝟑
 
𝐶)17 𝐷) 1616 𝐸)
2
3
 
 
7) Efectuar: 
3
1
4
÷ 4
1
3
 
 
𝐴) 1 
𝐵)
2
3
 𝐶) 
1
12
 𝑫) 
𝟑
𝟒
 𝐸)
1
4
 
 
 
8) Efectuar: 
3
2
5
÷ 5
2
3
× 1
2
3
 
 
𝑨) 𝟏 𝐵)
9
25
 𝐶)2
7
9
 𝐷)
17
25
 
𝐸) 2 
 
 
 
 
 
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9) Efectuar: 
5
2
31
×
11
157
 ×
62
77
× 21 × 1
1
6
 
 
𝐴)1
1
6
 𝐵)
2
31
 𝐶)
1
7
 𝐷)
6
7
 
𝑬)𝟕 
 
10) Efectuar: 
(
101
114
−
97
171
) ∙ 3
15
109
 
 
𝐴)0 𝐵)2 𝐶)3 𝑫)𝟏 
𝐸)
109
342
 
 
11)Calcular los 
3
7
𝑑𝑒
1
10
 de 140 
𝐴)
1
6
 𝐵)
5
6
 
𝑪) 𝟔 
𝐷)
1
7
 
𝐸) 7 
 
 
11) Efectuar: 
(
2
5
−
1
5
∙
1
2
) ÷ (1 +
2
5
÷
1
5
) 
 
 
13) Efectuar: 
7
5
9
8
9
22
∙
7
11
17
1
7
37
÷
3
5
7
2,6
÷
1
5
 
 
 
 
 𝐴)
1
70
 
𝐵) 10 
 𝑪)
𝟏
𝟏𝟎
 
 𝐷)3 
 𝐸) 3
1
3
 
 
 𝐴)5 𝐵) 50 𝑪) 𝟕 𝐷) 70 𝐸) 3 
 
 
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14) Efectuar: 
7,5 + 3
3
4 − 6,875
3,75 + 2
1
4 − 4,25
∙
1
0,5
 
 𝐴) 50 𝐵) 20 𝐶) 25 𝐷) 45 𝑫) 𝟓 
15) Efectuar: 
4
1
7 − 2,25
2
1
7
÷
3
7 + 0,5
5
7 − 0,5
×
26
0,25
 
𝐴)
26
53
 𝐵) 53 𝐶) 2 
1
26
 
 𝐷) 1 𝑬) 𝟐𝟏 
𝟏
𝟓
 
 
16) Efectuar: 
100 − 
0,00328
0,4 ∙ 0,00004 + 0,002 ∙ 0,0125
 
 
 𝐴) 10 𝐵) 80 𝐶) 30 𝑫) 𝟐𝟎 𝐸) 40 
 
17) Efectuar: 
3 +
1
3 + 
1
1 − 
1
3
 
Solución: 
Cálculos Auxiliares 
Paso1) 1 −
1
3
=
3−1
3
=
2
3
 Paso 2) 
1
1−
1
3
=
1
2
3
=
3
2
 
 
Paso 3) 3 +
1
1−
1
3
= 3 +
3
2
=
9
2
 Paso 4) 
1
3+
1
1−
1
3
=
1
9
2
=
2
9
 
 
 
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Paso 5) 3 +
1
3+
1
1−
1
3
= 3 +
2
9
=
27+2
9
=
29
9
= 3
2
9
 
Paso 6) 3 +
1
3+
1
1−
1
3
= 3
2
9
 
𝐴)
1
9
 𝐵)
2
9
 𝑪)𝟑
𝟐
𝟗
 𝐷)3 𝐸) 3
1
9
 
 
18) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar: 
0,181818 … × 1,0333. . .÷ 0,31 
 
 
𝑨)
𝟐𝟎
𝟑𝟑
 𝐵)
23
20
 𝐶)33
200
 𝐷)
31
165
 𝐸)
31
330
 
 
19) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar: 
(0,2444. . . +
1
3
+ 0,222. . . ) ÷ 3,25 
 
𝑨)
𝟏𝟔
𝟔𝟓
 𝐵)
1
4
 𝐶) 4 𝐷)
5
16
 𝐸)
4
13
 
 
 
20) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar: 
 (0,5 + 0,666. . . − 0,0555. . . ) ×
9
10
 
Solución: 
Cálculos auxiliares: 
1)0,5 =
5
10
=
1
2
 
 
 2)0,66 … =
6
9
=
2
3
 
3) 0,0555. . . =
05−0
90
=
1
18
 
 
 
 (0,5 + 0,666. . . − 0,0555. . . ) ∙
9
10
= (
1
2
+
2
3
−
1
18
) ∙
9
10
=
10
9
∙
9
10
= 1 
(0.5 + 0.666. . . − 0.0555. . . ) ∙
9
10
= 𝟏 
𝑨) 𝟏 
𝐵)1
1
9
 𝐶)
1
9
 
𝐷) 2 
𝐸)
2
9
 
 
 
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21) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar: 
(3,111. . . −2,0666. . . ) ÷ 1
2
45
 
𝐴)
1
45
 𝐵)
2
45
 
𝑪)𝟏 
𝐷)
31
45
 𝐸)
1
47
 
 
 
22) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar: 
(0,0555. . . +
5
6
− 0,111. . . ) ÷ 3
1
6
 
 
𝐴)
1
3
 𝑩)
𝟏𝟒
𝟓𝟕
 𝐶)
5
6
 
𝐷)1 
𝐸)
1
6
 
 
23) Compré un reloj por ₲ 300.000. Lo vendí ganando los 
3
10
 del costo 
¿Cuánto es el precio de venta? 
 
𝐴) ₲ 400.000 𝑩) ₲ 𝟑𝟗𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝐶) ₲ 360.000 𝐷) ₲ 90.000 𝐸) ₲ 450.000 
 
24) Una persona tenía un capital de ₲ 650.000. Compro libros por ₲150.000. 
Gastó en ropas los 
7
10
 de lo que le quedó. ¿Cuánto es el saldo final? 
 
𝐴) ₲ 500.000 𝐵)₲ 350. 000 C) ₲ 550. 000 𝑫) ₲ 𝟏𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝐸) ₲ 250. 000 
 
25) Una persona recibirá los 
7
20
 de ₲2.000.000. Si recibiera 
1
2
 de 
1
4
 de los ₲ 
2.000.000, ¿Cuánto seria la diferencia? 
 
𝐴) ₲ 250. 000
 
𝐵) ₲ 520. 000 𝐶) ₲ 300.000 𝑫) ₲ 𝟓𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝐸) ₲ 450. 000 
 
 
 
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26) El valor de un inmueble es de ₲ 120.000.000. Una persona es 
propietaria de la tercera parte del mismo. ¿Cuánto recibiría si vendiese los 
7
16
 de 
1
4
 de su parte? 
 
𝐴) ₲ 4. 000. 000 𝑩) ₲ 𝟒. 𝟑𝟕𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝐶) ₲ 437. 500 𝐷) ₲ 4 .750. 000 𝐸) ₲ 375 .000 
 
27) Tenía un capital de ₲1.120.000. Perdí los 
5
7
 del mismo. Presté a un amigo 
los 
3
8
 de lo que me quedó. ¿Cuál es el saldo final? 
 
𝐴) ₲ 800.000 𝐵) ₲ 120.000 𝐶)₲ 320. 000 𝑫) ₲ 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝐸) ₲ 240.000 
 
28) Vendo por ₲ 240.000 un reloj que me costó ₲180.000. ¿Qué parte del 
precio de venta es la utilidad de la operación? 
𝐴)
1
3
 𝐵)
1
2
 𝐶) 
3
4
 𝑫) 
𝟏
𝟒
 𝐸)
2
3
 
 
29) Vendo por ₲ 360.000 un ventilador que me costó ₲ 320.000 ¿Qué parte 
del costo es la utilidad de la operación? 
Solución: 
Utilidad: 360.000 − 320.000 = 40.000; ₲ 40.000 
Utilidad
Costo
=
40.000
320.000
=
1
8
 
Utilidad
Costo
=
𝟏
𝟖
 
 
 
𝐴)
1
2
 𝐵)
3
5
 𝐶)
3
8
 𝐷)
1
3
 𝑬)
𝟏
𝟖
 
 
 
 
 
 
 
 
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30) Compré un libro por ₲ 30.000. Lo vendí por los 
2
3
 de los 
7
10
del costo. 
¿Qué parte del costo es la pérdida de la operación? 
 
𝑨)
𝟖
𝟏𝟓
 𝐵)
7
15
 𝐶)
11
15
 𝐷)
1
2
 𝐸)
1
3
 
 
31) Compré una calculadora por ₲ 45.000. Lo vendí por los 
2
3
 de los 
9
10
 del 
costo ¿Qué parte del precio de venta es la pérdida de la operación? 
Solución: 
Costo ₲ 45.000 
Precio de venta 
2
3
∙
9
10
∙ 45.000 = 27.000 ; ₲ 27.000 
Pérdida 45.000 − 27.000 = 18.000 ; ₲ 8.000 
Perdida/Venta 
18.000
27.000
= 
2
3
 
Perdida/Venta 
𝟐
𝟑
 
𝐴)
1
3
 𝑩)
𝟐
𝟑
 𝐶)
1
8
 𝐷)
2
5
 𝐸)
3
5
 
 
32) En un colegio hay 324 estudiantes. El número de alumnas es los 
5
18
 del 
total de estudiantes. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio? 
 
𝑨) 𝟐𝟑𝟒 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔 𝐵) 90 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝐶) 243 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝐷) 98 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 E)89 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 
 
33)Una persona debía los 
3
5
 de ₲ 10.000.000. Pagó los 
2
3
 de ₲ 3.000.000. 
¿Qué parte de la deuda pagó? 
 
Solución: 
Deuda: 3
5
∙ 10.000.000 = 6.000.000 
Pago: 
2
3
∙ 3.000.000 = 2.000.000 Pago/Deuda: 
2.000.000
6.000.000
=
𝟏
𝟑
 
𝐴)
1
5
 𝐵)
1
2
 𝑪)
𝟏
𝟑
 𝐷)
2
5
 𝐸)
2
3
 
 
 
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Bibliografía: 
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(1998). Matemática Fundamental. Tomo único. Saö Paulo: FTD S.A. 
Pujol, F. V. Sanchez, Raimundo (2017). Matemática Práctica I. Aritmática, 
Álgebra, Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Asunción. 
Bruño, (1952).Tratado teórico práctico de Aritmética Razonada. Curso superior. 
Solucionario.. 
Velázquez Duarte, M., Bellassai de Soto, P. E., Pino de Araujo, R. S., & Aranda 
Espínola, T. D. (2011). Matemática Básica con Estadística. San lorenzo: 
Litocolor SRL. 
 
 
 
Sofware emuladores de calculadora: 
Para PC: https://n9.cl/casiofx-82es 
Para Android: https://n9.cl/android-calcesplus 
 
 
 
 
 
 
 
Coordinador Prof. Mtr. César José Ocampos Acuña 
Responsables del contenido 
Prof. Lic. Fredys Osmar Torres Ojeda 
Prof. Lic. Alice Leguizamón Jara 
Responsable de la revisión Prof. Lic. Simón Francisco Ruiz Diaz Vicezar 
Responsable de la corrección Prof. Lic. Lucia Helman de Morales 
 
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