Matemática 4

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Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefa de contenidos editoriales
Verónica Lombardo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Editora
Yanina Sousa
Editing
Belén Boscaroli
Autores
Aperturas: Pablo Amster
¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Silvana Mastucci
Nora Quirós
Fernando De Rossi
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Coordinadora del área 
de Marcas y derechos
Amorina Scalercio 
Jefe del departamento de Arte y diseño
Lucas Frontera Schällibaum
Diseñadoras de maqueta
Patricia Cabezas
Laura Porta
Diagramación
Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo
Ilustrador
Pablo Zerda
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
Thinkstock
Gerente de Producción editorial
Carlos Rodríguez
 Matemática 3. Fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. - San 
Isidro: Puerto de Palos, 2013. 
 256 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados)
 ISBN 978-987-547-529-8 
 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Abálsamo, Roxana 
 CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-529-8
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por 
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la 
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante 
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición. 
Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, Beruti 1560, 
Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefa de contenidos editoriales
Verónica Lombardo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Editora
Yanina Sousa
Editing
Belén Boscaroli
Autores
Aperturas: Pablo Amster
¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Silvana Mastucci
Nora Quirós
Fernando De Rossi
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Coordinadora del área 
de Marcas y derechos
Amorina Scalercio 
Jefe del departamento de Arte y diseño
Lucas Frontera Schällibaum
Diseñadoras de maqueta
Patricia Cabezas
Laura Porta
Diagramación
Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo
Ilustrador
Pablo Zerda
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
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Gerente de Preprensa y Producción editorial
Carlos Rodríguez
Matemática 4 ¿Para qué sirve? / Adriana Beatriz Berio... [et.al.]. - 1a ed. - 
Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 
 256 p.: il.; 28x20 cm. - (Activados)
 ISBN 978-987-547-579-3 
 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Berio, Adriana Beatriz 
 CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-579-3
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por 
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la 
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante 
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición. 
Esta obra se terminó de imprimir en octubre de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, 
Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefa de contenidos editoriales
Verónica Lombardo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Editora
Yanina Sousa
Editing
Belén Boscaroli
Autores
Aperturas: Pablo Amster
¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Silvana Mastucci
Nora Quirós
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Matemática 4: ¿para qué sirve?: versión para el docente / Roxana Abálsamo ... 
[et.al.]. - 1a ed. - Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 
 256 p.: il.; 28x20 cm. - (Activados)
 ISBN 978-987-547-582-3 
 1. Matemática. 2. Guía Docente. I. Abálsamo, Roxana 
 CDD 371.1
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-582-3
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por 
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la 
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante 
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición. 
Esta obra se terminó de imprimir en octubre de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, 
Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 
XXX actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta la matemática con la 
vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula.
Apertura: en esta sección, Pablo 
Amster, especialista en el área de la 
matemática, ofrece textos 
relacionados con la historia y 
evolución del pensamiento 
matemático.
En el cuadro de 
contenidos aparecen los 
temas numerados para su 
fácil identificación.
InfoActiva: presenta 
definiciones, clasificaciones, 
procedimientos básicos y 
ejemplos de cada contenido 
que facilitan la comprensión.
Conector: invita 
a repasar conceptos 
explicados en 
páginas anteriores.
Test de 
comprensión: 
incluye preguntas 
básicas que 
permiten evaluar la 
Mira Foco
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 
681 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta la matemática con la 
vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula.
Apertura: en esta sección, Pablo 
Amster, especialista en el área de la 
matemática, ofrece textos relacionados 
con la historia y evolución del 
pensamiento matemático.
En el cuadro de 
contenidos aparecen los 
temas numerados para su 
fácil identificación.
InfoActiva: presenta 
definiciones, clasificaciones, 
procedimientos básicos y 
ejemplos de cada contenido 
que facilitan la comprensión.
Conector: invita a 
repasar conceptos 
explicados en páginas 
anteriores.
Conexión a
¿Para qué sirve?
Actividades: para cada tema 
se proponen distintasactividades 
que están organizadas de manera 
secuencial.
menteACTIVA: propone 
situaciones problemáticas con un 
mayor nivel de complejidad.
Integración: incluye más 
actividades para resolver en el 
cuaderno.
Autoevaluación: propone 
más actividades para que cada 
alumno pueda evaluar los 
conocimientos adquiridos 
durante el capítulo.
Trabajos prácticos: 
incluyen más actividades para 
practicar los temas del 
capítulo.
¿Para qué sirve?: en esta sección, Laura 
Pezzatti, especialista en el área de la matemática, 
ofrece una serie de textos que conectan los contenidos 
de los capítulos con la vida cotidiana y otras 
disciplinas con el objetivo de responder a la pregunta 
inicial que se plantea.
¿Para qué sirve?
Actividades: para cada tema 
se proponen distintas actividades 
que están organizadas de manera 
secuencial.
menteACTIVA: 
propone situaciones 
problemáticas con 
un mayor nivel de 
complejidad.
Integración: incluye más actividades para 
resolver en el cuaderno.
Autoevaluación: propone más actividades 
para que cada alumno pueda evaluar los 
conocimientos adquiridos durante el capítulo.
¿Para qué sirve?: en esta 
sección, Laura Pezzatti, especialista en 
el área de la matemática, ofrece una 
serie de textos que conectan los 
contenidos de los capítulos con la vida 
cotidiana y otras disciplinas con el 
objetivo de responder a la pregunta 
inicial que se plantea.
¿Para qué sirve?
Test de comprensión: incluye 
preguntas básicas que permiten 
evaluar la comprensión de la teoría 
y revisar errores comunes.
 Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9
 1. Números reales. .................................. 10
 2. Números racionales. ........................... 12
 3. Operaciones con números racionales. 14
 Integración .......................................... 18
 4. Módulo de un número real. ............... 20
 5. Ecuaciones. ......................................... 22
 6. Inecuaciones. ...................................... 24
 Integración .......................................... 26
 Autoevaluación .................................... 28
Capítulo 2: NÚMEROS IRRACIONALES ....... 29
 7. Propiedades de la potenciación y 
 la radicación. ...................................... 30
 8. Números irracionales. ......................... 32
 9. Radicales. Adición y sustracción. ....... 34
 10. Multiplicación y división de radicales. .. 36
 11. Operaciones combinadas. .................. 38
 12. Racionalización de denominadores. ... 42
 Integración .......................................... 46
 13. Sucesiones. ......................................... 48
 14. Sucesiones aritméticas. ...................... 50
 15. Sucesiones geométricas. .................... 52
 Integración .......................................... 54
 Autoevaluación .................................... 56
Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 57
 16. Funciones. ........................................... 58
 17. Análisis de funciones I. ...................... 60
 18. Análisis de funciones II. ..................... 62
 Integración .......................................... 66
 19. Función lineal. .................................... 68
 20. Distancia entre dos puntos. ............... 70
 21. Ecuación de la recta. .......................... 74
 22. Función módulo. ................................. 78
 Integración .......................................... 80
 Autoevaluación .................................... 82
Capítulo 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA ............ 83
 23. Función cuadrática. ............................ 84
 24. Raíces de una función cuadrática.
 Discriminante. ..................................... 86
 25. Distintas expresiones de la función
 cuadrática. .......................................... 88
 26. Gráfico de una función cuadrática. .... 92
 Integración .......................................... 96
 27. Ecuaciones de segundo grado. .......... 98
 28. La parábola como lugar geométrico. 102
 29. Ecuación de la parábola. ................. 104
 Integración ........................................ 106
 Autoevaluación .................................. 108
Capítulo 5: POLINOMIOS ......................... 109
 30. Polinomios. Características. ............... 110
 31. Suma y resta de polinomios. ............ 112
 32. Multiplicación de polinomios. ........... 114
 Integración ......................................... 118
 33. División de polinomios. ................... 120
 34. La regla de Ruffini. Teorema
 del resto. .......................................... 122
 35. Raíces de un polinomio. .................. 124
 36. Operaciones combinadas. ................ 126
 Integración ........................................ 130
 Autoevaluación .................................. 132
Índice generalÍndice general
 Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9
 1. Números reales. .................................. 10
 2. Números racionales. ........................... 12
 3. Operaciones con números racionales. 14
 Integración .......................................... 18
 4. Módulo de un número real. ............... 20
 5. Ecuaciones. ......................................... 22
 6. Inecuaciones. ...................................... 24
 Integración .......................................... 26
 Autoevaluación .................................... 28
Capítulo 2: NÚMEROS IRRACIONALES ....... 29
 7. Propiedades de la potenciación y 
 la radicación. ...................................... 30
 8. Números irracionales. ......................... 32
 9. Radicales. Adición y sustracción. ....... 34
 10. Multiplicación y división de radicales. .. 36
 11. Operaciones combinadas. .................. 38
 12. Racionalización de denominadores. ... 42
 Integración .......................................... 46
 13. Sucesiones. ......................................... 48
 14. Sucesiones aritméticas. ...................... 50
 15. Sucesiones geométricas. .................... 52
 Integración .......................................... 54
 Autoevaluación .................................... 56
Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 57
 16. Funciones. ........................................... 58
 17. Análisis de funciones I. ...................... 60
 18. Análisis de funciones II. ..................... 62
 Integración .......................................... 66
 19. Función lineal. .................................... 68
 20. Distancia entre dos puntos. ............... 70
 21. Ecuación de la recta. .......................... 74
 22. Función módulo. ................................. 78
 Integración .......................................... 80
 Autoevaluación .................................... 82
Capítulo 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA ............ 83
 23. Función cuadrática. ............................ 84
 24. Raíces de una función cuadrática.
 Discriminante. ..................................... 86
 25. Distintas expresiones de la función
 cuadrática. .......................................... 88
 26. Gráfico de una función cuadrática. .... 92
 Integración .......................................... 96
 27. Ecuaciones de segundo grado. .......... 98
 28. La parábola como lugar geométrico. 102
 29. Ecuación de la parábola. ................. 104
 Integración ........................................ 106
 Autoevaluación .................................. 108
Capítulo 5: POLINOMIOS ......................... 109
 30. Polinomios. Características. ............... 110
 31. Suma y resta de polinomios. ............ 112
 32. Multiplicación de polinomios. ........... 114
 Integración ......................................... 118
 33. División de polinomios. ................... 120
 34. La regla de Ruffini. Teorema
 del resto. .......................................... 122
 35. Raíces de un polinomio. .................. 124
 36. Operaciones combinadas................. 126
 Integración ........................................ 130
 Autoevaluación .................................. 132
Capítulo 6: FACTORIZACIÓN DE 
 POLINOMIOS ................................... 133
 37. Factor común y factor común 
 por grupos. ....................................... 134
 38. Trinomio cuadrado perfecto y 
 cuatrinomio cubo perfecto. .............. 136
 39. Suma y resta de potencias de 
 igual exponente. ............................... 138
 40. Teorema de Gauss. ........................... 140
 Integración ........................................ 142
 41. Casos combinados de factoreo. ....... 144
 42. Ecuaciones de grado mayor a dos. . 148
 43. Estudio de funciones polinómicas. .. 150
 Integración ........................................ 154
 44. Expresiones algebraicas 
 fraccionarias. ..................................... 156
 45. Operaciones con expresiones 
 algebraicas fraccionarias. ................. 158
 46. Ecuaciones con expresiones 
 algebraicas fraccionarias. ................. 162
 Integración ........................................ 166
 Autoevaluación .................................. 168
Capítulo 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ... 169
 47. Sistemas de ecuaciones lineales.
 Método gráfico. ................................ 170
 48. Resolución de sistemas de
 ecuaciones I. ..................................... 172
 49. Resolución de sistemas de
 ecuaciones II. .................................... 176
 50. Sistemas de ecuaciones mixtos. ...... 178
 Integración ........................................ 182
 Autoevaluación .................................. 184
Capítulo 8: GEOMETRÍA Y 
 FIGURAS PLANAS .............................. 185
 51. Teorema de Thales. .......................... 186
 52. Aplicaciones del teorema de Thales. 188
 53. Semejanza de triángulos. ................. 192
 Integración ........................................ 196
 54. Trigonometría. .................................. 198
 55. Cálculo de razones trigonométricas. 200
 56. Resolución de triángulos rectángulos. 202
 57. Teoremas del seno y del coseno. .... 204
 58. Resolución de triángulos
oblicuángulos. ............................................. 206
 Integración ........................................ 210
 Autoevaluación .................................. 212
Capítulo 9: PROBABILIDAD Y 
 ESTADÍSTICA ..................................... 213
 59. Combinatoria. ................................... 214
 60. Binomio de Newton. Triángulo
 de Pascal. ......................................... 218
 61. Probabilidad. .................................... 220
 62. Probabilidad condicional. ................. 222
 Integración ........................................ 224
 Autoevaluación .................................. 226
Control de resultados ............................... 227
¿Para qué sirve?¿Para qué sirve?
Capítulo 6: FACTORIZACIÓN DE 
 POLINOMIOS ................................... 133
 37. Factor común y factor común 
 por grupos. ....................................... 134
 38. Trinomio cuadrado perfecto y 
 cuatrinomio cubo perfecto. .............. 136
 39. Suma y resta de potencias de 
 igual exponente. ............................... 138
 40. Teorema de Gauss. ........................... 140
 Integración ........................................ 142
 41. Casos combinados de factoreo. ....... 144
 42. Ecuaciones de grado mayor a dos. .... 148
 43. Estudio de funciones polinómicas. ..... 150
 Integración ........................................ 154
 44. Expresiones algebraicas 
 fraccionarias. ..................................... 156
 45. Operaciones con expresiones 
 algebraicas fraccionarias. ................. 158
 46. Ecuaciones con expresiones 
 algebraicas fraccionarias. ................. 162
 Integración ........................................ 166
 Autoevaluación .................................. 168
Capítulo 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ... 169
 47. Sistemas de ecuaciones lineales.
 Método gráfico. ................................ 170
 48. Resolución de sistemas de
 ecuaciones I. ..................................... 172
 49. Resolución de sistemas de
 ecuaciones II. .................................... 176
 50. Sistemas de ecuaciones mixtos. ...... 178
 Integración ........................................ 182
 Autoevaluación .................................. 184
Capítulo 8: SEMEJANZA 
Y TRIGONOMETRÍA ...................................... 185
 51. Teorema de Thales. .......................... 186
 52. Aplicaciones del teorema de Thales. ... 188
 53. Semejanza de triángulos. ................. 192
 Integración ........................................ 196
 54. Trigonometría. .................................. 198
 55. Cálculo de razones trigonométricas. .... 200
 56. Resolución de triángulos 
 rectángulos. ....................................... 202
 57. Teoremas del seno y del coseno. .... 204
 58. Resolución de triángulos
oblicuángulos. ............................................. 206
 Integración ........................................ 210
 Autoevaluación .................................. 212
Capítulo 9: COMBINATORIA 
 Y PROBABILIDAD ......................................... 213
 59. Combinatoria. ................................... 214
 60. Binomio de Newton. Triángulo
 de Pascal. ......................................... 218
 61. Probabilidad. .................................... 220
 62. Probabilidad condicional. ................. 222
 Integración ........................................ 224
 Autoevaluación .................................. 226
Control de resultados ............................... 227
Números reales
Contenidos
1. Números reales.
2. Números racionales.
3. Operaciones con números 
racionales.
4. Módulo de un número real.
5. Ecuaciones.
6. Inecuaciones.
ca
p
ít
u
lo1
Los números racionales aparecen en los primeros textos matemáticos de la 
historia. Se encuentran presentes en las tablillas babilónicas y en el célebre 
papiro egipcio de Ahmes, escrito hacia 1650 a. C. Allí se detallan las opera-
ciones con fracciones, que los egipcios escribían como sumas de fracciones 
de numerador igual a 1; estos desarrollos no son únicos. Es un hecho nota-
ble que los números racionales se puedan representar siempre de esa forma, 
y más notable aún que lo supieran ya los antiguos egipcios. Por ejemplo, el 
1 también se puede pensar como 1 __ 2 + 
1 __ 3 + 
1 __ 6 .
En aquellos tiempos, la notación era muy diferente a la actual. La barra de 
fracción, que separa el numerador del denominador, fue introducida recién 
en el siglo XIII por Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Por 
su parte, las fracciones decimales tuvieron que esperar hasta el siglo XVI, 
cuando el belga Simon Stevin ideó la forma de calcular empleando décimas, 
centésimas, etc., aunque todavía faltaba para llegar a la notación actual: en 
su sistema un número como 37 654 ______ 1 000 se escribía 37(0)6(1)5(2)4(3).
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Por qué son tan importantes los números racionales?
b. Representen las siguientes fracciones utilizando el método egipcio.
 5 __ 4 
3 __ 5 
4 __ 9 
a. Respuesta abierta. b. 5 __ 4 = 
1 __ 2 + 
1 __ 3 + 
1 __ 4 + 
1 __ 6
3 __ 5 = 
1 __ 2 + 
1 ___ 10 = 
1 __ 3 + 
1 __ 5 + 
1 ___ 15
4 __ 9 = 
1 __ 3 + 
1 __ 9 
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Números reales
Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos núme-
ros enteros.
Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o en forma decimal; una 
y otra designan exactamente al mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un 
número finito de cifras decimales, o es periódica.
 34 ___ 9 = 3,777... = 3,7 –13 ___ 4 = –3,25 
17 ___ 6 = 2,8333... 2,83
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre dos 
números enteros, por tener infinitas cifras decimales no periódicas.
Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales.
 
__
 5 = 2,236067... 3 
__
 6 = 1,817120... 4 
___
 21 = 2,140695...
Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación.
2,246810... –0,12223242... 5,1122334455... 14,0123456...
El conjunto de los números reales ( ) está formado por los números racionales ( ) y los irracionales ( ).
Los números reales se grafican sobre una recta denominada recta real. A un punto de la misma se 
le asigna el 0, se elige un segmento unidad y se ubican los números restantes. A cada número real le 
corresponde un punto de la recta y viceversa.
 –1 – 1 __ 2 0 
1 __ 8 1 
Intervalos reales
Se denomina intervalo real a toda semirrecta o segmento de la recta real.
Algebraicamente se designa un intervalo por sus extremos encerrados entre paréntesis o corchetes:
 paréntesis, si los extremos no están incluidos (intervalo abierto);
 corchetes, si se incluyen los extremos (intervalo cerrado).
A = x ∈ ∧ –3 ≤ x ≤ 1 = [–3;1] E = x ∈ ∧ x ≥ 3,5 = [3,5;+∞)
–3 1
[ ]
 3,5 
[ 
B = x ∈ 4 < x < 7 = (4;7) F = x ∈ ∧ x > –6 = (–6;+∞)
4 7
( )
 –6 
( 
C = x ∈ –5 ≤ x < 0 = [–5;0) G = x ∈ ∧ x ≤ 1 = (–∞;1]
–5 0
[ )
 1
 ]
D = x ∈ –4 < x ≤ –1 = (–4;–1] H = x ∈ ∧ x < – 1 __ 2 = ( –∞;– 1 __ 2 ) 
–4 –1
( ]
 
 )
 – 1 __ 2 
INFOACTIVA ¿Para qué sirve?PÁGINA 2
Test de comprensión
1 ACTIVIDADES Números reales
Test de comprensión
1. Coloquen una X donde corresponda.
Número Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales
–4
 1 __ 3 
 
__
 5 
 
__
 9 
1,34
2. Representen cada uno de los siguientes intervalos en la recta numérica.
a. ( –2;3 ) c. [ 1 __ 3 ; 1 __ 2 ] 
 
b. ( –5; 
__
 5 ] d. [– 3 
___
 27 ; 3 
___
 27 ) 
 
3. Escriban el intervalo real correspondiente en los siguientes casos.
a. x ∈ ∧ x ≥ –3 = d. x ∈ ∧ –3,5 < x < 0 = 
b. x ∈ ∧ –1 ≤ x < 7 = e. x ∈ ∧ –1,2 < x ≤ 1,2 = 
c. x ∈ ∧ x ≠ 3 = f. x ∈ ∧ x ≤ –2 ∧ x > 1 = 
4. Expresen de tres formas distintas los intervalos que se indican a continuación.
a. Todos los números reales mayores o iguales que –3 y menores que 2. 
 
b. Todos los números reales mayores o iguales que –5. 
 
c. Todos los números menores que –3 o mayores o iguales que 2. 
 
d. Todos los números reales mayores que –2 y menores o iguales que –1. 
 
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Todo número que tiene infinitas cifras decimales ¿es irracional?
b. ¿Cuál es la diferencia entre (2;3) y [2;3]?
Test de comprensión
11
a. No, los números periódicos son racionales. b. El primer intervalo no incluye los extremos y el segundo, sí.
X X X
X X
X X
X X X X
X X
 
 [–3;+∞) (–3,5;0) 
 [–1;7) (–1,2;1,2] 
 (–∞;3) ∪ (3;+∞) (–∞;–2] ∪ (1;+∞)
x ∈ ∧ –3 ≤ x < 2 = [–3;2) 
x ∈ ∧ x ≥ –5 = [–5;+∞) 
x ∈ ∧ x < –3 ∨ x ≥ 2 = (–∞;–3) ∪ [2;+∞) 
x ∈ ∧ –2 < x ≤ –1 = (–2;–1] 
( )
 –2 3
( ]
–5 
__
 5 
[ ]
 1 __ 3 
1 __ 2 
[ )
– 
3
 
___
 27 
3
 
___
 27
[ )
 –3 2
[ 
 –5 
( ]
 –2 –1
) [
 –3 2
12
111098765432
Números racionales
Al efectuar la división no exacta de dos números enteros, puede suceder que:
 el resto de la división sea cero; en ese caso el cociente es una expresión decimal con un número 
finito de cifras decimales (expresiones decimales finitas).
 5 __ 2 = 5 : 2 = 2,5 
9 ___ 12 = 9 : 12 = 0,75 – 
12 ___ 10 = –12 : 10 = –1,2
 el resto nunca se anule; necesariamente se repite y al repetirse también lo hacen las cifras deci-
males del cociente, determinando el período (expresiones decimales periódicas).
 2 __ 3 = 2 : 3 = 0,6 – 
10 ___ 11 = –10 : 11 = –0,
 
90 16 ___ 15 = 16 : 15 = 1,06
Para transformar una expresión decimal periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma 
el número decimal, sin la coma, menos la parte no periódica y en el denominador, tantos 9 como cifras 
decimales periódicas tenga la expresión, seguidos de tantos ceros como cifras decimales no periódicas 
contenga.
3,2 = 32 – 3 ______ 9 = 
29 ___ 9 3,
 
15 = 315 – 3 _______ 99 = 
312 ____ 99 = 
104 ____ 33 –15,83 = – 
1 583 – 158 ___________ 90 = – 
1425 _____ 90 = – 
95 ___ 6 
Aproximación
Cuando se trabaja con números que tienen muchas o infinitas cifras decimales, se realizan aproxi-
maciones cometiendo un pequeño error que es aceptado por razones de orden práctico.
Para calcular el promedio final de las calificaciones de un alumno en una asignatura determinada, 
se suman las notas obtenidas en los tres trimestres y se las divide por 3.
Los promedios finales se aproximan por redondeo a dos decimales.
Asignatura 1.° trimestre 2.° trimestre 3.° trimestre Promedio final
Lengua 5 8 7 6,67
Historia 7 7 8 7,33
Para aproximar por redondeo se considera la cifra siguiente a la última que se va a dejar; si es mayor 
o igual que 5, se suma uno a dicha última cifra y si es menor, se deja igual.
 5 + 8 + 7 ________ 3 = 
20 ___ 3 = 6,6666... ≅ 6,67 (ε < 0,01) 
7 + 7 + 8 ________ 3 = 
22 ___ 3 = 7,3333... ≅ 7,33 (ε < 0,01)
Otra manera de aproximar es por truncamiento, que consiste en eliminar directamente las cifras que 
no desean considerarse.
 
__
 5 = 2,236067... ≅ 2,23 (ε < 0,01) e = 2,7182818... ≅ 2,7182 (ε < 0,0001)
Error
El valor más probable es el promedio de los valores obtenidos. 
_
 x = 
 x 
1
 + x 
2
 + ... + x 
n
 
 ______________ n 
Se denomina error absoluto ( ε a ) al módulo de la diferencia entre el valor 
de cada medición ( x i ) y el valor más probable (x x ). ε a = | x i – 
_
 x |
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor más probable. ε 
r
 = 
 ε 
a
 
 __ 
_
 x 
El error porcentual es el error relativo multiplicado por 100. ε 
%
 = ε 
r
 . 100
INFOACTIVA
1
¿Para qué sirve?
PÁGINA 3
13
Test de comprensión
5. Completen para obtener números racionales periódicos. Escriban la expresión decimal correspondiente.
a. 12 _____ = b. _____ 7 = c. 
2 _____ = d. _____ 3 = 
6. Rodeen con color las expresiones equivalentes en cada caso.
a. 233 ____ 100 2,33 2,3 0,233 2,033
b. 1 __ 9 1,11 0, 1 0,1 1,11
c. 2 __ 5 
4 ___ 10 4 0,4 2,5
7. Escriban como fracción irreducible los siguientes números.
a. 3,2 = c. 1,24 = e. 1,15 = 
 
g. 5,36 = 
b. 0,3 = d. 1,6 = f. 0,09 = 
 
h. 4,26 = 
8. Completen las siguientes tablas.
a. 23,1456 b. 
__
 8 
Error Truncamiento Redondeo Error Truncamiento Redondeo
ε < 0,1 ε < 0,1
ε < 0,01 ε < 0,01
ε < 0,001 ε < 0,001
9. Calculen el error porcentual de cada una de las siguientes aproximaciones por redondeo.
a. 
__
 5 , ε < 0,001 b. 15 ___ 7 , ε < 0,01
 
10. Lean atentamente y respondan.
Pablo tiene que repartir con sus tres socios los $3 000 de la ganancia de la semana. Para calcular 
cuánto dinero le corresponde a cada uno, realiza las siguientes operaciones.
 1 __ 3 = 0,333… 0,33 . $3 000 = $990 cada uno.
¿Es correcto esto? ¿Por qué?
 
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Siempre es importante trabajar con la expresión decimal exacta de un número?
b. ¿La expresión 3,2 es equivalente a 3 __ 2 ?
2 ACTIVIDADES Números racionales. Operaciones.
a. Depende del contexto que se esté trabajando. b. No, es equivalente a 29 ___ 9 .
 12 5
 6 3
Hay infinitas posibilidades.
 16 31 52 59
 5 25 45 11
 3 5 1 64
 10 3 11 15
23,1 23,1 2,8 2,8
23,14 23,15 2,82 2,83
23,145 23,146 2,828 2,828
 0,003 0,1333
No, le corresponden $1 000 a cada uno, porque al haber trabajado con la expresión decimal periódica
truncada, no se repartió el dinero en su totalidad.
14
Operaciones con números racionales
Una operación donde aparecenexpresiones decimales periódicas conviene resolverla en forma frac-
cionaria, respetando la jerarquía de las operaciones y sus propiedades.
 15 ___ 4 
. 0,26 + 5 –1 – 
_____
 0,25 = 1. Se escriben como fracción las expresiones decimales.
 15 ___ 4 
. 24 ___ 90 + 
1 __ 5 – 
____
 25 ____ 100 = 2. Se simplifica cuando sea posible.
 15 ___ 4 
. 4 ___ 15 + 
1 __ 5 – 
5 ___ 10 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.
 1 + 1 __ 5 – 
1 __ 2 = 
7 ___ 10 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
 Luego, las sumas y restas.
Si aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se deben resolver primero las operaciones que estos 
encierran.
0,08 . [ ( 1 __ 2 ) 4 . 3 
__
 8 + 
___
 25 ___ 64 ] – 0,26 = 8 ___ 90 . ( 1 ___ 16 . 2 + 5 __ 8 ) – 24 ___ 90 
 = 4 ___ 45 
. ( 1 __ 8 + 5 __ 8 ) – 4 ___ 15 
 = 4 ___ 45 
. 3 __ 4 – 
4 ___ 15 =
 = 1 ___ 15 – 
4 ___ 15 = – 
1 __ 5 
Si el cálculo está expresado como fracción, se deben resolver el numerador y el denominador por 
separado y luego, obtener el cociente correspondiente.
 0,03 . 5 _______ 
0,1
 + 
 3 
_______
 0,5 – 3 __ 8 ________ 
 2 –3 = 
 3 ____ 100 
. 5
 ________ 
 1 __ 9 
 + 
 3 
_______
 5 ___ 10 – 
3 __ 8 ________ 
 ( 1 __ 2 ) 
3
 
 
 ( 2 __ 5 + 0,3 . 9 __ 2 ) : 0,6 _____________ 
 
________
 0,21 + 1 – ( 5 __ 2 ) 
2 
 = 
 ( 2 __ 5 + 3 __ 9 . 9 __ 2 ) : 2 __ 3 _____________ 
 
_______
 21 ____ 100 + 1 – ( 5 __ 2 ) 
2 
 
 = 
 3 ___ 20 ____ 
 1 __ 9 
 + 
 3 
__
 1 __ 8 ____ 
 1 __ 8 
 = 
 ( 2 __ 5 + 3 __ 2 ) : 2 __ 3 ___________ 
 
____
 121 ____ 100 – ( 5 __ 2 ) 
2 
 
 = 3 ___ 20 : 
1 __ 9 + 
1 __ 2 : 
1 __ 8 = 
 19 ___ 10 : 
2 __ 3 _______ 
 11 ___ 10 – 
25 ___ 4 
 
 = 27 ___ 20 + 4 = 
 57 ___ 20 _____ 
– 103 ____ 20 
 
 = 107 ____ 20 = 
57 ___ 20 
. ( – 20 ____ 103 ) 
 
 = – 57 ____ 103 
INFOACTIVA
12111098765432
15
Test de comprensión
3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
11. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. 3 __ 5 
. 15 – 1,2 . ( –0,5 ) = f. ( 0,54 . 3 __ 7 ) . 1 __ 7 – ( 0,24 + 3 __ 5 + 0,26 ) =
 
 
b. 5 __ 3 : 
15 ___ 9 + 0,3 : 0,5 = g. ( 0,18 + 0,21 ) : ( 0,2 + 0,05 ) + 0,3 =
 
 
c. ( 0,583 – 0,3 : 1 __ 2 ) . 1,2 = h. ( 0,35 : 0,15 + 1 __ 4 ) . ( 0,002 : 0,007 + 1 ) =
 
 
d. ( 3 – 1 __ 5 : 0,7 ) . ( 15 ___ 4 . 0,2 ) = i. – ( 0,4 . 11 __ 8 + 2 ) + ( 0,2 + 1,1 ) . 3,5 =
 
 
e. – ( 3 __ 5 + 0,09 : 0,03 ) – 0,5 : 0,125 = j. [ 2 . 0,2 + (–10 + 3,75) : 3 __ 2 ] : 0,3 = 
 
 
12. Resuelvan.
a. 0,2 2 = e. 
____
 2,7 = 
 
b. 2,3 –3 = f. 
___
 0,4 = 
 
c. 0,3 2 = g. 
______
 0,009 = 
 
d. 1,6 3 = h. 3 
______
 0,064 = 
 
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Al resolver una operación, ¿por qué conviene escribir las expresiones decimales periódicas 
como fracción?
b. Las expresiones decimales periódicas, ¿cumplen con las propiedades de los números naturales?
a. Porque así se tienen en cuenta todos sus decimales. b. Sí, cumplen con las mismas propiedades.
 29 ___ 3 – 
97 ___ 90 
 8 __ 5 
 16 ___ 9 
– 1 ___ 50 
93 ___ 28 
 95 ___ 42 
 37 ___ 18 
– 38 ___ 5 – 
113 ___ 10 
 4 ___ 81 
5 __ 3 
 27 ____ 343 
2 __ 3 
 9 ____ 100 
1 ___ 10 
 125 ____ 27 
2 __ 5
16
3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
13. Escriban el cálculo combinado que responde a cada pregunta y resuelvan.
a. ¿Cuál es la mitad de la quinta parte de veinte? 
b. ¿Cuál es el inverso del triple de 0,3? 
c. ¿Cuál es el triple de 0,2 aumentado en 0, 1? 
d. ¿Cuál es el doble de 0,07 disminuido en 1 __ 2 ? 
14. Encuentren el error en la resolución de los siguientes cálculos, si es que lo hay. Luego, resuél-
vanlos correctamente. 
a. – 0,3 2 + (0,5 + 0,3) . 5 = b. 
_________
 2,5 + 0,2 . 
____________
 2 . 0,7 + 0,2 2 + 0,03 =
 – ( 1 __ 3 ) 
2
 + 0,8 . 5 = 
______
 23 ___ 9 + 
2 __ 9 
. 
______
 7 __ 5 + 
1 ___ 25 + 
3 ___ 90 =
 – 1 __ 9 + 4 = 
37 ___ 9 1,6 
. 6 __ 5 + 
3 ___ 90 = 
61 ___ 30 
 
 
 
15. Resuelvan. 
a. 
 
________________
 0,04 . 10 __ 8 – 0,015 
 __________________ 
0,2
 = c. 
 5 
_______________
 0,24 + 3 __ 5 + 0,15 
 _________________ 
 
_______
 0,027 
 =
 
 
 
 
b. 0,2 + 1, 1 ________ 
0,6
 + 
0,4 . 3,5
 _______ 
0,3
 = d. 
 3 
________________________
 (0,7 + 0,3) 5 . (2,7 : 10) . 0,1 –1 
 _________________________ 
 (2,9 : 7) 3 
 =
 
 
 
 
20 . 1 __ 5 : 2 = 2
 
 ( 1 __ 3 . 3 ) 
–1
 = 1 
3 . 0,2 + 0, 1 = 7 __ 9 
2 . 0,07 – 1 __ 2 = – 
31 ___ 90 
En el segundo término, se toma 0,3 como 0,3 al 
resolver la sustracción.
El cálculo está resuelto correctamente.
 
 9 ___ 10 6
 20 ___ 3 
343 ____ 90
17
16. Marquen las opciones correctas.
a. ( 0,6 . 3 
___
 125 ____ 8 + 0,1 ) : 1,75 = 32 ___ 35 8 __ 7 14 ___ 5 
b. ( 1,6 + 0,1 ) 2 : 8 __ 9 = 
113 ___ 36 
32 ___ 9 3,6125
c. 
 10 ___ 9 + 0,2 ________ 
 1 __ 3 
 + 0,3 2 = 
5 __ 3 
37 ___ 9 
4 __ 3 
d. 
________
 0,20 . 11 __ 5 – ( 0,3 – 1 ) 
0 = 0 –0,33 – 1 __ 3 
e. ( 0,35 + 1 __ 9 ) : 0,05 + 3 __ 2 = – 99 ___ 10 99 ___ 10 9 ___ 10 
17. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
a. 3 
_________
 2 – 1,992 + 7 __ 3 – ( 0,45 . 
___
 121 + 0,3 ) = e. 0,6 2 + 0,05 . [ ( 3 
___
 1 ____ 125 ) 
2
 . 5 __ 9 + 0,3 ] 
 –1
 =
 
 
 
b. [ 2,02 – ( 0,2 – 0,17 + 1,3 – 2 ) ] : 3 
______
 0,008 = f. 0,
 
18 . 1,1
 _________ 
 ( 3 __ 2 + 2,5 ) 
2
 
 + 0,1 =
 
 
 
c. 
____
 
__
 1 ___ 81 + ( 0,2 – 1,03 ) : 0,01 = g. 
 
_____________________
 ( 0,6 + 0,32 + 1 __ 6 ) : 0,02 
 _______________________ 
0,23 + 53 ___ 30 
 =
 
 
 
d. 
_________
 1,4 + 0,04 + 
_________________
 ( 1,5 – 1,2 ) : ( 1 – 1 __ 3 ) – ( 0,03 _____ 0,5 ) 
–1
 = h. 
 
_______
 0,04 . 1 __ 4 
 . [0, 9 – (0,03 + 0, 1)]
 __________________________ 
 ( 3 
_____________
 0,14 – 1 __ 2 
 . 0,03 ) 
–1
 
 =
 
 
 
3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
 X 
 X 
 X 
 X
 X 
– 14 ___ 5 
173 ____ 288 
 
 40 ___ 3 
9 ___ 80 
– 218 ____ 3 
7 __ 2 
 – 113 ___ 10 
77 _____ 1 800 
18
INTEGRACIÓN
18. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según 
corresponda. Expliquen las respuestas.
Todo número...
a. ... natural es un número entero. 
b. ... entero es un número natural. 
c. ... real es un número natural. 
d. ... irracional es un número real. 
e. ... irracional es un número racional. 
19. Hallen el valor de x en cada caso e indiquen 
a qué conjunto numérico pertenece la solución.
a. c. Perímetro = x
 2,3 cm
 1 __ 3 cm
 7 cm
5 cm
x
b. d. Área = x 
4 cm
x
3 cm
 
 
__
 2 cm
5 cm
20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según 
pertenece (∈) o no (∉) al intervalo.
a. 2 ∈ (2;5] 
b. 2 ∈ [2;5] 
c. 5 ∉ (2;5] 
d. 5 ∉ (2;5) 
e. 0 ∈ (–5;–1) 
f. –3 ∈ [–3;2] 
21. Representen los siguientes intervalos en la 
recta numérica.
a. x ∈ ∧ –3 < x < 5
b. x ∈ x ≤ –1 ∧ x > 1 __ 5 
c. x ∈ ∧ 1 __ 3 < x ≤ 
7 __ 2 
d. x ∈ ∧ x ≥ 5
22. Respondan.
a. ¿Cuántos números naturales, incluido el cero, 
se encuentran en el intervalo (–2;4]? ¿Y núme-
ros enteros?
b. ¿Cuántos números reales se encuentran en elintervalo [–2;–1]?
23. Escriban el intervalo indicado en cada caso. 
Luego, represéntenlo en la recta numérica.
a. Todos los números reales mayores o iguales 
que 5.
b. Todos los números reales mayores que 3 y 
menores o iguales que 8.
c. Todos los números reales menores o iguales 
que 3 
___
 34 .
d. Todos los números reales mayores que – 1 __ 2 y 
menores que 3.
e. Todos los números reales mayores o iguales 
que – 7 __ 5 y menores o iguales que 0
f. Todos los números reales mayores que 0.
24. Representen de dos maneras distintas los 
siguientes intervalos.
a. [2;3)
b. (–∞; –5] ∪ (7; +∞)
c. [–2; +∞)
d. (–∞;–1] ∪ [2;+∞)
25. Escriban los intervalos representados en 
cada recta.
a. 
 3 5
) [
b.
 –3 5
( )
c.
 1
 (
d.
 –2 3
[ )
e. 
 –4 2
] [
f.
 –8 –1
( ]
 V
 F
 F
 V 
 F
 P = 79 ___ 15 , , .
x = 
___
 74 cm, y . 
x = 5 cm, , , , . 
 A = 5 . 
__
 2 , y .
 F V
 V F 
 F V
Solución a cargo del alumno.
 5 números naturales. 6 números enteros. 
 Hay infinitos números reales.
 [5;+∞) 
 (3;8] 
 (–∞; 3 
___
 34 ] 
 ( – 1 __ 2 ;3 ) 
 [– 7 __ 5 ; 0 ] 
 (0;+∞)
 x ∈ ∧ –2 ≤ x < 3
 x ∈ ∧ x ≤ –5 ∨ x > 7
 x ∈ ∧ x ≥ –2
 x ∈ ∧ x ≤ –1 ∨ x ≥ 2
Recta numérica a cargo del alumno.
(–∞;3) ∪ [5;+∞) 
(–3; 5) 
(1; +∞) 
[–2; 3)
(–∞;–4] ∪ [2;+∞)
(–8; –1]
19
1*2*3
CONTENIDOS
26. Escriban la expresión decimal de cada una 
de las siguientes fracciones. Clasifíquenlas.
a. 3 __ 2 = e. 
1 __ 9 =
b. 7 ___ 28 = f. 
5 __ 9 =
c. 1 ___ 15 = g. 
12 ___ 5 =
d. 3 ___ 16 = h. 
15 ___ 9 =
27. Completen el siguiente cuadro realizando 
una aproximación por truncamiento.
Número 1,345 
__
 6 2 __ 3 
3
 
__
 7 
ε < 0,1
ε < 0,01
ε < 0,001
ε < 0,0001
28. Completen el siguiente cuadro realizando 
una aproximación por redondeo.
Número 2,345 
__
 7 2 __ 9 
3
 
__
 3 
ε < 0,1
ε < 0,01
ε < 0,001
ε < 0,0001
29. Calculen el error porcentual de cada una de 
las siguientes aproximaciones por redondeo con 
ε < 0,01.
a. 113 ___ 9 c. 
__
 7 e. 
__
 2
b. 
__
 5 d. 5 __ 7 f. 
4 __ 7 
30. Aproximen por redondeo a los milésimos el 
número 25 ___ 14 e indiquen los errores.
a. ε 
a
 b. ε 
r
 c. ε 
%
 
31. Lean atentamente, escriban el cálculo en 
cada caso y resuelvan.
a. El doble de la tercera parte de 15, aumenta-
do en la raíz cuadrada del doble de 9 __ 8 .
b. La diferencia entre un cuarto de 16 ___ 9 y las tres 
quintas partes de 25.
c. La raíz cuadrada de la suma entre un quinto 
de cinco y el producto de 36 ___ 5 y 
10 ___ 9 .
d. El cociente entre el cuadrado de la diferen-
cia entre un tercio y tres quintos, y cinco 
medios elevado a menos uno.
e. La raíz cúbica de la diferencia entre uno y 
siete octavos, disminuida en el doble de la raíz 
cuadrada de 2,7.
f. La diferencia entre el cociente de la raíz cua-
drada de 81 ___ 16 y la raíz cuarta de 
81 ___ 16 , y el doble 
de cinco cuartos.
32. Resuelvan las siguientes operaciones combi-
nadas.
a. –3 . 3,2 + ( 1 __ 5 – 1 __ 3 ) =
b. ( 9 __ 7 . 0,25 – 5 __ 7 ) . 
___
 121 =
c. ( 0,6 + 0,02 – 1 ___ 20 . 2,2 ) : 1,4 =
d. 0,4 . 3,3 + 0,2 + 0,3 2 + 0,2 =
e. ( 0,2 + 0,5 ) . 1,5 1 –1 + 1 __ 3 + 0,7 : 1,5 =
f. [ 11 – ( 0,5 : 0,1 + 3,3 + 0,2 ) ] 2 =
g. [ – 5 __ 3 . ( 0,5 – 0,2 + 1 ___ 10 . 3,3 : 1,6 ) + 1 ] – 0,7 =
h. ( –0,3 + 2 . 0,5 ) – ( 0,09 + 0,2 ) . 1 ___ 29 + 0, 1 =
i. [ 0,5 : 5,9 : ( 0,7 – 0,3 ) + 1 ] : ( – 1 __ 2 ) =
j. 
 
________________
 ( 6,19 – 5,29 ) . 0,1 
 ___________________ 
0,07 – 0,13 . 9 + 1
 =
k. 
 [ ( 1 __ 4 ) 2 . 4 
___
 16 + 5 __ 8 ] . 0,08
 ____________________ 
0,26 =
l. 
 –0,2 + ( 1,3 – 0,3 ) : ( – 1 __ 6 ) 
 _____________________ 
1,3 : 0,83 – 0,2 . 9 __ 5 
 =
1
capítulo
1,5 E.D.F. 0, 1 E.D.P.
 0,25 E.D.F. 0,5, E.D.P.
0,06, E.D.P. 2,4 E.D.F.
 0,1875, E.D.F. 1,6, E.D.P.
0,03538 0,1606 0,2979
0,1758 0,6 0,25
 25 ___ 14 ≅ 1,786
a. |1,786 – 25 ___ 14 | b. ε r = |
1,786 – 25 ___ 14 | __________ 
 25 ___ 14 
 
c. ε 
%
 = |1,786 – 
25 ___ 14 | __________ 
 25 ___ 14 
 . 100
 23 ___ 2 
 – 131 ___ 9 
 3
 8 ___ 45 
 – 17 ___ 6 
 –1
 – 49 ___ 5 
 – 30 ___ 7 
 2 __ 5 
 17 ___ 9 
 4 __ 3 
 9 
 – 11 ___ 18 
 0,8 
 – 29 ___ 12 
 – 27 ___ 11 
 1 __ 4 
 –5
1,3 2,4 0,6 1,9
1,34 2,44 0,66 1,91
1,345 2,449 0,666 1,912
1,3455 2,4494 0,6666 1,9129
2,3 2,6 0,2 1,4
2,35 2,65 0,22 1,44
2,346 2,646 0,222 1,442
1,3456 2,6458 0,2222 1,4422
20
Módulo de un número real
El módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real. Para todo 
número real x, su módulo se expresa: |x|.
∀x ∈ : |x| = { x si x ≥ 0 –x si x < 0 
|3| = 3 |–5| = –(–5)
 –5 0 3
|–5| = 5 |3| = 3
Propiedades del módulo
 |x| ≥ 0 | 2 __ 3 | = 2 __ 3 |0| = 0 |–15,7| = 15,7
 |x| = |–x| |4,03| = |–4,03| |247| = |–247| 
 = –(–4,03) = 4,03 = –(–247) = 247
 |x + y| ≤ |x| + |y| |3,2 + 5| ≤ |3,2| + |5| |8,9 + (–6)| ≤ |8,9| + |–6|
 |8,2| ≤ 3,2 + 5 |2,9| ≤ 8,9 + 6
 8,2 ≤ 8,2 2,9 ≤ 14,6
 |x . y| = |x| . |y| |4 . (–3)| = |4| . |–3| |–2,4 . 1,95| = |–2,4| . |1,95|
 |–12| = 4 . 3 |–4,68| = 2,4 . 1,95
 12 = 12 4,68 = 4,68
Para entender mejor las propiedades que siguen, se representan los siguientes intervalos reales.
–a 0 a
 ()( )
 x < –a –a < x < a x > a
 |x| > a ∧ a > 0 ⇒ x > a ∨ x < –a ⇒ x ∈ (–∞;–a) ∪ (a;+∞)
–a 0 a
()
 |x| > a
|x| > 8 ∧ 8 > 0 ⇒ x > 8 ∨ x < –8 |x| ≥ 4,1 ∧ 4,1 > 0 ⇒ x ≥ 4,1 ∨ x ≤ –4,1
 ⇒ x ∈ (–∞;–8) ∪ (8;+∞) ⇒ x ∈ (–∞;–4,1] ∪ [4,1;+∞)
 |x| < a ∧ a > 0 ⇒ –a < x < a ⇒ x ∈ (–a;a)
–a 0 a
( )
 |x| < a
|x| < 3 ∧ 3 > 0 ⇒ –3 < x < 3 |x| ≤ 2 __ 5 ∧ 
2 __ 5 > 0 ⇒ – 
2 __ 5 ≤ x ≤ 
2 __ 5 
 ⇒ x ∈ (–3;3) ⇒ x ∈ [ – 2 __ 5 ; 2 __ 5 ]
INFOACTIVA
131211109876543
21
Test de comprensión
33. Calculen los siguientes módulos.
a. |–3| = d. |–a| = g. |3 . (–2)| = 
b. |–20| = e. |3 – 5| = h. |–12 : 6| = 
c. |a| = f. |5 + 7| = i. |3 . (–5) – 8| = 
34. Completen con <, > o =, según corresponda.
a. |–45| |45| c. |a + 3| |a| + |3| e. |x| . |–2| |x| . (–2)
b. –3 |3| d. |–2 + 5| |–2| + |5| f. |5 . (–3)| |5| . |–3|
35. Escriban el conjunto solución.
a. |x| = 3 c. |x| 2 e. |x| > 2,3
 
b. |x| = –5 d. |x| 3 f. |x| < 0, 1
 
36. Resuelvan los siguientes cálculos.
a. | –3 + 1 __ 3 | : 0,6 + 3 
_______
 | –0,125 | = c. 
3
 
______
 0,008 – | –2,3 + 2,5 | 
 ___________________ 
 | 
____
 0,64 – 3 | 
 =
 
 
b. |–3 + 0,2| – | – 
__
 1 __ 4 | – 1 – 0,2 ______ 0,2 = d. 
 | 1, 5 – 1, 2 – 3 | 
 _____________ 
0,6
 =
 
 
37. Representen sobre la recta numérica los conjuntos de números que se indican a continuación.
a. |x| = 3 __ 5 e. x < 0 ∧ |x| > 7 
b. |x| ≥ a f. |x| < 4 ∧ x > 9 
c. |x| ≤ 4 ∧ x ≥ 4 g. |x| > 2 ∨ x = 0 
d. |x| > 2 ∧ x < 3 h. |x| < 6 ∨ x = 2 
4 ACTIVIDADES Módulo de un número real
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Dos números opuestos ¿tienen el mismo módulo?
b. ¿Cuál es el signo del valor del módulo del cociente entre un número positivo y otro negativo?
a. Sí, porque ambos se ubican a la misma distancia del cero en la recta numérica. b. El resultado es positivo.
 
 3 a, si a > 0 6
 20 2 2
 a, si a > 0 12 23
 = < >
 < < =
S = {–3;3} [–2;2] ( –∞;– 7 __ 3 ) ∪ ( 7 __ 3 ;+∞ ) 
Absurdo. (–∞;–3] ∪ [3;+∞) ( – 1 __ 9 ; 1 __ 9 )
 
 9 __ 2 0
– 13 ___ 10 4
 
 
 x x –7
 
 –a a ø
 4 –2 0 2
 
 –2 0 2 3 –6 6
 
] [
) (
( )) ( )
)
22
Ecuaciones
Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de la/s variable/s.
h + h = 2h m + n = n + m cn + dn = (c + d) . n 3,5x + 2 – x + 0,4 = –0,6x + 1,3
Unaecuación es una igualdad que se verifica para uno, algunos o ningún valor de la/s variable/s.
x + 3 = 0 8 – 2x = 0 x + 5 = x – 2 a + 2b + c = 0 9 + x = 4 – 2 x 2 – 8
Resolver una ecuación es encontrar, si existen, el o los valores de las variables que verifican la 
igualdad planteada. Dichos valores determinan el conjunto solución de la ecuación.
Una ecuación de primer grado o lineal es aquella cuya forma general es: ax + b = 0, siendo a y b 
números reales y a ≠ 0.
–6 . ( x – 1 __ 3 ) = ( – 4 __ 5 x + 2 ) : 1 __ 2 3x – 2 + 2 . ( 1 __ 3 x + 1 __ 4 ) = x – 4 __ 3 . (x – 4)
 –6x + 2 = – 8 __ 5 x + 4 3x – 2 + 
2 __ 3 x + 
1 __ 2 = x – 
4 __ 3 x + 4
 –6x + 8 __ 5 x = 4 – 2 
11 ___ 3 x – 
3 __ 2 = – 
1 __ 3 x + 4
 – 22 ___ 5 x = 2 4x = 
11 ___ 2 
 x = – 5 ___ 11 x = 
11 ___ 8 
Ecuaciones con módulo
Para resolver ecuaciones lineales en las que aparecen módulos que incluyen la incógnita, se deben 
tener presentes tanto la definición de este concepto como sus propiedades.
|x + 5| = 8 Se elimina el módulo, aplicando la definición.
x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ –5 ∨ x + 5 < 0 ⇒ x < –5
x + 5 = 8 ⇒ x = 3 ∨ –x – 5 = 8 ⇒ x = –10
 –5 0 3
[
 –10 –5 0
)
 Solución = {–10; 3}
2 . |2 – 3x| + 5 = x + 9 Se elimina el módulo, aplicando la definición.
2 – 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2 __ 3 ∨ 2 – 3x < 0 ⇒ x > 
2 __ 3 
2 . (2 – 3x) + 5 = x + 9 ∨ 2 . (–2 + 3x) + 5 = x + 9
 4 – 6x + 5 = x + 9 –4 + 6x + 5 = x + 9
 –7x = 0 5x = 8
 x = 0 x = 8 __ 5 
0 2 __ 3 1
]
 0 2 __ 3 1 
8 __ 5 
(
 Solución = {0; 8}
INFOACTIVA
1413121110987654
23
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿La solución de la ecuación –3x = 15 es x = 18?
b. ¿Es cierto que en |x – 5| = –2 el valor de x es igual a 3?
38. Marquen las opciones correctas. 
a. ¿Cuáles ecuaciones tienen infinitas soluciones?
 7a + 2a = 9a 7a + 2a = 9 7 + 2a = 9a 7 + 2a = 9
b. ¿Cuáles ecuaciones tienen solución única?
 8 – |x| = |x| b . 1 __ 2 = b + 0,6 2a – b = –b + 2a |a| + 2 = 5
c. ¿Cuáles ecuaciones no tienen solución?
 x + 5 = 1,7 – x x – 0,2 = x + 1 __ 5 –x + 
3 __ 7 = 2x + 1 2 . (x – 4) = x – 4
39. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. 5 __ 3 x + 8,2 = 10 – 
5 __ 6 x d. 2,4 
. ( – 5 __ 11 + 3x ) = 1,5 . ( – 3 __ 7 x + 1 ) 
 
 
b. 2,6 + 5,2 = –x + 7 __ 8 x e. x – ( 2x + 0,32 ) – 3x = 
1 __ 9 + 9x
 
 
c. 1,8 + 0,3x – 1 __ 3 = –0,7x f. –0,4 
. ( 2,8 – 0,4 ) + 7 ___ 15 x = ( 0,3x – 0,3 _________ –15 ) . (–13)
 
 
40. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulos.
a. | x + 5 | = 2,5 c. 0,25 . | –3x + 4 | = 7 __ 4 x
 
 
 
b. | 2x – 1 | = 0,5 d. 2 . | 1 __ 2 x – 0,25 | = 2x – 3 __ 4 
 
 
41. Planteen las ecuaciones y resuelvan.
a. El quíntuplo del módulo del siguiente del tercio 
de un número es igual a dos.
b. La cuarta parte de la suma entre un número y 
su anterior es igual al siguiente de su triple.
 
 
5 ACTIVIDADES Ecuaciones
a. No, es –5. b. No, porque el módulo de un número real es siempre positivo.
 
 X
 X
 X
x = 18 ___ 25 x = 
1 __ 3 
x = – 944 ____ 15 – 
1 ___ 30 
x = – 7 __ 5 x = 
10 ___ 3 
x = –2,5; x = –7,5 x = 2 __ 5 
x = 7 __ 9 ; x = 
2 __ 9 x = 
5 ___ 12 
5 . | 1 __ 3 x + 1 | = 2; x = – 9 __ 5 ; x = – 21 ___ 5 1 __ 4 . (x + x – 1) = 3x + 1; x = – 1 __ 2 
24
Inecuaciones
Las desigualdades que contienen variables se llaman inecuaciones.
Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y el con-
junto solución es un intervalo real o el conjunto vacío.
Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o se multiplique 
a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.
 –5x > 7 – 2 __ 5 x ≤ –4 –2x < 9 – 
3 __ 4 x ≥ –2
 –5x : (–5) < 7 : (–5) – 2 __ 5 x : ( – 2 __ 5 ) ≥ –4 : ( – 2 __ 5 ) –2x : (–2) > 9 : (–2) – 3 __ 4 x : (– 3 __ 4 ) ≤ –2 : (– 3 __ 4 ) 
 x < – 7 __ 5 x ≥ 10 x > – 
9 __ 2 x ≤ 
8 __ 3 
 S = ( –∞;– 7 __ 5 ) S = [10;+∞) S = ( – 9 __ 2 ;+∞ ) S = ( –∞; 8 __ 3 ] 
 
Inecuaciones con módulo
 |3x – 5| < 4 Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.
 3x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5 __ 3 ∨ 3x – 5 < 0 ⇒ x < 
5 __ 3 
 3x – 5 < 4 ⇒ x < 3 ∨ –3x + 5 < 4 ⇒ x > 1 __ 3 
 x ≥ 5 __ 3 ∧ x < 3 ⇒ 
5 __ 3 ≤ x < 3 x < 
5 __ 3 ∧ x > 
1 __ 3 ⇒ 
1 __ 3 < x < 
5 __ 3 
0 1 5 __ 3 2 3
[ ) [ 5 __ 3 ;3 ) 
0 1 _ 3 1 
5
 __ 3 2 3
( ) ( 1 __ 3 ; 5 __ 3 ) 
La solución es la unión de los intervalos: S = ( 1 __ 3 ; 5 __ 3 ) ∪ [ 5 __ 3 ;3 ) = ( 1 __ 3 ;3 ) 
 
0 1 _ 3 1 2 3
( )
 4 . |x + 3| – 1 > 1 – x Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.
 x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ –3 ∨ x + 3 < 0 ⇒ x < –3
 4 . (x + 3) – 1 > 1 – x ∨ 4 . (–x – 3) – 1 > 1 – x
 4x + 12 – 1 > 1 – x –4x – 12 – 1 > 1 – x
 5x > –10 ⇒ x > –2 –3x > 14 ⇒ x < – 14 ___ 3 
 x ≥ –3 ∧ x > –2 ⇒ x > –2 x < –3 ∧ x > – 14 ___ 3 ⇒ x < – 
14 ___ 3 
–6 –5 –4 –3 –2 –1
[ ( ( –2;+∞) 
–6 –5 – 14 __ 3 –4 –3 –2 –1
) ) ( –∞;– 14 ___ 3 ) 
La solución es la unión de los intervalos: S = ( –∞;– 14 ___ 3 ) ∪ ( –2;+∞ ) 
 
–6 –5 – 14 __ 3 –4 –3 –2 –1
) (
INFOACTIVA
15141312111098765
25
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que la solución de la inecuación –5x ≤ 20 es x ≥ –4?
b. ¿La inecuación |x – 3| < 4 tiene como solución todos valores que se encuentran entre –1 ≤ x ≤ 7?
42. Marquen las opciones correctas.
a. La solución de – x __ 5 
. (–4) ≤ –20 es: (–∞;–25) (–∞;–25] (–25;+∞) [–25;+∞)
b. La solución de |4x – 2| < 4 es: [ 1 __ 2 ; 3 __ 2 ) ( – 1 __ 2 ; 1 __ 2 ) ( – 1 __ 2 ; 3 __ 2 ) ( – 1 __ 2 ; 3 __ 2 ] 
c. La solución de 2 . |x – 6| > 4 es: [4;8] (8;+∞) (–∞;4) (–∞;4) ∪ (8;+∞)
43. Resuelvan las siguientes inecuaciones y escriban el conjunto solución.
a. 0,6x – 1 __ 9 ≥ – 
5 ___ 18 d. –0,3 
. ( 1 __ 3 x – 5 ___ 12 ) ≤ 0,3x
 
 
 
b. 7 __ 6 x – 3,2 < 
9
 __ 2 x e. 
4,1x + 8,4
 _________ 2x ≤ 0,9
 
 
 
c. 1 __ 2 x + 5,07 – x > 5,57 f. 
–3x _____ x – 1 < 2,8
 
 
44. Resuelvan las siguientes inecuaciones con módulo y escriban el conjunto solución.
a. 6 . |x – 2| ≤ 8x c. 4 . (x + 1) < |x – 3| + 4x
 
 
b. |–5| . |2x – 3| ≥ 10 d. 3 . |4x – 1| > 10x
 
 
45. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El módulo del anterior del triple de un 
número es menor que el módulo de menos 
cinco.
b. La tercera parte del siguiente de un número 
es mayor que la suma entre dicho número y su 
doble.
 
 
6 ACTIVIDADES Inecuaciones
a. Sí, al pasar el –5 dividiendo cambia el sentido de la desigualdad. b. No, no se deben considerar los extremos.
 X
 X 
 X 
S = [ – 1 __ 4 ;+∞ ) S = [ 15 ___ 52 ;+∞ ) 
S = ( – 29 ___ 30 ;+∞ ) S = [–4;0 ) 
S = ( –∞;–1 ) S = (–∞; 26 ___ 53 ) ∪ ( 1;+∞ )
S = [ 6 __ 7 ;+∞ ) S = (–∞;–1) ∪ (7;+∞) 
S = ( –∞; 1 __ 2 ] ∪ [ 5 __ 2 ;+∞ ) S = ( –∞; 3 ___ 22 ) ∪ ( 3 __ 2 ;+∞ ) 
|3x – 1| < |–5|; S = ( – 4 __ 3 ;2 ) 1 __ 3 . (x + 1) ≥ x + 2x; S = ( –∞; 1 __ 8 ) 
26
INTEGRACIÓN
46. Calculen los siguientes módulos.
a. |–15| = e. |–3 . 20| =
b. |–29| = f. |10 : (–2)| =
c. |45| = g. |2 + 4 . 3| =
d. |–1 – 5| = h. |12 : (–6) + 1| =
47. Respondan.
La distancia de un número a cero es 5. ¿Cuáles son 
los números que cumplen con esa condición?
48. Escriban el conjunto de valores que verifican 
las siguientes igualdades.
a. |x| = 23 c. |x| = 0
b. |x| = –4 d. |x| = 7
49. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La tercera parte de la diferencia entre el doble 
de un número y su mitad es igual al doble del 
cuadrado de tres. ¿Cuál es ese número?
b. El anterior de la mitad de un númeroes igual 
al doble del mismo. ¿Cuál es dicho número?
c. La suma de dos números consecutivos es 
igual al triple del siguiente de dicho número. 
¿Cuáles son esos números?
d. La diferencia entre el triple de un número y 
su quinta parte, es igual al doble de seis 
quintos.
50. Resuelvan las ecuaciones.
a. 0,7 . (x + 1) = 0,2 + 0,7
b. –2x + 3 _______ 3 + 
x __ 6 = 2x
c. 5 __ 2 x + 0,3 = 
3x + 1 ______ 2 + 
0,2x
 ____ 4 
d. 7 – 8x ______ 6 + 
2x – 2 ______ 3 = 
–10x + 1 ________ 3 
e. 2,1 x + 1 __ 4 x – 3 
. ( 1 __ 9 x – 1 __ 6 ) = 6 –2 x
51. Escriban en lenguaje coloquial.
a. 2 . (0,5 + x) = x + 1
b. 1 __ 4 
. ( 1 __ 3 x – 1 ) = 5x – 2
c. |x + 5| : 2 = |–16|
d. 3 . 1 __ 2 = 3 
. | 2x – 1 __ 2 | 
52. Resuelvan las siguientes ecuaciones con 
módulo.
a. |x| + 5 = 12 e. |x + 4| = 2
b. |x| + 4 = 12 f. 1 __ 3 
 . |x + 1| = 2
c. –2 . |x| + 1 = –11 g. 3 . |x – 3| + 1 = 7
d. 0,2 – |x| = 0 h. –2 . |x –1| – 3 = –15
53. Escriban el conjunto representado como 
ecuación o inecuación con módulo.
a. 
–3 3
b. 
–5 5
[ ]
c. 
–1 1
) (
54. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El módulo de la diferencia entre un número 
y cinco es siete. ¿Cuál es dicho número?
b. El doble del módulo de la suma de un núme-
ro y cuatro es doce. ¿Cuál es dicho número?
c. La tercera parte del módulo de la suma 
entre un número y uno es uno. ¿Cuál es dicho 
número?
d. El triple del módulo de la suma entre siete y 
un número es nueve. ¿Cuál es dicho número?
55. Calculen todos los números que verifican las 
siguientes igualdades.
a. |x| + 4 = 5 d. 5 __ 3 + 0,2 – |x| = 1
b. 2 __ 3 
 . |x| – 2 = 3 e. |x + 4| = 3
c. 5 __ 2 – |x| = 4 f. 2 + 3 . |x + 1| = 
5 __ 2 
56. Unan cada ecuación con su conjunto solución.
a. |x – 4| = 2 {0;8}
b. |2x – 4| = 2 {2;6}
c. 2 . |x – 4| = 2 {3;5}
d. |x – 4| : 2 = 2 {1;3}
 15 60
 29 5
 45 14
 6 1
–5 y 5
 S = {–23; 23} S = {0}
 Absurdo. S = {–7; 7}
Solución a cargo del alumno.
x = 13 ___ 70 
x = 2 __ 5 
x = 3 ___ 17 
x = – 1 ___ 16 
x = – 1 __ 4 
Solución a cargo del alumno.
 S = {–7;7} S = {–6;–2}
 S = {–8;8} S = {–7;5}
 S = {–6;6} S = {1;5}
 S = {– 1 __ 5 ; 1 __ 5 } S = {–5;7}
|x| = 3 
|x| ≤ 5 
|x| > 1
a. –2;12 b. –10;2 c. –4;2 d. –10;–4
 S = {–1;1} S = {– 8 __ 9 ;– 8 __ 9 }
 S = {– 15 ___ 2 ; 15 ___ 2 } S = {–7;–1}
 S = ∅ S = {– 7 __ 6 ;– 5 __ 6 }
27
4*5*6
CONTENIDOS
57. Escriban el conjunto solución de las siguien-
tes inecuaciones.
a. |x| > 3 d. |x – 2| < 4
b. |x| ≤ 
__
 7 e. 2 . |x – 3| ≥ 8
c. |x + 1| > 2 f. 1 __ 3 . |x + 4| ≤ 2
58. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según 
corresponda.
a. Una ecuación es una igualdad que se verifica 
para todos los valores de la variable. 
b. Toda ecuación lineal es de la forma 
ax + b = 0. 
c. En la ecuación |2x – 7| = –3, el valor de 
x es 2. 
d. El conjunto solución de una inecuación siem-
pre es un intervalo real. 
e. Cuando se multiplican ambos miembros de 
una desigualdad por un número negativo, la 
desigualdad no cambia su sentido. 
59. Escriban la expresión con módulo que 
corresponde a cada representación.
a. 
–3 3
) (
b. 
0 1 __ 3 
[ )
c. 
–2 2 4
d. 
–a a
[ ]
60. Escriban en lenguaje simbólico y obtengan 
el conjunto solución.
a. La quinta parte del anterior de un número es 
mayor o igual que el doble de dicho número.
b. El siguiente del triple de un número es menor 
que dicho número aumentado en dos novenos.
c. El doble del módulo de la tercera parte de un 
número disminuido en nueve es menor que siete.
61. Unan cada inecuación con su conjunto solución.
a. 2 . (x – 1) 3 < 16 x > 2
b. –2 . (x – 1) 3 > 16 x < 3
c. [2 . (x + 1)] 3 > 8 x > 0
d. [–2 . (x + 1)] 3 < –8 x > –1
62. Marquen las opciones correctas.
a. El doble del módulo del siguiente de un 
número es menor que su triple.
 2 . |x + 1| < 3x |2x + 1| < 3x 
 |2 . (x + 1)| < 3x |2x| + 1 < 3x 
b. El módulo del anterior de la mitad de un 
número es mayor que su doble.
 | 1 __ 2 . (x – 1) | ≥ 2x 1 __ 2 . | x – 1 | ≥ 2x 
 | 1 __ 2 x – 1 | ≥ 2x | 1 __ 2 . x| – 1 ≥ 2x 
63. Resuelvan las inecuaciones con módulo.
a. 5 + |3x – 4| ≤ 12 – 4x
b. 3 – (2x – 8) + 5 > |–x – 4| . |–3|
c. 2 . (2x – 6) < |3x – 7| + 3
d. 4 . |2x + 5| + 3 ≥ 1 __ 2 . (4x + 6)
e. 6 + |2x + 3| – 4x > 5x + 1
f. |7x – 4| + 8 ≤ 2 . (x – 6) + 10
g. 2x + |2x + 3| ≥ –3 . (x + 2)
h. 7 . |x + 2| – 10 < 3x + 2
i. 3 . |–x + 3| + 2x ≤ –2x + 7
j. | 1 __ 3 x – 5 | + 8 ≤ 2 __ 3 x + 10
64. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es el conjunto solución de…
a. … 1 ___ 12 
. |–5x + 2,6| > 0,16?
 ( 2 ___ 15 ;+∞ ) ( –∞; 2 ___ 15 ) ∪ ( 14 ___ 15 ;+∞ ) 
 ( –∞; 14 ___ 15 ) ( 2 ___ 15 ; 14 ___ 15 ) 
b. … 2x + 2 – 5 . (x – 3) ≤ x – 8?
 [ 25 ___ 4 ;+∞ ) ( –∞; 25 ___ 4 ) 
 ( 25 ___ 5 ;+∞ ) ( –∞; 25 ___ 4 ] 
1
capítulo
Solución a cargo del alumno.
 F 
 V 
 F 
 F 
 
 
 
 F
|x| > 3 
|x| < 1 __ 3 ∧ x 0 
|x| = 2 ∨ x > 4 
|x| ≤ a
a. 1 __ 5 
. (x – 1) ≥ 2x; S = ( –∞;– 1 __ 9 ] b. 3x + 1 < x + 0,2; 
S = ( –∞;– 7 ___ 18 ) c. 2 . | 1 __ 3 x – 9 | < 7; S = (16,5;37,5)
 X
 
 X
S = ( –∞; 11 __ 7 ] 
S = ( –28; 4 __ 5 ) 
S = (–∞;8) 
S = 
S = ( –∞; 8 __ 7 ) 
S = ∅
S = [– 9 __ 7 ;+∞) 
S = (–2,6;–0,5) 
S = ( –∞;–2 ] 
S = [ –3;+∞ )
 X
 X
AUTOEVALUACIÓN
28
1
capítulo
Marquen las opciones correctas
65. ¿Cuál es el intervalo que corresponde en cada caso?
a. x ∈ ∧ –2 < x < 2
 (–∞;–2) ∪ (2;+∞) (–2;2) {–2;2} Ninguna de las anteriores.
b. x ∈ ∧ x < –3 ∨ x > 5
 (–∞;–3) ∪ (5;+∞) [–3;5) (–∞;–3] ∪ [5;+∞) Ninguna de las anteriores.
c. x ∈ ∧ x = –4 ∨ x > 3
 (–4;3) {–4;3} (–4;+∞) Ninguna de las anteriores.
66. ¿Cuál es el error porcentual de 
___
 15 por redondeo con ε < 0,001?
 a. 0,000429 b. 0,429 c. 0,000000429
67. ¿Cuál es el resultado de cada cálculo?
a. 
 1 _________ 
 
3
 
__
 8 . 
____
 100 
 . 0,
 
20
 ________________ 
(0,
 
25 – 0,
 
30) . 2,1
 21 ___ 2 – 
2 ___ 21 
2 ___ 21 
b. 3 . |x| + 2 = 5 {–1;1} (–1;1) [–1;1]
c. 5 + 2 . |x + 1| = 15 {4} {–6;4} {–6}
68. ¿Cuál es la ecuación que corresponde a cada problema?
a. La mitad del siguiente de un número es igual a su doble, aumentado en la tercera parte de 30. 
¿Cuál es el número?
 1 __ 2 
. 2x + 1 = 2x + 1 __ 3 
. 30 1 __ 2 x + 1 = 2x + 3 . 30 
1 __ 2 
. (x + 1) = 2x + 1 __ 3 
. 30
b. El anterior de la tercera parte de un número es igual a la raíz cuadrada del producto entre dieci-
séis y el cuadrado del desconocido.
 1 __ 3 
. (x – 1) = 
____
 16 x 2 1 __ 3 
. x – 1 = 
____
 16 x 2 1 __ 3 x – 1 
2 = 
___
 16 x 2 
69. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación?
|–2| . | 1 __ 2 x – 0,3 | 1,3
 a. (–∞;2] b. [–0,6;+∞) c. [–0,6;2] d. (–∞;2] ∪ [–0,6;+∞)
 X
 X
 X
 X
 X
 X
 X
 X x = – 19 ___ 3 
 X S = ∅
 X
Números irracionales
Contenidos
7. Propiedades de la 
potenciación y la 
radicación.
8. Números irracionales.
9. Radicales. Adición y 
sustracción.
10. Multiplicación y división de 
radicales.
11. Operaciones combinadas.
12. Racionalización de 
denominadores.
13. Sucesiones.
14. Sucesiones aritméticas.
15. Sucesiones geométricas.
ca
p
ít
u
lo2
En la historia matemática hay una leyenda que ha atravesado los siglos: la del 
descubrimiento de los irracionales por parte de los pitagóricos.
Se cuenta que Pitágoras, el célebre filósofo de la antigua Grecia, tenía la idea 
de que todo en el universo está basado en los números. Y los números eran, para 
él, enteros o fracciones de enteros. Sin embargo, uno de sus discípulos encontró 
una magnitud que no podía escribirse como fracción de enteros: esto era terrible, 
pues conmovía toda una visión del mundo. Y la magnitud en cuestión no era otra 
que la diagonal del cuadrado, cuyo cálculo procede deun teorema que lleva jus-
tamente el nombre de Pitágoras, aunque era conocido mil años antes por los 
babilonios. Si el lado del cuadrado mide 1, el cuadrado de su diagonal tiene que 
valer 1 2 + 1 2 = 2; de esta forma, la diagonal mide la raíz cuadrada de 2.
Se cuenta que los pitagóricos, avergonzados, no quisieron revelar a nadie el 
secreto de su hallazgo; otra leyenda va más allá y afirma que a quien dio a cono-
cer tal secreto lo arrojaron por la borda de un navío. No se cree que esto sea 
cierto aunque, de alguna forma, deja entrever que los pitagóricos se vieron un 
tanto “desbordados” por los acontecimientos.
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Cómo se diferencian los números racionales de los irracionales?
b. Además de 
__
 2 , ¿qué otros números irracionales conocen?
a. Porque los números irracionales no se pueden escribir como fracción de enteros. 
b. Por ejemplo, los más “famosos” son π, la constante e y el número de oro (φ).
6
30
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Propiedades de la potenciación y la radicación
Propiedades de la potenciación
 Potencia de exponente cero. a 0 = 1 ⇔ a ≠ 0
 Potencia de exponente negativo. a –n = 1 __ a n ⇔ a ≠ 0
 Potencia de otra potencia. ( a n ) m = a n . m 
 Producto de potencias de igual base. a n . a m = a n + m
 Cociente de potencias de igual base. a 
n 
 ___ a m = a 
n – m ⇔ a ≠ 0
 Distributividad respecto de la multiplicación. (a . b) n = a n . b n 
 Distributividad respecto de la división. ( a __ b ) 
n
 = a 
n 
 __ b n ⇔ b ≠ 0
Propiedades de la radicación
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: n 
__
 a p = a 
p
 __ n 
 
__
 6 = 6 
1 __ 2 3 
__
 5 = 5 
1 __ 3 4 
__
 x 3 = x 
3 __ 4 3 
__
 1 __ 
 x 7 
 = x – 
7 __ 3 
Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación.
 Raíz de raíz. 
n
 
___
 m 
__
 a = ( a 1 __ m ) 
1 __ n = a 
1 ____ n.m = m.n 
__
 a 
 Distributividad respecto de la multiplicación. 
n
 
_____
 a . b = (a . b) 
 1 __ n = a 
1 __ n . b 
1 __ n = n 
__
 a . 
n
 
__
 b 
 Distributividad respecto de la división. n 
__
 a __ b = ( 
a __ b ) 
 1 __ n = a 
 1 __ n ___ 
 b 
1 __ n 
 = 
n
 
__
 a 
 ____ 
 
n
 
__
 b 
 ⇔ b ≠ 0
 Simplificación de índices. n 
___
 a m = a 
m __ n = a 
m:r ___ n:r = n:r 
___
 a m:r ⇔ r ≠ 0 ∧ a > 0
 6 
___
 5 3 = 3 
__
 5 4 
___
 64 = 4 
___
 2 6 = 
___
 2 3 10 
___
 81 = 10 
___
 3 4 = 5 
___
 3 2 
 Eliminación del radical. n 
__
 a n = a ⇔ n es impar ∨ n 
__
 a n = |a| ⇔ n es par
 
___
 49 = 
___
 7 2 = |7| = 7 4 
___
 81 = 4 
___
 3 4 = |3| = 3 5 
___
 32 = 5 
___
 2 5 = 2 3 
___
 –8 = 3 
_____
 (–2) 3 = –2
 Amplificación de índices. n 
___
 a m = a 
m __ n = a 
m.p
 ____ n.p = 
n.p
 
____
 a m.p ⇔ p ≠ 0 ∧ a > 0
 
__
 3 = 2 . 2 
____
 3 1 . 2 = 4 
___
 3 2 = 4 
__
 9 5 
__
 4 = 5 . 3 
____
 2 2 . 3 = 15 
___
 2 6 = 15 
___
 64 6 
__
 x 3 = 6 . 4 
___
 x 3 . 4 = 24 
___
 x 12 
INFOACTIVA
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que ( 3 __ 4 ) 
– 2
 = ( – 4 __ 3 ) 
2
 ?
b. ¿Es correcto decir que 
3
 
__
 a 3 = |a|?
Test de comprensión
7 ACTIVIDADES Propiedades de la potenciación y la radicación
1. Marquen las respuestas correctas.
a. (ab) –5 : (ab) 2 . a = a –2 b –3 a –6 b –7 a –7 b –7 a –8 b –7 
b. 
____
 a 4 b 5 . 
____
 a 2 b = a 6 b 6 a 4 b 3 a 3 b 3 a b 2 
c. 
__
 a . 
__
 b . a 
3 __ 2 : b 4 = a 2 b 
– 7 __ 2 a 2 b 
7 __ 2 a 2 b – 
9
 __ 2 a 2 b 
9
 __ 2 
d. 
__
 a . 
3
 
__
 b . 
_____
 a . b . a –4 = a –3 b 
 5 __ 6 a 5 b 
5 __ 6 a –3 b – 
1 __ 6 a 5 b – 
1 __ 6 
2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas.
a. 3 –2 = 1 __ 9 d. 2 . 2 
0 : 2 –3 = 2 3 g. (2a) 
5 = 2 a 5 
b. ( 7 2 ) –3 = 7 6 e. 
3
 
___
 
__
 5 = 6 
__
 5 h. 
3
 
___
 25 = 5 
2 __ 3 
c. 4 –3 : 4 –5 = 4 –8 f. 
5
 
__
 9 5 = |9| i. ( 
2 __ 5 ) 
– 3 __ 2 = ( – 5 __ 2 ) 
 3 __ 2 
3. Expresen como una única potencia aplicando las propiedades.
a. 2 –5 . 2 : 2 –4 = d. (ab) 
3 . (ab) –2 = g. 
__
 6 . 
__
 6 3 . 
__
 6 6 = 
b. [ (–3) 3 : (–3) –3 ] –2 = e. 
__
 5 . 
3
 
__
 5 2 . 6 
__
 5 5 = h. 
___
 ab : 
____
 a 2 b = 
c. (5 . 4) 2 : ( 5 2 . 4) 3 = f. 
____
 
___
 64 . 
__
 2 = i. ( a 
–1 b) 5 . 
___
 ab = 
4. Identifiquen el error y resuelvan correctamente.
 ( 2 4 : 2 . 2 6 ) –3 = ( 2 10 ) –3 
 = 2 7 
5. Resuelvan expresando con un índice común.
a. 
3
 
__
 5 . 
__
 3 
 _______ 
 6 
______
 9 . 125 
 = 
b. 
4
 
__
 2 . 8 
___
 81 
 _______ 
 8 
_____
 1 296 
 = 
c. 
5
 
__
 3 . 
__
 2 
 _______ 
 10 
__
 3 . 
__
 3 
 = 
d. 
3
 
__
 3 . 
__
 2 
 _______ 
 12 
__
 3 . 4 
__
 2 
 = 
31
a. No, la base de la segunda expresión debe ser positiva. b. No, esto ocurre si el índice y el exponente son pares.
 X
 X
 X
 X
 V F F 
 
 F V V
 F V F
 2 0 ab 6 5 
 (–3) –12 5 2 a 
– 1 __ 2 
 5 –4 4 –1 2 2 a – 
9 __ 2 b 
 11 __ 2 
 ( 2 9 ) –3 = (2) –27 
 
6
 
__
 3 __ 5 
 
8
 
__
 1 __ 4 
 
10
 
___
 2 
5 __ 
 3 4 
 
 
12
 
_____
 3 3 . 2 3 
7
32
171615141312111088
Números irracionales
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente entre dos 
números enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Como ya se vio, las raíces no exactas de números racionales son números irracionales.
Se denomina radical a la raíz indicada de un número o de una expresión, siempre que esta tenga 
solución real.
Representación en la recta numérica
Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real.
Para representar ese punto sobre la recta numérica, si el irracional es 
de la forma 
__
 a , se debe recurrir al teorema de Pitágoras: A2 = B2 + C2
B
c
A
 Representación de 
__
 2 .
Se determina sobre la recta un triángulo rectán-
gulo isósceles cuyos catetos midan 1. El valor de 
la hipotenusa es: 
______
 12 + 12 = 
__
 2 
 
 
__
 2 
 0 1 
__
 2 2
 Representación de 
__
 3 .
Se determina sobre la recta un triángulo rectán-
gulo cuyos catetos midan 1 y 
__
 2 , respectivamente. 
El valor de la hipotenusa es: 
_______
 ( 
__
 2 ) 2 +12 = 
__
 3 
 0 1 
__
 2 
__
 3 2
 
__
 2 
 
__
 3 
 Representación de 
__
 5 .
Se determina sobre la recta un triángulo rectán-
gulo cuyos catetos midan 1 y 2, respectivamente. 
El valor de la hipotenusa es: 
______
 12 + 22 = 
__
 5 
 0 1 2 
__
 5 3
 
__
 5 
De este modo se puede representar cualquier raíz cuadrada de un número natural, siempre que se 
elijan convenientemente los catetos del triángulo rectángulo.
INFOACTIVA
33
Test de comprensión
6. Marquen las opciones correctas.
a. Los números que son irracionales.
 – 
__
 3 – 
__
 4 π 
___
 –2 
b. Las operaciones cuyos resultados son números irracionales.
 
__
 2 . 
___
 18 
__
 5 + 1 – 
__
 2 + 
__
 3 – 
__
 9 + 1 __ 2 
7. Representen los números √ 
__
 6 ; √ 
__
 8 ; – √ 
__
 2 en la recta numérica.
8. Representen en la recta numérica los siguientes números, usandouna escala de 1 cm.
a. 
__
 3 
 ___ 2 d. – 
__
 2 + 2
 
b. 
__
 5 – 1 e. 
__
 2 + 
__
 3 
 
c. –2 . 
__
 3 f. –2 . 
__
 5 + 
__
 2 
 
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 
__
 6 , si uno de los catetos mide 1 cm, ¿cuánto 
debe medir el otro cateto?
b. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cm y 4 cm, ¿la medida de la hipotenusa corres-
ponde a un número racional o irracional?
8 ACTIVIDADES Números irracionales
a. El otro cateto debe medir 
__
 5 cm. b. Racional, se representa 
_____
 9 cm = 3 cm.
 X X
 X X X
Solución a cargo del alumno.
–4 –3 –2 –1 0 1 
__
 2 2 3 4 5
– 
__
 2 
 
__
 6 
 
__
 6 
__
 8 
 
__
 8 
 
__
 2 
8
34
Radicales. Adición y sustracción
Extracción de factores de un radical
Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es 
mayor o a lo sumo igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la poten-
ciación y radicación.
 3 
_____
 16 x 8 = 3 
______
 2 4 x 6 x 2 = 3 
________
 2 3 . 2 x 6 x 2 = 3 
___
 2 3 . 3 
__
 2 . 3 
__
 x 6 . 3 
__
 x 2 = 2 . 3 
__
 2 . x 2 . 3 
__
 x 2 = 2 x 2 . 3 √ 
____
 2 x 2 
 
_______
 63 x 6 y z 5 = 
__________
 3 2 . 7 x 6 y z 4 z = 
___
 3 2 . 
__
 7 . 
__
 x 6 . 
__
 y . 
__
 z 4 . 
__
 z = 3 . 
__
 7 . x 3 . 
__
 y . z 2 . 
__
 z = 3 x 3 z 2 . √ 
____
 7yz 
 4 
______
 729 ____ 625 m 
5 = 4 
_____
 3 
6 ___ 
 5 4 
 m 5 = 
4
 
___
 3 4 . 4 
___
 3 2 _________ 
 4 
___
 5 4 
 . 4 
___
 m 4 . 4 
__
 m = 3 __ 
5
 m . 
4
 √ 
___
 9m 
 
_____
 343 a 
2 ______ b 3 = 
_____
 7 
3 . a 2 _____ 
 b 3 
 = 
___
 7 2 . 
__
 7 . 
__
 a 2 ____________ 
 
__
 b 2 . 
__
 b 
 = 7 . 
__
 7 . a _______ 
b . 
__
 b 
 = 7a ___ 
b
 . √ 
__
 
7
 
__ b 
Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.
 Términos con radicales semejantes:
– 5 
__
 3 y 5 
__
 3 ; –2 . 3 
__
 2 y 4 . 3 
__
 2 ; 3 . 
4
 
__
 x3 y –8 . 
4
 
__
 x3 .
 Términos con radicales no semejantes:
 – 3 
__
 7 y 
__
 7 ; 5 . 
__
 3 y 7 . 
__
 2 ; –4 . 4 
__
 3 y 9 . 3 
__
 4 .
Adición y sustracción de radicales
Solo es posible sumar o restar términos que contienen radicales semejantes.
6 . 
__
 3 + 4 . 
__
 3 – 
__
 3 = (6 + 4 – 1) . 
__
 3 = 9 . √ 
__
 3 
 
5 . 
__
 6 – 9 . 
__
 2 + 3 . 
__
 6 + 4 . 
__
 2 = (5 + 3) . 
__
 6 + (–9 + 4) . 
__
 2 = 8 . √ 
__
 6 – 5 . √ 
__
 2 
 
Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de llevarlos a su mínima expresión.
3 . 
__
 3 – 5 . 
____
 243 + 7 . 
___
 27 – 8 . 
___
 75 = 3 . 
__
 3 – 5 . 
___
 3 4 . 
__
 3 + 7 . 
___
 3 2 . 
__
 3 – 8 . 
___
 5 2 . 
__
 3 
 = 3 . 
__
 3 – 45 . 
__
 3 + 21 . 
__
 3 – 40 . 
__
 3 
 = (3 – 45 + 21 – 40) . 
__
 3 
 = –61 . √ 
__
 3 
4 . 
__
 2 – 6 . 4 
___
 49 – 8 . 
__
 8 + 
___
 63 = 4 . 
__
 2 – 6 . 4 
___
 7 2 – 8 . 
___
 2 2 . 
__
 2 + 
___
 3 2 . 
__
 7 
 = 4 . 
__
 2 – 6 . 
__
 7 – 8 . 2 . 
__
 2 + 3 . 
__
 7 
 = 4 . 
__
 2 – 6 . 
__
 7 – 16 
__
 2 + 3 . 
__
 7 
 = (4 – 16) . 
__
 2 + (–6 + 3) . 
__
 7 
 = –12 . √ 
__
 2 – 3 . √ 
__
 7 
INFOACTIVA
1817161514131211109
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que 
3
 
__
 2 8 = 4 . 3 
__
 4 ? ¿Por qué?
b. ¿Por qué 
__
 3 y 3 
__
 3 no son semejantes?
35
Test de comprensión
9 ACTIVIDADES Radicales. Adición y sustracción
9. Extraigan los factores del radical.
a. 
___
 32 = f. 
_____
 27 c 
5 ____ 343 = 
b. 3 
_____
 0,125 = g. 4 
_________
 81 a 
4 b 8 c 12 _________ 
2 401 c 4 
 = 
c. 
____
 64 a 3 = h. 5 
________
 32 a 
6 b 8 _______ 
729 b 3 c 3 = 
d. 
3
 
________
 2 401 b 5 c = i. 
_________
 128 a 
5 b 9 c 10 __________ 
9b c 11 
 = 
e. 
4
 
_______
 234 a 3 b 7 = j. 3 
_________
 512 a 
2 b 3 c 4 _________ 
125 d 5 
 = 
10. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles de los siguientes radicales son semejantes a 3 
__
 2 ?
 a. 3 
___
 –2 b. 5 . 3 
___
 64 c. –2 . 3 
____
 128 d. 3 . 
6
 
__
 2 2 
 
11. Resuelvan las siguientes sumas y restas.
a. –3 . 
__
 5 – 7 . 
__
 5 + 2 . 
__
 5 = 
b. 2 . 
__
 2 + 5 . 
__
 2 – 
__
 2 = 
c. – 
__
 3 + 
__
 3 – 5 . 
__
 3 = 
d. 2 . 
__
 b – 3 . 
__
 a – 2 . 
__
 b – 
__
 a = 
e. 5 . 
__
 a – 6 . 
__
 b – 
__
 b = 
12. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas.
a. 
__
 5 + 
__
 8 – 
___
 32 = d. –3 . 
__
 1 __ 2 – 5 
. 
___
 1 ___ 32 + 
__
 1 __ 8 =
 
 
b. 3 . 
__
 7 – 3 . 
___
 28 + 
___
 63 = e. 
___
 54 + 
___
 12 – 
__
 6 =
 
 
c. –4 . 
___
 1 ___ 27 + 
__
 1 __ 3 – 2 
. 
____
 1 ____ 243 = f. 
___
 20 + 3 . 
__
 8 – 5 . 
__
 5 =
 
 
a. Sí, al aplicar propiedades se obtiene 
3
 
__
 2 8 = 
3
 
________
 2 3 . 2 3 . 2 2 = 
3
 
__
 2 3 . 
3
 
__
 2 3 . 
3
 
__
 2 2 = 4 . 
3
 
__
 2 2 = 4 . 3 
__
 4 . b. Porque para que 
sean semejantes el índice y el radicando deben ser iguales.
 4 . 
__
 2 3 __ 7 c 
2 . 
___
 3c ___ 7 
 0,5 3 __ 7 a b 
2 c 2 
 
 8a . 
__
 a 2 __ 3 ab 
. 5 
___
 a ___ 
3 c 3 
 
 7 b 3 . 
3
 
____
 7 b 2 c 2 3 a 2 b 4 . 
___
 2a ___ c 
 
 3b . 
4
 
_____
 3 a 3 b 3 8bc ____ 
5d
 . 
3
 
___
 a 
2 c ___ 
 d 2 
 
 X X
 –8 . 
__
 5 
 6 . 
__
 2 
 –5 . 
__
 3 
 –4 . 
__
 a 
 5 . 
__
 a – 7 . 
__
 b 
 
__
 5 – 2 . 
__
 2 – 15 ___ 4 
. 
__
 1 __ 2 
 0 2 . 
__
 6 + 2 . 
__
 3 
 – 5 __ 9 
. 
__
 1 __ 3 –3 . 
__
 5 + 6 . 
__
 2 
9
36
Multiplicación y división de radicales
Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice.
La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades.
 Propiedad distributiva de la multiplicación y división respecto de la suma y resta.
 a . (b ± c) = (b ± c) . a = ab ± ac (b ± c) : a = b : a ± c : a
 
__
 3 . ( 
__
 3 + 
___
 27 ) = 
__
 3 . 
__
 3 + 
__
 3 . 
___
 27 = 
__
 9 + 
___
 81 = 3 + 9 = 12
 ( 
____
 125 – 
___
 20 ) : 
__
 5 = 
____
 125 : 
__
 5 – 
___
 20 : 
__
 5 = 
___
 25 – 
__
 4 = 5 – 2 = 3
 Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados.
 (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a + b) . (a – b) = a 2 – b 2 
 ( 
__
 2 – 
__
 3 ) 2 = ( 
__
 2 ) 2 – 2 . 
__
 2 . 
__
 3 + ( 
__
 3 ) 2 = 2 – 2 . 
__
 6 + 3 = 5 – 2 . 
__
 6 
 ( 
___
 10 + 
__
 7 ) . ( 
___
 10 – 
__
 7 ) = ( 
___
 10 ) 2 – ( 
__
 7 ) 2 = 10 – 7 = 3
Multiplicación y división de radicales de distinto índice
Para que los índices de dos o más radicales sean iguales, se debe calcular el mcm de los índices 
de los radicales dados, obteniéndose así el mínimo común índice.
 4 
__
 a 2 y 6 
__
 x mcm(4;6) = 12, ambos radicales deben tener índice 12.
 4 
__
 a 2 =