FIC-07

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Introducción al Análisis de Fourier
Aplicaciones en imágenes digitales
Dr. Wilfrido Gómez Flores
Filtrado de imágenes
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Filtrado
paso bajo paso alto
Filtrado se re�ere a pasar, modi�car o rechazar componentes de
frecuencia especí�cas de una señal o imagen. D0 es la frecuencia de
corte y b es el ancho de banda del �ltro.
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Filtrado espacial
El �ltrado espacial modi�ca una imagen reemplazando el valor de cada píxel
por una función de los valores de el píxel y sus vecinos. Un �ltro espacial utiliza
una ventana (máscara o kernel) que se desplaza píxel por píxel generando una
imagen �ltrada. El origen del �ltro se ubica sobre la coordenada (x, y) del píxel
que será modi�cado.
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Filtrado espacial
• La convolución en dos dimensiones se de�ne como:
g (x, y) = (h ∗ f) (x, y) ,
=
a∑
i=−a
b∑
j=−b
h (i, j) f (x− i, y − j), (1)
para x = 0, 1, . . . ,M − 1 y y = 0, 1, . . . , N − 1, donde f y g son
imágenes de tamaño M ×N , h es un �ltro de tamaño m × n, y
a = (m−1)/2 y b = (n−1)/2, asumiendo que m y n son enteros
impares.
• Si la imagen es de tamaño M ×N y el �ltro es de tamaño m×n,
se deben realizar MNmn operaciones para �ltrar la imagen.
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Filtrado espacial
Un �ltro lineal realiza una suma de productos entre una imagen f y
una ventana de �ltro h mediante el operador de convolución. ○
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Ejemplos �ltrado espacial
Suavizado
(filtro paso bajo)
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Ejemplos �ltrado espacial
Detección de bordes
(filtro paso alto)
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Filtrado en frecuencia
El �ltrado en el dominio de la frecuencia se basa en el teorema de
convolución:
g (x, y) = (h ∗ f) (x, y) = F−1 [H (u, v)F (u, v)] , (2)
donde F (u, v) es la DFT de f(x, y) y H(u, v) es una función de
�ltrado; todos los arreglos son de tamaño M ×N .
f(x,y)
(−1)x+y
Transformada 
de Fourier
F(u,v)
Función 
de filtro
H(u,v)
Transformada 
inversa de 
Fourier
|g(x,y)|
Proceso de �ltrado de imágenes en el dominio de la frecuencia.
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Filtrado en frecuencia
Filtro paso bajas Gaussiano con frecuencia de corte D0:
Hlp (u, v) = exp
{
− 1
2D20
[(
u− M
2
)2
+
(
v − N
2
)2]}
, (3)
y el �ltro paso altas se obtiene como:
Hhp (u, v) = 1−Hlp (u, v). (4)
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Filtrado en frecuencia
Filtros Gaussianos con diferentes frecuencias de corte D0. Renglón superior: �ltros
paso bajos. Renglón inferior: �ltros paso altos.
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Ejemplos �ltrado en frecuencia
Filtrado paso bajo en frecuencia para reducción de ruido. ○
11/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Ejemplos �ltrado en frecuencia
Filtrado paso bajo en frecuencia para detección de bordes. ○
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Segmentación de imágenes
13/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Segmentación
(a) (b)
Segmentación es la tarea de dividir una imagen R en n regiones
disjuntas R1, R2, . . . , Rn, donde cada región corresponde con una
zona u objeto de interés: (a) imagen con cinco regiones de texturas
y (b) imagen segmentada.
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Textura
T
e
x
tu
ra
M
a
g
n
it
u
d
Textura: patrón de variaciones de intensidad locales y repetitivas, que
se relaciona con armónicos de alta energía en el espectro de Fourier.
Para caracterizar los patrones de textura, se utilizan �ltros paso ban-
da que cubren una banda de frecuencias especí�ca del espectro.
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Filtro de Gabor espacial
El �ltro de Gabor es un �ltro paso banda multiescala con orientación
selectiva, cuya máscara de convolución es una función Gaussiana
modulada por una onda sinusoidal:
h(s, t) = exp
(
− ŝ
2 + γt̂2
2σ2
)
exp
(
j
(
2π
ŝ
λ
+ φ
))
, (5)
donde
ŝ = s cos θ + t sin θ y t̂ = t cos θ − s sin θ
son las coordenadas (s, t) rotadas un ángulo θ ∈ (0, π), λ es la
longitud de onda, φ es el ángulo de fase, σ2 es la varianza, y γ es la
relación de aspecto.
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Filtro de Gabor espacial
Los coe�cientes del �ltro de Gabor son números complejos, donde
la parte real es la modulación de una onda coseno (izquierda) y la
parte imaginaria es la modulación de una onda seno (derecha). ○
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Filtro de Gabor en frecuencia
• En el dominio de la frecuencia, el �ltro de Gabor es:
H(u, v) = exp
{
−
1
2
[
(û− uk)2
σ2u
+
v̂2
σ2v
]}
+ exp
{
−
1
2
[
(û+ uk)
2
σ2u
+
v̂2
σ2v
]}
, (6)
donde û = u cos θ+v sin θ y v̂ = v cos θ−u sin θ son coordenadas
rotadas un ángulo θ ∈ (0, π), y σu = σv = 12πσb son la escala del
�ltro en función del parámetro de ancho de banda b:
σb =
1
2uk
√
ln 2
2
2b + 1
2b − 1
. (7)
• En un banco de �ltros, las frecuencias radiales (uk) se determinan
a partir del ancho de la imagen (Nc):
uk ∈
{
20
√
2, 21
√
2, 22
√
2, . . . , 2⌊log2(Nc/4)⌋
√
2
}
. (8)
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Filtro de Gabor en frecuencia
Un �ltro de Gabor está compuesto de dos funciones Gaussianas des-
plazadas simétricamente del origen a las frecuencias radiales uk y
−uk. Cada escala σb y orientación θ realza un patrón de textura que
se �sintoniza� con estos parámetros. ○
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Segmentación de texturas
Pasos principales para la segmentación de texturas basado en �ltros
de Gabor. La segmentación de la imagen se realiza mediante aprendi-
zaje no supervisado usando el algoritmo k-medias para crear grupos
de píxeles que presenten similitud en los patrones de textura local.
20/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Segmentación de texturas
Paso 1 � Se utiliza un banco de �ltros de Gabor para cubrir diferentes
localidades del espectro, variando la orientación y la frecuencia radial
de los �ltros, lo cual genera mapas de características.
21/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Segmentación de texturas
• Los mapas de características son preprocesados para homogeneizar
regiones de textura similares.
• Paso 2 � Crear un banco de �ltros Gaussianos usando la expresión
en (3), donde la frecuencia de corte D0 depende de la frecuencia
radial uk:
D0 = κ
Nc
u
k
donde κ es una constante que controla el ancho del �ltro.
• A mayor frecuencia radial, menor es la frecuencia de corte del �ltro
Gaussiano.
• Un canal de textura para la frecuencia uk se suaviza con su co-
rrespondiente �ltro Gaussiano en el dominio de la frecuencia.
22/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Segmentación de texturas
23/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Segmentación de texturas
Paso 3 � El valor de cada píxel (x, y) de todos los canales de textura
es extraído y concatenado en un vector de características, incluyendo
su propia coordenada en x e y. Los vectores de características de
todos los píxeles de la imagen forman un espacio de características.
24/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Segmentación de texturas
Paso 4 � Agrupamiento de texturas similares:
1. Normalizar los valores de cada columna de la matriz de carac-
terísticas:
z′i =
zi − µi
σi
, para i = 1, 2, . . . , d+ 2, (9)
donde µi y σi son la media y desviación estándar de la i-ésima
columna de la matriz Z.
2. Agrupar el espacio de características normalizado con k-medias,
de�niendo un número k de grupos.
25/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Segmentación de texturas
Paso 5 � La salida del algoritmo k-medias es un vector de etiquetas,
donde cada elemento es un valor entero que indica la pertenencia del
píxel (x, y) a un grupo. Entonces, asignar a cada píxel de la imagen
la etiqueta de grupo que le corresponde.
26/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07Segmentación de texturas
27/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Reconocimiento de objetos
28/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Forma de los objetos
• Reconocimiento de objetos � técnica de visión por computadora
para comprender lo que contiene una imagen.
• Distinguir diferentes tipos de objetos a partir de sus rasgos distin-
tivos, e.g., la forma de los objetos.
La forma de un objeto se abstrae en una imagen binaria
f(x, y) ∈ {0, 1} que representa la extensión del objeto sobre el plano
de la imagen y se obtiene usando un método de segmentación.
29/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Forma de los objetos
• Los rasgos de forma son extraídos y almacenados en un vector de
características:
x = [x1, x2, . . . , xd], (10)
donde d es la cantidad de rasgos extraídos del objeto.
• El vector x se asocia con una etiqueta de clase y ∈ Ω = {1, . . . , c},
donde c es el número clases de objetos que se desean reconocer.
• El reconocimiento de objetos es el resultado de un algoritmo de
aprendizaje supervisado que realiza el mapeo:
g(x) → ŷ ∈ Ω, (11)
donde g(·) es una función discriminante e ŷ es la etiqueta estimada.
30/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Descriptores de Fourier
• Descriptores de Fourier � coe�cientes del espectro de Fourier que
se extraen del borde de los objetos para describir su forma.
• Un píxel del borde tiene al menos un píxel vecino del fondo.
El borde se extrae con un algoritmo de seguimiento de contorno que
devuelve la lista de coordenadas de los píxeles del borde ordenados en
sentido horario: s(k) = [x(k), y(k)], para k = 0, 1 . . . , np−1, donde
np es el número de píxeles del borde. ○
31/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Descriptores de Fourier
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Eje real
0
50
100
150
200
250
E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
La secuencia s(k) = [x(k), y(k)] en 2D se transforma a una señal
1D usando una representación de números complejos:
s(k) = x(k) + jy(k), para k = 0, 1, . . . , np − 1. (12)
32/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Descriptores de Fourier
• Los descriptores de Fourier se obtienen de la DFT de la secuencia
compleja s(k):
a(u) =
np−1∑
k=0
s(k)e
− j2πuk
np , para u = 0, 1, . . . , np − 1. (13)
• Los primeros p coe�cientes de Fourier aproximan la forma del ob-
jeto usando la transformada inversa DFT:
ŝ(k) =
1
np
np−1∑
u=0
φp [a(u)] e
j2πuk
np , donde φp [a(u)] =
a(u) si u < p,0 otro caso,
(14)
para k = 0, 1, . . . , np − 1.
33/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Descriptores de Fourier
50% 10% 5%100%
Contorno de la cebra reconstruido para diferentes porcentajes de co-
e�cientes de Fourier usando (14). Las frecuencias altas contienen
detalles �nos y ruido del contorno del objeto, mientras que las fre-
cuencias bajas contienen la información global de la forma del objeto.
En todos los casos, la señal original s(k) y la reconstruida ŝ(k) tienen
el mismo número de puntos.
34/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Descriptores de Fourier
• Los descriptores de Fourier son los coe�cientes complejos a(u)
normalizados para hacerlos invariantes a cambios de escala, tras-
lación y rotación de los objetos:
1. Invianza a traslación: colocar el primer coe�ciente a(0) (i.e.,
componente DC) en cero, i.e., a(0) = 0.
2. Invarianza a escalamiento: dividir a(u) sobre la magnitud del
segundo coe�ciente a(1), i.e., a(u) = a(u)||a(1)|| , u ≥ 0.
3. Invarianza a rotación: calcular la magnitud de los coe�cien-
tes a(u), i.e., a(u) = ||a(u)||, para u ≥ 0.
• Obtener los coe�cientes normalizados para formar el vector de
características x = [a(2), a(3), . . . , a(p+ 2)].
• Los coe�cientes normalizados a(0) = 0 y a(1) = 1; por lo tanto,
son removidos.
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Descriptores de Fourier
0 100 200 300 400
Eje real
0
100
200
300E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
Características
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
A
m
p
lit
u
d
(a)
0 100 200 300 400
Eje real
0
100
200
300E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
Características
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
A
m
p
lit
u
d
(b)
0 100 200 300 400
Eje real
0
100
200
300E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
Características
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
A
m
p
lit
u
d
(c)
0 100 200 300 400
Eje real
0
100
200
300E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
Características
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
A
m
p
lit
u
d
(d)
Descriptores de Fourier para diferentes transformaciones geométricas
del objeto: (a) original, (b) escalamiento con α = 0.5, (c) rotación
con θ = π/6, y (d) escalamiento con α = 0.5, rotación con θ = π/6
y traslación con t = 150 + j100. Todas las �rmas espectrales son
similares, es decir, invariantes a transformaciones geométricas.
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Descriptores de Fourier
0 100 200 300 400
Eje real
0
100
200
300
400
E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
Características
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
A
m
p
lit
u
d
0 100 200 300 400 500
Eje real
0
100
200
300
400
500
E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
Características
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
A
m
p
lit
u
d
0 100 200 300
Eje real
0
100
200
E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
Características
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
A
m
p
lit
u
d
Los descriptores de Fourier son discriminantes para objetos de clases
diferentes, es decir, las �rmas espectrales presentan distribuciones
distintas.
37/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
Reconocimiento de objetos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Para el reconocimiento de objetos se obtienen los p descriptores de Fourier de
las clases de objetos que se desean clasi�car (i.e., se crea un conjunto de entre-
namiento). Después, se puede utilizar el algoritmo de los k-vecinos más cercanos
(kNN) para determinar la etiqueta de clase de un patrón de prueba xtest.
38/38 Aplicaciones en imágenes digitales FIC-07
	
	Filtrado
	Filtrado espacial
	Ejemplos filtrado espacial
	Filtrado en frecuencia
	Ejemplos filtrado en frecuencia
	
	Segmentación
	Textura
	Filtro de Gabor espacial
	Filtro de Gabor en frecuencia
	Segmentación de texturas
	
	Forma de los objetos
	Descriptores de Fourier
	Reconocimiento de objetos
	anm5: 
	5.29: 
	5.28: 
	5.27: 
	5.26: 
	5.25: 
	5.24: 
	5.23: 
	5.22: 
	5.21: 
	5.20: 
	5.19: 
	5.18: 
	5.17: 
	5.16: 
	5.15: 
	5.14: 
	5.13: 
	5.12: 
	5.11: 
	5.10: 
	5.9: 
	5.8: 
	5.7: 
	5.6: 
	5.5: 
	5.4: 
	5.3: 
	5.2: 
	5.1: 
	5.0: 
	anm4: 
	4.19: 
	4.18: 
	4.17: 
	4.16: 
	4.15: 
	4.14: 
	4.13: 
	4.12: 
	4.11: 
	4.10: 
	4.9: 
	4.8: 
	4.7: 
	4.6: 
	4.5: 
	4.4: 
	4.3: 
	4.2: 
	4.1: 
	4.0: 
	anm3: 
	3.11: 
	3.10: 
	3.9: 
	3.8: 
	3.7: 
	3.6: 
	3.5: 
	3.4: 
	3.3: 
	3.2: 
	3.1: 
	3.0: 
	anm2: 
	2.5: 
	2.4: 
	2.3: 
	2.2: 
	2.1: 
	2.0: 
	anm1: 
	1.5: 
	1.4: 
	1.3: 
	1.2: 
	1.1: 
	1.0: 
	anm0: 
	0.8: 
	0.7: 
	0.6: 
	0.5: 
	0.4: 
	0.3: 
	0.2: 
	0.1: 
	0.0: