1 Conjuntos numéricos

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Tema 1: Aritmética. Repaso de 3º de ESO. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RAÍCES. TEORÍA 
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1. LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 
* El conjunto de los números naturales es ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}. Son los números que se usan para contar u 
ordenar. El 0 puede incluirse o no, dependerá de tu profesor. 
* El conjunto de los números enteros es ℤ = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}. Son los números 
naturales y sus opuestos. No tienen parte decimal, de ahí su nombre. Incluyen a los Naturales. 
* El conjunto de los números racionales está formado por los números que se pueden expresar en forma de 
cociente de dos números enteros y se representa por ℚ. Incluyen a los enteros. 
* El conjunto de los números irracionales está formado por los números que no se pueden expresar en forma 
de cociente de dos números enteros. 
Como todo número entero, decimal exacto o periódico se puede escribir como fracción de dos números enteros 
(ver método en cursos anteriores) y viceversa, los números irracionales son aquellos que tienen infinitas cifras 
decimales que no son periódicas. 
* El conjunto de los números reales está formado por todos los números racionales e irracionales y se 
representa por ℝ. 
 Las siguientes tablas y ejemplos te ayudarán a comprender la clasificación de los números 
 
 
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Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente interesantes. Veamos algunos: 
* 141592,3=π es irracional. Es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. 
* El número 7182,2=e es irracional. El número e es el valor de 
n
n





 +
11 cuando n es infinitamente grande. 
* 414213,12 = es irracional. Es la diagonal de un 
cuadrado de lado uno y coincide con la razón entre el 
 lado mayor y el menor en una hoja DINA 
 
 
 
 
 
 
 Demostración: Supongamos que 2 es racional. Entonces sería 
b
a
=2 fracción irreducible (a y b números enteros 
primos entre sí) y por tanto: 
 ( ) 2demúltiploesa2demúltiploesaab2
b
a2
b
a2 2222
222
⇒⇒=⇔=⇔




= . 
 Como 2demúltiploesb2demúltiploesbk2bk4b2k4ak2a 2222222 ⇒⇒⋅=⇒⋅=⇒⋅=⇒⋅= . 
 Pero a y b no pueden ser al mismo tiempo múltiplos de 2 porque a y b son primos entre sí. 
Hemos llegado a algo absurdo. Eso es debido a que la suposición de que 2 es racional es falsa. 
 El método que hemos utilizado para demostrarlo se llama "método por reducción al absurdo" y se utiliza 
 frecuentemente para demostrar propiedades matemáticas. 
Por el mismo motivo que 2 es irracional, si p no es cuadrado perfecto, p es irracional. 
* El número de oro 61803,1
2
51
=
+
=Φ es irracional. 
En el siglo V a.C., los griegos pitagóricos descubrieron con sorpresa (y 
 casi con espanto) que la diagonal del pentágono y su lado no 
 guardaban una proporción exacta. Hasta entonces se creía que todo el 
 universo se regía por los números naturales y las proporciones entre 
 ellos (fracciones), pero al descubrir que no era así les pareció que el 
 caos se asomaba a su mundo. Por eso, llamaron irracional (contraria a 
 la razón) a esta relación entre diagonal y lado del pentágono regular. 
 
 
 
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Más adelante, los propios griegos consideraron que la proporción Φ : 1 resultaba especialmente armoniosa, 
por lo que la llamaron proporción áurea y a Φ , número áureo. 
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes 
proporciones: La longitud total a + b es al segmento más largo a, como a es al 
segmento más corto b. 
El rectángulo AEDF es aureo si es semejante a BECF. Observa que 
entonces es 
1
1
1 −
=
x
x y al resolver es Φ=+=
2
51x . 
 
Escribe, por ejemplo, "número de oro" en youtube y encontrarás multitud de 
vídeos que hablan de la importancia en la historia de ese número. 
 
Ejercicios cursos anteriores: del 1 al 4. (Están resueltos en vídeo) 
Ejercicios curso actual: del 5 al 8. 
2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ) 
* Si en una recta situamos un origen (el cero, 0) y marcamos la longitud unidad, a cada punto le corresponde un 
número racional o un número irracional y viceversa. Por eso, a la recta numérica la llamamos recta real. 
 
* Todo número real puede situarse sobre la recta real, dependiendo de cómo sea el número. Veamos los casos: 
• Entero o decimal exacto. Por ejemplo: 3,47: 
 
 
• Decimal periódico. Puede expresarse en forma de fracción y, de 
este modo, se sitúa fácilmente. 
Por ejemplo: 
6
538,0833333,0 ==

 
 
• Si un número irracional es radical cuadrático, por ejemplo 
10 ,o una combinación de ellos, se puede representar construyendo triángulos rectángulos. 
 
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• Si un número irracional viene dado por su expresión decimal, 
podemos representarlo de forma aproximada mediante el proceso 
que describimos para representar 732,13 = 
 
3 está situado en el segmento rojo, que es una centésima parte del 
intervalo 1,7-1,8. 
 
 
En definitiva: Los números reales pueden ser representados en la recta real, según los casos, de forma exacta, o 
bien con tanta aproximación como queramos. 
 
Los numeros reales es un conjunto denso, es decir, entre dos números reales, siempre hay otro número real 
(realmente hay infinitos números racionales e irracionales). 
 
Ejercicio curso actual: el 9. 
 
3. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS. 
Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura que debes conocer. 
 
Intervalo cerrado de extremos a y b: se designa 
[ ]ba, y es el conjunto de todos los números reales 
comprendidos entre a y b, ambos incluidos, es decir, 
 [ ] { }bxaRxba ≤≤∈= /, . Gráficamente es 
 
Intervalo abierto de extremos a y b: se designa 
] [ ( )baba ,, = y es el conjunto de todos los números 
reales comprendidos entre a y b, sin incluir ni a ni b, 
es decir, ] [ { }bxaRxba <<∈= /, . Gráficamente es 
 
Intervalo semiabierto ] ] ( ] { }bxaRxbaba ≤<∈== /,, 
 
 
Intervalo semiabierto [ [ [ ) { }bxaRxbaba <≤∈== /,, 
 
 
Semirrecta ] ] ( ] { }axRxaa ≤∈=∞−=∞− /,, 
 
 
Semirrecta [ [ [ ) { }axRxaa ≥∈=+∞=+∞ /,, 
 
 
Semirrecta ] [ ( ) { }axRxaa <∈=∞−=∞− /,, 
 
 
Semirrecta ] [ ( ) { }axRxaa >∈=+∞=+∞ /,, 
 
 
 
Ejercicios curso actual: del 10 al 14. 
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4. POTENCIAS Y RAÍCES 
* Se define: 
• 


vecesn
n aaaa ⋅⋅⋅= Potencia de base el número real a y exponente el número natural n. 
• 10 =a 
• n
n
a
a 1=− 
* Propiedades de las potencias: 
1) 
nmnm aaa +=⋅ 2) 
nm
n
m
a
a
a −= 3) ( ) nnn baba ⋅=⋅ 4) n
nn
b
a
b
a
=





 5) ( ) nm
nmaa ⋅= 
* Se define: abba nn =⇔= Raíz de índice n y radicando a. 
 Elementos: El número “n” se llama “índice de la raíz” ; “a”, radicando ; “símbolo de la raíz” ; 
 b es “la raíz” y n a se llama “radical” 
Potencias de exponente fraccionario. Las raíces se pueden escribir como potencias. 
Es n
1
n aa = ; n
m
n m aa = 
Ejemplo 1: Expresa en forma de potencia: a) 5643 16)e32)d8)c5)b3 
Solución: 4
3
4 344
1
43
1
32
1
228ó88)c55)b33)a ===== 
5
4
5 456
5
6 56 2216)e2232)d ==== 
 
Ejemplo 2: Expresa en forma de raíz: 2
3
5
6
5
2
3
1
2
1
5)e2)d3)c4)b5)a 
Solución:
12555)e3222)d933)c44)b55)a 32
3
55 65
6
55 25
2
33
1
2
1
======== 
 
* Observa que: 
– Si el índice es par y el radicando positivo entonces hay dos raíces. Ej: 2164 ±= 
– Si el índice es par y el radicando negativo entonces no hay raíces. Ej: existeno=−4 16 
– Cuando el índice es impar siempre hay una única raíz sea cual sea el radicando. Ej: 28
3 −=− 
 
 
 
 
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* Propiedades de los radicales: 
 
1) Teorema fundamental de los radicales: Si dividimos o multiplicamos el índice del radical y el 
exponente del radicando por el mismo número, obtenemos un radical equivalente al que teníamos. 
 a) Es decir: 
p/n p/man ma = . Nos permite simplificar una raíz si p es divisor de n y m. 
 
 Ejemplo 1: Simplifica 6 16 
 Solución: 33 22/6 2/46 46 422216 ==== observa que equivale a simplificar una fracción 
 3 23
2
6
4
6 4 2222 === 
 Ejemplo 2: Simplifica 3 62 
 
 Solución: 4222 23/3 3/63 6 === observa que equivale a simplificar una fracción: 23
6
3 6 222 == 
 
 
b) 
pn pman ma
⋅ ⋅= . Nos permite amplificar la raíz para que una cuantas raíces tengan el mismo índice. 
Ejemplo: Dadas las raíces 6 53 i 4 5 , encuentra raíces equivalentes con el mismo índice. 
índex: 
Solución: És 12 10
26 256 5 333 == ⋅ ⋅ i 12 334 314 555 == ⋅ ⋅ 
Observa que el índice común coincide con el mcm de los índices 
 
 
2) Multiplicación de radicales: Solo se pueden multiplicar si tienen el mismo índice y el resultado es: 
 n b·an bn a =⋅ ja que: n b·an
1
)b·a(n
1
b·n
1
an bn a ===⋅ . 
 Si los radicales no tienen el mismo índice, por la propiedad anterior se reducen al mismo índice y 
 ya se pueden multiplicar 
 
Multiplicación 
Ejemplo 1: Calcula: 30020152015 =⋅=⋅ 
Ejemplo 2 : Calcula: 66 236 26 33 5002·52·525 ===⋅ 
Ejemplo 3 : Calcula: 12 17194612 3912 84412 6664 33 2 yx2·5yx·yx2·yx5yx·xy2xy5 ==⋅ 
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3) División de dos radicals : Sólo se pueden dividir si tienen el mismo índice y el resultado es : 
 n
b
a
n b
n a
= ya que : n
b
an
1
b
a
n
1
b
n
1
a
n b
n a
=




== 
 Si los radicales no tienen el mismo índice, por la propiedad anterior se reducen al mismo índice y ya 
 se pueden dividir. 
Ejemplo 1: Divide : 44
4
4
2
5
24
60
24
60
== 
Ejemplo 2 : Divide : 22
2
2
2
)2(
32
16
32
16
32
16 6 36
5
8
6
5
24
6
2
6
6 2
6
3
====== 
Ejemplo 3: Calcula: 15 2715
3333
51052
15
333
5105
15 333
15 5105
5
3 2
ba2
ba)2(
ba)2(
ba8
ba4
ba8
ba4
ab8
ba4
==== 
Ejemplo 4: Simplifica : 
2
33
2
33
2
3
2
3
2
)3(
16
27 4 2
4 4
4 6
4
4
6
4
4
23
4
2 ⋅
=
⋅
==== 
 
4) Extracción de FACTORES fuera del radical. Es una operación que sirve para simplificar radicales. 
Se basa en las operaciones de producto y división consideradas en sentido contrario. Veamos unos ejemplos : 
 
 Ejemplo 1: Extrae del radical los factores que puedas : 3 192 
 Solución: 33233 63 63 34323232192 ⋅=⋅=⋅=⋅= 
 Ejemplo 2: Extrae del radical los factores que puedas 300 
 Solución: 310352352352300 2222 ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= 
 Ejemplo 3: : Extrae del radical los factores que puedas : 4
2
16
27 
 Solución: 
2
33
2
33
2
3
2
3
2
)3(
16
27 4 2
4 4
4 6
4
4
6
4
4
23
4
2 ⋅
=
⋅
==== 
Como regla pràctica para extraer factores fuera del radical, se descomponen en factores primos, los factores del 
radicando. Después se divide cada exponente del radicando entre el índice de la raíz. El cociente nos da el 
número de factores que salen y el resto los que se quedan dentro. 
 
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Ejemplo 1: Extrae del radical los factores que puedas : 432 
Solución : Sabemos que: 34 3·2432 = = 3123·3·23·3·2 224 == 
Si dividimos: 4 entre 2 da 2 y resto 0 y 3 entre 2 da 1 y resto 1 
Por tanto: 432 = 3123·3·22 = 
Ejemplo 2: Extrae del radical los factores que puedas : 4 7824 dcba64 
Solución: Sabemos que: 4 7824 dcba64 = 4 78246 dcba2 
Si vamos dividiendo los exponentes entre el índice quedaría: = 4 3222 db2·d·c·a·2 
5) Potencia de un radical : ( ) n papn a = . Ya que : ( ) n pan
p
)a(p)n
1
a(
pn a === 
Es decir, para elevar un radical a una potencia, se eleva solo el radicando a esa potencia 
Ejemplo : Calcula : ( )24 4 Solución : ( ) ( ) 22244 4 44 224 224 ==== 
6) Raíz de un radical : nm am n a ⋅= . Ya que : m·n am·n
1
am
n
1
a
m
n
1
am n a ==== 
Es decir, el resultat de calcular la raíz de un radical es otro radical que tiene por radicando el mismo y por 
índice, el producto de los índices. 
Ejemplo 1 : Calcula 3 4 Solución : 36 263 2244 === 
EJemplo 2 : Calcula : 3 5·2 Solución: 3 5·2 = 63 3 402·5 = 
7) Radicales semejantes. Dos o más radicales son semejantes, si simplificados al máximo tienen el mismo 
índice y el mismo radicando 
Ejemplo 1: Los radicales 35y32 − son semejantes 
 
Ejemplo 2: Los radicaless 75y32 son semejantes ya que si simplificamos 75 
 
queda: 75 = 355·3 2 = que es semejante a 32 
 
Ejemplo 3: Los radicales 4 25y53 son semejantes ya que 5525 4 24 == . 
 
Ejemplo 4: Los radicales 33 13540 y son semejantes ya que: 
 
 33 33 525·240 == 33 33 535·3135 ==y 
 
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8.- Suma y resta de radicales 
 
Es condición necesaria para que se puedan sumar o restar radicales, que sean semejantes. En este caso, se 
 
sacaría factor común el radical, y se sumarían y restarían los coeficientes. 
 
Ejemplo 1: Calcula: 3633235 +−− 
Sol: 3633235 +−− = ( 383)6125 =+−− 
 
Ejemplo 2: Calcula: 333 22527 −+− 
 
Sol: 333 22527 −+− = 33 232)157( −=−+− 
Ejemplo 3: Calcula: 22672375 +−−+ 
 
Sol: En este caso, sumaremos los radicales semejantes que son de dos tipos: 
 
22672375 +−−+ = 22742)163(7)15( −=+−+− 
Ejemplo 4: Calcula: 4875272125 −−+ 
 
Sol: En principio no se pueden sumar por que no son semejantes. Habría que simplificarlos 
 
4875272125 −−+ = =−−+=−−+ 3435363103·25·3323·25 4232 
 
= 373)45610( =−−+ 
Ejemplo 5: Calcula: 1823244 +−+ 
 
Sol: 1823244 +−+ = 272322423·2222 254 2 =+−+=+−+ 
 
Ejemplo6: Calcula: 33 25
27
16
+ Sol: 33 25
27
16
+ = 33333 3
4
2
3
17252
3
225
3
2
=+=+ 
 
 
* Un error muy frecuente es pensar que la raíz de la suma es la suma de las raíces y es falso, es decir: 
nnn baba +≠+ . Por ejemplo, 2323 +≠+ , (halla con la calculadora ambos números para comprobar 
que no obtienes el mismo resultado). 
 No obstante, hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales queda oculta. 
Previamente, deberemos sacar los factores que podamos fuera de las raíces, o simplificarlas. 
* Comentario: Cuando nos pidan simplificar un radical, hay intentar tener el menor radicando y menor índice. 
 
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Tabla resumen: 
Definiciones de las potencias Definiciones de las raíces 


vecesn
n aaaa ⋅⋅⋅= ; 
 10 =a ; n
n
a
a 1=− 
abba nn =⇔= ; 
nn aa
1
= ; n
m
n m aa = 
 
Propiedades de las potencias Propiedades de las raíces 
nmnm aaa +=⋅ pn pman ma
/ /= 
nm
n
m
a
a
a −= pn pman ma ⋅ ⋅= 
( ) nnn baba ⋅=⋅ n bn an ba ⋅=⋅ 
n
nn
b
a
b
a
=





 n b
n an
b
a
= 
( ) nmnm aa ⋅= ( ) n pa
pn a = 
 nm am n a ⋅= 
 
Ejercicios cursos anteriores: del 15 al 42. (Están resueltos en vídeo) 
Ejercicios curso actual: del 43 al 61. 
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5. RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES 
Racionalizar una fracción consiste en eliminar los radicales del 
denominador transformando la expresión en otra equivalente. 
Antiguamente, cuando no existían instrumentos de cálculo como los de 
ahora, había que esmerarse en conseguir métodos para aliviar las 
operaciones. 
Por ejemplo, observa que 
2
2
22
21
2
1
=
⋅
⋅
= y si haces la división de las 
dos formas, verás que es mucho más ventajoso suprimir el radical del 
denominador (ver divisiones al margen) . 
 
En cada caso, nos haremos esta pregunta: ¿por qué expresión he de multiplicar el numerador y el 
denominador para que en el denominador no tenga radicales? 
1er caso: En el denominador hay solamente una raíz. Ver ejemplos 
Ejemplo 1: Racionaliza 
3
5 Solución: 
3
35
33
35
3
5 ⋅
=
⋅
⋅
= 
Ejemplo 2: Racionaliza 
3 7
14 Solución: 3
3 2
3 3
3 2
3 23
3 2
3
492
7
714
7
714
77
714
7
14
⋅=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
= 
Ejemplo 3: Racionaliza 
4 325
6
⋅
 Solución: 
10
83
25
23
25
23
225
23
25
3
225
6
25
6
325
6 44 3
4 4
4 3
4 34
4 3
444 54
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
=
⋅
=
⋅⋅
=
⋅
=
⋅
 
 
2er caso: En el denominador hay una suma o resta con raíces cuadradas. 
En este caso, se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Recuerda 
que la expresión conjugada de a + b es a – b y viceversa. Nos basaremos en la propiedad que dice que: 
22)()( bababa −=−⋅+ 
 
 
Ejemplo 1: Racionaliza 
32
5
+
 
Solución: )32(5
32
)32(5
)3(2
)32(5
)32()32(
)32(5
32
5
222
(*)
−⋅=
−
−⋅
=
−
−⋅
=
−⋅+
−⋅
=
+
 
 
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Tema 1: Aritmética. Repaso de 3º de ESO. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RAÍCES. TEORÍA 
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12 
 
 
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Exemple 2: Racionalitza: 
37
10
−
 
Solució: 
37
10
−
= 
)37)(37(
)37(10
+−
+ = 
37
)37(10
−
+
= 
4
)37(10 +
= 
2
)37(5 +
 
 
Ejercicios curso actual: del 62 al 63. 
 
6. NOTACIÓN CIENTÍFICA 
Escribir un número en notación científica es expresarlo de la forma na 10⋅ siendo “ a ” un número entero o 
decimal mayor o igual que 1 y menor que 10 y “ n ” un número entero. 
La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. 
Observa los ejemplos donde pasamos un número a notación científica o viceversa: 
4205 = 4,205·103 ; 0,0009503 = 9,503·10 – 4 ; 325,12 = 3, 2512·102 ; 7·106 = 7000000 ; 
2,1·10 – 2 = 0,021 
 
 
 
OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA 
 
Suma y resta. 
 
Ejemplo 1. Calcula: 4,8·107 + 1,6·107 – 2,3·107 = (4,8 + 1,6 – 2,3)·107 = 4,1·107 
 
Ejemplo 2: Calcula: 1,8·106 – 3,2·105 + 2,7·105 = 
 
Como las potencies de 10 no son las mismas, haremos que lo sean: 
 
 = 18·105 – 3,2·105 + 2,7·105 = (18 – 3,2 +2,7)·105 = 17,5·105 = 1,75·106 
 
Multiplicación 
 
Ejemplo 3: Calcula: 2,3·108 · 1,4·105 ·7,2·106 = 23,184·1019 = 2,3184·1020 
 
División 
 
Ejemplo 4: Calcula: (7,3·1012) : (2,5·108) = 2,92·104 
 
Ejemplo 5: Calcula: (1,8·109) : (4,6·105) = 0,39·104 = En notación científica = 3,9·103 
 
Ejemplo 6: Calcula: (5,4·106) : (8,3·1011) = 0,65·10 – 5. En notación científica = 6,5·10 – 6 
 
 
Ejercicios cursos anteriores: del 64 al 76. (Están resueltos en vídeo) 
Ejercicios curso actual: del 77 al 81.
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Tema 1: Aritmética. Repaso de 3º de ESO. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RAÍCES. 
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EJERCICIOS 
 
Los conjuntos numéricos. 
1. (3º ESO)¿Cuáles de los números siguientes son racionales? ¿e irracionales? Pon en forma de fracción los 
que sea posible: 
a) 0,018 b) 3,25

 c) 1,212112111.... d) π 
e) 7,03232.... f) g) 0,3212121.... h) 9,1

 
2. (3º ESO) Sitúa cada uno de los números siguientes en las casillas correspondientes. Cada una puede estar en 
más de una casilla: 24; 0,71; 17,0

; −5; 5
3
; 7 ; 9− ; 7
28
; π − 1 
Naturales, ℕ 
Enteros, ℤ 
Fraccionarios 
Racionales, ℚ 
Irracionales 
 
3. (3º ESO) Sitúa los números siguientes en la parte correspondiente del 
diagrama: 
 1,4; 5
4
; −2; 9; 3
6
; 7,1

; 52,0

; 3
15
− 
 
 
 
 
4. (3º ESO) Clasifica los números siguientes según sean naturales, enteros, racionales o irracionales: 
 107; 3,95; ; −7; 20 ; 9
36
; 
9
4
; 36− ; 3
7
; π − 3; 9,4

− 
5. a) ¿Cuáles de los números siguientes no pueden expresarse como cociente de dos números enteros? 
 −2; 1,7; 3 ; 2,4

; 57,3

− ; 3π; 52− 
b) Expresa como fracción aquellos que sea posible. 
c) ¿Cuáles son racionales? 
6. a) Clasifica en racionales o irracionales los siguientes números: 
 
2
3
; 78,0

; 4− ; 3
7
− ; 2
1
; 2π 
b) Ordénalos de menor a mayor 
c) ¿Cuáles son números reales? 
0,23 
ℚ 
ℤ 
ℕ 
3,56 
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7. Sitúa los números siguientes en el diagrama adjunto: 
 
1; 32,7

; 21 − ; 9 ; 3,5; 9,1

; 9
11
; 4
1
; 9− ; 4
π
; − 104; 
6 ; 3 8− ; 1,010010001.... 
 
 
 
8. Indica el menor conjunto numérico entre ℕ, ℤ, ℚ y ℝ, al que pertenece cada uno de los siguientes números: 
 −4; 6
13
; 5 ; 7,2

− ; 6
18
; π; 
2
31 +
; 1,23434.... 
Representación gráfica de los números reales (ℝ) 
 
9. Representa los siguientes números en la recta real de forma exacta: 
 
7
5 ; 
7
5
− ; 
7
19 ; 
5
37
− ; 0,666.... ; − 0,333.... ; 5 ; 13 ; 17 ; 3 
Intervalos y semirrectas 
10. Escribe los conjuntos siguientes en formade intervalo y representa los números que cumplen las condiciones 
indicadas en cada caso: 
a) Comprendidos entre −1 y 3, ambos incluidos. b) Mayores que 7. 
c) Menores o iguales que −5. d) Mayores que 2 y menores que 7. 
11. Escribe en forma de intervalo y representa: 
a) {x∈ℝ/ 3≤ x < 5} b) {x∈ℝ / x ≥ 0} c) {x ∈ℝ / −3< x < 1} d) {x ∈ℝ / x < 8} 
12. Escribe en forma de desigualdad y representa: 
a) ]−1, 4] b) [0, 5] c) ]−∞, −4[ d) [9, +∞[ 
13. Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números 
representados: 
a) b) 
 
c) d) 
 
14. Representa en una misma recta las semirrectas A = ]−∞, 2] y B = [−2, +∞[. 
¿Cuáles son los números que pertenecen a A y a B (A∩B)? Exprésalo como un intervalo. 
 
Potencias y Raíces 
15. (1º ESO) a) Calcula 32 , 51 , 23,0 , 
3
3
5





 , 07 , 40 , ( )42− , 42− , ( )51− , 410 , 105 
b) Halla los cuadrados y los cubos perfectos menores de 200. 
c) Pasa a notación científica los números 570400000 y 0,000021 
d) Pasa a notación decimal los números 3107,2 −⋅ y 
5101402,3 ⋅ 
e) Tenemos una finca cuadrada cuyo lado mide 23 m. ¿Cuál es el precio de venta si cada 2m vale 20 €? 
f) Calcula el volumen de un cubo de 4 m de arista. 
ℕ 
ℤ 
ℚ 
ℝ 
−1 3 
• • 
0 1 5 
∘ • 
−2 
• 
0 4 
∘ 
0 
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16. (2º ESO) a) Escribe como fracción: 
a1) 23− ; a2) 32− ; a3) 3)2( −− ; a4) 2)3( −− ; a5) 210− ; a6) 
3
3
2





 ; a7) 
3
3
2





− ; a8) 
3
3
2 −





 ; a9) 
3
3
2 −





− 
b) Escribe en forma de potencia siendo la base un número primo: 
 b1) 25
1 b2) 
16
1 b3) 
81
1 
17. (2º ESO) Efectúa las siguientes operaciones: 
a) 533 052 +⋅− b) 30113 )1(45622052 −−−++ −−− c) 42231 )3(21 −− −⋅− d) 2)5,2( −− 
18. (1º ESO) a) Expresa el resultado en forma de una única potencia. 
 a1) 27 33 ⋅ a2) 26 2:2 a3) ( )325 a4) 44 23 ⋅ a5) 55 2:6 a6) ( ) 2542 : xxx ⋅ 
b) ¿Qué expresiones son ciertas y cuáles son falsas? 
 b1) 3773 ⋅= b2) ( ) 33 55 −=− b3) ( ) 222 3232 ⋅=⋅ b4) ( ) 222 3232 +=+ b5) ( ) 22 532 =+ 
19. (2º ESO) Escribe el resultado en forma de una sola potencia aplicando las propiedades de las potencias: 
a) 42 55 ⋅ b) 3
9
5
5 c) 9
3
5
5 d) ( )235 e) 33 75 ⋅ f) 4
4
7
5 g) 9
38
5
55 ⋅ 
20. (2º ESO) Sustituye cada uno de los recuadros □ por el signo = o ≠ en las siguientes expresiones: 
a) 27 □14 b) 2)3(− □ 23− c) 3)3(− □ 33− d) 2)32( + □ 25 
e) 2)35( − □ 22 35 − f) 2)32( ⋅ □ 22 32 ⋅ g) 
2
2
5





 □ 2
2
2
5 h) ( )323 □ 53 
21. (2º ESO) Escribe el resultado en forma de una sola potencia de base un número primo o fracción irreducible, 
aplicando las propiedades de las potencias: 
a) 
33
5
3
6
5





⋅




 b) 
22
5
6:
100
3











 c) 3
3
4
12 d) 4
4
10
5 e) 
3
3
4
3)4( 




⋅− f) 34 
22. (2º ESO) Escribe como una única potencia de base un número primo: 
a) 33 24 ⋅ b) 55 8:16 c) 64 33 −⋅ d) 812 5:5 − e) 43)2( − f) 45 7:7 −− g) 4:8)2( 343 −⋅ 
23. (2º ESO) Simplifica y calcula utilizando las propiedades de las potencias: 
a) ( )25
434
22
22
⋅
⋅ b) ( ) ( )22
4324
aa
aaa
⋅
⋅⋅ c) ( )( )322
42
baa
bbba
⋅⋅
⋅⋅⋅
−
−
 d)
2732
8142
44
235
⋅⋅
⋅⋅
−
−
 e) 124
25
642
3982
−−
−−
⋅⋅
⋅⋅⋅ 
24. (3º ESO) Calcula las siguientes potencias: 
a) (−3)3 b) (−2)4 c) (−2)−3 d) −32 e) −4−1 
f) (−1)−2 g) 
3
2
1 −





 h) 
2
2
1 −





− i) 
0
3
4





 
25. (3º ESO) Expresa como una potencia de base 2 o 3: 
a) 64 b) 243 c) 32
1
 d) 3
1
 e) 27
1
− 
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26. (3º ESO) Reduce en una sola potencia: 
a) 43.44.4 b) (56)3 c) 4
6
7
7
 d) 3
3
3
15
 
e) 210.510 f) 55
5
43
12
⋅
 g) 342
236
)a.a(
)a.a(
 h) ( ) 2
7
532
2
2.3.6 
27. (3º ESO) Expresa como potencia única: 
a) 
23
4
3:
4
3












−
 b) 4
75
2
22
−
−⋅
 c) 
31
1
2
1













 +
−
 d) 
23
4
1:
2
1











 
28. (3º ESO) Calcula: a) 
23
2
1:1
2
3 −−











 − b) 
2
3
12
−





 + 
29. (3º ESO) Calcula utilizando las propiedades de las potencias: 
a) 432
24
223
86
⋅⋅
⋅
 b) 
1012
415
2
22
⋅
⋅
 c) 
16
42 35 ⋅−
 
d) 13
125
92
432
−
−
⋅
⋅⋅
 e) 223
22
4)3(2
96
⋅−⋅
⋅
 f) 1
3123
9100
35102
−
−−−
⋅
⋅⋅⋅ 
30. (3º ESO) Simplifica: 
a) 2
34
b
a
b
a
⋅





−
 b) 21
3
)a(
b
a −−
−
⋅




 c) 
23
b
a
a
1 −−





⋅




 d) 21
13
)ba(
a
b −−
−−
⋅⋅














 
31. (1º ESO) a) Calcula mentalmente 25 , 0 y 4− 
b) Calcula la raíz cuadrada por defecto y por exceso de 90. Hállala con la calculadora o con wiris. 
c) Realiza las siguientes operaciones sin calculadora 
( )( ) ( ) ( )16:4164921815:50723 3224 ⋅+⋅⋅−+⋅−−−⋅ 
d) Un terreno cuadrado tiene 2625 m de área. ¿Cuál es su perímetro? 
32. (1º ESO) a) Halla sin calculadora 94864 y comprueba el resultado 
b) Halla sin calculadora 697 . Comprueba que restoraízradicando += 2 . Halla 697 con dos decimales. 
c) Un tablero de madera de forma cuadrada tiene una superficie de 2242,9 m . Calcula lo que mide cada lado 
redondeando a los centímetros. ¿Y si la superficie fuera de 28649,0 m ? 
33. (2º ESO) Calcula, si existe, la raíz cuadrada: (en algunos casos tendrás que utilizar el algoritmo del cálculo 
de la raíz cuadrada que estudiaste en cursos anteriores) 
a) 1 b) 0 c) 25 d) 100− e) 484 f) 237 g) 3,1805 
34. (2º ESO) Calcula, si existe, la raíz cúbica. Cuando no sea un cubo perfecto debes hallar entre qué dos 
números enteros se encuentra la raíz cúbica. 
a) 3 1 b) 3 0 c) 3 8 d) 3 27− e) 3 1000 f) 3 16 g) 3 50− 
35. (1º ESO) Calcula el valor de x en cada caso: 
a) 162 =x b) x=23 c) 83 −=x d) 1253 =x e) 7±=x f) x=81 
g) x=0 h) 1±=x i) x1001,5501 ⋅= j) x10202,0 ⋅= k) x42222 =⋅⋅⋅ 
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36. (2º ESO) Calcula las raíces descomponiendo previamente los números del radicando: 
a) 6 64 b) 3 216 c) 6 4096 d) 5 243− e) 6
64
1 f) 3
216
64 g) 3
1000
3375
− 
37. (2º ESO) Aplicando las propiedades de las raíces y de las potencias, calcula: 
a) 33 42 ⋅ b) 
3
3
3
81 c) 5 65 4 aa ⋅ d) ( ) 77 32 aa ⋅ e) ( )
7 2
7 57 235
a
aaa ⋅⋅ 
38. (2º ESO) Realiza las siguientes operaciones teniendo muy en cuenta la jerarquía y los paréntesis: 
a) 232 ⋅ b) 2)32( ⋅ c) ( ) 12:5233 2 −−⋅+ d) )32(:)2()2315(3 322 −−+⋅− 
39. (3º ESO) La raíz de índice par de un número positivo tiene dos valores. Cuando escribimos 4− nos 
referimos a la raíz negativa. Es decir, 4− = −2. ¿Cuál es el valor de las expresiones siguientes? 
a) 64− b) 4 81 c) 1− d) 6 1 e) 9− f) 3 8− 
40. (3º ESO) Calcula cuando sea posible, estas raíces: 
a) 4 256 b) 3 27− c) 4 16− d) 5 1− e) 36− f) 6 1− 
41. (3º ESO) Calcula las siguientes raíces: 
a) 6 64 b) 3 216 c) 14400 d) 6 64
1
 e) 3 216
64
 f) 3 1000
3375
 
42. (3º ESO) Encuentralas siguientes raíces: 
a) 4 16 b) 
25
16
 c) 3
8
1
 d) 5
243
1
 
e) 5 1− f) 7 128− g) 5 243− h) 6 4096 
 
43. Expresa estas raíces en forma de potencia de exponente fraccionario: 
a) 5 2x b) 2 c) 3 610 d) 4 220 e) 5 3)3(− f) 4
1
a
 
g) 15 5a h) ( )35 2x − i) 15 6a j) 6
13
a
a
 k) 3 x l) n m ka 
44. Escribe en forma de raíz: 
a) 9
7
x b) 3
1
55 )n.m( c) 3
1
2
1
b.a d) 
5
1
3
1
2 )x( 





 e) 2
1
5 
f) 3
2
)3(− g) 
3
1
3
4





 h) 4
1
3 )a( i) 2
1
3
1
)a( j) 5
3
1)a( − 
45. Calcula: 
a) 2
1
4 b) 3
1
125 c) 4
1
625
−
 d) 3
2
)8(
−
− e) 6
5
64− f) 2
3
)9(− g) 3
2
)8(− 
46. Expresa como potencia única: 
a) 3 4.2 b) 3 93 c) 
5
253
 d) 5 2a.a e) 5 a f) 
m.m
m3 2
 
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47. Operando con potencias calcula: 
a) 
10 10
10 10
10
2 4
6 3
25
− −
− −
⋅
⋅
⋅ b) 
1000 10 100
10 100
1
3 2 4
3 3
⋅ ⋅
⋅
−
 c) 2
1.4.8 53
2
 
48. Simplifica los siguientes radicales: 
a) 12 9x b) 12 8x c) 5 10y d) 5 15a e) 4 23 f) 6 8 
g) 9 64 h) 8 81 y) 8 42ba j) 3 96ba k) 10 64ba 
49. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los radicales siguientes: 
7 , 3 30 , 4 40 , 6 81 
50. ¿Cuál de los dos radicales es mayor en cada caso? Responde sin utilizar la calculadora. 
a) 34 1331 y b) 93 13265051 y 
51. Reduce a índice común los siguientes radicales: 
a) n m n23 34 56; ; b) a b c3 4 45; ; c) 5 6
3
2
23 3
3
6xy x z
xy
z
; ; 
52. Multiplica los siguientes radicales: 
a) 6.3.2 b) 33 43 a.a.a c) 66 a.a d) 53 2.2 
e) 63 3.6 f) 3.65 g) a a a6 710 215⋅ ⋅ h) a a a320 528 635⋅ ⋅ 
53. Divide los siguientes radicales: 
a) 3
3
4
36
 b) 3 3
9
 c) 
2
165
 d) 
4 5
33
cab
cab
 e) 
2
43
 f) 4
6
10
20
 
54. Efectúa y simplifica: a) ( )63 2a b) ( ) ( )33 x.x c) 
8
2 




 
 d) ( )164 3 e) 63 f) 64 
55. Extrae del radical todos los factores posibles: 
a) 27 b) 50 c) 12 d) 125 e) 4 48 f) 3 135 
56. Extrae del radical los factores que sea posible: 
a) 3 3a16 b) 4 35ba81 c) 5a8 d) 128 5 7 65 a b c 
e) 3 4a
24
 f) 
75
162
 g) 5
32
9
 h) 
8 4 3
6
3
x y z
t
 i) 7 117a 
57. Introduce dentro de la raíz los factores que hay fuera: 
a) 3 2abc abc b) 3 2 23ab c a bc c) 25 5 2ab a d) 532 432 bba 
58. Introduce dentro de la raíz y simplifica: 
a) 
5
35 b) 3
4
72 c) 4
12
52 d) 12
2
1 e) 
3
18 f) 3
4
9
3
2 
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Tema 1: Aritmética. Repaso de 3º de ESO. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RAÍCES. 
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59. Efectúa: a) 
33 3·22
3·22 b) 
5
2
3
31510
273
9381
⋅




⋅⋅ c) 
3
2
3 545
16
2644 



⋅⋅
 
60. Efectúa: 
a) 825018 −−+ b) 31248 +− c) 33 2481 − 
d) 6 372 8 +− e) 33 25 4 + f) 
3
20452 − 
g) 
4
728122108 +−− h) 
36
805
4
45
9
20
−+ i) 
225
18
49
8332
5
34 6 3
4 +⋅−+ 
61. Efectúa: a) )32)(32( −+ b) 2)223( + 
 c) 2)352( − d) )325)(325( +− 
Racionalización de denominadores 
 
62. Racionaliza y simplifica si es posible: 
a) 
2
1 b) 
7
5
 c) 3 2
1
 d) 5 23
2
 e) 3
3
 
f) 
2
32
 g) 15
3
 h) 12
4
 i) 62
3
 j) 
7 1445
10 
63. Racionaliza y simplifica si es posible: 
a) 23
4
+ b) 32
3
− c) 31
3
+ d) 23
14
− e) 21
21
−
+
 
f) 352
11
+ g) 322
2
−
 h) 232
1 0
− i) 23
3
+
 j) 
35
35
+
−
 
 
Notación Científica 
64. (3º ESO) Escribe los números siguientes con todas sus cifras: 
 a) 4·107 b) 5·10−4 c) 9,73·108 
 d) 8,5·10−6 e) 3,8·1010 f) 1,5·10−5 
65. (3º ESO) Escribe estos números en notación científica: 
a) 13 800 000 b) 0,000005 c) 4 800 000 000 d) 0,0000173 
66. (3º ESO) Expresa en notación científica: 
a) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km. 
b) Caudal de una cascada: 1 200 000 l/s . 
c) Velocidad de la luz: 300 000 000 m/s. 
d) Emisión de CO2 en un año en España: 54 900 000 000 kg. 
67. (3º ESO) Di cuál debe ser el valor de n para que se verifique la igualdad en cada caso: 
a) 3 570 000 = 3,57·10n b) 0,000083 = 8,3·10n c) 157,4·103 = 1,574·10n 
d) 93,8·10−5 = 9,38·10n e) 14700·105 = 1,47·10n f) 0,003·108 = 3·10n 
g) 374,2·105 = 3,742·10n h) 374,2·10−7 = 3,742·10n i) 0,031·10−3 = 3,1·10n 
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Tema 1: Aritmética. Repaso de 3º de ESO. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RAÍCES. 
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68. (3º ESO) Calcula las siguientes operaciones con notación científica: 
a) (4,73·107) · (7,5·105) b) (3,214·10−5) · (7,2·1015) c) (3,25·107) · (9,35·10−15) 
d) 5
7
10·5,7
10·73,4
− e) 1 5
5
1 0·2,7
1 0·2 1 4,3 −
 f) 3
12
10·5,2
10·8,4
 
69. (3º ESO) Efectúa las siguientes operaciones con notación científica: 
a) 3,2·108 + 7,3·1010 b) 4,73·107 − 7,5·106 c) 5,73·104 − 3,2·105 
d) 3,6·1012 − 4·1011 e) 5·109 + 8,1·1010 f) 2·10−5 + 1,8·10−6 
g) 8·10−8 − 5·10−9 h) 5,32·10−4 + 8·10−6 
70. (3º ESO) Expresa en notación científica y calcula: 
a) 0 0 0,0·0 0 02 5 0
0 00 0 01 2·0 0 0 5 4,0
 b) 
0011,0·000002,0
00025·0003201 c) 0 06 0 0·0 0 02 5 01
0 0 0,0·0 0 0 0 1 5,0
 
71. (3º ESO) Calcula expresando el resultado en notación científica y comprueba con la calculadora: 
a) (3·105) · (2·106) b) (2·10−8) · (1,5·1012) c) (4·108) + (5·107) 
d) (4·10−3) − (5·10−4) e) (8·1011) : (5·103) f) (8,5·10−6) : (2·104) 
72. (3º ESO) El diámetro de un virus es 5·10−4 mm. ¿Cuántos de estos virus son necesarios para rodear la 
Tierra? 
(Radio medio de la Tierra: 6 370 km) 
73. (3º ESO) La velocidad de la luz es 3·108 m/s aproximadamente. 
a) ¿Qué distancia recurre la luz del Sol en un año? 
b) ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Plutón? (Distancia Del Sol a Plutón: 5,914·106 km) 
74. (3º ESO) La estrella Alfa Centauri está a 4,3 años luz de la Tierra. Expresa en kilómetros y en notación 
científica esta distancia. (Año luz: distancia recorrida por la luz en un año a 300 000 km/s) 
75. (3º ESO) Nuestro sistema solar se encuentra situado a 27 700 años luz del centro de la galaxia. Expresa en 
kilómetros y en notación científica esta distancia. 
76. (3º ESO) El radio del Universo observable es 2,5·1010 años luz. ¿Cuántas veces hay que viajar entre la 
Tierra y El Sol para cubrir la longitud del radio del Universo observable? (La distancia de la Tierra al Sol es 
1,5·108 km) 
77. Escribe en notación científica: 
a) 752 000 000 b) 0,0000512 c) 0,000007 d) 15 000 000 000 
78. Expresa en notación científica: 
a) 32·105 b) 75·10−4 c) 843·107 
d) 458·10−7 e) 0,03·106 f) 0,0025·10−5 
79. Calcula mentalmente: 
a) (1,5·107)·(2·105) b) (3·106):(2·1011) c) (4·10−7):(2·10−12) d) 810·4 
80. Efectúa a mano utilizando la notación científica y comprueba después con la calculadora: 
a) (3,5·107)·(4·108) b) (5·10−8)·(2,5·105) c) 6
7
10·5
10·2,1
− 
d) 12
5
10·2,6
10·8,2
−
−
 e) (6·10−7)2 f) 
( )
9
36
1 0·3,5
1 0·2,7
−
−
 
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81. Efectúa a mano utilizando la notación científica y comprueba después con la calculadora: 
a) 5,3·1012− 3·1011b) 3·10−5+ 8,2·10−6 c) 6·10−9− 5·10−8 
d) 7,2·108+ 1,5·1010 e) 7,86·105− 1,4·106+ 5,2·104 f) 56
91 0
1 0·51 0·7
1 0·71 0·3
−
+ −−
 
Otros ejercicios 
82. Encuentra el área total y el volumen de un cilindro de 5 cm de radio y 12 cm de altura. Halla el valor exacto 
en función de π. 
83. En un círculo la circunferencia mide 30π m, cortamos un sector circular de 150o de amplitud. Encuentra el 
área de este sector dando el valor exacto en función de π y también su perímetro. 
84. Calcula el área total y el volumen de un cono de 5 cm de radio y 10 cm de generatriz. 
Da el valor exacto. 
Recuerda que en un cono hrV ⋅⋅= 2
3
1π y grrAAA lateralbase ⋅⋅+⋅=+= ππ 2 
 
 
85. Encuentra la diagonal de un cubo de volumen 5 dm3. Expresa la medida con un radical. 
86. Calcula el perímetro de los triángulos ABC, DEF y GHI. Expresa el resultado con radicales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
87. Los puntos A y B dividen la diagonal del 
cuadrado en tres partes iguales. Si el área del 
cuadrado es 36 cm2, ¿cuánto medirá el lado 
del rombo? 
Da el valor exacto. 
 
 
88. En un cuadrado de 10 cm de lado, cortamos en 
cada esquina un triángulo rectángulo isósceles de 
manera que se obtiene un octágono regular. 
a) Encuentra la medida exacta del lado del octágono. 
b) Calcula su área. 
 
 
 
 
B 
A 
C 
4 u D 
E F 
G 
H 
I 
A 
B 
x 
x l 
l 
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 Tema 1: Aritmética. Repaso de 3º de ESO. Números reales y radicales SOLUCIONES
 
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SOLUCIONES: 
 
1. a) Racional: 500
9
 b) Racional: 3
76
 c) Irracional d) Irracional e) Racional: 495
3481
 f) Racional: 90
23
 g) Racional: 165
53
 h) 2 
2. 
Naturales, ℕ 24; 28/7 
Enteros, ℤ 24; −5; 9− ; 28/7 
Fraccionarios 0,71; 17,0

; 3/5; 
Racionales, ℚ 24; 0,71; 17,0

; −5; 3/5; 9− ; 28/7 
Irracionales 7 ; π − 1 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 107∈ℕ; 3,95∈ℚ; ∈ℚ; −7∈ℤ; 20 ∈Ιrracionales; 36/9∈ℕ; 3
2
9
4
= ∈ℚ; 63 6 −=− ; 3
7
∈ℚ; π−3∈Ιrracionales; 
59,4 −=−

∈ℤ 
5. a) 3 ; 3π; 52− b) 
3
62 −=− ; 
10
177,1 = ; 
9
382,4 =

; 
45
16957,3 −=−

 c) −2; 1,7; 2,4

; 57,3

− 
6. a) Racionales: 78,0

; 4− ; 
3
7
− ; Irracionales: 
2
3 ; 
2
1 ; 2π b) 
3
7
− < 4− <
2
1 <
2
3 < 78,0

< 2π c) Todos 
7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. −4∈ℤ; 
6
13
∈ℚ; 5 ∈ℝ; 7,2

− ∈ℚ; 3
6
18
= ∈ℕ; π∈ℝ; 
2
31+
∈ℝ; 1,23434....∈ℚ 
9. 
 
 
 
 
 
10. a) [−1, 3] b) ]7, +∞[ c) ]−∞, −5] d) ]2, 7[ 
 
 
 
11. a) [3, 5[ b) [0, +∞[ c) ]−3, 1[ d) ]−∞, 8[ 
 
 
 
−1 3 
• • 
7 
∘ 
−5 
• 
2 7 
∘ ∘ 
3 5 
• ∘ 
0 
• 
8 
∘ 
−3 1 
∘ ∘ 
ℕ 
ℤ 
ℚ 
ℝ 
1 
32,7

 
21− 
3,5 
9
11 
4
1 
4
π 
6 
3 8− 
9 9− 
−104 
1,010010001…. 
9,1

 
0 −1 1 2 3 
• • • 
5/7 −5/7 19/7 
0 1 
1 
3 5 
• • • 
5 13 17 
1 
2 
0 −1 1 
• • 
2/3 −1/3 
6,0

 3,0

− 
ℚ 
ℤ 
ℕ 
1,4 
4/5 −2 9 6/3 
7,1

52,0

−15/3 
3,56 
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12. a) {x / −1< x ≤ 4} b) {x / 0≤ x ≤ 5} c) {x / x <−4} d) {x / x ≥ 9} 
 
 
13. a) [−1, 3] = {x / −1≤ x ≤ 3} b) ]1, 5] = {x / 1< x ≤ 5} c) [−2, +∞[ = {x / x ≥ −2} d) ]−∞, 4[ = {x / x <4} 
 
14. A∩B = [−2, 2] 
15. (Ver vídeo) 
16. (Ver vídeo) 
17. (Ver vídeo) 
18. (Ver vídeo) 
19. (Ver vídeo) 
20. (Ver vídeo) 
21. (Ver vídeo) 
22. (Ver vídeo) 
23. (Ver vídeo) 
24. a) −27 b) 16 c) 
8
1
− d) − 9 e) 
4
1
− f) 1 g) 8 h) 4 i) 1 
25. a) 26 b) 35 c) 2−5 d) 3−1 e) −3−3 
26. a) 48 = 216 b) 518 c) 72 d) 53 e) 1010 f) 1 g) 1 h) 611 
27. a) 
5
3
4





 b) 22 c) 
3
3
2





 d) 2 
28. a) 2 b) 49
9
 
29. a) 23.32 b) 2
5
 c) 2−3 = 32
1
 d) 34 e) 5
4
2
3
 f)
400000
243 
30. a) a
b2
 b) a
b3
 c) a.b2 d) a
b
 
 
31. (Ver vídeo) 
32. (Ver vídeo) 
33. (Ver vídeo) 
34. (Ver vídeo) 
35. (Ver vídeo) 
36. (Ver vídeo) 
37. (Ver vídeo) 
38. (Ver vídeo) 
39. a) –8 b) 3 c) −1 d) 1 e) −3 f) −2 
40. a) 4 b) −3 c) Imposible d) −1 e) −6 f) Imposible 
41. a) 2 b) 6 c) 120 d) 
2
1 e) 
3
2
6
4
= f) 
2
3
10
15
= 
42. a) 2 b) 
5
4 c) 
2
1 d) 
3
1 e) −1 f) −2 g) −3 h) 4 
43. a) 5
2
x b) 2
1
2 c) 210 d) 2
1
20 e) 5
3
)3(− f) 4
1
−
a g) 3
1
a h) 35
2
)x(
−
 i) 5
2
a j) 2
7
a k) 3
1
2
1
)x( l) n
1
m
k
)a( 
44. a) 9 7x b) 3 55 n.m c) 3 b.a d) 5 3 2x e) 5 f) 3 2)3(− g) 3
3
4 h) 4 3a i) 3 a j) 5 3a − 
45. a) 2 b) 5 c) 1/5 d) 1/4 e) –25 = –32 f) no existe g) 4 
46. a) 6
7
2 b) 3
5
3 c) 6
1
5 d) 10
9
a e) 10
1
a f) 6
5
m
−
 
47. a) 5
17
10 b) 6
29
10 c) 10
19
2 
48. a) 4 3x b) 3 2x c) y2 d) a3 e) 3 f) 2 g) 3 22 h) 3 i) 4 2ba j) a2b3 k) 5 32ba 
49. 346 3074081 <<< 
50. a) 34 1331 > b) 93 13265051 > 
51. a) 12 1012 912 8 n;m;n b) 20 1620 520 30 c;b;a ; c) 6
3
6 3936 422
z2
xy3;zx6;yx5 
52. a) 6 b) a2 c) 3 a d) 15 82 e) 6 32 3.2 f) 10 72 3.2 g) a h) a 
53. a) 3 9 b) 3 9 c) 10 8 d) 4 5abc e) 6 2 f) 12
5
2 
54. a) a4 b) 6 11x c) 2 d) 8 e) 12 6 f) 8 32 
9 
• 
−4 
∘ • 
−1 4 
∘ • 
0 5 
• 
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55. a) 33 b) 25 c) 32 d) 55 e) 4 32 f) 3 53 
56. a) 3 2a2 b) 4 3aba3 c) a2a2 2 d) 5 2cb4abc2 e) 3
a
3
a
2 f) 
3
2
5
9 g) 5 9
2
1 h) 32 xzt
xy2 i) 7 516 aa ⋅ 
57. a) 5332 cba3 b) 3 4753 cba3 c) 245 ba5 d) 5 1610272 ba 
58. a) 15 b) 3 14 c) 4
3
20 d) 3 e) 2 f) 3
3
2 
59. a) 1212 2 183.2 = b) 5 3 c) 30 1122 
60. a) 25 b) 33 c) 3 3 d) 74 e) 3 24 f) 5
3
16 g) 7
2
332 − h) 5
6
7
− 
61. a) 1 b) 21222 + c) 15423 − d) −7 
62. a) 
2
2
 b) 
7
35 c) 
2
43 d) 
3
272 5 e) 3 f) 6 g) 
5
15 h) 
3
32 i) 
4
6 j) 20
7
5
6252
 
63. a) 2434 − b) 336 + c) 
2
333 − d) 226 + e) 223 −− f) 352 − g) 234 −− 
h) 232 + i) 63 − j) 154 − 
64. a) 40 000 000 b) 0,0005 c) 973 000 000 d) 0,0000085 e) 38 000 000 000 f) 0,000015 
65. a) 1,38·107 b) 5·10−6 c) 4,8·109 d) 1,73·10−5 
66. a) 1,5·108 km b) 1,2·106 l/s c) 3·108 m/s d) 5,49·1010 kg 
67. a) n = 6 b) n = −5 c) n = 5 d) n = −4 e) n = 9 f) n = 5 g) n = 7 h) n = −5 i) n = −5 
68. a) 3,5475·1013 b) 2,31408·1011 c) 3,03875·10−7 d) 6,31·1011 e) 4,46·10−21 f) 1,92·109 
69. a) 7,332·1010 b) 3,98·107 c) −2,627·105 d) 3,2·1012 e) 8,6·1010 f) 2,18·10−5 g) 7,5·10−8 h) 5,4·10−4 
70. a) 1,296·103 b) 1,5·1019 c) 8·10−23 
71. a) 6·1011 b) 3·104 c) 4,5·108 d) 3,5·10−3 e) 1,6·108 f) 4,25·10−10 
72. Son necesarios 8·1013 virus 
73. a) 9,46·1012 km b) 19,7 segundos 
74. 4,07·1013 km 
75. 2,62·1017 km 
76. 1,5768·1015 veces 
77. a) 7,52·108 b) 5,12·10−5 c) 7·10−6 d) 1,5·1010 
78. a) 3,2·106 b) 7,5·10−3 c) 8,43·109 d) 4,58·10−5 e) 3·104 f) 2,5·10−8 
79. a) 3·1012 b) 1,5·10−5 c) 2·105 d) 2·104 
80. a) 1,4·1016 b) 1,25·10−2 c) 2,4·1012 d) 4,52·106 e) 3,6·10−13 f) 7,04·10−8 
81. a) 5·1012 b) 3,82·10−5 c) −4,4·10−8 d) 1,572·1010 e) −5,62·105 f) 1,12·10−15 
82. A = 170π cm2 V = 300π cm3 
83. Asector= π
4
375 m2 ; mP tor )302
25(sec += π 
84. A = 75π cm2 V = π
3
3125 cm3 
85. 6 675dm 
86. PABC= 535 + ; PDEF = 246 + ; PGHI = 2254 + 
87. 52 cm 
88. a) )10210( − cm b) )2002200( − cm2 
 
 
 
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