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Funciones 
Acceso. Matemáticas Básicas. UD 4. Funciones. Uned de Bergara. Página 1 
 
4. Funciones ................................................................................................. 2 
4.1. Concepto de función .......................................................................................................................... 2 
4.1.1. Rango de variación ........................................................................................................................2 
4.1.2. Gráfica de una función ..................................................................................................................3 
4.1.3. Características de las funciones ...................................................................................................3 
4.1.3.1. Funciones crecientes y decrecientes ....................................................................................3 
4.1.3.2. Máximos y mínimos relativos ................................................................................................4 
4.1.3.3. Asíntotas verticales ...............................................................................................................4 
4.1.4. Ejercicios .......................................................................................................................................5 
 
Introducción 
 
El Análisis de funciones, conocido también como Análisis matemático, Cálculo infinitesimal o Teoría de funciones, 
comenzó a desarrollarse de la mano de Newton y Leibniz en el apogeo de la revolución científica que conmovía, a 
mediados del siglo XVII. 
 
Esta unidad didáctica se dedica al estudio de las características generales de las funciones: intervalos de 
crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y asíntotas. 
 
Posteriormente se introducen, las nociones de límite y continuidad, y se incluyen algunos casos sencillos del cálculo 
de límites e identificación de las posibles discontinuidades de una función. 
 
La sección siguiente se dedica al cálculo diferencial, comenzando por el concepto de derivada y función derivable, 
para llegar a la ecuación de la recta tangente a una curva. Luego se estudia el cálculo de derivadas y algunas de 
sus aplicaciones como la determinación de máximos y mínimos relativos, y la convexidad y concavidad de una 
función. 
 
Como temas complementarios se incluye estudio de algunas funciones elementales y una breve introducción a la 
idea de integral. 
 
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4. Funciones 
4.1. Concepto de función 
Relacionar dos magnitudes cualesquiera X e Y mediante una función, consiste en 
disponer de un método que para cada valor x de la primera permita determinar el 
correspondiente valor y de la segunda. 
En la figura se puede ver la representación gráfica de la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟑𝟑 
Una función es una aplicación de un cierto intervalo I de números reales en el conjunto 
ℝ de los números reales. 
𝑓𝑓: 𝐼𝐼 → ℝ 
4.1.1. Rango de variación 
El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida de una función o es el conjunto formado por 
todos los valores que puede llegar a tomar la función. 
 
Rango de 
variación 
Intervalo cerrado [a,b], formado por todos los números reales x que verifican a ≤ x ≤ b. 
Intervalo abierto (a,b), formado por todos los números reales x que verifican a < x < b. 
Intervalo semiabierto [a,b), formado por todos los números reales x que verifican a ≤ x < b. 
Intervalo semicerrado (a,b], formado por todos los números reales x que verifican a < x ≤ b. 
 
 
Si la magnitud 𝒙𝒙 tiene por recorrido un determinado intervalo 𝑰𝑰 de números reales, la magnitud Y es función de 𝒙𝒙 
supuesto que, a cada número 𝒙𝒙 ∈ 𝑰𝑰 , se puede asociar un único valor numérico 𝒚𝒚 de Y. Se dice que 𝒚𝒚 es la imagen 
de 𝒙𝒙 mediante la función. 
 
Intervalos en los que están definidas las funciones Ejemplos: 
Si Polinómicas: Todo ℝ (Todos los números reales) f(x) = 3x3 - 2x2 - 5x  ℝ 
Si Fracciones: Todo ℝ menos los Puntos en que se anula el Denominador. 
g(x) =
2x3
1
+
  ℝ - {- 2/3} 
Si Raíces: Todo los Puntos en los que el Radicando es ≥ 0, (> 0 si está en el denominador) 
h(x)=
2x
1
−
  (2, ∞) 
 
(a,b) 
[a,b] 
[a,b) 
(a,b] 
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4.1.2. Gráfica de una función 
La gráfica de una determinada función f definida en un intervalo I, es el conjunto de puntos 
del plano cuya abscisa es un valor 𝒙𝒙 ∈ 𝑰𝑰 , y ordenada 𝒇𝒇(𝒙𝒙). 
La forma de dibujarla consiste en ir dando valores x, ir obteniendo las imágenes 𝒇𝒇(𝒙𝒙) e ir 
dibujando cada uno de estos puntos en el eje de coordenadas. 
Hoy en día existen programas de ordenador capaces de trazar la gráfica de cualquier función 
especificada e, incluso, algunas calculadoras de bolsillo, incorporan una pequeña pantalla en 
la que pueden mostrar las gráficas de las funciones que se le indiquen, en la escala que se 
seleccione. 
En nuestro caso utilizaremos la herramienta software libre 
GeoGebra para trazar la función indicada en la figura. 
Ejercicio: 
Representar con GeoGebra la función 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
1
√3 − 𝑥𝑥2
 
 
4.1.3. Características de las funciones 
4.1.3.1. Funciones crecientes y decrecientes 
Función creciente Función decreciente 
Una función f es creciente en 
un intervalo J si, cuando x 
aumenta dentro de J, el valor 
de f(x) aumenta. 
En símbolos: 
f es creciente en J si se verifica: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) siempre que 
𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 y 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 ∈ 𝐽𝐽 
 
Una función f es decreciente en un 
intervalo J si, cuando x aumenta 
dentro de J, el valor de f(x) 
disminuye. 
En símbolos: 
f es decreciente en J si se verifica: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) siempre que 
𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 y 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 ∈ 𝐽𝐽 
 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
1
√3 − 𝑥𝑥2
 
En 𝐼𝐼 = (−√3,√3) 
 
Creciente en el intervalo 
[𝟎𝟎,√𝟑𝟑) 
Decreciente en el intervalo 
(−√𝟑𝟑,𝟎𝟎] 
 
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4.1.3.2. Máximos y mínimos relativos 
Máximo relativo Mínimo relativo 
Una función f tiene un máximo relativo en el punto 𝑥𝑥0 si 
se pueden encontrar en el punto 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥0 y 𝑏𝑏 > 𝑥𝑥0 de 
modo que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) siempre que 𝑥𝑥 ∈ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏). 
 
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto 𝑥𝑥0 si 
se pueden encontrar en el punto 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥0 y 𝑏𝑏 > 𝑥𝑥0 de 
modo que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) siempre que 𝑥𝑥 ∈ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏). 
 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
√3−𝑥𝑥2
 tiene un mínimo relativo en el punto x=0 
 
 
 
 
4.1.3.3. Asíntotas verticales 
En geometría, se denomina asíntota a la línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca progresivamente a 
una curva sin llegar nunca a encontrarla. 
 
Cuando dicha línea es vertical, se denomina asíntota vertical. 
 
Cuando dicha línea es horizontal, se denomina asíntota horizontal. 
 
La función representada en la figura tiene dos asíntotas: 
 
Asíntota vertical en x=0 
Asíntota horizontal en y=3 
 
 
Ejercicios 
1. ¿En qué intervalos están definidas las funciones siguientes? 
f(x) = 3x + 2  R f(x) = x42 − [𝟏𝟏
𝟐𝟐
 ,−∞) f(x) =
1
1
−
+
x
x  R-{1} 
2. La expresión f(x) = 1−x define una función f : I  R si a) I = (1, ∞) b) I = (-∞, ∞) c) I = [1, ∞) 
3. Si f es decreciente en el intervalo (-3, 1) NO puede ser a) f(-4/3) < f(-2/3) 
b) f(-4/3) < f(-5/3) c) f(1)<f(2) 
4. ¿En cuál de los siguientes intervalos está definida la función f(x) = x
1x2−
? 
 (−∞,𝟎𝟎) 𝒚𝒚 (𝟎𝟎,∞) 
5. El gráfico de la función f(x) = 29 x− pasa por el punto: 
a) (-4, 7 ) 
b) (3, 0) 
c) (4, -1) Solución: b) 
 
Nicolás Morillo
Rectángulo
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6. El gráfico de la función f(x) = 1
1
+
−
x
x
 pasa por el punto: 
a) (0,0) 
b) (1, 0) 
c) (2, -3) Solución: b) 
 
7.Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
2
1−𝑥𝑥 el punto (3, 5) se encuentra: 
 
a) Por debajo de la gráfica de la función. 
b) Por encima de la gráfica. 
c) Sobre la gráfica. Solución: b) 
 
8. Si la función "f" es creciente en el Intervalo (-2, 1) no puede ser: 
a) f(-3/2) ≤ f(-3/5) 
b) f(-1/4) ≥ f(-2) 
c) f(2/5) < f(-3/5) Solución: c) 
 
4.1.4. Ejercicios 
Septiembre 2016 A 
 
Junio 2017 P 
 
 
 
 
 
 
	4. Funciones
	3.
	4.
	4.1. Concepto de función
	4.1.1. Rango de variación
	4.1.2. Gráfica de una función
	4.1.3. Características de las funciones
	4.1.3.1. Funciones crecientes y decrecientes
	4.1.3.2. Máximos y mínimos relativos
	4.1.3.3. Asíntotas verticales
	4.1.4. Ejercicios