Tema 3b Propiedades gases

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Comportamiento pComportamiento p--vv--T T Comportamiento pComportamiento p--vv--T T 
en gasesen gases
Profesor:
Joaquín Zueco Jordán
Área de Máquinas y Motores Térmicos
Ecuación de estado en gases ideales
_
v lim 
P→→→→0 
P J
−−−−−−−− = R=8,3143 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
T mol k
_
v
P
−−−−−−−−
T
P
R
_
v
PV = PV = PV = PV = nnnnRTRTRTRT
P
−−−−−−−− = R 
T
V
= −−−−−−−−−−−−
n
_
v
m
n = −−−−−−−−−−−−
M PPPPvvvv = = = = R TR TR TR T
PV = PV = PV = PV = mmmmRRRR TTTT
. .. .. .. .
PPPP V = V = V = V = mmmmRRRR TTTT
V 
v = −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−
m 
. 
m
. 
V R R = −−−−−−−−−−−−
M 
P
m
PV = −−−−−−−−−−−− RΤΤΤΤ
M
Ecuaciones de estado en gases reales
Factor de compresibilidad Z
PV = PV = PV = PV = Z n Z n Z n Z n RTRTRTRT
PPPPvvvv = = = = Z R TZ R TZ R TZ R T
PV = PV = PV = PV = Z mZ mZ mZ mRRRR TTTT
. .. .. .. .
P P v
Z = −−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−− ≠≠≠≠1 
RT R T
_
v lim 
P→→→→0 ΖΖΖΖ = 1
Z = 1 + B(T) P + C(T) P2 + D(T) P3 + ...
Coeficientes del Virial
a
P + −−−−−−−−−−−− – b = RT
2 a , b => constantes
Ecuación de Van der Waals
_
v
_
v
. .. .. .. .
PV =PV =PV =PV = Z mZ mZ mZ mRRRR TTTTZ = 1 + B(T) P + C(T) P
2 + D(T) P3 + ...
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8 1.6
1.8
2.0
2.5
3.5
3.05.0
P
Pr = −−−−−−−−Pc
v
vr = −−−−−−−−vc
T
Tr = −−−−−−−−Tc
Conocidas dos variables reducidas 
está determinada la tercera.
f (Pr , vr , Tr ) = 0 
Variables reducidas
F
a
ct
o
r 
d
e 
co
m
p
re
si
b
il
id
a
d
 
 Z
Ley de los estados correspondientes
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.8
0.9
0.95
Tr=1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.6
1.8
F
a
ct
o
r 
d
e 
co
m
p
re
si
b
il
id
a
d
 
 
Presión reducida Pr
Tr
Diagrama de :elson-Obert
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7 0.8 1.3
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.5
3.05.0
F
a
ct
o
r 
d
e 
co
m
p
re
si
b
il
id
a
d
 
 Z
Ley de los estados correspondientes
Inexactitud en la cercanía del punto crítico
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.8
0.9
0.95
Tr=1.0
1.1
1.2
1.3
Gráfica no muy exacta
Zcrítico= 0,27
En realidad (0,23 - 0,33)
F
a
ct
o
r 
d
e 
co
m
p
re
si
b
il
id
a
d
 
 
Presión reducida Pr
Propiedades críticas
Fuente: Termodinámica Técnica, Moran & Shapiro, 1993
Constantes de van der Waals de algunos gases
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/qui/vanderwaals_esp.pdf
Modelo de gas ideal
aguaaguaaguaagua
termómetro
A B
vaciogas 
ideal
VV
Estado inicial (P,V,T)
aguaaguaaguaagua
termómetro
A B
VV
gas ideal
Estado final (P/2 , 2V ,T)
Experimento de Joule (1843) 
Aplicando el 
h = u + P v
u(T) + RT = h(T)
dh 
cP (T)= −−−−−−−−
dT
h2 - h1 = ∫∫∫∫ cp(T) dT
Q12 = ∆∆∆∆U12 + W12
∆∆∆∆U12=0 U1= U2
Aplicando el 
primer principio: du 
cv(T) = −−−−−−−−−−−−
dT
u =u(T) 
U =U(T)
u2 - u1 = ∫∫∫∫ cv(T) dT
Modelo de gas ideal - Ecs. Virial
P V = P V = P V = P V = n R n R n R n R TTTT
P P P P vvvv = = = = R TR TR TR T
P V = P V = P V = P V = m m m m RRRR TTTT
. .. .. .. .
P V =P V =P V =P V = m m m m RRRR TTTT
P v 
Z = −−−−−−−−−−−− = 1= 1= 1= 1
RΤΤΤΤ
Cuando P 0 o V ∞ las fuerzas de interacción entre las 
moléculas de un gas se debilitan y Z=1 en el límite
Z = 1 + B(T) P + C(T) P2 + D(T) P3 + ...
Z = 1 + B´(T)/V + C´(T)/V2 + D´(T)/V3 + ...
. .. .. .. .
P V =P V =P V =P V = m m m m RRRR TTTT
¿Es el vapor de agua un gas ideal?
T
50 bar
100 bar
GAS 
IDEAL
0
0
0
0
0
7,6
25,7
49,5
17,6
5,0
Error <1%
Error = (vtabla-videal)/vtabla
0,2
0,1
0,1
00,5
7,4
2,4
0,8
2,2
v
10 bar
1 bar
0,1 bar
Adecuado: Acondicionamiento de aire, presión es muy baja
:o adecuado: Centrales térmicas
0,1
0
0
1,6
7,6
h
Vapor sobrecalentado: T=cte, p h
Gas ideal: T=cte, h=cte
s
Signo de los calores específicos
Proceso adiabático:
Proceso isotermo:
1 δQ δq 
c = −−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−
m dT dT
c = 0
c = ±∞
Proceso 1-2: -/+ = -
Calores específicos negativos
P Proceso 1-2: -/+ = -
Proceso 1-3: +/- = -
Proceso 1-4: +/+ = +
Proceso 1-5: -/- = +
Calores específicos positivos
v
P
isoterma
adiabática
1 
2 
3
4
5
Calor específico cp para algunos gases según la Tª
cp cv γγγγ cp cv γγγγ cp cv γγγγ
Fuente: Termodinámica Técnica, Moran & Shapiro, 1993
cp = R [αααα + ββββ T + γγγγ T2 + δδδδ T3 + εεεε T4]
Ecuación polinómica para obtener el calor específico cp
para algunos gases según la Tª
GAS αααα ββββ 10
3
γγγγ 106 δδδδ 109 εεεε 1012
O2 
:2
Aire 
H2 
CO
3,626
3,675
3,653
3,057
3,710
-1,878
-1,208
-1,337
2,677
-1,619
7,055
2,324
3,294
-5,810
3,692
-6,764
-0,632
-1,913
5,521
-2,032
2,156
-0,226
0,276
-1,812
0,240
T h Pr u vr s
o
Tabla de gases ideales
h(T) = ∫ cp(T) dT
0
T
u(T) = h(T) –R T
h(T) = href + ∫ cp(T) dT
T
Tref
Estado de referencia: 0K, h=0
T
(K)
h Pr u vr s
o
0
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
199,97
300,19
400,98
503,02
607,02
713,27
821,95
932,93
1046,04
0
142,56
214,07
286,16
359,49
434,78
512,33
592,30
674,58
758,94
Modelo de un gas perfecto
cp
cp(T)
cp,m
Es un gas ideal con 
calores específicos 
constantes (valores 
medios)
1
2
c = (c +c )/2
T1 T2 T
u2 – u1= cv,m (T2 – T1)
h2 – h1 = cP,m (T2 – T1) 
cp,m= (cp,1+cp,2)/2
Ley de Mayer
du = cv(T) dT 
diferenciando
dh du
−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−− + + + + R
dT dΤ Τ Τ Τ 
dh = cp(T) dT cp(Τ) = (Τ) = (Τ) = (Τ) = cv(Τ)(Τ)(Τ)(Τ) + R(gases ideales)
γγγγ(Τ)Τ)Τ)Τ) ⇒⇒⇒⇒ exponente adiabático
cp (Τ)(Τ)(Τ)(Τ)γγγγ(Τ)(Τ)(Τ)(Τ) = −−−−−−−−−−−−−−−−
cv (Τ)(Τ)(Τ)(Τ)
En general varía con la Tª, 
P v = R T
h = u + P v
R = cp - cv
R = cp - cv
J
−−−−−−−−−−−−−−−−
mol k
J
−−−−−−−−−−−−−−−−
kg k
Para gases perfectos
R
cv = −−−−−−−−−−−−γ γ γ γ −−−− 1 1 1 1 
cpγ γ γ γ = −−−−−−−−−−−−
cv
R = cp - cv
γ γ γ γ R
cp = −−−−−−−−−−−−γ γ γ γ −−−− 1 1 1 1 
cv (Τ)(Τ)(Τ)(Τ)
En general varía con la Tª, 
disminuyendo al aumentar ésta
T (K) cp (kJ/kgK) cv (kJ/kgK) γγγγ
Valores de los calores específicos y de γγγγ para el aire
cp > cv ya que a p=cte el gas se dilata realizando cierto trabajo para 
vencer la presión exterior, y entonces se necesita absorber una 
cantidad de energía equivalente a ese trabajo
Procesos politrópicos 
P vn = K n => (−−−− ∞∞∞∞ ,+ ∞∞∞∞)
P vn = K P1 v
n
1 = P2 v
n
2
n = exponente politrópico
(cualquier sustancia)
2
∫∫∫∫ dvww1212 = Pdv = ΚΚΚΚ−−−−−−−−−−−−vn∫∫∫∫
v2
v
1
w12= −−−−−−−−−−−− ( P2v2 – P1v1 )1–n 
1
∫∫∫∫1212 vn∫∫∫∫v1 1–n 
Pvn = K P1 v
n
1 = P2 v
n
2
P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−
T1 T2
P v
−−−−−−−−−−−− ==== R
T 
T2 P2 v1 −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−= = = = −−−−−−−−−−−−
T1 P1 v2
n-1−−−−−−−−−−−−
n
n-1
(GAS IDEAL)
R
w12= −−−−−−−−−−−− ( T2 – T1 )1–n 
Procesos isócoros e isobáricos
P
v
Si n =±±±± ∞∞∞∞
→ P v±±±± ∞∞∞∞ = K
→ P0 v = K
→→→→ v = K
2
1
Isócoros 
P
v
w12
Si n =0
→ P v0000= K
→ P= K
21
Isóbaros
w12 = 0 
2
1
∫∫∫∫ww1212 = Pdv = 0
v v
P1 P2−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−
T1 T2
P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−
T1 T2
v = K
GAS IDEAL v1 v2−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−
T1 T2
w12 = P (v2 –v1) = R ( T2 – T1 )
P = K
P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−
T1 T2
GAS IDEAL
w12 = P (v2 –v1)
Procesos adiabáticos 
En un proceso cuasiestático:
cp dT vdP −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−
cv dT -Pdv 
Dividiendo (2) por (1)
dP dv 
−−−−−−−−−−−− + + + + γγγγ −−−−−−−−−−−− = = = = 0
P v 
ln P + γγγγ ln v = C
Pvγγγγ = K n = γγγγ
dh = du + Pdv + vdP
δq = 0
δq = du + Pdv
δq = 0 Adiabático cv dT =-Pdv (1)
cp dT = vdP (2)
dh = cp dT
du = cv dT
Gas perfecto
GAS IDEAL
Pvγγγγ = K n = γγγγ
T2 P2 v1 −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−
T1 P1 v2
γγγγ-1−−−−−−−−−−−−γγγγ
γγγγ-1
R
w12= −−−−−−−−−−−− ( T2 – T1 )1-γγγγ
Si n = γ γ γ γ →→→→
P
v
w12
Pvγγγγ = K
1
2
δq = 0
Procesos isotérmicos
P
v
w12
P v = K
P1 v1 = P2 v2
P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−
T T
Si n = 1
T1 = T2
2
1
isotérmico
GAS IDEAL
P1v1 = P2v2
v
T1 T2
2
1
∫∫∫∫
dv v2 v2 P1
ww1212 ==== Pdv = Κ= Κ= Κ= Κ−−−−−−−−−−−− = Κ = Κ = Κ = Κ ln −−−−−−−− = = = = R Τ Τ Τ Τ ln −−−−−−−− = = = = R Τ Τ Τ Τ ln −−−−−−−−v v1 v1 P2∫∫∫∫
v2
v1
isotérmico
Procesos politrópicos, resumen
P
n=0
n=∞∞∞∞
n=-∞∞∞∞
n=1
n= γγγγ
v
n=-∞∞∞∞ n= γγγγ
Procesos 
politrópicos
Isóbaros n = 0 P = cte
Isócoros n =±±±± ∞∞∞∞ V = cte
Isotérmicos n = 1 T = cte
Isoentrópicos n = γγγγ
Comparación: Trabajo de expansión y compresión
Procesos politrópicos ⇒⇒⇒⇒
1
w12= −−−−−−−−−−−− ( P2v2 – P1v1 )1–n 
P
n=1
Trabajo 
extra
P
n=1
Ahorro en 
consumo
v
n= γγγγ
v2v1
Expansión
Interesa que ambos procesos se hagan sin variación de T
v
n= γγγγ
v2
v1
Compresión