SEMINARIO_I_

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OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA Y
COMPUTACIONAL
Volumen I
Villalba Salazar, Raul Moises
Villalta Cueto, Cesar Ronald
DSc. ERIK ALEX PAPA QUIROZ
SEMINARIO DE TESIS I
5 de julio del 2021
SEMINARIO DE TESIS I OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL
Lema 5.5
Sea C un conjunto convexo, f : C → R una función y x ∈ C ,
entonces ∂f (x) es convexo y cerrado.
Subdiferenciabilidad
Definición: Sea C un conjunto convexo de Rn y f : C → R una
función. El punto s ∈ Rn es un subgradiente de f en x̄ ∈ C si
f (y) ≥ f (x̄) + 〈s, y − x̄〉
para todo y ∈ C .
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El conjunto de todo los subgradientes de f en x̄ es llamado el
subdiferencial de f en x̄ y es denotado por ∂f (x̄), esto es,
∂f (x̄) = {s ∈ Rn : f (y) ≥ f (x̄) + 〈s, y − x̄〉}
para todo y ∈ C .
Prueba:
Probaremos inicialmente la convexidad.
Sean s1, s2 ∈ ∂f (x), entonces para todo α ∈ [0, 1] se tiene
αf (y) ≥ αf (x) +
〈
αs1, y − x
〉
, para todo y ∈ C , esto es
(1− α)f (y) ≥ (1− α)f (x) +
〈
(1− α)s2, y − x
〉
, para todo y ∈ C .
Sumando ambas desigualdades tenemos:
f (y) ≥ f (x) +
〈
as1 + (1− α)s2, y − x
〉
para todo y ∈ C , esto implica que αs1 + (1− α)s2 ∈ ∂f (x), para
todo α ∈ [0, 1]. Lo cual prueba la convexidad.
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Prueba:
Ahora probaremos la cerradura.
Sea
{
sk
}
una sucesión en ∂f (x) tal que ĺım
k→∞
sk = s. Como
sk ∈ ∂f (x) entonces f (y) ≥ f (x) +
〈
sk , y − x
〉
para todo y ∈ C .
Tomando límite cuando k va para el infinito y usando la
continuidad del producto interno 〈, 〉 tenemos
f (y) ≥ f (x) + 〈s, y − x〉, para todo y ∈ C . Así, s ∈ ∂f (x). De
ambos resultados obtenemos que ∂f (x) es convexo y cerrado.
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