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Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 605
función suma de la serie:
h.x/D
1X
nD0
xn
n!
para todox2R.
Vamos a probar queh es la función exponencial. Por el teorema de derivación tenemos que
h 0.x/D
1X
nD1
nxn�1
n!
D
1X
nD1
xn�1
.n� 1/! D
1X
nD0
xn
n!
D h.x/:
Acabamos de probar queh es una función que coincide con su derivada, esto es,h.x/D h 0.x/
para todox2R. Consideremos ahora la funcióng.x/D h.x/e�x,
g 0.x/D h 0.x/e�x �h.x/e�xDh.x/e�x �h.x/e�xD0 para todox2R.
Comog 0.x/ D 0 para todox 2 R tenemos que la funcióng es constante. Comog.0/ D 1,
deducimos queg.x/D g.0/D 1. Concluimos, por tanto, queh.x/D ex.
La serie de Taylor centrada en un puntoa se deduce de la anterior sin más que tener en
cuenta que:
exDea ex�aD
1X
nD0
ea
n!
.x � a/n para todox2R.
Series de Taylor del seno y del coseno
Sabemos que:
sen0.x/D cos.x/D sen
�
x C �
2
�
I
sen.k/ .x/D sen
�
x C k�
2
�
Por tanto
Tn.sen; a/.x/D
nX
kD0
sen
�
aC k �
2
�
k!
.x � a/k
Como para todoz2R esjsenzj6 1, el teorema de Taylor implica que:
ˇ̌
ˇ̌
ˇsenx �
nX
kD0
sen
�
aC k �
2
�
k!
.x � a/k
ˇ̌
ˇ̌
ˇ6
1
.nC 1/! jx � aj
nC1
Pero sabemos que
lKım
n!1
jx � ajnC1
.nC 1/! D 0
De donde deducimos
senx D
1X
kD0
sen
�
aC k �
2
�
k!
.x � a/k para todox2R
Es decir, la serie de Taylor del seno converge a senx cualquiera seax2R.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 606
Por el teorema de derivación para series de potencias obtenemos la serie del coseno, que
también será convergente cualquiera seax2R.
cosxD
1X
kD1
sen
�
aC .k C 1/�
2
�
.k � 1/! .x�a/
k�1D
1X
kD0
cos
�
aC k �
2
�
k!
.x�a/k para todox 2 R
Si hacemosaD 0 tenemos que para todox2R:
senx D
1X
nD0
.�1/n
.2nC 1/!x
2nC1; cosx D
1X
nD0
.�1/n
.2n/!
x2n
Series de Taylor de la función logaritmo
Seguiremos la idea expuesta en la estrategia10.30y en el ejemplo10.31.
Para calcular la serie de Taylor de log, pongamosf .x/D log.1Cx/ definida parax > �1.
Tenemos que
f 0.x/D 1
1C x D
1X
nD0
.�1/nxn .jxj < 1/
Integrando término a término esta serie, definamos parajxj < 1:
h.x/D
1X
nD0
.�1/n
nC 1 x
nC1
Tenemos, en virtud del teorema de derivación, queh 0.x/D f 0.x/ para todox 2� � 1; 1Œ, esto
implica queh.x/� f .x/ es constante y, comoh.0/� f .0/D 0, concluimos quef .x/D h.x/.
Hemos probado así que:
log .1C x/D
1X
nD0
.�1/n
nC 1 x
nC1 .jxj < 1/
Observa que, efectivamente,� � 1; 1Œ es el intervalo de convergencia de la serie.
La serie de Taylor del logaritmo centrada ena > 0 se deduce de lo anterior:
log.x/Dlog.aC.x�a//DlogaClog
�x � a
a
�
DlogaC
1X
nD0
.�1/n
.nC 1/anC1 .x�a/
nC1 .jx�aj<a/:
Observa que la serie
X
n>0
.�1/n
nC 1 x
nC1 cuya suma parajxj < 1 es igual a log.1C x/ es también
convergente parax D 1 puesto que se trata de la serie armónica alternada. En esta situación
¿cabe esperar que la igualdad log.1C x/D
1X
nD0
.�1/n
nC 1 x
nC1 válida, en principio, parajxj < 1
sea también válida paraxD1? En este caso particular, la respuesta es afirmativa porque sabemos
que log2D
1X
nD0
.�1/n
nC 1 . El siguiente resultado establece que esto es cierto en general.
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Cálculo diferencial e integral
Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 607
10.32 Teorema(Teorema de Abel). Sea
X
n>0
cn.x � a/n una serie de potencias con radio de
convergenciaR, siendo0 < R < C1. Sea
f .x/D
1X
nD0
cn.x � a/n x 2�a �R; aCRŒ
la función suma de la serie. Supongamos además que la serie
P
n>0 cnR
n converge. Entonces
se verifica que la serie
X
n>0
cn.x � a/n converge uniformemente en el intervaloŒa; aC R�. En
consecuencia:
lKım
x!aCR
x<aCR
f .x/D
1X
nD0
cnR
n y
aCRw
a
f .x/dx D
1X
nD0
aCRw
a
cn.x�a/n dx D
1X
nD0
cn
nC 1R
nC1:
Demostración. Escribamos:
X
n>0
cn.x � a/n D
X
n>0
cnR
n
�x � a
R
�n
:
Podemos aplicar a esta serie el criterio de Abel10.13con an D cnRn y fn.x/ D
�
x�a
R
�n
.
Por hipótesis la serie
X
n>0
an es convergente y parax 2 Œa; a C R� se verifica queffn.x/g es
una sucesión de números reales monótona (decreciente); además, para todon2N y para todo
x 2 Œa; aCR� se tiene quejfn.x/j6 1. En estas condiciones el citado criterio de Abel nos dice
que la serie
X
n>0
anfn.x/D
X
n>0
cn.x � a/n converge uniformemente enŒa; aCR�.
Las dos afirmaciones finales del teorema son consecuencia de que al ser la convergencia
uniforme enŒa; aCR� se verifica que:
lKım
x!aCR
x<aCR
f .x/D lKım
x!aCR
x<aCR
 1X
nD0
cn.x � a/n
!
D
1X
nD0
lKım
x!aCR
x<aCR
cn.x � a/n D
1X
nD0
cnR
n:
donde en la segunda igualdad podemos permutar el límite con la suma de la serie por ser la
convergencia uniforme enŒa; aCR�.
Igualmente, la convergencia uniforme de la serie enŒa; aCR� permite permutar la integral
con la suma de la serie. 2
Serie de Taylor del arcotangente en cero
Puesto que
arc tg0.x/D 1
1C x2
D
1X
nD0
.�1/nx2n .x 2� � 1; 1Œ/
se deduce fácilmente que
arc tgx D
1X
nD0
.�1/n
2nC 1x
2nC1 .x 2� � 1; 1Œ/
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