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TEOREMA DE HAHN - BANACH
Suárez Fretell Eduardo Enrique
Prof. Alex Armando Cruz Huallpara
Seminario de Tesis II
15 de Noviembre del 2021
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Contenido
1 Preliminares
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Espacios de Banach
Lo primero es definir un espacio de Banach y como sucede muchas veces
antes se necesita otra definición.
Decimos que N es un espacio normado real si y solo si N es un espacio
vectorial donde se ha definido una norma ||x ||, esto es una aplicación de N
en R que verifica:
1. ||x || ≥ 0 para todo x ∈ N
2. ||λx || = |λ| ||x || para cualquie λ ∈ R y x ∈ N
3. ||x + y || ≤ ||x || + ||y || para cualquiera x , y ∈ N
4. ||x || = 0 si y solo si x = 0
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Funcionales Convexas
Una función ρ : N −→ R es un funcional convexa si y solo si:
ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) para cualquier x , y ∈ N
ρ(λx) = λρ(y), si λ ≥ 0
La norma es una funcional convexa.
Si t < 0 entonces:
ρ(x + ty) = ρ(−t(−xt − y)) = −tρ(−
x
t − y)
Si t > 0 entonces:
ρ(x + ty) = ρ(t(xt + y)) = tρ(
x
t + y)
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Lema de Zorn
El lema de Zorn es muy importante en la demostración de Hahn - Banach.
Recordamos que un orden parcial R en un conjunto E verifica la propiedad
transitiva aRb y bRc ⇒ aRc y además aRa para cualquier a ∈ E .
Por ejemplo: Si tomo como E todos los subespacios vectoriales de un espacio
de Banach B y para A, B ∈ E definimos un orden mediante ARB ⇒ A ⊂ B
Vemos que esto es un orden parcial.
En un orden parcial R en un conjunto E decimos que x ∈ M es maximal si
y solo si xRy ⇒ x = y .
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Lema de Zorn
En un orden parcial (E , R) un conjunto T se denomina una cadena o una
torre si y solo si x , y ∈ T entonces se tiene que xRy o yRx , es decir en la
cadena o torre todos los elementos son comparables.
Una cota superior de un conjunto M es un y ∈ E que verifica que zRy
para cualquier z ∈ M, usualmente decimos en este caso que M es acotado
superiormente.
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Lema de Zorn
Teorema:
Si toda cadena admite una cota superior entonces hay un elemento
maximal.
Demostración:
Equivalente al axioma de elección, el cual vimos en el curso de
Fundamentos de la Matemática. El axioma de elección dice que si tenemos
una familia de conjuntos Aα, α ∈ I entonces se puede construir un
conjunto B que contiene un elemento de cada Aα.
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