ASESORIA GEOMETRIA

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DECIMOCUARTA ASESORÍA DE GEOMETRÍA 
 
01. Indique el valor de verdad de cada 
una de las siguientes proposiciones: 
I. Sí las caras de un hexaedro convexo 
son congruentes entre sí, entonces 
tiene cuatro diagonales. 
II. Sí las caras de un poliedro son 
regiones poligonales convexas, 
entonces se cumple el teorema de 
Euler. 
III. Si la proyección de un vértice de un 
tetraedro es el ortocentro de la cara 
opuesta, entonces las caras del 
tetraedro son congruentes entre sí. 
 
A) VVV B) VVF C) VFF 
D) FVV E) FFF 
 
02. En un octaedro regular, la longitud de 
la arista del poliedro conjugado 
inscrito es k. La distancia entre dos 
caras opuestas del octaedro regular 
es 
 
A) k 2 B) k 3 C) k 6 
D) 2k 3 E) 3k 3 
 
03. Indique el valor de verdad de cada 
una de las proposiciones: 
I. Un hexaedro convexo, cuyas caras 
son regulares, es un hexaedro regular. 
II. Ninguna recta puede estar contenida 
en una cara de un poliedro. 
III. Un pentaedro puede tener una sola 
diagonal. 
IV. El poliedro determinado al unir 
consecutivamente los puntos medios 
de los lados de las caras de un 
hexaedro regular, tiene veinticuatro 
aristas. 
 
A) FFFF B) VVVV C) FVFF 
D) VFFV E) FVFV 
 
 
 
 
04. La razón entre las longitudes de las 
aristas de los poliedros conjugados de 
un octaedro regular, circunscrito e 
inscrito, es 
 
A) 2 B) 
5
3
 C) 
5
2
 
D) 3 E) 
9
4
 
 
05. Las caras de un poliedro convexo son 
regiones triangulares y pentagonales 
regulares, de modo que en cada 
vértice concurren dos caras 
pentagonales y dos caras 
triangulares. Calcule el número de 
diagonales del poliedro. 
 
A) 300 B) 315 C) 420 
D) 360 E) 325 
 
06. En un hexaedro regular 
ABCD EFGH . Si la distancia del 
vértice B al plano que contiene a los 
centros de las caras comunes al 
vértice H es 2 6 u, entonces la 
distancia (en u) del vértice del 
hexaedro a una de sus diagonales 
que no contiene a dicho vértice es 
 
A) 1 B) 2 C) 2 
D) 2 2 E) 2 3 
 
07. Si las regiones triangulares ABC, 
BCD, CDE, DEF,…, son las caras de 
un icosaedro regular, entonces la 
medida del ángulo determinado por 
las rectas CF y BE es 
 
A) 18 B) 36 C) 72 
D) 54 E) 64 
 
 
 
08. En un hexaedro regular 
ABCD EFGH , M y N son puntos de 
las aristas BC y GC respectivamente, 
tal que 3(MB) = 4(NC) = 12 u. Si 
BH 12 3 u , entonces la medida del 
ángulo determinado por las rectas AM 
y HN es 
 
A) 
10
arccos
10
 
  
 
 B) 
10
arccos
5
 
  
 
 
C) 
10
arccos
25
 
  
 
 D) 
10
arccos
15
 
  
 
 
E) 
6 10
arccos
25
 
  
 
 
 
 
09. Un poliedro de 26 diagonales, está 
formado solo por regiones 
cuadrangulares. ¿Cuál es el número 
de caras del poliedro? 
 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
10. La arista de un tetraedro regular mide 
6 6 u. Calcule la distancia (en u) 
entre el centro de una cara del 
tetraedro regular y el centro de su 
respectivo poliedro conjugado inscrito. 
 
A) 3 B) 6 C) 2 
D) 2 E) 1 
 
11. Las caras de un poliedro convexo son 
regiones triangulares y octagonales 
regulares, de modo que cada cara 
triangular es adyacente solamente 
con las caras octagonales. Calcule el 
número de diagonales del poliedro. 
 
A) 140 B) 160 C) 120 
D) 110 E) 156 
 
 
 
 
12. Si el área total de un octaedro regular 
es 12 u2, entonces el área (en u2) de 
la proyección del octaedro sobre un 
plano que contiene a una de las caras 
es 
 
A) 4 B) 6 C) 3 
D) 8 E) 5 
 
13. En un hexaedro regular 
ABCD EFGH , M, N y P son los 
puntos medios de las aristas AE , BC
y HG respectivamente. Si la distancia 
del vértice D al plano MNP es 6 u, 
entonces el área total (en u2) del 
hexaedro regular es 
 
A) 144 B) 164 C) 196 
D) 288 E) 312 
 
14. En un dodecaedro regular, cada arista 
mide  15 3 u , entonces la 
distancia (en u) entre dos vértices 
opuestos es 
 
A) 8 B) 12 C) 6 3 
D) 6 E) 12 3 
 
15. En un tetraedro regular ABCD, G es 
baricentro de la cara ABC y se 
prolonga GB hasta T, tal que 
GB BT . La medida del ángulo entre 
DT y BC es 
 
A) 120 B) 60 C) 150 
D) 45 E) 90 
 
16. En un octaedro regular cuya arista 
mide a, calcule el área de la sección 
plana determinada por el plano que 
contiene dos vértices no consecutivos 
del octaedro regular y el baricentro de 
una de sus caras. 
 
A) 
a² 3
3
 B) 
a² 3
2
 C) 
a² 2
2
 
D) a² E) a² 2 
 
17. En un poliedro convexo, la suma del 
número de caras, el número de 
vértices y el número de aristas es 28. 
Si la suma de las medidas de los 
ángulos de todas las caras es 1800, 
entonces el número de aristas es 
 
A) 10 B) 12 C) 13 
D) 14 E) 15 
 
18. En un dodecaedro regular, dos caras 
son ABCDE y ABPQR. Calcule la 
medida del ángulo entre las rectas 
CD y PQ . 
 
A) 22,5 B) 30 C) 36 
D) 45 E) 60 
 
19. En un hexaedro regular 
ABCD EFGH , la distancia de H al 
plano EBD es k. El área de la región 
triangular EBD es 
 
A) 
k² 3
2
 B) k² 3 C) 
3k² 3
2
 
D) 2k² 3 E) 
5k² 3
2
 
 
20. El área de un icosaedro regular es 
20 3 u² . La longitud (en u) del 
segmento que une dos vértices 
opuestos es 
 
A)  1,4 5 5 B)  1,5 5 5 
C)  1,8 5 5 D)  2 5 5 
E)  2,2 5 5 
 
21. Indique el valor de verdad de cada 
una de las siguientes proposiciones 
I. Si en un poliedro todos los ángulos 
poliedros son congruentes, entonces 
el poliedro es regular. 
II. Si en un poliedro convexo todas las 
caras son regiones poligonales 
regulares congruentes entre sí, 
entonces el poliedro es regular. 
III. En cada vértice de un poliedro 
regular concurren el mismo número 
de caras y vértices. 
 
A) VVV B) VFV C) FVF 
D) FFV E) VFF 
 
22. En un hexaedro regular, una arista 
mide . ¿Cuál es la longitud del 
segmento determinado en una 
diagonal, por el poliedro regular 
conjugado inscrito en el hexaedro 
regular? 
 
A) 
2
 B) 
3
 C) 
5
 
D) 
6
 E) 
3
 
 
23. En un tetraedro regular D ABC , la 
distancia entre AD y BC es 6 m. El 
área de la superficie total (en m2) del 
tetraedro es 
 
A) 73 3 B) 70 2 C) 72 2 
D) 72 3 E) 70 3 
 
24. En un octaedro regular cuya arista 
mide a, se traza un plano paralelo a 
una de las caras y que pasa por el 
punto medio de una arista. Calcule el 
área (en u2) de la región determinada 
por dicho plano, en el octaedro. 
 
A) 3a² 3 B) 
3a² 3
4
 C) 
3a² 3
8
 
D)
3a² 3
10
 E) 
3a² 3
2