MATE VALLEJO 2009 D7-páginas-29

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unI 2009 -IISolucionario de Matemática
II. Falso (F)
 Los centros de las caras de un octaedro 
regular son los vértices de su hexaedro regular 
conjugado e inscrito; por lo tanto, no son 
vértices de un octaedro.
III. Verdadero (V)
 El poliedro conjugado de un icosaedro regular 
es el dodecaedro regular.
 Luego, los centros de las caras del icosaedro 
regular son vértices de un dodecaedro.
Respuesta
VFV
Alternativa E
Pregunta N.º 40
Una pirámide regular triangular forma en su 
vértice un triedro cuyas caras miden 60º. La suma 
de las áreas de las caras es 81 3 2m . Determine 
la altura (en m) de la pirámide
A) 3 2 B) 3 3 C) 4 2
D) 5 3 E) 6 2
Solución
Tema
Pirámide regular
Referencias
Recordamos que una pirámide regular presenta 
dos características principales. La base está 
limitada por un polígono regular y el pie de su 
altura es el centro de su base.
Asimismo, el área de la superficie lateral (suma 
de caras) ASL es el siguiente:
ASL=Pbase×ap
Donde: Pbase: semiperímetro de la base.
 ap: apotema de la cara lateral.
Análisis y procedimiento
• Dado que en el vértice se forma un triedro cuyas 
caras son 60º, ubicaremos dichas medidas.
• Notamos que las caras laterales son regiones 
equiláteras de lado a y apotema 
a
2
3 .
 
ASL
a a= = 





81 3
3
2 2
3
 De lo cual a = 6 3
• En la pirámide, trazamos la altura VG, donde 
G es baricentro de la base. Luego en el 
 VGM por teorema de Pitágoras, tenemos 
lo siguiente:
 
H
a a
H
a2
2 2
2
3
6
3
6
3
= 

 −



 → =
 Reemplazando
 H = 6 2
Respuesta
La longitud de la altura de la pirámide es 6 2.
Alternativa E