GEOMETRIA- SEMANA 10 - POLIEDROS REGULARES

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POLIEDROS 
REGULARES 
 
CONCEPTO: 
Se llama poliedro regular al poliedro cuyas caras 
son todas polígonos regulares congruentes, 
comprobándose que en cada vértice concurren 
un número igual de aristas. 
En todo poliedro regular sus ángulos diedros son 
congruentes, los mismos que sus ángulos 
poliedros. 
Solo existen 5 poliedros regulares convexos. 
 
a) TETRAEDRO REGULAR 
a : Arista 
 Desarrollo 
 Superficie: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) HEXAEDRO REGULAR (CUBO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ¨a¨: arista 
Desarrollo de la Superficie 
 
 
 
 
 
c) OCTAEDRO REGULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación: 
Poliedro 
Forma 
de la 
cara 
C V A 
Tetraedro 4 4 6 
Hexaedro 6 8 12 
Octoedro 8 6 12 
Dodecaedro 12 20 30 
Icosaedro 20 12 30 
 
 
 
 
h 
A 
a 
G 
C 
 
 
M 
B 
D 
h = 
3
6a
 
V = 
12
23a
 
AT = a2 
V = a3 
AT = 6a2 
d = a 
a 
E H 
G 
A 
B C 
D 
d 
F 
0 
D 
C B 
O 
H 
A 
P 
Q 
a 
V = 
𝒂𝟑ξ𝟐
𝟑
 
At = 𝟐ξ𝟑𝒂𝟐 
D = 𝒂ξ𝟐 
OH = 
𝒂ξ𝟔
𝟔
 
 
 
2 
PROBLEMAS 
 
1) Una pelota de futbol en forma de un icosaedro 
truncado está formado por 20 caras hexagonales de 
¨n¨ caras pentagonales. Si el número de aristas es 90, 
halle el número de vértices del poliedro 
 
a) 50 
b) 60 
c) 70 
d) 80 
 
2) En el cubo mostrado, calcule la medida del 
ángulo que forman las rectas 1 2L y L . 
 
a) 30° 
 
b) 37° 
 
c) 45° 
 
d) 60° 
 
 
 
 
 
3) Se fabrica envases de cartón para un perfume 
en forma de hexaedro regular como se 
muestra en la figura. Si el área de la región 
triangular DOC es 2ξ2𝑐𝑚2 y MO=OD, halle el 
área de cartón utilizada en un envase. 
 
a) 90𝑐𝑚2 
b) 80𝑐𝑚2 
c) 48𝑐𝑚2 
d) 100𝑐𝑚2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) La arista de un tetraedro regular mide 4, halle 
la distancia entre dos aristas opuestas. 
 
a) ξ2 
b) ξ3 
c) 2ξ2 
d) 3ξ2 
 
 
 
5) Calcular el volumen del tetraedro regular 
inscrito en el cubo cuya arista es “a”. 
 
a) 𝑎2.ξ2 
b) 
𝑎3ξ3
2
 
c) 
𝑎3ξ3
3
 
d) 
𝑎3
3
 
6) En la figura, OABC es un tetraedro 
regular AT=3TO=6m. Halle el área de la región 
triangular BTC. 
 
a) 24𝑚2 
b) 30𝑚2 
c) 20𝑚2 
d) 36𝑚2 
 
 
7) En un cubo ABCD, M y N son puntos medios de las 
aristas laterales 𝐷𝐻̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ respectivamente. Si la 
distancia entre 𝑀𝐶̅̅̅̅̅ y 𝐻𝑁̅̅̅̅̅ es 2m, hallar el área lateral 
del cubo. 
 
a) 80 𝑚2 b) 60𝑚2 c) 70𝑚2 d) 90𝑚2 
 
8) En la figura, se muestra un trípode topográfico. 
Una de las posiciones adecuadas es que determine 
un tetraedro regular. Si el punto medio del hilo 
de la plomada 𝑂𝐴 ̅̅ ̅̅ ̅al vértice C mide 3ξ2 m, halle la 
altura H. 
 
 
 
2L1
L
N
C
DA
L
M
B
P
O 
1L
2L
N
C
DA
L
M
B
P
A 
O 
C 
B 
T 
 
 
3 
 
a) 2ξ6m 
b) 3ξ2m 
c) 4ξ3m 
d) 5ξ2m 
 
 
 
 
9) El hexaedro regular, la distancia del centro de 
una cara a la diagonal del hexaedro es ξ6m. 
Halle el área total del hexaedro. 
 
a) 216 𝑚2 b) 210 𝑚2 c) 218 𝑚2 d) 220 𝑚2 
 
10) Halle el volumen del sólido que se forma al 
unir los centros de las caras de un cubo 
cuya arista mide ξ2 m. 
a) 
ξ2
3
𝑚2 b) 
ξ2
8
𝑚2 c) 
3ξ2
7
𝑚2 d) 2ξ2 
 
11) En un octaedro regular, la distancia entre los 
centros de gravedad de dos caras opuestas que 
tienen un vértice común es ¨a¨. Calcular el área de 
la superficie del octaedro. 
 
a) 4ξ3𝑎2 b) 
9
2
ξ2𝑎2 c) 3ξ3𝑎2 d) 
9
2
ξ3𝑎2 
 
12) En la figura, P – ABCD – Q es un octaedro regular, 
PM = MC, m 𝐴𝑁�̂� = 90° y MN  ξ11 m . Halle el 
área total del octaedro regular. 
 
a) 24ξ3𝑚2 
b) 28ξ3𝑚2 
c) 32ξ3𝑚2 
d) 36ξ3𝑚2 
 
 
 
 
 
13) Hallar el área de la región determinada por la 
proyección de un octaedro regular sobre un plano 
perpendicular a una arista, cuya longitud es 4m. 
14) 
a) 8ξ2𝑚2 b) 4ξ2𝑚2 c) 8ξ3𝑚2 d) 8ξ5 
 
14) En un tetraedro Q-ABC; M y N son puntos 
medios de 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ respectivamente. Además, 
m<OAB = m<OCB = 90°, OB = 100 y AC = 80. 
Calcular MN. 
a) 30 b) 40 c) 25 d) 35 
 
15) Calcular la razón que existe entre las áreas de 
dos tetraedros regulares, siendo la altura de 
uno de ellos la mitad de la arista del otro. 
a) 
4
3
 b) 
5
2
 c) 
9
2
 d) 
8
3
 
 
 TAREA 
 
1) Calcular el área de la sección que 
determina un plano de simetría que pasa 
por una arista en un tetraedro regular de 
20cm de arista. 
a) 100ξ2𝑐𝑚2 b) 50ξ2𝑐𝑚2 
c) 80ξ2𝑐𝑚2 d) 90ξ2𝑐𝑚2 
 
 
 
2) Del gráfico, calcular el área de la 
región sombreada. 
 
a. a2 
b. a2 3 
c. 2 a2 3 
d. 
2
3a2 
 
 
 
D 
C B 
A 
P 
Q 
M 
N 
D 
B 
A 
C 
O 
H 
a 
 
 
4 
3) Calcular el área de la región sombreada. 
 
a. a2 2 
b. 
2
2a2 
c. 
4
2a2 
d. 3a2 
 
 
4) En la figura, V-ABC es un tetraedro regular, 
cuya arista mide 9 cm. Si G es el baricentro 
de la cara VBC, halle la distancia de G a la 
base ABC. 
 
a. 2ξ6 cm 
b. ξ3 cm 
c. ξ6 cm 
d. 3ξ2 cm 
 
 
 
 
 
5) En la figura, la arista del tetraedro regular 
mide 4 cm, el plano que es perpendicular a la altura, 
pasa por el punto medio de esta. Halle el área de la 
sección plana determinada. 
 
a. 2ξ6𝑐𝑚2 
b. ξ3𝑐𝑚2 
c. 2ξ3𝑐𝑚2 
d. 
ξ3
2
𝑐𝑚2 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) En la figura, V-ABC es un tetraedro 
regular y AB = 18ξ3 cm. Si G es el baricentro 
de la cara BVC, halle GP. 
 
a. 5ξ6 𝑐𝑚 
b. 6ξ6 𝑐𝑚 
c. 7ξ6 𝑐𝑚 
d. 2ξ3 𝑐𝑚 
 
 
 
 
14) 7) En un tetraedro regular B-ACD, O es 
centro de la cara ACD. Si la distancia entre 
los puntos medios de 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ es 2ξ3 m, halle 
la longitud de la altura del tetraedro regular. 
15) 
16) A) 2ξ3 m B) 4ξ2m C) 3ξ2m D) 4ξ3m 
 
8) Calcular el área de la región sombreada si 
el área de la superficie total del hexaedro 
regular es 144. 
 
a) 36 
b) 12ξ2 
c) 12 
d) 8ξ2 
 
 
9) Calcular el área total de un tetraedro 
regular sabiendo que su arista es 3 . 
 
a) 3 b) 3 3 c) 6 d) 2 3 
 
10) Halle la distancia entre los baricentros 
de dos caras de un tetraedro regular 
de arista a. 
 
a. 
3
2
ª b) 
𝑎
5
 c) 
𝑎
3
 d) 
𝑎
2
 
A 
V 
C 
B 
G 
A 
V 
C 
B 
A 
V 
C 
B 
G 
E 
A 
B C 
G 
H 
F 
O 
D 
a 
a 
O