ASESORIA Resolución de Problemas

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2020-2
DECIMOCUARTA ASESORÍA
PROBLEMA 01 
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Sí las caras de un hexaedro convexo son congruentes entre sí, entonces
tiene cuatro diagonales.
II. Sí las caras de un poliedro son regiones poligonales convexas, entonces
se cumple el teorema de Euler.
III. Si la proyección de un vértice de un tetraedro es el ortocentro de la cara
opuesta, entonces las caras del tetraedro son congruentes entre sí.
A) VVV B) VVF C) VFF
D) FVV E) FFF
01
RESOLUCIÓN 01 
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Sí las caras de un hexaedro convexo son congruentes entre sí, entonces
tiene cuatro diagonales.
II. Sí las caras de un poliedro son regiones poligonales convexas, entonces
se cumple el teorema de Euler.
III. Si la proyección de un vértice de un tetraedro es el ortocentro de la cara
opuesta, entonces las caras del tetraedro son congruentes entre sí.
Clave: E 
I. 
Hexaedro regular 
tiene 4 diagonales
Hexaedro de caras triangulares 
regulares, tiene una diagonal
F
II. 
Las caras del poliedro solo son regiones 
cuadrangulares convexas:
C = 9, V = 9 y A = 18
T. de Euler: C + V = A + 2
9 + 9 = 18 + 2 (NO cumple )
F III. 
A
B
C
D
En el tetraedro A – BCD, las caras no 
son congruentes, B es ortocentro del 
triángulo BCD y es proyección de A. 
F
PROBLEMA 02
En un octaedro regular, la longitud de la arista del poliedro conjugado
inscrito es k. La distancia entre dos caras opuestas del octaedro regular es
A) k 2 B) k 3 C) k 6
D) 2k 3 E) 3k 3
01
RESOLUCIÓN 02 
En un octaedro regular, la longitud de la arista del poliedro conjugado inscrito es
k. La distancia entre dos caras opuestas del octaedro regular es
Clave: B 
▪ EG es diagonal del hexaedro regular 
conjugado del octaedro regular
▪ Teorema: EG = k 3
▪ E y F centros de las caras PCD y QCD
▪ EF es arista del hexaedro regular 
conjugado del octaedro regular: EF = k
▪ G es centro de la cara AQB
▪ La distancia entre las caras 
opuestas PCD y QAB es EG
P
Q
A
B C
D
MN
F
E
k
O
G
PROBLEMA 03
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Un hexaedro convexo, cuyas caras son regulares, es un hexaedro
regular.
II. Ninguna recta puede estar contenida en una cara de un poliedro.
III. Un pentaedro puede tener una sola diagonal.
IV. El poliedro determinado al unir consecutivamente los puntos medios de
los lados de las caras de un hexaedro regular, tiene veinticuatro aristas.
A) FFFF B) VVVV C) FVFF
D) VFFV E) FVFV
Clave: E 
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Un hexaedro convexo, cuyas caras son regulares, es un hexaedro regular.
II. Ninguna recta puede estar contenida en una cara de un poliedro.
III. Un pentaedro puede tener una sola diagonal.
IV. El poliedro determinado al unir consecutivamente los puntos medios de los lados de
las caras de un hexaedro regular, tiene veinticuatro aristas.
I. 
N°. aristas:
RESOLUCIÓN 03
F 
El poliedro podría tener 
caras triangulares. 
II. V 
Las rectas no estan contenidas 
en las caras de un poliedro.
III.
Sin diagonal sin diagonal
F
IV.
6(4) = 24
V
Este poliedro es denominado cuboctaedro.
PROBLEMA 04
La razón entre las longitudes de las aristas de los poliedros conjugados de
un octaedro regular, circunscrito e inscrito, es
A) 2 B) 
5
3
C) 
5
2
D) 3 E) 
9
4
Clave: D 
B
A
E
C
D
F
x: longitud de la 
arista del hexaedro 
circunscrito.
ABCD, AECF y 
EBFD: cuadrados.
x
x = EF
M
y
P
Q
y: longitud de la arista del 
hexaedro inscrito.
x
y
= ?
P y Q, baricentros de DAED 
y DAFD.
DPMQ  DEMF:
EF
PQ
=
EM
PM

x
y
=
3k
k
k
= 3
x
La razón entre las longitudes de las aristas de los poliedros conjugados de un
octaedro regular, circunscrito e inscrito, esRESOLUCIÓN 04
2k
Las caras de un poliedro convexo son regiones triangulares y pentagonales
regulares, de modo que en cada vértice concurren dos caras pentagonales
y dos caras triangulares. Calcule el número de diagonales del poliedro.
A) 300 B) 315 C) 420
D) 360 E) 325
PROBLEMA 05 
RESOLUCIÓN 05 
Las caras de un poliedro convexo son regiones triangulares y pentagonales
regulares, de modo que en cada vértice concurren dos caras pentagonales y
dos caras triangulares. Calcule el número de diagonales del poliedro.
Nro. de caras triangulares: m
Nro. de caras pentagonales: n
Nro. total de caras: C = m + n
Suma de las medidas de los ángulos en cada vértice del poliedro:
108 +108 + 60 + 60 = 336
Suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras:
S = 336V = 360 V − 2 → V = 30
Nro. de aristas que concurren en cada vértice: 4
Nro. total de aristas: A =
4V
2
=
4(30 )
2
= 60
Teorema de Euler: C + V = A + 2 → C = 32 → m + n = 32
Nro. total de aristas: 2A = 3m + 5n → 3m + 5n = 120
Resolviendo las ecuaciones: m = 20 y n = 12
Nro. de diagonales del poliedro: D =
30
2 − 60 − (12×5 + 0) → D = 315 Clave: B 
108
10860
60
PROBLEMA 06
En un hexaedro regular ABCD – EFGH. Si la distancia del vértice B al plano
que contiene a los centros de las caras comunes al vértice H es 2 6 u,
entonces la distancia (en u) del vértice del hexaedro a una de sus
diagonales que no contiene a dicho vértice es
A) 1 B) 2 C) 2
D) 2 2 E) 2 3
RESOLUCIÓN 06
A
B C
D
E
F
G
H
t
a
d
a
B − EDG: tetraedro regular
2 6 = 
t 6
3
⟹ t = 6
ABFE: cuadrado
t = a 2 ⟹ a = 3 2
T
d(C; AG) = CT = d = ?
Relaciones métricas en ∆ACG:
(a)(a 2) = (a 3)(d)
Reemplazando:
∴ d = 2 3 u
Clave: E 
En un hexaedro regular ABCD – EFGH. Si la distancia del vértice B al plano
que contiene a los centros de las caras comunes al vértice H es 2 6 u,
entonces la distancia (en u) del vértice del hexaedro a una de sus diagonales
que no contiene a dicho vértice es
PROBLEMA 07
Si las regiones triangulares ABC, BCD, CDE, DEF,…, son las caras de un
icosaedro regular, entonces la medida del ángulo determinado por las
rectas CF y BE es
A) 18 B) 36 C) 72
D) 54 E) 64
RESOLUCIÓN 07
Clave: C
Si las regiones triangulares ABC, BCD, CDE, DEF,…, son las caras de un
icosaedro regular, entonces la medida del ángulo determinado por las rectas CF
y BE es
A
B
C
D
E
F

 = ?
H
BHFEC es un pentágono regular
B
H
FE
C

36
36
G
En el DCGE por teorema
 = 72
G
PROBLEMA 08
En un hexaedro regular ABCD – EFGH, M y N son puntos de las aristas BC
y GC respectivamente, tal que 3(MB) = 4(NC) = 12 u. Si BH = 12 3 u,
entonces la medida del ángulo determinado por las rectas AM y HN es
A) arccos (
10
10
) B) arccos (
10
5
) C) arccos (
10
25
)
D) arccos (
10
15
) E) arccos (
6 10
25
)
RESOLUCIÓN 08
Clave: E 
En un hexaedro regular ABCD – EFGH, M y N son puntos de las aristas BC y
GC respectivamente, tal que 3(MB) = 4(NC) = 12 u. Si BH = 12 3 u, entonces
la medida del ángulo determinado por las rectas AM y HN es
A
B C
D
E
F
G
H
M
N
BH es diagonal del hexaedro regular:
BH = 12 3  BC = 12
4
3
K
R

  = ?CK // AM y CR // HN
□AMCK y □CNHR son romboides
8
9
12
8 4
3
9
DCKD: triángulo notable de 37/2  CK = 4 10
DCDR: triángulo notable de 37 y 53  CR = 15
DKDR por el teorema de Pitágoras: KR = 97
DCKR por el teorema de cosenos:
  = arccos(
6 10
25
)
( 97)2 = (4 10)2 + (15)2 – 2(4 10)(15)cos
12 3
PROBLEMA 09 
Un poliedro de 26 diagonales, está formado solo por regiones 
cuadrangulares. ¿Cuál es el número de caras del poliedro?
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN 09 
Clave: C 
Un poliedro de 26 diagonales, está formado solo por regiones cuadrangulares. 
¿Cuál es el número de caras del poliedro?
C = ?
Nro. de diagonales poliedro =
V(V − 1)
2
– A – Nro. de diagonales c/cara
Nro. de diagonales poliedro = 26
A =
C(4)
2
= 2C
Nro. de diagonales c/cara = 2C
C + V = A + 2 → V = C + 2
26 = 
(C + 2)(C + 1)
2
- 2C – 2C 
C2 – 5C – 50 = 0
  C = 10
PROBLEMA 10 
La arista de un tetraedro regular mide 6 6 u. Calcule la distancia (en u) 
entre el centro de una cara del tetraedroregular y el centro de su respectivo 
poliedro conjugado inscrito. 
A) 3 B) 6 C) 2
D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN 10
Clave: A
La arista de un tetraedro regular mide 6 6 u. Calcule la distancia (en u) entre el 
centro de una cara del tetraedro regular y el centro de su respectivo poliedro 
conjugado inscrito. 
O1
3x
x
8x
G1G2
G3
G4
D B
C
A
6 6
Poliedro G1G2G3G4: conjugado inscrito del 
tetraedro regular ABCD 
O1: centro de G1G2G3G4
Se deduce que AH = 2(HG4)
2n
n
H
Piden: O1G4 = 3x
AG4 = 
6 6 ( 6)
3
= 12
→ G4O1 = 3(O1H)
 12x = 12 → x = 1
∴ O1G4 = 3x = 3
PROBLEMA 11
Las caras de un poliedro convexo son regiones triangulares y octagonales
regulares, de modo que cada cara triangular es adyacente solamente con
las caras octagonales. Calcule el número de diagonales del poliedro.
A) 140 B) 160 C) 120
D) 110 E) 156
RESOLUCIÓN 11
número de caras triangulares: m
número de caras octagonales: n
número total de caras: C = m + n
Suma de medidas de las caras en cada vértice del poliedro:
60 + 135 + 135 = 330
Suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras:
S = 330V = 360 V−2 → V = 24
número de aristas que concurren en cada vértice: 3
número total de aristas: A =
3V
2
= 36
número total de caras: V + C = A + 2 → C = 14 → m + n = 14 . . . (1)
número total de aristas: 2A = 3m + 8n → 3m + 8n = 72 . . . (2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2): m = 8 y n = 6
Cada cara octagonal tiene 20 diagonales y las caras triangulares no tienen diagonales.
número de diagonales del poliedro: D =
24
2 − 36 − (6×20 + 0) → D = 120
Clave: C 
135
13560
Las caras de un poliedro convexo son regiones triangulares y octagonales
regulares, de modo que cada cara triangular es adyacente solamente con las
caras octagonales. Calcule el número de diagonales del poliedro.
PROBLEMA 12 
Si el área total de un octaedro regular es 12 u2, entonces el área (en u2)
de la proyección del octaedro sobre un plano que contiene a una de las
caras es
A) 4 B) 6 C) 3
D) 8 E) 5
RESOLUCIÓN 12
Clave: C
Si el área total de un octaedro regular es 12 u2, entonces el área (en u2) de la
proyección del octaedro sobre un plano que contiene a una de las caras es
G1
G2
G3D
B
C
A
∴ AP = 3
P Q
R
S
T
U
Área total del octaedro: AT = 2a
2 3 = 12
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a2 3 = 6 … (1) 
ABCD: tetraedro regular
P,Q,R,S,T y U: son puntos de tangencia
→ P- QRST - U: octaedro regular
Δ PQR // Δ ABC : La proyección del octaedro regular 
sobre el plano STU es G1TG3UG2S
S
G1 U
G3
G2
T
a120
a
3
a
3
El área de la proyección es: 
AP = 
3 3
2
(
a
3
)2
AP
AP = 
a2 3
2
… (2)
a
a
a
De (2) en (1)
PROBLEMA 13
En un hexaedro regular ABCD−EFGH, M, N y P son los puntos medios de
las aristas AE, BC y HG respectivamente. Si la distancia del vértice D al
plano MNP es 6 u, entonces el área total (en u2) del hexaedro regular es
A) 144 B) 164 C) 196
D) 288 E) 312
RESOLUCIÓN 13
A
B C
D
E
F G
H
M
N
P
En un hexaedro regular ABCD−EFGH, M, N y P son los puntos medios de las
aristas AE, BC y HG respectivamente. Si la distancia del vértice D al plano MNP
es 6 u, entonces el área total (en u2) del hexaedro regular es
O es el centro del hexágono regular MRNTPQ
ΔDOR: 
Área total de hexaedro regular: S = ?
S = 6(2a)2 = 24a2
S = 288
Clave: D 
a a
a
a a
a
T
R
Q
a
a
a a
a
a
O
DM = DR = DN = DT = DP = DQ = a 5
Distancia de D al plano MNP: DO = 6
RO = OP = a 2
(RD)2 = (RO)2 + (DO)2
(a 5)2 = (a 2)2 + (6)2
a2 = 12
PROBLEMA 14
En un dodecaedro regular, cada arista mide ( 15 − 3) u, entonces la
distancia (en u) entre dos vértices opuestos es
A) 8 B) 12 C) 6 3
D) 6 E) 12 3
RESOLUCIÓN 14
En un dodecaedro regular, cada arista mide ( 15− 3 ) u, entonces la
distancia (en u) entre dos vértices opuestos es
a
a = 15− 3
x : distancia entre dos vértices opuestos
b
a
b = (
5 + 1
2
)a
Se obtiene interiormente un hexaedro
regular de arista b
Además la diagonal del hexaedro regular
es la distancia entre dos vértices opuestos
del dodecaedro regular
Entonces: x= b 3
x = 6
Reemplazando:
Clave: D 
=
5 + 1
2
15− 3 = 2 3
x
PROBLEMA 15
En un tetraedro regular ABCD, G es baricentro de la cara ABC y se
prolonga GB hasta T, tal que GB = BT. La medida del ángulo entre DT y BC
es
A) 120 B) 60 C) 150
D) 45 E) 90
01
RESOLUCIÓN 15
En un tetraedro regular ABCD, G es baricentro de la cara ABC y se prolonga
GB hasta T, tal que GB = BT. La medida del ángulo entre DT y BC es
G
Clave: D
xT
A
Q
m
a
2a
B 
C 
D 
m
m
m
a
a 6
3
a 2
a 2
x : medida del ángulo entre 
DT y BC .
x = ?
Se prolonga GC hasta Q tal que 
GC = CQ = m 
Por T. de base media
TQ // BC y TQ = 2a
→ mDTQ = x
Por T. de Pitágoras
∆DGB : (
a 6
3
)2 + (m)2 = a2 → m = 
a 3
3
∆DGT : (
a 6
3
)2 + (2m)2 = (DT)2 → DT = a 2
∆TDQ : notable ( 45 y 45 )
→ x = 45
a
a
PROBLEMA 16
En un octaedro regular cuya arista mide a, calcular el área de la sección
plana determinada por el plano que contiene dos vértices no consecutivos
del octaedro regular y el baricentro de una de sus caras.
A)
a2 3
3
B)
a2 3
2
C)
a2 2
2
D) a2 E) a2 2
01
RESOLUCIÓN 16
En un octaedro regular cuya arista mide a, calcular el área de la sección plana
determinada por el plano que contiene dos vértices no consecutivos del
octaedro regular y el baricentro de una de sus caras.
B
M
Clave: C
T
a
a/2
a
a 2
a
30
30
a
A
C 
G
a/2
a/2
a/2
Q
a
a
Pide S : Área de la sección plana determinada
□ATCQ : rombo 
se sabe AC = a 2
En □NBMD : cuadrado 
BN = MD = TQ = a
Luego
S = 
(a)(a 2)
2
→ S = 
a2 2
2
N 
D
a
PROBLEMA 17
En un poliedro convexo, la suma del número de caras, el número de
vértices y el número de aristas es 28. Si la suma de las medidas de los
ángulos de todas las caras es 1800, entonces el número de aristas es
A) 10 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
RESOLUCIÓN 17 
Clave: C 
En un poliedro convexo, la suma del número de caras, el número de vértices y el
número de aristas es 28. Si la suma de las medidas de los ángulos de todas las
caras es 1800, entonces el número de aristas es
Sean C : número de caras
V : número de vértices 
A : número de aristas
C = ?
C + V + A = 28 
Sm∠caras = 360(V-2) = 1800 
V = 7 
Teorema de Euler: C + V = A + 2
C + 7 = A + 2
⟶ C + A = 21 
⟶ A - C = 5 
Resolviendo: A = 13 
PROBLEMA 18
En un dodecaedro regular, dos caras son ABCDE y ABPQR. Calcule la
medida del ángulo entre las rectas CD y PQ.
A) 22,5 B) 30 C) 36
D) 45 E) 60
RESOLUCIÓN 18 
Clave: E 
En un dodecaedro regular, dos caras son ABCDE y ABPQR. Calcule la medida
del ángulo entre las rectas CD y PQ.
A
E
D
C
B
P
Q
R
X
EB ∥ CD y RB ∥ PQ
La medida del ángulo entre CD y PQ es 
igual a la medida del ángulo entre EB y BR.
d
d
d
Las diagonales de los pentágonos regulares 
son congruentes y miden d.
Entonces el triángulo EBR es equilátero.
X = 60
PROBLEMA 19
En un hexaedro regular ABCD-EFGH, la distancia de H al plano EBD es k.
El área de la región triangular EBD es
A)
k2 3
2
B) k2 3 C)
3k2 3
2
D) 2k2 3 E)
5k2 3
2
RESOLUCIÓN 19
A
CB
D
F
E H
G
a
a
a
En un hexaedro regular ABCD-EFGH, la distancia de H al plano EBD es k. El área
de la región triangular EBD es
Se traza por H el plano FHC que es paralelo al plano EBD
La distancia k de H al plano EBD es igual a la distancia
entre los planos paralelos.
M
N
Se observa que A y G equidistan de los vértices de los
triángulos EBD y FCH, luego AG es ⊥ a los planos.
Por teorema auxiliar:
1
AM2 = 
1
a2 + 
1
a2 + 
1
a2  AM = 
a 3
3
Análogamente: NC =
a 3
3
La diagonal del hexaedro mide a 3 , luego MN =
a 3
3
= k
Luego a = k 3
x = (a 2)2 3 / 4 = (k 3 2)2 3 / 4
x = AEBD
x =
3k2 3
2
Clave: C 
/
/
/
/
a 2
a 3
3
a 3
3
•
•
PROBLEMA 20
El área de un icosaedro regular es 20 3 u2. La longitud (en u) del segmento
que une dos vértices opuestoses
A) 1,4(5+ 5) B) 1,5 (5+ 5) C) 1,8 (5+ 5)
D) 2 (5 + 5) E) 2,2 (5 + 5)
RESOLUCIÓN 20
El área de un icosaedro regular es 20 3 u2. La longitud (en u) del segmento que
une dos vértices opuestos es
A
B
a
a
a
x = AB
Por el área del icosaedro: (
a2 3
4
) 20 = 20 3  a = 2
M
AB pasa por el centro, luego m∠AMB = 90
En el pentágono regular MNBPQ:
N
P
Q
M
Q
B
a
36/
/
MQ = a = l10 = MB
( 5−1)
2
MB =
a( 5+1)
2
= 5+ 1
En el⊿AMB por Pitágoras: 22 + ( 5+ 1)2 = x2
=2
x = 2(5+ 5)
Clave: D 
5+ 1
PROBLEMA 21 
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones
I. Si en un poliedro todos los ángulos poliedros son congruentes,
entonces el poliedro es regular.
II. Si en un poliedro convexo todas las caras son regiones poligonales
regulares congruentes entre sí, entonces el poliedro es regular.
III. En cada vértice de un poliedro regular concurren el mismo número de
caras y vértices.
A) VVV B) VFV C) FVF
D) FFV E) VFF
En el hexaedro las caras son determinados por triángulos
equiláteros congruentes entre si, sin embargo el poliedro no es
regular ya que los ángulos poliedros no son congruentes.
I. (F)
II. (F)
III. (V)
RESOLUCIÓN 21
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones
I. Si en un poliedro todos los ángulos poliedros son congruentes, entonces el poliedro es
regular.
II. Si en un poliedro convexo todas las caras son regiones poligonales regulares
congruentes entre sí, entonces el poliedro es regular.
III. En cada vértice de un poliedro regular concurren el mismo número de caras y vértices.
En el octaedro todos los ángulos triedros son congruentes
entre si, sin embargo el poliedro no es regular.
Por definición los ángulos poliedros de un poliedro regular son
congruentes entre si, luego en cada vértice concurren el mismo
número de caras y aristas.
Clave: D 
PROBLEMA 22 
En un hexaedro regular, una arista mide . ¿Cuál es la longitud del
segmento determinado en una diagonal, por el poliedro regular conjugado
inscrito en el hexaedro regular?
A)

2
B)

3
C)

5
D)

6
E)

3
Sea x la longitud de RS.
Por teorema:
Por el teorema de la base media:
De la figura: ER es la altura del tetraedro
regular ELMP, luego
Finalmente,
RESOLUCIÓN 22 
En un hexaedro regular, una arista mide . ¿Cuál es la longitud del segmento
determinado en una diagonal, por el poliedro regular conjugado inscrito en el
hexaedro regular?
a
h 6
3
=
h
x 2 3 3
3
 
+ = 
 
A
h
B
S
O
R
P
Q
x
a
C
a
D
H
F G
a 2
a
a
a
a
a
a
L
M
N
h 3
3
 =
x 3
3
 =
a
a
a
LM a=
E
DG EHC⊥ EC MP ⊥
BD EAC⊥ EC LM ⊥
 y LM MP M =
EC LMP⊥
Clave: B 
PROBLEMA 23 
En un tetraedro regular D – ABC, la distancia entre AD y BC es 6 m. El área
de la superficie total (en m2) del tetraedro es
A) 73 3 B) 70 2 C) 72 2
D) 72 3 E) 70 3
RESOLUCIÓN 23
Clave: D 
d(AD ; BC) = 6
En un tetraedro regular D – ABC, la distancia entre AD y BC es 6 m. El área de
la superficie total (en m2) del tetraedro es
AST = a
2 3
Se deduce que MN = d(AD ; BC) 
AST = ?
C
B
D
A
6a 3
2
a 3
2
a
2
a
2
M
N
ΔCMN: MN = 
a 2
2
a
2
a
2 a 2
2
= 6 → a = 6 2
AST = (6 2)
2 3
AST = 72 3
a
PROBLEMA 24 
En un octaedro regular cuya arista mide a, se traza un plano paralelo a una
de las caras y que pasa por el punto medio de una arista. Calcule el área
(en u2) de la región determinada por dicho plano, en el octaedro.
A) 3a2 3 B)
3
4
a2 3 C)
3
8
a2 3
D)
3
10
a2 3 E) 
3
2
a2 3
RESOLUCIÓN 24
Clave: C 
V – ABCD – V’: Octaedro regular
ΔVDC: t. de la base media 
En un octaedro regular cuya arista mide a, se traza un plano paralelo a una de
las caras y que pasa por el punto medio de una arista. Calcule el área (en u2) de
la región determinada por dicho plano, en el octaedro.
QR = RS = ST = TU = UP = 
a
2
SSRQPUT = 6(
a
2
2 3
4
)
De la figura: R, S, T , U ,P son puntos 
medios
SRQPUT: Hexágono regularA
P
Q
R
S
T
U
a
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
B C
D
V
V’
PQ = 
a
2
SSRQPUT =
3
8
a2 3
SRQPUT // Δ AVC