Resolución de Problemas de Superficie prismática - Prisma Tronco de prisma

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2020-2
SUPERFICIE PRISMÁTICA
PRISMA Y TRONCO DE 
PRISMA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROBLEMA 01
Las diagonales de las caras de un rectoedro miden 34, 58 y 74. Calcule
el área total de este rectoedro.
A) 108 B) 128 C) 145
D) 148 E) 142
c
a
b
Las diagonales de las caras de un rectoedro miden 34, 58 y 74.
Calcule el área total de este rectoedro.RESOLUCIÓN 01
74
34
58
Por el teorema de Pitágoras:
De (1), (2), (3) y (4), se tiene: 
Finalmente,
( )2 2a b 74 1+ =
( )2 2a c 34 2+ =
( )2 2b c 58 3+ =
( )2 2 2a b c 83 4 + + =
2a 25 a 5=  =
2b 49 b 7=  =
2c 9 c 3=  =
( )TS 2 5 7 7 3 5 3=  +  + 
TS 142 =
PROBLEMA 02:
En un prisma hexagonal regular una de sus diagonales máximas mide 25 5
m y sus caras laterales son regiones cuadradas. Calcule el volumen de este
sólido prismático.
A) B) C)
D) E)
46873 3
2
2
337500
3
337500
2
293750
4
313750
Por el teorema de Pitágoras:
Finalmente,
25 5
R R
En un prisma hexagonal regular una de sus diagonales máximas mide 25 5 m y
sus caras laterales son regiones cuadradas. Calcule el volumen de este sólido
prismático.RESOLUCIÓN 02
R
( ) ( )
22 22R R 25 5+ =
R 25 =
( )
( )
2
25 3
V 6 25
4
 
 =
 
 
46875 3
V
2
 =
PROBLEMA 03:
En un rectoedro, las tridimensiones están dadas por 18− 2x , 2x y x
unidades. Halle (en u3) el máximo volumen del sólido limitado por el
rectoedro.
A) 216 B) 324 C) 432
D) 864 E) 408
En un rectoedro, las tridimensiones están dadas por 18-2x, 2x y x unidades.
Halle (en u3) el máximo volumen del sólido limitado por el rectoedro.RESOLUCIÓN 03
18 2x−
2x
x
El volumen del sólido limitado por el rectoedro 
esta dado por:
Aplicando Teorema,
Finalmente,
( )( )V x 2x 18 x= −
V = 4 x2 9 - x
Vmáx ⇔ ቐ
x + 9 − x = 9
x
2
=
9 - x
1
⇒ x = 6
Vmáx= 2 6
2 18 - 12
∴ Vmáx= 432 u
3
PROBLEMA 04:
En un prisma oblicuo la sección recta es una región triangular circunscrita a
una circunferencia de 6u de radio. Si el área lateral es 100 u2, calcule el
volumen (en u3) del sólido limitado por el prisma.
A) 220 B) 240 C) 260
D) 280 E) 300
En un prisma oblicuo la sección recta es una región triangular circunscrita a una
circunferencia de 6 u de radio. Si el área lateral es 100 u2, calcule el volumen (en
u3) del sólido limitado por el prisma.RESOLUCIÓN 04
r
A
B
C
FD
E
a
Dato: 
El volumen del sólido limitado por el prisma 
esta dado por:
Reemplazando,
( )S.R.V S a=
( )S.R.V p r a=
( )L
1
V S r
2
=
LS 100= y r 6=
( )( )
1
V 100 6
2
=
V 300 =
PROBLEMA 05:
En un prisma oblicuo ABC-DEF, M ∈ AB y N ∈ DE. El plano que contiene a
MNFC es perpendicular a AB (AB=a) y el área de MNFC es S. Calcule el
volumen del sólido limitado por el prisma.
A) B) C)
D) E)
5
aS
2
aS aS
3
aS
4
aS
En un prisma oblicuo ABC-DEF, M ∈ AB y N ∈ DE. El plano que contiene a
MNFC es perpendicular a AB (AB=a) y el área de MNFC es S. Calcule el
volumen del sólido limitado por el prisma.RESOLUCIÓN 05
A
S
h
b
H
B
C
D
E
F
a
Dato: 
Por teorema: 
El volumen del sólido limitado por el rectoedro 
esta dado por:
MNFCS S= y AB a=
M
N
ab
V h
2
 
=  
 
 NH MC, NH AB y MC AB M⊥ ⊥  =
NH ⊥ plano ABC
( )
S
a
V bh
2
=
aS
V
2
 =
PROBLEMA 06:
En un prisma triangular oblicuo ABC-EFG (AB=AC=BC) el baricentro de la
base EFG es la proyección ortogonal del punto A. Si la base tiene por área
S y la altura del prisma h, calcule el área de la región BCGF.
A) B) C)
D) E)
hS
hS2 +42 hS +
22 SSh +
2 22 3 3Sh 9S
3
+
n
2n
O
En un prisma triangular oblicuo ABC-EFG (AB=AC=BC) el baricentro de la base
EFG es la proyección ortogonal del punto A. Si la base tiene por área S y la
altura del prisma h, calcule el área de la región BCGF.RESOLUCIÓN 06
d
E
F
G
B
CA
2n
h
d
n 3
Dato: 
Por teorema: 
Por teorema de Pitágoras: 
Finalmente,
DEFS S=
( )S 2n 3 d=
FG ⊥ EN, FG ⊥ AO y EN ∩ AO = O
FG ⊥▱ AMNE
2 2
BCGF
2
S 3 3Sh 9S
3
 = +
( )
2
2
2n 3 3 S
S 3n 3 S n 3
4 3
=  =  =
M
N
n 3
n
( )
22 2d 3n h= +
2d S 3 h = +
2SS 2 S 3 h
3
= +
PROBLEMA 07:
En un prisma hexagonal regular, una diagonal del prisma es congruente con
una de las diagonales de la base y la arista lateral mide 3 m. Calcule el área
(en m2) lateral del prisma.
A) 36 B) 48 C) 60
D) 38 E) 54
En un prisma hexagonal regular, una diagonal del prisma es congruente con una
de las diagonales de la base y la arista lateral mide 3 m. Calcule el área (en m2)
lateral del prisma.RESOLUCIÓN 07
C D
2R
2R
R 3
A
B E
F
A
B
C D
E
F
R3
De la figura: 
Finalmente, 
AC AD 2R = =
CC R 3 = =
( )
2
LS 6 3=
LS 54 =
PROBLEMA 08:
En un paralelepípedo rectangular ABCD-EFGH, las bases son regiones
cuadradas y m∠EBG = 2 m∠BEF. Si la altura mide 2 u, calcule el volumen
(en u3) del sólido limitado por el paralelepípedo.
A) 14 B) 16 C) 18
D) 20 E) 24
De la figura: 
Por teorema: 
Por teorema: 
Finalmente,
B
En un paralelepípedo rectangular ABCD-EFGH, las bases son regiones
cuadradas y m∠EBG = 2m∠BEF. Si la altura mide 2 u, calcule el volumen (en
u3) del sólido limitado por el paralelepípedo.RESOLUCIÓN 08
d
d
2



2
A
C
D
E
F G
H
2
a 2
a
a
M
BE BG d= =
EM MG a= =
EF a 2 =
( )
EFB BME
ALA
  
a 2 =
( ) ( )
2
V 2 2 2=
V 16 =
PROBLEMA 09
Las bases de un paralelepípedo recto son regiones limitadas por rombos de
área igual a S1 y las regiones determinadas por los planos diagonales
tienen como áreas S2 y S3. Calcule el volumen del sólido paralelepípedo.
A)
S1S2S3
5
B)
S1S2S3
4
C)
S1S2S3
3
D)
S1S2S3
2
E) S1S2S3
B
De la figura:
De (1), (2) y (3): 
1d
RESOLUCIÓN 09
Las bases de un paralelepípedo recto son regiones limitadas por rombos de área
igual a S1 y las regiones determinadas por los planos diagonales tienen como
áreas S2 y S3. Calcule el volumen del sólido paralelepípedo.
A
2d
C
D
E
F G
2S
3S
h
( )1 2 1
d d
S 1
2
=
( )1 2d h S 2=
( )2 3d h S 3=
( )
2 2
1 2
1 2 3
d d h
S S S
2
=
2
2 1 2 31 2
S S Sd d
h
2 2
 
= 
 
1 2 3S S SV
2
 =
1 2 31 2
S S Sd d
h
2 2
 
= 
 
1S
H
PROBLEMA 10
En un prisma recto, las bases están determinadas por triángulos
rectángulos cuyos lados mayores miden 60 u y 61 u, mientras que la arista
lateral mide igual que el diámetro de la circunferencia inscrita en una base.
Calcule el área total del prisma, en u2.
A) 1950 B) 1960 C) 1970
D) 1980 E) 1990
Por teorema de Poncelet: 
Finalmente, 
61
RESOLUCIÓN 10
r
En un prisma recto, las bases están determinadas por triángulos rectángulos
cuyos lados mayores miden 60 u y 61 u, mientras que la arista lateral mide igual
que el diámetro de la circunferencia inscrita en una base. Calcule el área total del
prisma, en u2.
A
B
C
D
E
F
2r
6011
11 60 61 2r+ = +
r 5 =
T L BS S 2S= +
( )( )
( )( )
T
60 11
S 11 60 61 10 2
2
 
= + + +  
 
TS 1980 =
PROBLEMA 11 
Calcule la capacidad de un prisma recto, de bases trapeciales isósceles,
circunscrito a una superficie esférica. Los lados paralelos de las bases
miden a y b, respectivamente, con a > b.
A) ab (a + b) B) 2ab(a + b) C)
ab
3
(a + b)
D)
ab
4
(a + b) E)
ab
2
(a + b)
Por relaciones métricas en el triángulo 
rectángulo:
Finalmente, 
a
2
a
2
RESOLUCIÓN 11
Calcule la capacidad de un prisma recto, de bases trapeciales isósceles,
circunscrito a una superficie esférica. Los lados paralelos de las bases miden a
y b, respectivamente, con a > b.
r
r
r
r
r
A
B C
D
E
F G
Ha
b
a
2 b
2
b
2
b
2
2 a br
2 2
  
=   
  
ab
r
2
 =
r
r
a b
V ab ab
2
 + 
=   
  
( )
ab
V a b
2
 = +
PROBLEMA 12
En un prisma oblicuo, la altura mide 6 u y la sección recta es hexagonal
regular, de aristas con longitudes de 4 u, además las aristas laterales están
inclinadas 60, respecto de las bases. Calcule la capacidad del prisma, en
u3.
A) 240 B) 250 C) 266
D) 288 E) 360
RESOLUCIÓN 12
En un prisma oblicuo, la altura mide 6 u y la sección recta es hexagonal regular,
de aristas con longitudesde 4 u, además las aristas laterales están inclinadas 60,
respecto de las bases. Calcule la capacidad del prisma, en u3.
L
P
C D
A
B
E
FP
A
B
C D
E
F
H
M
N
QR
60°
4 6
AHE: Notable (30 y 60)
Por corolario: 
4 3
EE 4 3 =
( )
24 3
V 6 4 3
4
 
=  
 
V 288 =
PROBLEMA 13
Calcule la capacidad de un hexaedro regular, inscrito en un dodecaedro 
regular cuyos vértices son vértices del dodecaedro regular cuya arista mide 
a. Considerar =
5+1
2
.
A) a3 B) a3(+1) C) a3(2+1)
D) a3(3+2) E) a3( − 1)
RESOLUCIÓN 13
a
d
Calcule la capacidad de un hexaedro regular, inscrito en un dodecaedro regular
cuyos vértices son vértices del dodecaedro regular cuya arista mide a.
Considerar =
5+1
2
.
d
36°
De la figura: 
Finalmente, el volumen del cubo 
inscrito en el dodecaedro esta 
dado por:
( )da 5 1
2
= −
5 1
d a
2
 +
=  
 
d a = 
( )
3
V a= 
3 2V a=  
( )3V a 2 1 =  +
( )3V a 1=  + 
PROBLEMA 14
Todas las caras de un paralelepípedo oblicuo son regiones rómbicas y un
ángulo triedro de este poliedro es equilátero, cuyas caras miden 60 cada
una. Si el área total del paralelepípedo es 48 3 u2, calcule la capacidad, en
u3.
A) 48 2 B) 24 3 C) 16 3
D) 32 3 E) 32 2
RESOLUCIÓN 14
Todas las caras de un paralelepípedo oblicuo son regiones rómbicas y un ángulo
triedro de este poliedro es equilátero, cuyas caras miden 60 cada una. Si el área
total del paralelepípedo es 48 3 u2, calcule la capacidad, en u3.
B
a
a
a
O
h
A
C
D
E
F G
H
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Dato: 
De la figura: EO es la altura del 
tetraedro regular EABD
Finalmente, 
TS 48 3=
2a 3
6 2 48 3
4
  
=  
   
a 4 =
4 6
h
3
=
( ) 4 6V 8 3
3
 
=  
 
ABCDS 8 3 =
V 32 2 =
PROBLEMA 15
La región trapecial ABCD es una base de un prisma recto, del cual se
obtiene el tronco ABCD − EFGH. Si AB = CD, AE = 2(DH) = 12 3 u,
mBAD = 60, AD = BF = 8 3 u y BC = 4 3 u, entonces la capacidad del
tronco de prisma, en u3, es
A) 720 B) 852 C) 860
D) 898 E) 916
 
 
H8 3 4 34 3
a mm
2m 2m60°
RESOLUCIÓN 15
La región trapecial ABCD es una base de un prisma recto, del cual se obtiene el tronco
ABCD − EFGH. Si AB = CD, AE = 2(DH) = 12 3 u, mBAD = 60, AD = BF = 8 3 u y
BC = 4 3 u, entonces la capacidad del tronco de prisma, en u3, es
A
B C
D
E
F
G
H
4 3
8 3
12 3
aa
O
6 3
ABH: Equilátero
Los planos BFH y AEG son perpendiculares al 
plano ABC, entonces 
Por teorema: AODBOC
Luego,
Finalmente,
a 4 3 =
P
PO ⊥▱ ABCD
b
( ) ( ) ( ) ( )2m b m 12 3 2m 8 3 m 6 3
PO
2m m 2m m
+ +
= =
+ +
b 5 3 =
V =
4 3 8 3
2
sen60
12 3+8 3+6 3
3
+
4 3 4 3
2
sen120
8 3+5 3+6 3
3
∴ V = 852
PROBLEMA 16 
ABC-DE es un tronco de prisma recto triangular regular, de área lateral
78 u2, tal que AD = 9 u y los ángulos ADC y BEC son complementarios.
Calcule (en u3) la capacidad del tronco.
A) 24 2 B) 39 3 C) 24 3
D) 39 2 E) 36 3
RESOLUCIÓN 16
ABC-DE es un tronco de prisma recto triangular regular, de área lateral
78 u2, tal que AD = 9 u y los ángulos ADC y BEC son complementarios. Calcule
(en u3) la capacidad del tronco.
A
B
C
E
D


9
Dato: 
Por teorema: 
De (1) y (2): 
Finalmente,
LS 78= y 90 +  =
a a
a

b
9a ab 9 b
a 78
2 2 2
+ 
+ + = 
 
DAC CBE 
a 9
b a
= ( )2a 9b 2 =
( ) ( )a 9 b 78 1 + =
a 6= y b 4=
26 3 9 4 0
V
4 3
  + + 
=   
  
V 39 3 =
PROBLEMA 17
E-ABCD-F es un octaedro regular, de capacidad V; M y N son puntos
medios de las aristas CE y DE. Calcule la capacidad del poliedro ABCDNM.
A)
3
16
V B)
5
16
V C)
5
18
V
D)
4
19
V E)
3
20
V
Dato: VE-ABCD-F=V 
⟹ 2(2S)
2a+2a+0
3
= V
Luego, 
Sa
3
=
V
16
Finalmente,
V
ABCDNM
= S
2a+2a+a
3
∴ V
ABCDNM
=
5V
16
a
RESOLUCIÓN 17
E-ABCD-F es un octaedro regular, de capacidad V; M y N son puntos medios de
las aristas CE y DE. Calcule la capacidad del poliedro ABCDNM.
A
B C
D
E
F
N
M
S
S
a
a
a
a
a
a
a
a
PROBLEMA 18
En un tronco de prisma recto ABC-DEF, de capacidad V, las aristas AD, BE
y FC, son perpendiculares a la base ABC y
AD
3
=
BE
2
=
CF
1
. Calcule la
capacidad del poliedro BCFEGH, siendo la recta GH, intersección de los
planos que contienen a las bases del tronco de prisma.
A) 
5V
4
B) 
7V
4
C) 
5V
3
D) 
7V
3
E) 
5V
8
Dato: VABC−DEF = V
Por teorema: 
VAGHD
VABC−DEF
=
SAGH
3a
3
SABC
3a+2a+a
3
VAGHD
V
=
1
2
3b 3c
b 2c
VAGHD =
9V
4
Piden: VBCFEGH=
9V
4
− V
∴ VBCFEGH=
5V
4
a
cC2c
RESOLUCIÓN 18
A
D
E F
H
G
B
3a
2a
2b
b
En un tronco de prisma recto ABC-DEF, de capacidad V, las aristas AD, BE y FC,
son perpendiculares a la base ABC y
AD
3
=
BE
2
=
CF
1
. Calcule la capacidad del
poliedro BCFEGH, siendo la recta GH, intersección de los planos que contienen
a las bases del tronco de prisma.
PROBLEMA 19 
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. No existe un tronco de prisma con bases congruentes.
II. No existe un tronco de prisma recto cuyas caras laterales son regiones
triangulares.
III.Todas las caras laterales de un tronco de prisma recto son regiones
trapeciales.
A) FFF B) FFV C) VFF
D) FVF E) FVV
RESOLUCIÓN 19
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. No existe un tronco de prisma con bases congruentes.
II. No existe un tronco de prisma recto cuyas caras laterales son regiones
triangulares.
III. Todas las caras laterales de un tronco de prisma recto son regiones
trapeciales.I. (F)
II. (F)
III. (F) De la proposición anterior
PROBLEMA 20
En un tronco de prisma recto ABC-DE, la mayor arista lateral mide BE = 24
u; AB + AC = 32 u, DE = 25 u y el desarrollo de la superficie lateral
corresponde a la región determinada por un triángulo rectángulo. La
capacidad de este tronco, en u3, es aproximadamente.
A) 1068 B) 1052 C) 1073
D) 1103 E) 1173
Dato: b + c = 32
Por teorema de Pitágoras: EC 2 = 242 + 322 ⇒ EC= 40
Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo: 32a = 242
a = 18
Por teorema de Thales: 
b
c
=
15
25
=
3
5
⇒ b = 12 y c= 20
Por teorema de Pitágoras: AD 2 + 122 = 152 ⇒ AD = 9
Finalmente,
VT = 25 × 7 × 13 × 5
24+9+0
3
∴ VT ≈ 1173
RESOLUCIÓN 20
En un tronco de prisma recto ABC-DE, la mayor arista lateral mide BE = 24 u;
AB + AC = 32 u, DE = 25 u y el desarrollo de la superficie lateral corresponde a
la región determinada por un triángulo rectángulo. La capacidad de este tronco,
en u3, es aproximadamente.
32
c
a C
A
E
B
24 25
b
C
b
a
C
15
9
D
PROBLEMA 21
En un prisma recto, ABC−A′B′C’, M ∈ AA’, N ∈ BB’ y P ∈ CC’. Si AM=2 MA’
y BN=PC’ y el volumen del sólido limitado por el prisma es V; calcule el
volumen del sólido limitado por el tronco de prisma ABC–MNP.
A) 
5V
4
B) 
7V
4
C) 
5V
3
D) 
7V
3
E) 
5V
8
Dato: VABC−ABC = V
⇒ V = S 3a
Por teorema: 
VABC−MNP = S
2a+b+3a−b
3
VABC−MNP =
5
9
S 3a
∴ VABC−MNP =
5V
9
RESOLUCIÓN 21
En un prisma recto, ABC−A′B′C’, M ∈ AA’, N ∈ BB’ y P ∈ CC’. Si AM=2 MA’ y
BN=PC’ y el volumen del sólido limitado por el prisma es V; calcule el volumen
del sólido limitado por el tronco de prisma ABC–MNP.
a
3a−b
CA
A
B
N
M
P
B
b
2a
C
b
PROBLEMA 22 
O–ABC es un tronco de prisma tal que el ángulo triedro A–OBC es
trirrectángulo. Si OB = 20 u, BC = 13 u y OC = 281. Calcule AC (en u).
A) 3 2 B) 4 C)
3 3
2
D) 2 2 E) 5
A
Sea x la longitud de AC.
Por teorema de Pitágoras:
De (1), (2) y (3):
xa
b
RESOLUCIÓN 22
O–ABC es un tronco de prisma tal que el triedro A–OBC es trirrectángulo. Si OB =
20 u, BC = 13 u y OC = 281. Calcule AC (en u).
B C
O
20
13
281
( )2 2 2x a 13 1+ =
( )
2
2 2x b 281 2+ =
( )2 2 220 a b 3= +
22x 50=
x 5 =
PROBLEMA 23
En un tronco de prisma recto ABC–DEF (AB = BC = AC), los triángulos
AED, CDF y EFC son isósceles de bases AD, CF y EC respectivamente. Si
BE=, calcule el volumen del sólido limitado por el tronco de prisma.
A)
253 3
12
B)
253 3
24
C)
493 3
24
D)
493 3
12
E)
243 3
49
Sea VT el volumen del sólidodeterminado por el tronco 
de prisma.
Por teorema: 
Por teorema de Pitágoras: 
Finalmente,
RESOLUCIÓN 23
a
En un tronco de prisma recto ABC–DEF (AB = BC = AC), los triángulos AED,
CDF y EFC son isósceles de bases AD, CF y EC respectivamente. Si BE=,
calcule el volumen del sólido limitado por el tronco de prisma.
L
N
M

C
A
D
E
F
B
a 



2
4
a
a
AM MD y= = CN NF 2= =
2
( ) ( )
2 22a 3 4+ =
2 2a 7 =
2
T
a 3 2 4
V
4 3
  + + 
=   
  
3
T
49 3
V
12
 =
PROBLEMA 24
En un paralelepípedo rectangular ABCD–EFGH; P, Q y T son puntos medios
de EF, EH y ED. Si el volumen del sólido limitado por este rectoedro es 36
u3, calcule (en u3) el volumen del tronco de prisma PQG–PTC.
A) 9 B) 12 C) 4
D) 6 E) 8
Sea V el volumen del solido determinado por el tronco de 
prisma PQG-PTC. 
RESOLUCIÓN 24
En un paralelepípedo rectangular ABCD–EFGH; P, Q y T son puntos medios de
EF, EH y ED. Si el volumen del sólido limitado por este rectoedro es 32 u3,
calcule (en u3) el volumen del tronco de prisma PQG–PTC.
D
A B
C
H
E FP
Q
T 2a
b
b
c
a
S
( )( )( )2a 2b 2c 32 =
abc 4=
V = S
a+2a+0
3
= Sa = 6 u3
G
c
Dato: V
ABCD−EFGH
= 32 u3
En EFGH: 
2b
2b 2c =
b c
2
+
2 b c
2
+
2 c b
2
+ S =
32
2a
S =
32
2a
−
5 b c
2
=
32
2a
−
5(4)
2a
=
12
2a
Sa = 6
Luego, 
PROBLEMA 24a
En un paralelepípedo rectangular ABCD–EFGH; P, Q y T son puntos medios
de EF, BH y ED. Si el volumen del sólido limitado por este rectoedro es 36
u3, calcule (en u3) el volumen del tronco de prisma PQG–PTH.
A) 9 B) 12 C) 4
D) 6 E) 8
Sea V el volumen del solido determinado por el tronco de 
prisma PQG-PTH. 
Dato: VABCD−EFGH = 32
Por teorema: 
RESOLUCIÓN 24a
En un paralelepípedo rectangular ABCD–EFGH; P, Q y T son puntos medios de
EF, BH y ED. Si el volumen del sólido limitado por este rectoedro es 32 u3,
calcule (en u3) el volumen del tronco de prisma PQG–PTH.
D
A B
C
H
E F
P
Q
T
2c
2a
b
b
c
2b
a a
( )( )( )2a 2b 2c 32 =
abc 4=
( )2a c b 2b 0
V
2 3
+ + 
=  
 
b
V abc=
V 4 =
G
b
b