Resolución Problemas de Superficie Cilíndrica

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2020-2
CILINDRO Y TRONCO 
DE CILINDRO
RESOLUCIÓN DE 
PROBLEMAS
PROBLEMA 1
En un cilindro circular recto, el área lateral es igual a S y una sección
transversal determina dos cilindros. En uno de ellos la altura es
congruente con el radio de la base ¿Cuál es el área total del otro cilindro
determinado?
A)
S
4
B)
S
3
C)
S
2
D) S E) 2S
PROBLEMA 49 
S
SOLUCION 49 
.
.
R
R
R
g
R
C1
.
• Dato: ASL= S =2πRg 
• Piden: AST de C1
• AST de C1 = 2πR g − R + 2πR
2
En un cilindro circular recto , el área lateral es igual a S y una sección
transversal determina un cilindro cuya altura es congruente con el radio de la
base ¿Cuál es el área total del cilindro determinado?
g-R
AST de C1 = 2πRg − 2πR
2 + 2πR2
AST de C1 = 2πRg
AST de C1= S
Clave: D 
En un cilindro circular recto, se trazan dos planos secantes que
contienen a los extremos de una generatriz y la intersección de dichos
planos con la generatriz diametralmente opuesta es un único punto. Si
el área lateral del cilindro es S, entonces el área de la superficie
comprendida entre los planos es
A)
S
4
B)
S
3
C)
S
2
D)
3S
4 E)
2S
3
PROBLEMA 50
SOLUCION 50
En un cilindro circular recto, se trazan dos planos secantes que contienen a los
extremos de una generatriz y solo a un punto de la generatriz diametralmente
opuesta quien a su vez es perpendicular al ángulo diedro determinado por los
planos. Si el área lateral del cilindro es S, entonces el área de la superficie
comprendida entre los planos es:
.
.
R
R
g
.R
• Dato:ASL=S=2πRg
• Piden:ASL del tronco de cilindro
sección recta circular . 
• ASL de T.C.=(2pS.R)(
G+g
2
)
ASL de T.C.=(2πR)(
0+g
2
)
ASL de T.C.=(πR)g
ASL de T.C.= 
S
2
Clave: C 
PROBLEMA 51
En un cilindro oblicuo de sección recta circular, la recta mediatriz de
una generatriz que mide g y la recta perpendicular a una de las
bases en el centro, se intersecan en un extremo de la generatriz
diametralmente opuesta. ¿Cuál es el volumen del solido determinado
por el cilindro oblicuo?
A)
3πg3
16
B) 
3πg3
8
C) 
3πg3
2
D) 
3πg3
4
E) 3πg3
SOLUCION 51 
En un cilindro oblicuo de sección recta circular, la recta mediatriz de una
generatriz que mide g y la recta perpendicular a una de las bases en el centro,
se intersecan en un extremo de la generatriz diametralmente opuesta. ¿Cuál es
el volumen del solido determinado por el cilindro oblicuo?
g
2
g
g
2
g
g
g 3
2
g
2
g
2
g 3
4
• Piden:Vcil.oblicuo
A
B C
DO
• Debido a que AO=OD, entonces
ΔABD: isósceles (AB=BD=g) 
H
• Teorema de la mediatriz :
→ BD=BC=g → ΔDBC: equilátero. 
60
• BH es diámetro de la sección 
recta circular del cilindro oblicuo. 
• Vcil.oblicuo=(AS.R)(
g
2
)
Vcil.oblicuo=
3πg3
16
Vcil.oblicuo= π(
g 3
4
)2.g
Clave: A 
PROBLEMA 52 
En un cilindro oblicuo de sección recta circular está inscrito un 
prisma oblicuo cuya sección recta es una región determinada por 
un dodecágono regular inscrito en la circunferencia de la sección 
recta del cilindro. Si el volumen del sólido determinado por el 
prisma es igual a V, entonces el volumen del sólido determinado 
por cilindro es:
A)
πV
3
B) 
3πV
2
C) πV
D) 2πV E) 3πV
SOLUCION 52
• Dato : V𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = V = A𝑆𝑅 g
g
R
• A𝑆𝑅=12S =12(
R2sen30
2 )
A𝑆𝑅=12S =3R
2
• V𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = V = 3R
2 g
• Piden : V𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = ASR g
V𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = πR
2 g
R2g =
V
3
V𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 
πV
3
30
R R
R R
RR
RR
R
RR
R
S
S S
SS
En un cilindro oblicuo de sección recta circular está inscrito un prisma oblicuo
cuya sección recta es una región determinada por un dodecágono regular
inscrito en la circunferencia de la sección recta del cilindro. Si el volumen del
sólido determinado por el prisma es igual a V, entonces el volumen del sólido
determinado por cilindro es:
Clave: A 
PROBLEMA 53
En la figura se muestran tres cilindros de revolución donde las
regiones sombreadas son regiones elípticas determinadas por tres
planos paralelos entre si. Si los volúmenes de los sólidos
determinados por el mayor y menor cilindro son V1 y V2 entonces el
volumen del sólido determinado por el tercer cilindro es
A) 
V1+V2
2
B) 
V1 −V2
2
C) V1V2
D) V1
2 + V2
2
E) 
V1V2
V1+V2
SOLUCION 53 
α α α
2R 2x 2rA
B C D
M
N
L
Rk
xk
V1
V2
Vx
Debido a que las regiones elípticas son
paralelas y que los puntos M,N y L son puntos
colineales se puede indicar que dichos cilindros
C1 ,C2 y C𝑥 son semejantes
C1 C2Cx
Por lo que : C1 ̴C2 ̴ C𝑥
→
V1
R3
=
V2
r3
=
Vx
x3
……..(1)
* AM // BN // CL : 
AB
BC
=
MN
NL
=
R
x
* MB // NC // LD : 
Rk
xk
=
2x
2r
→ x2=Rr …….(2)
De (1) y (2): 
V1 .V2
(Rr)3
=
V𝑥2
x6
→
V1 .V2
(x2)3
=
V𝑥2
x6
Vx = V1V2
En la figura se muestran tres cilindros de revolución donde las regiones
sombreadas son regiones elípticas determinadas por tres planos paralelos entre
si. Si los volúmenes de los sólidos determinados por el mayor y menor cilindro
son V1 y V2 entonces el volumen del sólido determinado por el tercer cilindro es
Clave: C 
PROBLEMA 54 
En un octaedro regular está inscrito un cilindro circular recto cuyas
generatrices son paralelas a una de sus diagonales. Si el volumen
del sólido determinado por el octaedro regular es igual a V,
entonces el volumen máximo del sólido determinado por el cilindro
circular recto es
A) 
πV
9
B) 
πV
8
C) 
πV
7
D) 
πV
6
E) 
πV
5
SOLUCION 54
a
a 𝟐
a
2
a
g
r
a
2
− 𝐫
α α
α
α
α α
• Dato: V=
a3 2
3
• Piden: Vcilindro = πr
2g
P
Q
S
A
B
• ΔSAB ~ ΔTPQ
T
a
2
−r
g
= 
a
2
a 2
→ g= 2 2 (
a
2
-r)
1
3 (
r
2
+
r
2
+
a
2
- r )≥
3
(
r
2
)(
r
2
)(
a
2
− r)
• Vcilindro = πr
2g= 2π 2 r2 (
a
2
-r)
• Se sabe que MA ≥ MG
V.π
32
≥Vcilindro
a3.2π 2
23.33
≥
r2(a
2
−r)
4
2π 2
Vcilindro
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜
=
Vπ
9
En un octaedro regular está inscrito un cilindro circular recto cuyas
generatrices son paralelas a una de sus diagonales. Si el volumen del
sólido determinado por el octaedro regular es igual a V, entonces el
volumen máximo del sólido determinado por el cilindro circular recto es
Clave: A 
PROBLEMA 55
En la figura se muestra el desarrollo de la superficie total de un cilindro
circular recto de generatriz AB siendo A,D,E y F puntos de tangencia.
Calcule el volumen del sólido determinado por el cilindro.
R
B C
DA
O
F E
A) R
3 5
π4
( 1 + π2 − 1)
5
2
B) R
3 3
π4
( 1 + π2 − 1)
5
2
C) R
3 2
π4
( 1 + π2 − 1)
5
2
D) R
3 6
π4
( 1 + π2 − 1)
5
2
E) R
3 6
π4
( 1 + π2 − 1)
5
2
SOLUCION 55
R
B C
DA
O
F E
Rg
πr πr
r
r
g-r
R-r
R
O1
S
T
r
• Piden : Vcilindro=πr
2g
• Paras las cuerdas TB y FS secantes en O1
T. de cuerdas: (BO1)(O1T) = (FO1)(O1S) 
reemplazando: (g + r)(g - r) = (r)(2R- r) 
→g2= 2Rr …..(1)
• ΔBAO: R2= g2 + (πr)2…..(2)
• De (1) y (2) : π2r2 + 2 R r - R2 = 0
r =R( 1+π
2−1)
π2
• Vcilindro=πr
2g = πr2(2Rr)
1
2= π(2R)
1
2r
5
2
Vcilindro= 
R3 2
π4
( 1 + π2 − 1)
5
2
r
En la figura se muestra el desarrollo de la superficie total de un
cilindro circular recto de generatriz AB siendo A,D,E y F puntos de
tangencia. Calcule el volumen del sólido determinado por el cilindro.
Clave: C 
PROBLEMA 56 
En la figura se muestra un servilletero que resulta de perforar un agujero
cilíndrico a través del centro de una esfera. Utilice el Postulado de Cavalieri
para demostrar que el volumen del sólido es igual a
πh3
6
. ¿Qué sucede si
comparamos con otro servilletero de altura congruente y diferente
diámetro? ¿Son equivalentes?
h
SOLUCION 56
y
h
2
h
2
yR
R
h
2
h
2
y
• Trabajaremos con la mitad del servilletero.
• Los solidos mostrados sus bases tienen la misma área la cual es 
h2
4
y la misma altura la cual es 
h
2
. 
• Las secciones paralelas a las bases determinadas en ambos solidos son equivalentes a π(
h2
4
-y2) 
Por postulado de Cavalieri (V𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜)/2= V𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
V𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜=2(
2π
3
(
h
2
)3)=
πh3
6
En la figura se muestra un servilletero queresulta de perforar un agujero cilíndrico a 
través del centro de una esfera. Utilice el Postulado de Cavalieri para demostrar que el 
volumen del sólido es igual a 
πh3
6
. ¿Qué sucede si comparamos con otro servilletero de 
altura congruente y diferente diámetro? ¿Son equivalentes?
Dos cilindros circulares rectos tienen el mismo eje y las bases
coplanares, el plano determinado por dos generatrices del cilindro
mayor y que contiene a solo una generatriz del cilindro menor
determina en el cilindro mayor una sección cuadrada. Si la generatriz
mide g , calcule el volumen del sólido determinado por los cilindros.
A)
πg3
8
B) 
πg3
4
C) 
πg3
2
D) πg3 E) πg3 2
PROBLEMA 57 
Dos cilindros circulares rectos tienen el mismo eje y las bases coplanares, el plano
determinado por dos generatrices del cilindro mayor y que contiene a solo una
generatriz del cilindro menor determina en el cilindro mayor una sección cuadrada. Si
la generatriz mide g , calcule el volumen del sólido determinado por los cilindros.
SOLUCION 57
g
g
g
2
g
2
g
• Piden: V comprendido entre
los cilindros
= V𝑥r
R
• Se sabe que: R2 − r2 =
g2
4
• V𝑥= π (R
2- r2)g
r
R
V𝑥= π (
g2
4
)g
V𝑥= π
g3
4
g
A
B
C
D
P
Q
• AD y BC: generatrices del cilindro mayor
PQ: generatriz del cilindro menor.
• Datos : ABCD : cuadrado
Clave: B 
PROBLEMA 58
El área total de un cilindro recto de revolución es S. ¿Cuánto mide el
radio de la base para que el volumen sea máximo?.
A)
S
6π
B)
S
π
C)
2S
π
D)
3S
2π
E)
5S
6π
El área total de un cilindro recto de revolución es S. ¿Cuánto mide el radio de la
base para que el volumen sea máximo?
SOLUCION 58
• Piden : R
• Datos: A TOTAL= S
• S = 2πRg + 2πR2
S
2π
= Rg + R2 → Rg = 
S
2π
− R2
• V𝑥=πR
2g= πRg.R
• V𝑥:máximo→
R= 
S
6π
R
g
R
V𝑥= π (
S
2π
− R2)(R2)1/2
= 
1
1/2
S
2π
− 3R2
R2
Clave: A 
En un cilindro oblicuo M y N son centros de las bases y un diámetro de 
la base inferior contiene a N. Si y MB = 2 u, entonces 
la longitud (en u) de la generatriz del cilindro es
AB
m AMN m ABM = 
A)1 B) C)
D) E)
2
3
4
3
4
3
PROBLEMA 59
SOLUCIÓN 59
•  ANM   AMB
Clave: B 
g
2
=
r
n
=
m
2r
… (1)
n2 = 2r2 → n = r 2 …(2)
• (2) en (1) :
g
2
=
r
r 2
→ g = 2
A r N r B
gg
m
M
+β
2
β

En un cilindro oblicuo M y N son centros de las bases y un diámetro de la base 
inferior contiene a N. Si y MB = 2 u, entonces la longitud (en u) 
de la generatriz del cilindro es
AB
m AMN m ABM = 
Calcule las dimensiones del cilindro recto de revolución que determina el
mayor volumen y está inscrito en un cono recto de revolución de radio R y
altura H.
PROBLEMA 60
A) 
R 2H
;
3 3
 B)
2R H
;
3 4
 C) 
2R H
;
3 3
 
D)
2R H
;
3 5
 E)
R H
;
4 2
 
 
SOLUCIÓN 60
• V = volumen del cilindro inscrito
Calcule las dimensiones del cilindro recto de revolución que determina el
mayor volumen y está inscrito en un cono recto de revolución de radio R y
altura H.
Clave: C 
V = 𝜋x2w … (1)
• FLC  BOC:
• En (1):
w
H
=
R−x
R
→ w =
H
R
R − x … (2)
V = 𝜋x2 ∙
H
R
R − x
• Como: x + R − x = R (constante)
→ V es máximo cuando se cumple:
En (2): w =
H
R
R −
2R
3
=
H
3
w
2
=
R−x
1
→ x =
2R
3
x O x
B
A C
w
RR
F
L
En un hexaedro regular ABCD–EFGH de longitud de arista a, calcule el
volumen del sólido limitado por el cilindro cuyas bases circulares están
circunscritas en los triángulos EBD y FCH.
PROBLEMA 61
RESOLUCIÓN 61
En un hexaedro regular ABCD–EFGH de longitud de arista a, calcule
el volumen del sólido limitado por el cilindro cuyas bases circulares
están circunscritas en los triángulos EBD y FCH.
• Vx =(
2
3
a2π) (
a 3
3
)
MN =
1
3
AG =
a 3
3
• Los triángulos EBD, FCH son equiláteros
→ HC= a 2.
M
N
B C
G
H
E
A
D
F
a
• Los planos EBD, FCH trisecan a la
diagonal AG, la cual es perpendicular a
dichos planos en M y N.
r
a 2.
• r 3 =a 2 → 3r2= 2a2
Vx =
2
9
a3π 3
Clave: D 
En un tronco de cilindro circular recto las generatrices máxima y mínima
miden 10 u y 6 u. El eje mayor de la elipse que limita una de las bases mide
8 u. Calcule el volumen del sólido que limita el tronco de cilindro (en u3).
PROBLEMA 62
A) 18 B) 36 C)72 
D)84 E) 96 
RESOLUCIÓN 62
En un tronco de cilindro circular recto las generatrices máxima y
mínima miden 10 u y 6 u. El eje mayor de la elipse que limita una de
las bases mide 8 u. Calcule el volumen del sólido que limita el tronco
de cilindro (en u3).
Clave: E 
• V = 𝜋r2 ∙ EJE …(1)
• Del gráfico:
r = 2 3
• En (1):
V = 𝜋 2 3
2
∙ 8 = 96 𝜋
• EJE =
10+6
2
= 8
2r = 4 3
8
r r
66
4
30
10
En un tronco de cilindro recto está inscrita una esfera y dos generatrices
opuestas miden a y b. Calcule el volumen limitado por el tronco de cilindro.
A) ( )
2 2a b
3 a b

+ B) ( )
2 2a b
2 a b

+
 C) ( )
2 2a b
4 a b

+
 
 
D)
2 2a b
a b

+ E) ( )
2 2a b
5 a b

+
 
PROBLEMA 63
RESOLUCIÓN 63 En un tronco de cilindro recto está inscrita una esfera y dos generatrices
opuestas miden a y b. Calcule el volumen limitado por el tronco de cilindro.
Clave: B
• En BOC:
R2 = a − R b − R
R2 = ab − aR − bR + R2
R =
ab
a + b
• Luego:
V = 𝜋
ab
a + b
2
a + b
2
V =
𝜋 a2b2
2(a + b)
R
(b – R)
C
R RA
B
D
ROR
R
(b – R)
(a – R)
(a – R)
En un tronco de cilindro oblicuo, los ejes de las elipses son perpendiculares,
las generatrices miden a y b (a < b) y el ángulo que determinan el eje del
tronco con el eje de la elipse mide 75. Determine el volumen limitado por el
tronco de cilindro.
PROBLEMA 64
 
A) ( ) ( )
2
b a a b
64

− + B) ( ) ( )
2
b a a b
128

− + 
C) ( ) ( )
2
b a a b
32

− + D) ( ) ( )
2
b a a b
8

− + 
E) ( ) ( )
2
b a a b − + 
 
A
C
E
SOLUCIÓN 64
En un tronco de cilindro oblicuo, los ejes de las elipses son
perpendiculares, las generatrices miden a y b (a < b) y el ángulo que
determinan el eje del tronco con el eje de la elipse mide 75.
Determine el volumen limitado por el tronco de cilindro.
Clave: B
• En los triángulos rectángulos AOB y COD:
OH =
a
4
; OM =
b
4
2r =
a
4
−
b
4
→ r =
a − b
8
V = 𝜋r2 .EJE =
𝜋
64
b − a 2
a + b
2
O
B
D
C
A
ar
r
H
15
75
b
M
V =
𝜋
128
b − a 2(a + b)
Calcule el volumen de un tronco de cilindro circular recto cuyas bases
determinan un ángulo diedro cuya medida es 60, además la suma de las
áreas de las bases es A y la generatriz mínima es nula.
PROBLEMA 65
 
A)
A
A

 B) 
A A
2 
 C) 
A A
3 2
 
 
D)
A A
3 
 E) 
A A
2 3
 
 
 
SOLUCIÓN 65
Calcule el volumen de un tronco de cilindro circular recto cuyas bases
determinan un ángulo diedro cuya medida es 60, además la suma de
las áreas de las bases es A y la generatriz mínima es nula.
Clave: D
• De acuerdo a los datos:
• Luego:
B1cos 60 = 𝜋r
2
B1 .
1
2
= 𝜋r2 → B1= 2𝜋r
2
𝜋r2 + 2𝜋r2 = A
𝜋r2 =
A
3
→ r =
A
3𝜋
• V = 𝜋r2 .EJE =
A
3
A
3𝜋
3
V =
A
3
A
𝜋r r
60
B1
r 3
2r 3
PROBLEMA 66
Dos troncos de cilindros oblicuos de sección recta circular tienen en común una de
sus bases, mientras que las otras bases están situadas en un mismo plano tal que
las generatrices mayores son perpendiculares y el extremo común de las
generatrices menores es el incentro del triángulo que tiene por vértices a los
extremos de las generatrices mayores. Si el ángulo entre una generatriz mayor de
uno de los troncos de cilindro y el plano mide 15, y la distancia entre los extremos
no comunes de las generatrices menores es L, entonces la suma de los
volúmenes de los sólidos determinados por los troncos de cilindros oblicuos es
A)
πL3
256
(2 6 +3) B)
πL3
256
(2 6 - 3)C)
5πL3
256
(2 6 +3)
D)
5πL3
256
(2 6 - 3) E)
3πL3
256
(2 6 +3)
RESOLUCIÓN 66
L
L
4
L
4
L
4
n
m
L
4
L
4
A
B
C
P Q
I
M
N
α
α β
β
a
15
b
a b
α β
Dos troncos de cilindro oblicuos de sección recta circular tienen en común una de sus bases, mientras que las otras bases
están situadas en un mismo plano tal que las generatrices mayores son perpendiculares y el extremo común de las
generatrices menores es el incentro del triángulo que tiene por vértices a los extremos de las generatrices mayores. Si el
ángulo entre una generatriz mayor de uno de los troncos de cilindro y el plano mide 15, y la distancia entre los extremos
no comunes de las generatrices menores es L, entonces la suma de los volúmenes de los sólidos determinados por los
troncos de cilindros oblicuos es
V1
V2
Piden: V1+ V2
H
ΔPIQ: notable de 15 y 75
I : incentro del ΔABC
a=(
6+ 2
4
)L
b=(
6− 2
4
)L
a+b=(
6
2
)L …(1)
IH= 
L
4
=IM=IN
+
Además se observa:
AM + NC = AH + HC
m+n = a + b + L ...(2)
V1=π(
L
8 )
2(
a+m+L
4
2
)
V2 =π(
L
8 )
2(
b+n+L
4
2
)
V1+ V2=π(
L
8 )
2(
a+b+m+n+L
2
2
)
V1+ V2=π(
L2
64
)(
2(a+b)+L+L
2
2
)
V1+ V2=
πL3
256
(2 6 +3)
De (1) y (2) :
Clave: A
En un tronco de cilindro circular recto, se trazan dos planos secantes
que solo contienen a los extremos de las generatrices mayor y menor
determinándose dos troncos de cilindros circular recto. Si los
volúmenes de los sólidos determinados por estos dos troncos de
cilindro son iguales a V1 y V2, entonces el volumen del sólido
determinado por el tronco de cilindro dado es
PROBLEMA 67 
Clave: B
a
b
B
• Vx = B (
a+ b
2
)
V1
V2
• Datos: V1 = B(
a
2
)
V2 = B(
b
2
) Vx
… (1)
… (2)
• (1)+ (2):
V1+ V2 = B(
a
2
) + B(
b
2
) 
= B(a+ b
2
)
Vx = V1+ V2
En un tronco de cilindro circular recto, se trazan dos planos secantes que solo
contienen a los extremos de las generatrices mayor y menor determinándose
dos troncos de cilindros circular recto. Si los volúmenes de los sólidos
determinados por estos dos troncos de cilindro son iguales a V1 y V2, entonces
el volumen del sólido determinado por el tronco de cilindro dado es
SOLUCION 67 
Tres cilindros oblicuos de sección recta circular comparten una misma base dos a dos.
P es el único punto común de las secciones axiales de dichos cilindros. Además, P es
un punto de la generatriz del cilindro mayor que también es un lado de la sección
axial. Los volúmenes de los cilindros menores son V1 y V2. Halle el volumen del sólido
determinado por tronco de cilindro, cuya generatriz mayor es la generatriz opuesta a
y cuyas bases se intersecan solo en P.
CD
CD
PROBLEMA 68 
1 2V VA) 
2
+
1 2V VB) 
2
−
1 2C) V V
2 2
1 2D) V V+ 1 2
1 2
V V
E) 
V V+
SOLUCION 68 
Tres cilindros oblicuos de sección recta circular comparten una misma base dos
a dos. P es el único punto común de las secciones axiales de dichos cilindros.
Además, P es un punto de la generatriz del cilindro mayor que también es
un lado de la sección axial. Los volúmenes de los cilindros menores son V1 y
V2. Halle el volumen del sólido determinado por tronco de cilindro, cuya
generatriz mayor es la generatriz opuesta a y cuyas bases se intersecan
solo en P.
CD
CD
A
CB
D
P
M
M
M
N
N
N
• Nos piden: Vx= M + N…(1)
• Datos: V1 = 2M
V2 = 2N
→V1 + V2 = 2(M+ N)… (2)
• De (1) y (2):
Vx = 
1 2V V
2
+
Clave: A
En la figura se muestran dos vasos que tienen la forma de cilindro circular
recto, de modo que las bases son congruentes cuyos radios miden R. Si la
altura del vaso mayor es H y todo el líquido de dicho vaso se vierte en el
pequeño, entonces a que altura se encuentra el nivel de agua, en el vaso
pequeño.
PROBLEMA 69
A) R Hcos−  
B) H Rsen−  
C) H R tan−  
D) ( )H R cos−  
 E) ( )H R tan−  
En la figura se muestran dos vasos que tienen la forma de cilindro circular
recto, de modo que las bases son congruentes cuyos radios miden R. Si la
altura del vaso mayor es H y todo el líquido de dicho vaso se vierte en el
pequeño, entonces a que altura se encuentra el nivel de agua, en el vaso
pequeño.
V
VS
S
x
α
2R
H- 2Rtanα
H
V = S(H - Rtanα) …(2)
• Volumen del cilindro
V = Sx …(1)
• Volumen tronco de cilindro
• (1) = (2) : x = H - Rtanα 
SOLUCION 69 
Clave: C
Tres troncos de cilindro oblicuo tienen por secciones rectas a círculos
congruentes y comparten una misma base, dos a dos, tal que los centros de
dichas bases son los vértices de un triángulo rectángulo. Si los volúmenes de
los sólidos determinados por los dos menores troncos son V1 y V2, entonces
el volumen del sólido determinado por el tercer tronco es
PROBLEMA 70 
1 2V VA) 
2
+
1 2V VB) 
2
−
1 2C) V V
2 2
1 2D) V V+ 1 2
1 2
V V
E) 
V V+
S
S
S
C
B
A
b
a
c
Tres troncos de cilindro oblicuo tienen por secciones rectas a círculos
congruentes y comparten una misma base, dos a dos, tal que los centros de
dichas bases son los vértices de un triángulo rectángulo. Si los volúmenes de
los sólidos determinados por los dos menores troncos son V1 y V2, entonces el
volumen del sólido determinado por el tercer tronco es
SOLUCION 70 
V1
V2
Vx
• Del enunciado:
S =
V
1
c
=
V2
a
=
Vx
b
V1
2
c 2
=
V22
a2
=
V2x
b2
V1
2+V22
c 2 + a2
=
V2x
b2
Vx =
2 2
1 2V V+
Clave: D