Sólido de Revolución y Esfera - Teoría

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2020-2
SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
TEORÍA
SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Definición.- Se denomina sólido de revolución al sólido generado al girar
una vuelta una región plana alrededor de un eje coplanar y no secante a la
región plana.
VOLUMEN DEL SÓLIDO GENERADO POR LA REVOLUCIÓN DE UNA 
REGIÓN TRIANGULAR ALREDEDOR DE UN EJE COPLANAR.
Teorema.- El volumen del sólido generado por la revolución de una región
triangular alrededor de un eje situado en su plano y que pasa por uno de sus
vértices sin intersecarlo, es igual a un tercio del producto de la longitud de la
altura trazada desde dicho vértice, por el área de la superficie generada por el
lado opuesto a dicho vértice.
Nota
SAC es el área de la superficie 
generada por la revolución del 
lado AC alrededor del eje.
V=
1
3
SAC z
VOLUMEN DEL SÓLIDO GENERADO POR LA REVOLUCION DE UN
SECTOR POLIGONAL REGULAR ALREDEDOR DE UN EJE COPLANAR
Teorema de Arquímedes.- El volumen del sólido generado por la revolución de
un sector poligonal regular alrededor de un eje coplanar que pasa por su centro
y sin ser secante, es igual a un tercio del producto de la longitud de su apotema
por el área de la superficie generada por la línea poligonal regular.
V=
1
3
2𝜋𝑎𝑝ℎ 𝑎𝑝
V= 2𝜋
3
𝑎𝑝
2h
V=
1
3
S𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑎𝑝
2020-2
ESFERA
ESFERA
Definición.- Se denomina esfera al sólido generado por la revolución de un
semicírculo alrededor de un eje que contiene al diámetro.
VE = 
4
3
𝜋R3
SECTOR ESFÉRICO
Definición.- Se denomina sector esférico al sólido generado por la revolución
de un sector circular alrededor de un eje coplanar no secante al arco
correspondiente (excepto en los extremos) y que contiene al centro.
VE = 
2
3
(𝜋R2)h
Teorema.- El volumen de un sector esférico de longitud de radio R y cuya
proyección del arco correspondiente al sector circular sobre el eje mide h es igual
a
2
3
𝜋R2h
.
CUÑA ESFÉRICA
Definición.- Se denomina cuña esférica a la parte de una esfera comprendida
entre dos semicírculos máximos que tienen en común el diámetro.
 
 
R 
O 
 
O 
R 
A 
B 
VCE = 
α
270 𝝅R
3
Teorema.- El volumen de una cuña esférica cuyo radio mide R y la medida
del ángulo diedro del huso esférico es  es igual a
𝛼
270
𝜋R3
3R
270
 
 
 
.
ANILLO ESFÉRICO
Definición.- Se denomina anillo esférico al sólido generado por la revolución
de un segmento circular alrededor de un eje coplanar no secante al arco
correspondiente y que contiene al centro.
VAE=
1
6
𝝅ℓ2h
Teorema.- El volumen de un anillo esférico cuya altura mide h y la cuerda
del segmento circular generador tiene por longitud ℓ es igual a 1
6
𝜋ℓ2h
SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES
Definición.- Se denomina segmento esférico de dos bases a la parte de
una esfera comprendido entre dos círculos determinados por dos planos
paralelos entre si, secantes a la esfera.
 
2
r
1
r
h 
VSE= 
1
6
𝝅h3 + 
1
2
𝝅(r1
2+ r2
2)h
Teorema.- El volumen de un segmento esférico cuyos radios de las bases
miden r1 y r2 , y longitud de altura h es igual a
1
6
𝜋h3 +
1
2
𝜋(r1
2+ r2
2)h
SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE
Definición.- Se denomina segmento esférico de una base a la parte de
una esfera determinada por un plano secante.
Teorema.- El volumen de un segmento esférico de una base cuyo radio
mide r y longitud de altura h es igual a
1
6
𝜋h3 +
1
2
𝜋r2 h
 
h 
r 
VSE= 
1
6
𝝅h3 + 
1
2
𝝅r2h