Asesoria_ 19_VF

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CICLO PREUNIVERSITARIO
TRIGONOMETRÍA
 ASESORIA 19
PROBLEMA 1
Determine la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro el lado recto de la parábola P.
RESOLUCIÓN
Vértice:
Circunferencia
El foco de la parábola coincide con el centro de la circunferencia
‹Nº›
CEPRE UNI
PROBLEMA 2
El centro de una circunferencia C está contenida en la recta La ordenada del centro es media proporcional entre la abscisa de dicho centro y el radio (r) de dicha circunferencia. 
Si: 
RESOLUCIÓN
Condición:
Además:
Reemplazando:
Piden:
‹Nº›
CEPRE UNI
PROBLEMA 3
Dada la circunferencia: 
RESOLUCIÓN
Determine la suma de las pendientes de las rectas tangentes trazadas desde a dicha circunferencia.
Ecuación de la recta tangente trazada desde P:
Operando:
‹Nº›
CEPRE UNI
Sea la parábola , determine la ecuación de la cuerda focal, de pendiente positiva, cuya longitud es 18,75 u. 
CLAVE: D
PROBLEMA 4
RESOLUCIÓN 
Completando cuadrados:
Graficando:
Por propiedad:
Además:
Luego:
‹Nº›
CEPRE UNI
Determinamos el punto de intersección entre la recta directriz y el eje focal, resolviendo el sistema de ecuaciones, obteniéndose:
´Si el vértice de una parábola está ubicado en el origen de coordenadas y su directriz es la recta x – y – 2 = 0. Además, la ecuación de dicha parábola está dado por , calcule el valor de 
A) 2		B) 3		C) 4		D) 6		E) 8
CLAVE: C
PROBLEMA 5
RESOLUCIÓN 
Por definición:
Efectuando:
Es decir:
A = 1, B = 2, C = 1, D = 8, E = – 8, F = 0 
Se pide calcular:
‹Nº›
CEPRE UNI
La ecuación corresponde a una parábola cuyo vértice pasa por la recta y cuyos extremos del lado recto son los puntos y . Calcule el valor de . 
A) 17		B) 25		C) 31		D) 37		E) 49
CLAVE: E
PROBLEMA 6
RESOLUCIÓN 
El vértice tiene por coordenadas y está ubicado en la recta , entonces:
Además:
, y .
Luego:
Comparando:
Se pide calcular:
‹Nº›
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN 
D
Y
X
De la ecuación: 
Luego como 
PROBLEMA 7
Determine sobre la recta , un punto que sea equidistante del foco izquierdo y del punto superior de la elipse: 
x
 
B
‹Nº›
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN 
De la ecuación 
PROBLEMA 8
Calcule el área (en ) de un cuadrado inscrito en una elipse, cuya ecuación es: . 
Completando cuadrados 
Haciendo 
Y´
X´
Graficando 
Evaluando el punto (m;m) 
Piden: 
(m;m)
‹Nº›
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN 
PROBLEMA 9
En la figura mostrada, se tiene la elipse de ecuación , ¿Qué lugar geométrico determina el punto P, si , se mueve en forma paralela al eje menor?.
Y
X
Y
X
De 
 
De 
 
De 
Reemplazando en la ecuación 
Ordenando 
Ec, de la hipérbola 
‹Nº›
CEPRE UNI
PROBLEMA 10
Sea el punto y la circunferencia Encuentre la ecuación del lugar geométrico que describen los centros de todas las circunferencias tangentes a que pasen por el punto .
		
B) 		
C) 
D) 
E) 	
RESOLUCIÓN
Completando cuadrados en la ec. de 
Graficando:
Trazando los segmentos y , se observa que:
Elevando al cuadrado y simplificando:
Nuevamente, elevando al cuadrado:
Factorizando,
CLAVE: A
‹Nº›
CEPRE UNI
PROBLEMA 11
Del gráfico, se observa una hipérbola y una de sus asíntotas . Calcule el valor de y la excentricidad de 
, 	 B) 	 C) 
D) E) 	
RESOLUCIÓN
Extraemos el triángulo rectángulo y completamos la longitud de los lados con las propiedades de la hipérbola.
Como 
De esto, 
Del gráfico, en el 
CLAVE: C
‹Nº›
CEPRE UNI
PROBLEMA 12
Desde un punto de una hipérbola , se traza una recta paralela al eje focal e interseca a las asíntotas en los puntos y donde también se traza una recta perpendicular al eje focal e interseca a las asíntotas en los puntos y donde . Halle la excentricidad de la hipérbola.
	 B)	 C) D) E) 
RESOLUCIÓN
Sabemos que las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola son:
Graficando:
Con ello, hallamos las coordenadas de los puntos 
 
 
 
 
De esto, tenemos que 
 
 
 
 
Entonces:
Así, tenemos que la excentricidad es 
CLAVE: E
‹Nº›
CEPRE UNI
Dada la elipse E, cuya ecuación es
,
determine la ecuación de la recta que contiene al foco de abscisa positiva y al extremo del eje menor de abscisa negativa.
PROBLEMA 13
RESOLUCIÓN
Convertiremos:
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Así la ecuación es: 
‹Nº›
CEPRE UNI
Dando forma queda:
En la elipse:
Graficamos:
Además:
X
Y
X’
Y’
L
En la ecuación de la recta:
‹Nº›
CEPRE UNI
15
La ecuación :
Representa a:
PROBLEMA 14 
RESOLUCIÓN
	A) Un punto
	B) Una Circunferencia
	C) Una Elipse
	D) Una Hipérbola
	E) El vacío
El indicador para esta ecuación es:
* La cónica es del género elipse
Para tener la certeza que es una elipse, usaremos el discriminante de: 
Como se observa, el discriminante no toma la forma , por tanto la ecuación no es factorizable.
Por lo tanto la ecuación 
representa una Elipse.
Además esta no es negativa para todo valor de ‘y’ .
‹Nº›
CEPRE UNI
16
Identifique el lugar geométrico que representa la ecuación : 
PROBLEMA 15
RESOLUCIÓN
 Parábola
 Hipérbola
 Dos rectas secantes
 Vacío
El indicador para esta ecuación es:
* La cónica es del género hipérbola
, para tener la certeza que es una hipérbola, usaremos el discriminante de: 
 Elipse
Por tanto se trata de una cónica degenerada: dos rectas secantes
En efecto: 
‹Nº›
CEPRE UNI
PROBLEMA 16 
Determine la excentricidad de la cónica: 
					
RESOLUCIÓN 
De la ecuación:
Calculamos el ángulo de rotación
Por el teorema de los invariantes
Transformamos el trinomio
Aplicamos:
Así la ecuación es: 
reduciendo: 
‹Nº›
CEPRE UNI
reduciendo: 
Agrupando en forma conveniente y completando cuadrados:
La ecuación se reduce a:
Notamos que la ecuación es una hipérbola donde:
Pero:
‹Nº›
CEPRE UNI
Mediante una rotación de ejes, la ecuación: se transforma en , calcule el valor de k
PROBLEMA 17 
					
RESOLUCIÓN 
De la ecuación:
Se transforma en 
(Ecuación de una parábola)
‹Nº›
CEPRE UNI
PROBLEMA 18 
La ecuación 
Mediante una rotación de ejes se transforma en la ecuación : . Calcule:
RESOLUCIÓN
	
	
	
	
	
De la ecuación:
Piden:
‹Nº›
CEPRE UNI
Clave: A
RESOLUCIÓN 
donde: 
Como: 
PROBLEMA 19
Determine la ecuación polar de la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta cuya ecuación es .
‹Nº›
CEPRE UNI
Clave: B
RESOLUCIÓN 
Elevamos al cuadrado: 
PROBLEMA 20
Determine la ecuación cartesiana que corresponde a la ecuación polar .
Dato: 
‹Nº›
CEPRE UNI
Clave: E
RESOLUCIÓN 
Dato: 
PROBLEMA 21
Determine la ecuación polar que corresponde a la ecuación cartesiana .
‹Nº›
CEPRE UNI
PROBLEMA 22
Calcula el área de la región cuadrangular limitada por los puntos en coordenadas polares 
A) 									B) 								C) 
D) 								E) 
RESOLUCIÓN
Se puede notar que los vértices del cuadrilátero se encuentran sobre una misma circunferencia pues tienen el mismo radio.
Para calcular el área de la región nos apoyaremos primero en la ubicación de los vértices pues el cuadrilátero que determinarán es inscriptible y para su área hay varias fórmulas…..veamos…
‹Nº›
CEPRE UNI
Entonces ubicamos los vértices en el plano polar:
Nota que:
En (1):
Pero:
CLAVE: D
‹Nº›
CEPRE UNI
PROBLEMA 23
La ecuación de una cónica es: . Calcular la suma de distancias de un punto P cualquiera de ella a sus focos.
A) 										B) 										C) 										D) 										E) 
RESOLUCIÓN
Ordenamos la ecuación: 
Le damos la forma:
Dado que:
Además:
Pero:
Por definición de elipse, si son sus focos:
CLAVE: E
‹Nº›
CEPRE UNI
PROBLEMA 24
Dadas las siguientes curvas expresadas en coordenadaspolares: ;
, calcule el número de puntos de intersección de sus gráficas.
A) 										B) 											C) 												D) 											E) 
RESOLUCIÓN
Analizando las ecuaciones:
De donde:
Afirmamos entonces que se trata de una elipse con un foco en , su vértice asociado en y su centro en .
Es una elipse
Afirmamos entonces que se trata de una circunferencia con centro en y su radio de longitud 3u.
‹Nº›
CEPRE UNI
Graficando:
 No hay puntos de intersección.
CLAVE: A
Otra forma:
Resolvemos las ecuaciones:
Operando:
Al resolver:
 No hay puntos de intersección.
CLAVE: A
‹Nº›
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
C
Si: , calcule su módulo.
PROBLEMA 25 
‹Nº›
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
Siendo: calcule los valores de x, si además: 
PROBLEMA 26 
‹Nº›
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
C
Sea: z = x + iy
Calcule el área de la región que determinan en el plano, los afijos de los números ; que cumplen:
, (en u2)
PROBLEMA 27
De la cual se obtiene:
z+1 =(x+1) + iy 
 = 3 
3x2+4y2=12
z 1=(x1) + iy 
Efectuando :
Por condición:
Elevando al cuadrado:
Efectuando :
Simplificando y elevando al cuadrado:
 = 
Se pide:
‹Nº›
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
Recordemos que
Restamos :
En : 
Por condición 
Sea el complejo tal que:
donde 
Calcule 
PROBLEMA 28 
‹Nº›
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
Recordemos que
De la condición 
Sea el complejo tal que:
Determine 
PROBLEMA 29 
De la condición 
El complejo z es:
‹Nº›
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
En la condición 
Si:
Determine de modulo máximo
PROBLEMA 30 
Graficamos:
Del gráfico, el complejo de modulo máximo es: 
‹Nº›
CEPRE UNI
‹Nº›
CEPRE UNI