vf vf cuadrilateros 2_PRE 2020-II_ v1 2

Vista previa del material en texto

CICLO PREUNIVERSITARIO
CUADRILÁTEROS: PROPIEDADES Y ÁREAS 
TRIGONOMETRÍA
CÁLCULO DEL ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
‹Nº›
El área de un cuadrilátero se puede calcular mediante cualquiera de las siguientes formas:
1. En términos de sus lados y ángulos
Análogamente:
Demostración:
S2
LQQD
‹Nº›
2. En términos de sus diagonales y el ángulo formado por dichas diagonales.
3. En términos de sus lados y el ángulo formado por sus diagonales.
A
B
C
D
θ
A
B
C
D
a
b
c
d
θ
‹Nº›
Nota:
Si el cuadrilátero es no convexo
4. En términos de sus lados y la semi suma de 
dos ángulos opuestos del cuadrilátero 
También:
(Fórmula de Bretschneider) 
‹Nº›
I. En un cuadrilátero inscriptible
Se verifica:
 
De lo cual:
(Fórmula de Brahmagupta) 
Dado que::
Análogamente
‹Nº›
Además, en::
Pero de acuerdo al teorema de Tolomeo
Reemplazamos en S:
‹Nº›
II. En un cuadrilátero circunscriptible
Por el teorema de Pitot:
Entonces:
Nota:
III. En un cuadrilátero bicéntrico
Los cuadriláteros bicéntricos tienen todas las propiedades de los cuadriláteros circunscritos y de los cuadriláteros cíclicos.
Dado que::
 
‹Nº›
RESOLUCIÓN
PROBLEMA 14
En un cuadrilátero ABCD (AB=au, BC=bu, CD=cu y AD=du ;se cumple que , 
Calcule: 
Fórmula de Bretschneider:
‹Nº›
Los lados de un cuadrilátero inscriptible son AB=2u, BC=4u, CD=3u, DA=5u. 
Calcule el coseno del ángulo formado por las diagonales.
A) 		 B) 		 C) 		 D) 		 E) 
RESOLUCIÓN
PROBLEMA 15
Por fórmula del área S=
Por relación de diagonales:	 
Por fórmula del área 
Por identidad pitagórica: = =
d
a
b
m
n
 
 = 
‹Nº›
Los lados de un cuadrilátero circunscriptible son AB=12u, BC=25u, CD=52u .Si el área de la región cuadrangular es 650 
A) - 		 B) - 		 C) - 		 D) - 		 E) - 
RESOLUCIÓN
Por fórmula del área S = ; siendo 
Se pide: 
Por teorema de Pitot: 
d
a
b
PROBLEMA 16
‹Nº›
Un cuadrilátero de lados AB=2u, BC=7u, CD=11u y DA= k u. está inscrito en una semicircunferencia de diámetro “k”. Calcule el área de la región cuadrangular, si . 
A) 							B) 					 			C) 					 				D) 2									E) 	 
RESOLUCIÓN
En el triángulo ABC por Teorema de Cosenos, tenemos:
En el triángulo rectángulo ACD, tenemos:
Cos(D)= y además 
Finalmente el perímetro 
El área es: 
0
a
b
k
PROBLEMA 17
‹Nº›