Vers final Asesoria_08_VF

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tan 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos(𝜃)
2 cos 𝜃 = 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)
𝑌
𝑋
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
ASESORIA 8
2
CEPRE UNI
PROBLEMA 1
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒:
𝑠𝑒𝑛4
𝜋
16
+ 𝑠𝑒𝑛4
3𝜋
16
+
1
2
𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
+
1
2
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
8
𝐴)
1
4
𝐵)
1
2
𝐷)
3
4
𝐶)
5
8
𝐸) 1
4𝐸 = 4𝑠𝑒𝑛4
𝜋
16
+ 4𝑠𝑒𝑛4
3𝜋
16
+ 4.
1
2
𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
+ 4.
1
2
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
8
4𝐸 = 2𝑠𝑒𝑛2
𝜋
16
2
+ 2𝑠𝑒𝑛2
3𝜋
16
2
+ 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
+ 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
8
RESOLUCIÓN
4𝐸 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
+ 𝑐𝑜𝑠2
𝜋
8
+ 1 − 2𝑠𝑒𝑛
𝜋
8
+ 𝑠𝑒𝑛2
𝜋
8
+
2𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
+ 2𝑠𝑒𝑛
𝜋
8
4𝐸 = 1 − 𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
2
+ 1 − 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
8
2
+ 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
+ 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
8
𝑠𝑒𝑛
𝜋
8
𝑠𝑒𝑛
𝜋
8
4𝐸 = 2 + 1 𝐸 =
3
4
CLAVE: D
𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜:
3
CEPRE UNI
PROBLEMA 2
𝑆𝑖 𝑐𝑜𝑡2 10° + 𝑡𝑎𝑛2 10° = 𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: 3 + 𝑐𝑜𝑠 40°
1 − 𝑐𝑜𝑠 40°
.
𝐴)
𝑛
10
𝐵)
𝑛
5
𝐶)
𝑛
2
𝐷) 𝑛 𝐸) 2𝑛
𝐸 =
3 + 𝑐𝑜𝑠 40°
1 − 𝑐𝑜𝑠 40°
=
2 + 1 + cos(40°)
1 − cos(40°)
𝐸 =
2 + 2𝑐𝑜𝑠2(20°)
2𝑠𝑒𝑛2(20°)
𝐸 = 𝑐𝑠𝑐2 20° + 𝑐𝑜𝑡2(20°)
𝐸 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2 20° + 𝑐𝑜𝑡2(20°)
2𝐸 = 2cot(20°) 2 + 2
2𝐸 = cot 10° − tan(10°) 2 + 2
2𝐸 = 𝑐𝑜𝑡2 10° + 𝑡𝑎𝑛2 10° − 2 + 2
𝐸 =
𝑛
2 CLAVE: C
2𝐸 = 4𝑐𝑜𝑡2 20° + 2
𝑛
RESOLUCIÓN
4
CEPRE UNI
PROBLEMA 3
𝑆𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜,
calcule:
cot 2𝜃 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
𝐴)
1
4
𝐵)
1
2
𝐶) 1
𝐷) 2 𝐸) 3
RESOLUCIÓN
𝑎
𝑎
𝑎
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝑎 − 𝑟
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝑂
𝜃
2𝜃
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝑂
𝜃
2𝜃
tan 2𝜃 =
𝑎 − 𝑟
𝑎 + 𝑟
…(I)
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑟
𝑎 + 𝑟
2 tan 𝜃 =
2𝑟
𝑎 + 𝑟
… (𝐼𝐼)
𝐼 + 𝐼𝐼 :
tan 2𝜃 + 2 tan 𝜃 = 1
tan(2𝜃)
tan(2𝜃)
+
2tan(𝜃)
tan(2𝜃)
=
1
tan(2𝜃)
1 + 1 − 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) = cot(2𝜃)
cot 2𝜃 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 2
CLAVE: D
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎:
5
CEPRE UNI
De la condición, aplicando la identidad
tan 2𝜃
tan(𝜃)
= sec 2𝜃 + 1
Tenemos:
𝑚 =
tan 2𝑥
tan(𝑥)
+
tan 4𝑥
tan(2𝑥)
= sec 2𝑥 + 1 + sec 4𝑥 + 1
𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒙 + 𝐬𝐞𝐜 𝟒𝒙 = 𝒎− 𝟐
𝑀 =
4tan(𝑥)
cot 𝑥 − tan(𝑥)
+
4 tan 2𝑥
cot 2𝑥 − tan(2𝑥)
=
4tan(𝑥)
2cot 2𝑥
+
4 tan 2𝑥
2cot 4𝑥
Desarrollando lo que se pide, vemos que:
𝑀 = 2 tan 2𝑥 tan 𝑥 + 2 tan 4𝑥 tan(2𝑥)
= 2 sec 2𝑥 − 1 + 2(sec 4𝑥 − 1)
= 2 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒙 + 𝐬𝐞𝐜(𝟒𝒙) − 4
= 𝟐𝒎− 𝟒− 4 = 𝟐𝒎− 𝟖
PROBLEMA 4:
𝑆𝑖:
tan(2𝑥)
tan(𝑥)
+
tan(4𝑥)
tan(2𝑥)
= 𝑚
Calcule:
4tan(𝑥)
cot 𝑥 − tan(𝑥)
+
4 tan 2𝑥
cot 2𝑥 − tan(2𝑥)
A) 2𝑚 − 8 B) 2𝑚 − 4 C) 2𝑚
D) 2𝑚 + 4 E) 2𝑚 + 8
RESOLUCIÓN
CLAVE: A
6
CEPRE UNI
Consideremos 
𝑃 = (𝑥0; 𝑦0) donde 𝑥0, 𝑦0 < 0.
En el gráfico observamos:
𝜋
2𝛼
𝛼
𝑃(𝑥0; 𝑦0) 𝑄(4 3; −4)
Se observa que cot 2𝛼 +
𝜋
2
=
4 3
−4
= − 3 tan 2𝛼 = 3
Por la identidad de arco doble: 3 =
)2ta n( 𝛼
1 − tan2 𝛼
tan 𝛼 = − 3 o tan 𝛼 =
3
3
Por otra parte se observa que:
cot 𝛼 +
𝜋
2
=
𝑥0
𝑦0
tan 𝛼 = −
𝑥0
𝑦0
Como 
𝑥0
𝑦0
> 0, entonces tan 𝛼 < 0
𝛼
𝛼
𝑃
𝑄(4 3;−4)
Del gráfico mostrado, calcular las 
coordenadas del punto P, 
si 2d O, P = d(O, Q).
PROBLEMA 5:
A) 2 3;−2 B) 2; 2 3
C) −2 3;−2 D) −2;−2 3
E) −2 3; 2
𝑋
𝑌
𝑂
d O, Q = 8
𝑥0 = 3𝑦0
d O, 𝑃 = 4
De d O, 𝑃 = 4, tenemos que 𝒙𝟎; 𝒚𝟎 = (−𝟐 𝟑;−𝟐)
tan 𝛼 = − 3 = −
𝑥0
𝑦0
RESOLUCIÓN
CLAVE: C
7
CEPRE UNI
Del gráfico 𝐴𝐵 = cot(𝜃), entonces:
PROBLEMA 6:
Del gráfico mostrado, calcule:
6 sec 2𝜃 + 1
𝜃
3𝜃
5
1
A) 51 B) 61 C) 71
D) 9 E) 91
𝐴 𝐵
𝐶 tan 4𝜃 =
6
cot(𝜃)
tan 4𝜃 cot 𝜃 = 6
Como cot 𝜃 = csc 2𝜃 + cot(2𝜃) tan 4𝜃 csc 2𝜃 + co t( 2𝜃 ) = 6
Simplificando, 6 = tan 4𝜃 cot 2𝜃 + tan 4𝜃 csc 2𝜃
6 = sec 4𝜃 + 1 + 2 sec 4𝜃 cos 2𝜃 = 1 + sec 4𝜃 2 cos 2𝜃 + 1
5 = sec 4𝜃 2 cos 2𝜃 + 1 5 cos 4𝜃 = 2 cos 2𝜃 + 1
Haciendo cos 4𝜃 = 2 cos2 2𝜃 − 1 , tenemos
5 cos2 2𝜃 − cos 2𝜃 − 3 = 0
cos 2𝜃 =
1 + 61
10
Por lo tanto, sec 2𝜃 =
61−1
6
Asi tenemos que 𝟔 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝜽 + 𝟏 = 𝟔𝟏.
RESOLUCIÓN
CLAVE: B
8
CEPRE UNI
𝐴) 2tan(2𝑥)
Simplifique:
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
sec 𝑥 − cos(𝑥)
+
cos(3𝑥)
csc 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝐵) 4tan(2𝑥)
𝐶) 6cot(2𝑥)
𝐷) 8cot(2𝑥) 𝐸) 10cot(2𝑥)
PROBLEMA 7 
𝑘 =
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
1
cos(𝑥)
− cos(𝑥)
+
cos(3𝑥)
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
− 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑘 =
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 cos(𝑥)
1 − cos2(𝑥)
+
cos 3𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑘 =
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
+
cos 3𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos2(𝑥)
𝑘 =
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
.
cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
+
cos(3𝑥)
cos(𝑥)
.
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
𝑘 = 2 cos 2𝑥 + 1 cot(𝑥) + (2 cos 2𝑥 − 1). tan(𝑥)
𝑘 = 2 cos 2𝑥 2 csc 2𝑥 + 2cot(2𝑥)
𝑘 = 6cot(2𝑥)
𝑘 = 2 cos 2𝑥 cot 𝑥 + tan 𝑥 + cot 𝑥 − tan(𝑥)
RESOLUCIÓN
CLAVE: C
9
CEPRE UNI
𝐴) 𝑠𝑒𝑛(18°)
Si:
𝑠𝑒𝑛(6𝜃)
𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
= 3 cot
𝜋
9
cot
2𝜋
9
cot
4𝜋
9
Calcule: tan 2𝜃 cot(4𝜃)
𝐵) cos(36°)
𝐶) tan(15°)
𝐷) cot(15°) 𝐸) cos(75°)
PROBLEMA 8 
𝑠𝑒𝑛(6𝜃)
𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
= 3 cot
𝜋
9
cot
2𝜋
9
cot
4𝜋
9
2 cos 4𝜃 + 1 = 3 cot 20° cot 40° cot 80°
2 cos 4𝜃 + 1 = 3 cot 60° = 3.
1
3
cos 4𝜃 =
3 − 1
2
𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛:
tan(2𝜃)
tan(4𝜃)
=
1
sec 4𝜃 + 1
=
1
2
3 − 1
+ 1
= 2 − 3
tan(2𝜃)
tan(4𝜃)
= tan(15°)
RESOLUCIÓN
CLAVE: C
10
CEPRE UNI
Del gráfico mostrado, hallar la
medida de CD (en u) si AE=3u y
DE=4u
PROBLEMA 9 
𝜃𝜃 𝜃
𝐶 𝐷 𝐸 𝐴
𝐵
A) 2 B) 3 C) 4
D) 6 E) 8
𝜃𝜃 𝜃
𝐶 𝐷 𝐸 𝐴
𝐵
34
3
2𝜃
𝑥 𝜃
3𝜃
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎: 𝑥 = 4 cos 𝜃 sec(3𝜃)
𝑥 =
4cos(𝜃)
cos(3𝜃)
=
4
2 cos 2𝜃 − 1
𝑃𝑒𝑟𝑜: cos 2𝜃 =
3
4
𝑥 =
4
2
3
4 − 1
∴ 𝑥 = 8
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
11
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝑆𝑒𝑎 𝐸 =
5 − 1
4
𝑐𝑜𝑠 48° 𝑐𝑜𝑠(12°)
𝑐𝑜𝑠 42° 𝑐𝑜𝑠(78°)
𝐸 = 𝑠𝑒𝑛(18°)
𝑠𝑒𝑛 42° 𝑠𝑒𝑛(78°)
𝑐𝑜𝑠 42° 𝑐𝑜𝑠(78°)
𝐸 =
𝑠𝑒𝑛 18°
𝑐𝑜𝑠 18°
. 𝑡𝑎𝑛 42° 𝑡𝑎 𝑛 78° . cos(18°)
𝐸 = 𝑡𝑎𝑛 18° . 𝑡𝑎𝑛 42° 𝑡𝑎 𝑛 78° . 𝑐𝑜𝑠(18°)
𝑡𝑎𝑛 𝑥 . 𝑡𝑎𝑛 60° − 𝑥 𝑡𝑎𝑛 60° + 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(3𝑥)
𝐸 = 𝑡𝑎𝑛 54° . 𝑐𝑜𝑠(18°)
PROBLEMA 10
𝐴𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 5 − 1
4
cos 48° cos(12°)
cos 42° cos(78°)
𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒
𝐴) 𝑠𝑒𝑛 72° . 𝑡𝑎𝑛(38°) 𝐵) 𝑐𝑜𝑠 18° . 𝑡𝑎𝑛(42°) 𝐶) 𝑠𝑒𝑛 72° . 𝑡𝑎𝑛(48°)
𝐷) 𝑐𝑜𝑠 18° . 𝑡𝑎𝑛(54°) 𝐸) 𝑠𝑒𝑛 72° . 𝑡𝑎𝑛(78°)
CLAVE: D
12
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
sen(𝑥)
+
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − cos(3𝑥)
sen 𝑥 + cos(𝑥)
= 2 2
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
sen(𝑥)
+
2sen 3𝑥 −
π
4
2sen 𝑥 +
π
4
= 2 2
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
sen(𝑥)
+
𝑐𝑜𝑠
3π
4 − 3𝑥
𝑐𝑜𝑠
π
4 − 𝑥
= 2 2
2 cos 2𝑥 + 1 + 2 cos
π
2
− 2𝑥 − 1 = 2 2
cos 2𝑥 + sen 2𝑥 = 2
sen 2𝑥
𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 12𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
3π
2
+ 12𝑘π = −1
⟹ 2𝑥 =
π
4
+ 2𝑘π (𝑘ϵℤ)
PROBLEMA 11
𝑆𝑖
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
sen(𝑥)
+
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − cos(3𝑥)
sen 𝑥 + cos(𝑥)
= 2 2 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑛 12𝑥 .
𝐴) − 1/2 𝐵) − 1 𝐶) 3/2 𝐷) 1/2 𝐸) − 2/2
⟹ 2sen 2𝑥 +
π
4
= 2
CLAVE: B
13
CEPRE UNI
RESOLUCIÓNPROBLEMA 12
(𝑃𝐴)(𝑃𝐵)(𝑃𝐶) = 4( 5 + 1)
En el triángulo equilátero ABC inscrito 
en la circunferencia de radio igual a 2, 
calcule x para que se cumpla 
C
A
B
P
x
𝐷) 30° 𝐸) 36°
𝐵) 18°𝐴) 15° 𝐶) 27°
C
A
B
P
x
60°−x
x
60°
(𝑃𝐴)(𝑃𝐵)(𝑃𝐶) = 4( 5 + 1)
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛:
2
4𝑠𝑒𝑛 𝑥 . 4𝑠𝑒𝑛 60° − 𝑥 . 4𝑠𝑒𝑛(60° + 𝑥) = 4( 5 + 1)
4𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 60° − 𝑥 𝑠𝑒𝑛(60° + 𝑥) =
5 + 1
4
𝑠𝑒𝑛(3𝑥) =
5 + 1
4
⟹ 𝑥 = 18°
θ
R2𝑅𝑠𝑒𝑛(θ)
4𝑠𝑒𝑛(60° − 𝑥)
= 𝑐𝑜𝑠(36°)
⟹ 3𝑥 = 54°CLAVE: B
14
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN:
Halle una expresión equivalente
a :
PROBLEMA 13
Respuesta : 4cos( 40 )
A) 2cos(40°) B) 4cos(50°) C)2sec(50°) 
D) 2sec(20°) E) 4cos(40°) 
𝑁 = 3 sec 70° − sec(60°)
De la expresión dada:
𝑁 =
3
cos 70°
− (2) ⇒ 𝑁 =
2 cos 30° − 2cos(70°)
cos 70°
⇒ 𝑁 =
2 cos 30° − cos(70°)
cos 70°
⇒ 𝑁 =
2 cos 30° − cos(70°)
cos 70°
⇒ 𝑁 =
2 −2sen 50° sen(−20°)
cos 70°
⇒ 𝑁 =
4sen 50° sen(20°)
sen 20°
∴ 𝑁 =4cos(40°)
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:E
15
CEPRE UNI
CLAVE: B
RESOLUCIÓN:PROBLEMA 14
Sabiendo que:
sen(2) +sen(4) = m
cos(2) +cos(4) = n
Eliminar 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
3
3
3
3
3
A) (m -n )(m +n )=2n 
B) (m +n )(m +n )=2n 
C) (m -n )(m- n )=2n
D) (m -n )(m +n )=2n 
E) (m -n )(m +n )=n





De las ecuaciones: sen(2) +sen(4) = m
cos(2) +cos(4) = n
1
2
1 2 + (2)2 :
2 + 2𝑠𝑒𝑛 4𝛼 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 + 2cos 4𝛼 cos 2𝛼 = 𝑚2 + 𝑛2
⇒ 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 =
𝑚2 + 𝑛2 − 2
2
3 De (2) transformando 
a producto:
2𝑐𝑜𝑠 3𝛼 cos 𝛼 = 𝑛
⇒ 2𝑐𝑜𝑠 𝛼 (2 cos 2𝛼 − 1) cos 𝛼 = 𝑛
⇒ (1 + cos(2𝛼))(2 cos 2𝛼 − 1) = 𝑛 4
(3) en (4):
⇒ (1 +
𝑚2 + 𝑛2 − 2
2
)(𝑚2 + 𝑛2 − 3) = 𝑛
⇒ (𝑚2 + 𝑛2 )(𝑚2 + 𝑛2 − 3) = 2𝑛
cos(2𝛼)
16
CEPRE UNI
CLAVE : C 
RESOLUCIÓN:
Respuesta : 8
PROBLEMA 15
A) 4 B) 6 C) 8 
D) 10 E) 12
Del gráfico, calcule “x” si
cos(6) + cos(4) + cos(2) = 0
3 2

x2
3 2

x2
A
B
C
∆𝐴𝐵𝐶
2= xcos()cos(2)cos(3)
De: cos(6) + cos(4) + cos(2) = 0
cos(6) + cos(4) + cos(2) = 0
cos(6) + 2cos(3)cos() = 0
⇒ 2cos2 3𝜃 − 1 + 2cos(3)cos() = 0
2 𝑐𝑜𝑠 3𝜃 cos 3𝜃 + cos 𝜃 = 1
2 𝑐𝑜𝑠 3𝜃 2cos 2𝜃 cos 𝜃 = 1 ⇒ 4𝑐𝑜𝑠 3𝜃 cos(2𝜃) cos 𝜃 = 1
⇒ 4
2
𝑥
= 1
1
De (1) ∴x= 8
17
CEPRE UNI
Si: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°, transforme a producto: 𝑠𝑒𝑛2 𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2 𝐵 − (𝑐𝑜𝑠2 𝐶 + 1)
A)−4𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐶) D) −2𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐶)
B) 2 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐶) E) 4 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐶)
C) 2 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝐶)
CLAVE: B
Respuesta: 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝑩 𝒄𝒐𝒔(𝑪)
PROBLEMA 16
RESOLUCIÓN Sea:
Luego:
𝐾 = 𝑠𝑒𝑛2 𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2 𝐵 − 𝑐𝑜𝑠2 𝐶 − 1
2𝐾 = −(𝑐𝑜𝑠 2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 2𝐵 + 𝑐𝑜𝑠 2𝐶 + 1)
Dando forma para degradar:
2𝐾 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝐴 + 2𝑠𝑒𝑛2 𝐵 − 2𝑐𝑜𝑠2 𝐶 − 2
1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝐴) 1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝐶)
1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝐵)
−4𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐶)
18
CEPRE UNI
En un triángulo ABC determine el equivalente de la expresión:
2 1 + 𝑠𝑒𝑛
𝐴
2
1 + 𝑠𝑒𝑛
𝐵
2
1 + 𝑠𝑒𝑛
𝐶
2
A) 𝑠𝑒𝑛 𝐴 + 𝑠𝑒𝑛 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛(𝐶) D) 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 𝐵 + 𝑐𝑜𝑠(𝐶)
B) 𝑠𝑒𝑛
𝐴
2
+ 𝑠𝑒𝑛
𝐵
2
+ 𝑠𝑒𝑛(
𝐶
2
) E) cos
𝐴
2
+ cos
𝐵
2
+ cos(
𝐶
2
)
C) 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
−
𝐴
2
+ 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
4
−
𝐵
2
)+ 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
4
−
𝐶
2
)
CLAVE: ERespuesta: 𝒄𝒐𝒔 𝑨/𝟐 + 𝒄𝒐𝒔 𝑩/𝟐 + 𝒄𝒐𝒔(𝑪/𝟐)
PROBLEMA 17
RESOLUCIÓN
Sea: 𝑊 = 2 2𝑐𝑜𝑠2(
𝜋
4
−
𝐴
4
) 2𝑐𝑜𝑠2(
𝜋
4
−
𝐵
4
) 2𝑐𝑜𝑠2(
𝜋
4
−
𝐶
4
)
𝑊 = 4 𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
−
𝐴
4
𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
−
𝐵
4
𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
−
𝐶
4
= 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
−
𝐴
2
+ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
−
𝐵
2
+ 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
2
−
𝐶
2
)
19
CEPRE UNI
Si 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝜋/6, determine el equivalente de la expresión:
1 − 8𝑠𝑒𝑛
𝐴
2
−
𝜋
12
𝑠𝑒𝑛
𝐵
2
−
𝜋
12
𝑠𝑒𝑛(
𝐶
2
−
𝜋
12
)
A) 𝑠𝑒𝑛 𝐴 + 𝑠𝑒𝑛 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛(𝐶) D) 2(𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 𝐵 + 𝑐𝑜𝑠(𝐶))
B) 𝑠𝑒𝑛
𝐴
2
+ 𝑠𝑒𝑛
𝐵
2
+ 𝑠𝑒𝑛(
𝐶
2
) E) cos 𝐴 + cos 𝐵 + cos(𝐶)
C) 2(𝑠𝑒𝑛 𝐴 + 𝑠𝑒𝑛(𝐵)+ 𝑠𝑒𝑛(𝐶))
PROBLEMA 18
RESOLUCIÓN
𝑠𝑒𝑛(𝜋/6)
Se pide reducir: 𝐽 = 1 − 8𝑠𝑒𝑛 −
𝐵 + 𝐶
2
𝑠𝑒𝑛 −
𝐴 + 𝐶
2
𝑠𝑒𝑛 −
𝐵 + 𝐴
2
𝐽 = 1 + 2 4𝑠𝑒𝑛
𝐵 + 𝐶
2
𝑠𝑒𝑛
𝐴 + 𝐶
2
𝑠𝑒𝑛
𝐵 + 𝐴
2
𝑠𝑒𝑛 𝐴 + 𝑠𝑒𝑛 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 𝐶 − 𝑠𝑒𝑛 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
Respuesta: 𝟐(𝒔𝒆𝒏 𝑨 + 𝒔𝒆𝒏 𝑩 + 𝒔𝒆𝒏 𝑪 ) CLAVE: C
20
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐷𝑒 1 :
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦
cos 𝑥 cos(𝑦)
=
4 3
5
5𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦 = 2 3(2 cos 𝑥 cos(𝑦))
cos 𝑥 + 𝑦 + cos(𝑥 − 𝑦)
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 2 : 5(
𝟑
𝟐
) = 2 3(
𝟏
𝟐
+ cos(𝑥 − 𝑦))
Obtenemos: cos 𝑥 − 𝑦 =
3
4
Se pide: 𝟐𝑘 = 𝟐𝑐𝑜𝑠 60° + 𝑥 𝑐𝑜𝑠(60° + 𝑦)
𝑐𝑜𝑠 120° + 𝑥 + 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦)
2𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 180° +
3
4
∴ 𝑘 = −
1
8
PROBLEMA 19
𝐴) − 1/8
𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑦 =
4 3
5
… . (1)
Para dos ángulos x e y se tiene:
𝑐𝑜𝑠 60° + 𝑥 𝑐𝑜𝑠(60° + 𝑦)
𝑥 + 𝑦 = 60°… . (2)
Calcule:
𝐵) − 1/5 𝐶) − 1/4
𝐷) 3/5 𝐸) 4/5
CLAVE: A
21
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
De 1 : 2𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
+ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 2𝑎 + 0,5
cos
𝜋
3
− cos(2𝑥 +
𝜋
3
)
⟹ cos 2𝑥 +
𝜋
3
= −2𝑎
De 2 : 2𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
+ 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 2𝑏 − 0,5… (2)
cos 4𝑥 +
2𝜋
3
+ cos(
2𝜋
3
)
⟹ cos 4𝑥 + 2
𝜋
3
= 2𝑏
Reemplazamos en la identidad
1 + cos 4𝑥 + 2
𝜋
3
= 2cos2(2𝑥 +
𝜋
3
) ∴ 1 + 2𝑏 = 8𝑎2
PROBLEMA 20
𝐴) 1 + 2𝑏 = 8𝑎2
𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
+ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 + 0,25… . . (1)
Elimine la variable angular x de:
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
+ 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 𝑏 − 0,25… (2)
𝐵) 1 + 2𝑎 = 8𝑏2
𝐶) 1 + 2𝑏 = 4𝑎2
𝐷) 1 + 4𝑎 = 2𝑏2
𝐸) 1 + 4𝑏 = 2𝑎2
CLAVE: A
22
CEPRE UNI
Sea:
RESOLUCIÓN
𝐸 =
2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑧 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝑥
2𝑠𝑒𝑛(𝑧 − 𝑥)
𝐸 =
(cos 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − cos(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)) − (cos 𝑦 + 𝑧 − 𝑥 − cos(𝑦 + 𝑧 + 𝑥))
2𝑠𝑒𝑛(𝑧 − 𝑥)
𝐸 =
cos 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − cos(𝑦 + 𝑧 − 𝑥))
2𝑠𝑒𝑛(𝑧 − 𝑥)
=
(−2𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑧 )
2𝑠𝑒𝑛(𝑧 − 𝑥)
∴ 𝐸 = 𝑠𝑒𝑛(𝑦)
PROBLEMA 21
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑧 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑧 − 𝑥)
Reduzca:
𝐴) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝐵) 𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝐶) 𝑠𝑒𝑛(𝑧)
𝐷) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝐸) − 𝑠𝑒𝑛(𝑧)
CLAVE: B
23
CEPRE UNI
Si: 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2
𝐵 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 2
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 2
Calcule el valor de: A+B+C, 
para: x= π/7
𝐴) 1
𝐸)
8
3
𝐶)
7
8
𝐷)
3
4
𝐵)
3
8
RESOLUCIÓN
Por fórmula 
de degradación:
∴ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =
7
8
CLAVE: C
PROBLEMA 22
2 2
2 2
2 2
1 cos( 2x ) 1 cos( 4x )
A sen ( x )sen ( 2x ) ...( i )
2 2
1 cos( 2x ) 1 cos(6x )
B sen ( x )sen ( 3x ) ...( ii )
2 2
1 cos( 4x ) 1 cos(6x )
C sen ( 2x )sen ( 3x ) ...( iii )
2 2
   
    
  
   
    
  
   
    
  
8A 2 2cos( 2x ) 2cos( 4x ) 2cos( 2x )cos( 4x )
8B 2 2cos( 2x ) 2cos(6x ) 2cos( 2x )cos(6x )
8C 2 2cos( 4x ) 2cos(6x ) 2cos( 4x )cos(6x )
   
   
   
 
 
8( A B C ) 6 4 cos( 2x ) cos( 4x ) cos(6x )
cos(6x ) cos( 2x ) cos( 8x ) cos( 4x ) cos(10x ) cos( 2x )
      
    
Dato: 7x=π; 14x=2π
 8( A B C ) 6 2 cos( 2x ) cos( 4x ) cos(6x )     
cos(6x) cos(4x)
= -1/2
24
CEPRE UNI
Si: sen(1)+sen(3) +sen(5)+…+sen(31)=a; calcule cos(16) 
PROBLEMA 23
A)- 1+asen(1) B)- 1-asen(1) C) 1-asen(1) D) 1+asen(1) E) 1-acos(1)
De las sumatorias de senos identificamos: P=1; U=31; n=16; r=2
a
       
16* 2
sen
1 312
sen 1 sen 3 sen 5 sen 31 sen
2 2
sen
2
 
         
   
 
 
 
 
 
 2sen 16 sen 16
sen 16
sen 1 sen(1)
 
Igualando y despejando:
 2sen 16
a
sen(1)
  2asen(1) 1 cos 16   2cos 16 1 asen(1) 
0; 6,28; 12,563,14; 9,42; 15,70
16
 cos 16 1 asen(1)  
CLAVE: BRespuesta:cos(16)=- 1-asen(1)
C.T.
25
CEPRE UNI
PROBLEMA 24
   
2
A)4rsen n 3 csc B)rsen csc C)4rsen n 3 csc 
2n 2n n 2n n n
3 3
D)rsen csc E)2rcos csc
2n n 2n 2n
     
   
           
           
           
       
      
       
Considerar que:
CLAVE: E
3
Respuesta:2rcos csc
2n 2n
    
  
   
Calcule la suma de las longitudes de las diagonales trazadas de un mismo vértice de un polígono regular de n 
lados, inscrito en una circunferencia de radio r. 
θ
A
B
θ
θ
θ
θ
θ
θ
A1
A2
A3
A4
A5
An-1
An
AB 2rsen
2
 
  
 
2
n

 
1 3 1 4 1 4 1 6 1 7 1 n 1A A A A A A A A A A .. A A      Se pide:
2 3 4 n 2
2rsen 2rsen 2rsen ... 2rsen
2 2 2 2
           
          
       
2 3 4 n 2
2r sen sen sen ... sen
2 2 2 2
             
           
        
Identificamos la razón de la progresión=θ/2 y hay (n-3) términos
( n 3 )
sen
2 ( n 2 )4
2r sen
4
sen
4

 

   
       
    
    
2
; pero :
n

 
26
CEPRE UNI
𝐴1
𝐴6 𝐴5
𝐴4
𝐴3
𝐴2
𝐴7
RESOLUCIÓN
𝐴) 18𝑅4 𝐵) 24𝑅4 𝐶) 30𝑅4
𝐷) 36𝑅4 𝐸) 42𝑅4
CLAVE: ERespuesta: 𝟒𝟐𝑹𝟒
PROBLEMA 25
Si los vértices de un polígono regular de
7 lados son 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴7 el cual se
encuentra inscrito en una
circunferencia de radio R.
𝐴1𝐴2 = 𝐴1𝐴7 = 2𝑅 sen 𝜋/7
RExprese, en términos de R, lo siguiente:
𝐴1𝐴2
4 + 𝐴1𝐴3
4 +⋯+ 𝐴1𝐴7
4
2𝜋
7
2𝜋
7
2𝜋
7
2𝛼
𝐿R
Recordemos:
𝐿 = 2𝑅 sen 𝛼
Vemos que:
Se desea el equivalente de:
𝐸 = 32𝑅4 sen4
𝜋
7
+ sen4
2𝜋
7
+ sen4
3𝜋
7
𝐴1𝐴3 = 𝐴1𝐴6 = 2𝑅 sen 2𝜋/7
𝐴1𝐴4 = 𝐴1𝐴5 = 2𝑅 sen 3𝜋/7
8 sen4 𝜋/7 = 3 − 4 cos 2𝜋/7 + cos 4𝜋/7
8 sen4 2𝜋/7 = 3 − 4 cos 4𝜋/7 + cos 8𝜋/7
8 sen4 3𝜋/7 = 3 − 4 cos 6𝜋/7 + cos 12𝜋/7
8 sen4
𝜋
7
+ sen4
2𝜋
7
+ sen4
3𝜋
7
= 9 − 3 cos
2𝜋
7
+ cos
4𝜋
7
+ cos
6𝜋
7
−1/2⟹ 𝐸 = 32𝑅
4 21/16
cos 6𝜋/7
cos 2𝜋/7
27
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐴)
5
6
𝐵)
4
7
𝐶)
3
8
𝐷)
2
9
𝐸)
1
10
CLAVE: CRespuesta: 𝟑/𝟖
PROBLEMA 26
Calcule el valor de:
cos2
𝜋
7
sec
2𝜋
7
+
cos2
2𝜋
7
sec
4𝜋
7
+
cos2
3𝜋
7
sec
6𝜋
7
cos2
𝜋
7
sec
2𝜋
7
= cos2
𝜋
7
cos
2𝜋
7
cos2
𝜋
7
sec
2𝜋
7
=
1
2
1 + cos
2𝜋
7
cos
2𝜋
7
cos2
𝜋
7
sec
2𝜋
7
=
1
2
cos
2𝜋
7
+ cos2
2𝜋
7
cos2
𝜋
7
sec
2𝜋
7
=
1
2
cos
2𝜋
7
+
1 + cos 4𝜋/7
2
cos2
𝜋
7
sec
2𝜋
7
=
1
4
1 + 2 cos
2𝜋
7
+ cos
4𝜋
7
cos2
2𝜋
7
sec
4𝜋
7
=
1
4
1 + 2 cos
4𝜋
7
+ cos
8𝜋
7
cos2
3𝜋
7
sec
6𝜋
7
=
1
4
1 + 2 cos
6𝜋
7
+ cos
12𝜋
7
cos 6𝜋/7
cos 2𝜋/7
𝑆
⟹ 𝑆 =
1
4
3 + 3 cos
2𝜋
7
+ 3 cos
4𝜋
7
+ 3 cos
6𝜋
7
⟹ 𝑆 =
1
4
3 −
3
2
Para el primer término
, análogamente
28
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐴)
13 − 1
4
𝐵)
13 + 1
4
𝐶)
5 + 2
15
𝐷)
13 − 1
9
𝐸)
13 − 2
10
PROBLEMA 27
Sea: 𝐸 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
13
+ 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
13
− 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
Calcule el valor de: 𝑐𝑜𝑠
𝜋
13
+ 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
13
− 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
⟹ 𝐸2 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
13
+ 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
13
− 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
2
𝐸2 = cos2
𝜋
13
+ cos2
3𝜋
13
+ cos2
4𝜋
13
+ 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
13
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
13
− 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
13
𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
− 2 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
13
𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
2𝐸2 = 3 + cos
2𝜋
13
+ cos
6𝜋
13
+ cos
8𝜋
13
+ 2 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
+ 2𝑐𝑜𝑠
2𝜋
13
− 2 𝑐𝑜𝑠
5𝜋
13
− 2 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
13
− 2 𝑐𝑜𝑠
7𝜋
13
− 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
13
2𝐸2 = 3 + cos
2𝜋
13
+ cos
6𝜋
13
+ cos
8𝜋
13
+ 2 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
+ 2𝑐𝑜𝑠
2𝜋
13
+ 2 𝑐𝑜𝑠
8𝜋
13
+ 2 𝑐𝑜𝑠
10𝜋
13
+ 2 𝑐𝑜𝑠
6𝜋
13
+ 2 𝑐𝑜𝑠
12𝜋
13
−1
29
CEPRE UNI
CLAVE: B
𝑐𝑜𝑠
𝜋
13
> 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
Tenemos: 2𝐸2 − 2 = cos
2𝜋
13
+ cos
6𝜋
13
+ cos
8𝜋
13
… 𝐼
Además: 𝐸 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
13
+ 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
13
− 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
⟹ 𝐸 = −𝑐𝑜𝑠
12𝜋
13
− 𝑐𝑜𝑠
10𝜋
13
− 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
… 𝐼𝐼
𝐼 − 𝐼𝐼 : 2𝐸2 − 2 − 𝐸 = cos
2𝜋
13
+ cos
6𝜋
13
+ cos
8𝜋
13
+ 𝑐𝑜𝑠
12𝜋
13
+ 𝑐𝑜𝑠
10𝜋
13
+ 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
13
−1/2
⟹ 4𝐸2 − 2𝐸 − 3 = 0 ⟹ 𝐸 =
2 ± 4 − 4.4. (−3)
8
⟹ 𝐸 =
2 ± 2 13
8
⟹ 𝐸 =
1 ± 13
4
Vemos que: ⟹ E > 0 ∴ 𝐸 =
1 + 13
4
Respuesta:
13 + 𝟏
4
30
CEPRE UNI
Calcular :
A) 
7
128
B) 
7
64
C) 
49
128
D) 
49
64
E) 
7
8
PROBLEMA 28
RESOLUCIÓN
Recuerda que: 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛2(𝜃)𝑠𝑒𝑛2(𝜃)
Sea J la expresión pedida: J =
Desarrollando: J = 𝑡𝑎𝑛2(
𝜋
7
)𝑠𝑒𝑛2(
𝜋
7
) 𝑡𝑎𝑛2(
2𝜋
7
)𝑠𝑒𝑛2(
2𝜋
7
) 𝑡𝑎𝑛2(
3𝜋
7
)𝑠𝑒𝑛2(
3𝜋
7
)
Ordenando: J = 𝑡𝑎𝑛
𝜋
7
𝑡𝑎𝑛
2𝜋
7
𝑡𝑎𝑛(
3𝜋
7
)
2
𝑠𝑒𝑛
𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
7
𝑠𝑒𝑛(
3𝜋
7
)
2
7 7
8
Respuesta: J = 
𝟒𝟗
𝟔𝟒
→ J = 
49
64 CLAVE: D
ෑ
𝑘=1
3
𝑡𝑎𝑛2
𝑘𝜋
7
− 𝑠𝑒𝑛2(
𝑘𝜋
7
)
ෑ
𝑘=1
3
𝑡𝑎𝑛2
𝑘𝜋
7
𝑠𝑒𝑛2(
𝑘𝜋
7
)
31
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
Sea J la expresión y la desarrollamos: J = 𝑠𝑒𝑛 6° 𝑠𝑒𝑛 12° 𝑠𝑒𝑛 18° …𝑠𝑒𝑛 72° 𝑠𝑒𝑛 78° 𝑠𝑒𝑛(84°)
Cos(6º)Cos(12º)Cos(18º)
Agrupando convenientemente, generamos 7 parejas:
J = 𝑠𝑒𝑛 6° 𝑐𝑜𝑠 6° 𝑠𝑒𝑛 12° 𝑐𝑜𝑠 12° 𝑠𝑒𝑛 18° 𝑐𝑜𝑠 18° …𝑠𝑒𝑛 42° 𝑐𝑜𝑠(42°) sen(θ)cos(θ) = 
𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
2
J = 
𝑠𝑒𝑛(12°)
2
×
𝑠𝑒𝑛(24°)
2
×
𝑠𝑒𝑛(36°)
2
×⋯×
𝑠𝑒𝑛(84°)
2
→ J = 
1
27
𝑠𝑒𝑛
𝜋
15
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
15
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
15
…𝑠𝑒𝑛(
7𝜋
15
)
15
27→ J = 
15
214 Respuesta: J = 
𝟏𝟓
𝟐𝟏𝟒
CLAVE: C
Calcular :
A) 
15
27
B) 
15
212
C) 
15
214
D) 
15
215
E) 
15
228
PROBLEMA 29
ෑ
𝑘=1
14
𝑠𝑒𝑛 6𝑘 °
32
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
Note que: 𝑡𝑎𝑛 3𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
=
2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos(𝑥)
𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
=
2𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 3𝑥
En la expresión, sea: J =
Desarrollando: J = 
2𝑠𝑒𝑛(
𝜋
11
)
cos(
3𝜋
11
)
×
2𝑠𝑒𝑛(
2𝜋
11
)
cos(
6𝜋
11
)
×
2𝑠𝑒𝑛(
3𝜋
11
)
cos(
9𝜋
11
)
×
2𝑠𝑒𝑛(
4𝜋
11
)
cos(
12𝜋
11
)
×
2𝑠𝑒𝑛(
5𝜋
11
)
cos(
15𝜋
11
)
−𝑐𝑜𝑠(
5𝜋
11
) −𝑐𝑜𝑠(
2𝜋
11
) −𝑐𝑜𝑠(
𝜋
11
) −𝑐𝑜𝑠(
4𝜋
11
)
Calcular :
A) 4 11 B) 8 11 C) 16 11
D) 32 11 E) 64 11
PROBLEMA 30
ෑ
𝑘=1
5
𝑡𝑎𝑛
3𝑘𝜋
11
− 𝑡𝑎𝑛(
𝑘𝜋
11
)
ෑ
𝑘=1
14
𝑡𝑎𝑛
3𝑘𝜋
11
− 𝑡𝑎𝑛(
𝑘𝜋
11
) ෑ
𝑘=1
5
2𝑠𝑒𝑛(
𝑘𝜋
11
)
cos(
3𝑘𝜋
11
)
→ J = 
33
CEPRE UNI
La expresión quedaría así: J = 
2𝑠𝑒𝑛(
𝜋
11
)
cos(
3𝜋
11
)
×
2𝑠𝑒𝑛(
2𝜋
11
)
cos(
5𝜋
11
)
×
2𝑠𝑒𝑛(
3𝜋
11
)
cos(
2𝜋
11
)
×
2𝑠𝑒𝑛(
4𝜋
11
)
cos(
𝜋
11
)
×
2𝑠𝑒𝑛(
5𝜋
11
)
cos(
4𝜋
11
)
Agrupando convenientemente: J = 32 
𝑠𝑒𝑛
𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
11
𝑠𝑒𝑛(
5𝜋
11
)
cos
𝜋
11
cos
2𝜋
11
cos
3𝜋
11
cos
4𝜋
11
cos(
5𝜋
11
)
J = 32𝑡𝑎𝑛
𝜋
11
𝑡𝑎𝑛
2𝜋
11
𝑡𝑎𝑛
3𝜋
11
𝑡𝑎𝑛
4𝜋
11
𝑡𝑎𝑛(
5𝜋
11
)
11
→ J = 32 11
Respuesta: J = 𝟑𝟐 𝟏𝟏 CLAVE: D
34
CEPRE UNI